Bài toán cực trị trong không gian

LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN
BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (1)
BÀI TOÁN 1
Trên 3 tia Ox, Oy,Oz vuông góc với nhau từng đôi ,lấy lần lượt các điểm A,B,C sao cho
OA = a;OB = b;OC = c
a) Tính khoảng cách từ O đến mp(ABC)
b) Giả sử A cố định còn B,C thay đổi nhưng luôn luôn thỏa OA = OB + OC .Hãy xác định
vị trí B,C sao cho thể tích tứ diện OABC lớn nhất (ĐH Ngoại thương)
HD:
a) mp(ABC) :
1
x y z
a b c
+ + =
;
2 2 2 2 2 2
( ;( ))
abc
d o ABC
b c c a a b
=
+ +
b)
2
3
1 1 1
.( ) .
6 6 6 2 24
OABC
b c a
V abc a bc a

+
 
= = ≤ =
 ÷
 
( đẳng thức khi b = c = a/2 )
BÀI TOÁN 2
Cho 3 tia Ox, Oy,Oz vuông góc với nhau từng đôi ,một mặt phẳng (P) đi qua điểm N cố
định cắt Ox,Oy,Oz lần lượt tại các điểm A,B,C .Giả sử N nằm trong tam giác ABC và
khoảng cách từ N đến các mp(OBC) ,(OCA) ,(OAB) lần lượt là a,b,c .
a) Chứng minh răng :
1
a b C
OA OB OC
+ + =
b) Tính OA,OB,OC để thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất
c) Tính OA,OB,OC để tổng S = OA + OB + OC nhỏ nhất (ĐHHH95)
HD:
Chọn hệ trục Oxyz sao cho N(a,b,c) .Phương trình mặt phẳng (P) qua N là:

(x - a) + (y - b) + (z - c) = 0
α β γ

Suy ra :
( ;0;0) ; (0; ;0) ; (0;0; )
a b c a b c a b c
A B C
α β γ α β γ α β γ
α β γ
+ + + + + +

b)
3
3
3
3. ( . . )
1 1 ( ) 1 9
6 6 6 2
OABC
a b c
a b c
V abc abc
α β γ
α β γ
αβγ αβγ
+ +
= = ≥ =

9
min khi a =b =c
2
OABC
V abc
α β γ
=
suy ra OA = 3a ; OB = 3b ;OC = 3c
1
c
b
a
C

O
A
B
N
LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN
c) Ta có : OA + OB + OC
a b c a b c a b c
α β γ α β γ α β γ
α β λ
+ + + + + +
= + +

b a c a c b
a b c
β α γ α γ β
α β α γ β γ
     
= + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
     

2
2 2 2 ( )a b c ba ac cb a b c
≥ + + + + + = + +
min (OA + OB + OC)
2 2 2
a b c OA a ab ac
α β γ
⇔ = = ⇒ = + +
…

BÀI TOÁN 3
Cho tứ diện SABC có
2 ; SC (ABC)SC CA AB a
= = = ⊥
,tam giác ABC vuông tại A ,các
điểm M thuộc SA , N thuộc BC sao cho AM = CN = t (0 < t < 2a)
a) Tính độ dài đoạn MN.Tìm t để MN ngắn nhất
b) Khi MN ngắn nhất chứng minh rằng MN là đường vuông góc chung của SA và BC
(ĐH Đà Nẳng 2001)
HD: Chọn hệ trục C ≡ O ; A(a;a;0) ; B(2a;0;0);
S(0;0; a 2)

Viết phương trình SA và M∈SA suy ra M :
( ; ; )
2 2
2
t t t
M a a− −
; N(t;0;0)

6 2a
min khi t=
3 3
a
MN
=

BÀI TOÁN 4
Cho tứ diện ABCD.Tìm điểm M sao cho S = AM
2

+ BM
2
+ CM
2
+ DM
2
nhỏ nhất
HD: Gọi G là trọng tâm của tứ diện ,ta có:
2 2 2
2 .MA MG GA MA MG GA MG GA= + ⇒ = + +
uuur uuuur uuur uuuur uuur
Tương tự:
2 2 2
2 .MB MG GB MG GB= + +
uuuur uuur
;
2 2 2
2 .MC MG GC MG GC= + +
uuuur uuur
;
2 2 2
2 .MD MG GD MG GD= + +
uuuur uuur
Suy ra:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
4MA MB MC MD MG GA GB GC GD+ + + = + + + +
Vậy S nhỏ nhất ⇔ MG nhỏ nhất ⇔ M≡ G
2
C
B

A
S
M
N
LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN
BÀI TOÁN 5
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a .Trên cạnh AA’ kéo dài về phía A’ lấy điểm
M ,trên cạnh BC kéo dài về phía C lấy điểm N sao cho MN cắt cạnh C’D’ .Tìm giá trị nhỏ
nhất của MN
HD:
Chọn hệ trục M(0;0;m) N(a;n;0)
Vì MD’//NC’ nên:
a a m an
m
a n a n a
−
= ⇒ =
− −
. Suy ra : MN = m + n – a =
2 2
n an a
n a
− +
−
Xét hàm số :
2 2
( ) (n>a)
n an a
f n
n a

− +
=
−
. MinMN = 3a khi n =2a
BÀI TOÁN 6
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a .Xác định thiết diện đi qua một đường chéo
và tìm diện tích nhỏ nhất của nó theo a
3
I
A
D
D'
B
C
A'
K
B'
C'
M
N
A
D
D'
B
C
A'
B'
C'
M
N

LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN
HD:
Đặt AM = y ⇒ B’N = a – y
Chọn hệ trục sao cho : A(0;0;0) B(a;0;0) D(0;a;0) A’(0;0;a) .Khi đó M(0;y;0) N(a;a-y; a)
2
2 2 4 2 2
6
' , ' ( )
2 2
td
a a
S A M A N a a y a a y y
 
= = − + + ≥ ⇔ =
 
uuuuur uuuur
BÀI TOÁN 7
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ tâm I có :
; 2 ;AA'=a 2AB a AD a
= =
.Trên AD
lấy điểm M và gọi K là trung điểm của B’M .Đặt AM = m (0 ≤ m < 2a).Tìm vị trí điểm M
để thể tích khối tứ diện A’KID lớn nhất (ĐHSP 2001)

HD: Đặt AM = m
Chọn hệ trục sao cho : A(0;0;0) B(0;a;0) D(2a;0;0)
'(0;0; 2)D a
.
Khi đó M(m;0;0) ;
2

; ;
2 2 2
m a a
K
 
 ÷
 ÷
 

2
'
1 2
' , ' . ' .(2 )
6 24
A KID
a
V A K A I A D a m
 
= = −
 
uuuur uuur uuuur
2
'
2
ax khi m=0 M A
12
A KID
a
m V
= ⇔ ≡

BÀI TOÁN 8
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a .Trên cạnh BD và B’A lấy lần lượt các điểm
M,N sao cho BM = B’N = t ,gọi α , β lần lượt là các góc tạo bởi MN với BD và B’A
a) Tính MN theo a và t.Tìm t để MN nhỏ nhất
b) Chứng minh rằng :
2 2
1
cos cos
2
α β
+ =
c) Tính α , β khi MN nhỏ nhất ĐHSP (Vinh 2001)
4
y
x
z
K
I
A
B
D
C
A'
D'
C'
B'
M
LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN
HD: Chọn hệ trục sao cho : A(0;0;0) B(0;a;0) D(a;0;0) A’(0;0;a) .
Viết phương trình BD và B’A suy ra M(a-u ; u;0) N(0;v ; v)

Theo giả thiết BM =B’N = t ⇒ u =v
MN
2
= (a-u)
2
+ (u-v)
2
+ v
2
= 2u
2
– 2au + a
2
=
2
2 2
2
2 2 2
a a a
u
 
− + ≥
 ÷
 
a
min khi u=
2
2 2
a a
MN t= ⇒ =

c) α = β =60
0

BÀI TOÁN 9
Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ cạnh đáy bằng 1 và đường cao bằng x .
Tìm x để góc tạo bới đường thẳng B’D và mp(B’D’C) lớn nhất
5
y
x
z
A
B
D
C
A'
D'
C'
B'
M
N
y
z
x
A
D
C
A'
B'
C'
D'

B
LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN
HD: Chọn hệ trục sao cho : A(0;0;0) B(1;0;0) D(0;1;0) A’(0;0;x) ⇒
' ( 1;1; )B D x
= −
uuuur
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (B’D’C) là :
', ' ( ; ; 1)n CB CD x x
 
= = − − −
 
r uuur uuuur
Gọi α là góc tạo bởi B’D và mp(B’D’C) :
4 2
| ' . |
sin
| ' |.| |
2 5 2
B D n x
B D n
x x
α
= =
+ +
uuuur r
uuuur r
Xét hàm số :
4 2
(x > 0)
2 5 2

x
y
x x
=
+ +
1
ax(sin )= khi x=1
3
M
α
. Khi đó ABCD.A’B’C’D’ là một hình lập phương
BÀI TOÁN 10
Cho khối cầu có bán kính R .Tìm khối trụ nội tiếp khối cầu có thể tích lớn nhất.Tính thể
tích khối trụ đó
HD: Gọi chiều cao của khối trụ là 2x (0 < x < R)
suy ra bán kính của khối trụ là :

2 2 2 3
.
2 ( )
k tru
r R x V R x x
π
= − ⇒ = −

Xét hàm số :
2 3
x (0;R)y R x x= − ∈
BÀI TOÁN 11
Trong số các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu có bán kính r cho trước .Tìm hình

chóp đều có diện tích toàn phần nhỏ nhất
HD:
Giả sử hình chóp đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h và thể tích V .Ta có:
3 3
TP
TP
V V
r S
S r
= ⇒ =

Vậy S
TP
nhỏ

nhất ⇔ V nhỏ nhất
Ta có :
2 2
3
12
TP
V ah
r
S
a a h
= =
+ +
Gọi M là trung điểm của BC và ϕ là góc giữa mặt bên và đáy hình chóp suy ra :
3
.tan

6
a
h
ϕ
=

Khi đó :
6 (cos +1) (cos +1)
;
cos
3 sin
r r
a h
ϕ ϕ
ϕ
ϕ
= =
;
2 2
3 3
(cos +1) r(1+t)
3 = 3r (0<t=cos <1
cos (1 cos ) t(1-t)
V r
ϕ
ϕ
ϕ ϕ
=
−
Xét hàm số :

2
r(1+t)
( ) (0<t<1)
t(1-t)
f t =
ĐS:
4 ;tan =2 2 ; a=2r 6h r
ϕ
=
6
LTDH GV Vế S KHUN
BI TON 12
Cho hỡnh nún cú bỏn kớnh ỏy R ,chiu cao h. Tỡm
hỡnh tr ni tip hỡnh nún cú th tớch ln nht
HD:
Gi r l bỏn kớnh hỡnh tr ni tip hỡnh nún,
ta cú:
2 2
.
1 ( ) 1
( )
3 3
k tru
h R r h
V r r R r
R R



= =

Xột hm s
2
( ) ( ) (0<r<R)f r r R r=
S:
2
.
4 2R
; r=
81 3
k tru
V R h

=
BI TON 13
SBT-B34 :Cho khi chúp S.ABC cú ỏy l tam giỏc ABC vuụng cõn C v
SA mp(ABC) ,SC = a.Hóy tỡm gúc gia hai mt phng (SCB) v (ABC) th tớch khi
chúp ln nht.
Gii
Ta cú: SA(ABC) v BCCA BCSC (theo nh lý 3 ng vuụng gúc)
suy ra gúc gia hai mt phng (SCB) v (ABC) l
ã
SCA
.
t :
ã
2
0<x<


=

ữ

SCA x
suy ra: SA = a.sinx ; AC = a.cosx
3
2
.
1 1 1
. . . .sin .cos
3 3 2 6
S ABC ABC
a
V S SA AC BC SA x x
= = =
Xột hm s: f(x) = sinx.cos
2
x
Ta cú: f(x)= cos
3
x 2cosx.sin
2
x = cosx(cos
2
x 2 + 2cos
2
x) = cosx(3cos
2
x 2)
=
2 2

3cos cos cos
3 3

+
ữ ữ
ữ ữ

x x x
Vỡ
2
cos cos 0
2 3
0 < x <


+ >
ữ
ữ

x x
.
2
2
Goùi laứ goực sao cho cos = ,0 < <
3


Bng bin thiờn :

Vy th tớch khi chúp S.ABC t giỏ tr ln nht

f(x) t giỏ tr ln nht
2
2
x= vụựi 0 < < vaứ cos =
3


7
G
S
A
C
A'
F
x
0
x
-
0
+f(x)
f(x)
A
B
C
S
LTDH GV Vế S KHUN
BI TON 14
SBT-B35 : Cho khi chúp t giỏc u S.ABCD cú khong cỏch t nh A n mp(SBC)
bng 2a.Vi giỏ tr no ca gúc gia mt bờn v mt ỏy khi chúp thỡ th tớch khi chúp
nh nht.

Gii
Gi O l tõm ca hỡnh vuụng ABCD SO (ABCD); gi E,H ln lt l trung im ca
AD v BC suy ra SE,SH l cỏc trung on ca hỡnh chúp
Vỡ AD // BC nờn AD // (SBC) d(A,(SBC)) = d(E,(SBC))
Dng EK SH thỡ EK (SBC) (vỡ (SEK) (SBC))
Vy EK = d(A,(SBC)) = 2a
Ta cú: BC SH v BCOH suy ra gúc gia
hai mt phng (SCB) v (ABC) l
ã
SHO
.
t :
ã
2
0<x<


=
ữ

SHO x
.
Ta cú:
2
sin
a a
; OH= ; SO=
sinx cosx
=
a

EH
x
Vy:
3
.
2
1 4
.
3 3cos .sin
S ABCD ABCD
a
V S SO
x x
= =
Th tớch khi chúp S.ABCD nh nht
f(x) = cosx.sin
2
x t giỏ tr ln nht
Ta cú: f(x)= -sin
3
x + 2sinx.cos
2
x = sinx(2cos
2
x sin
2
x) = sinx(2 3sin
2
x)
=

2 2
3sin sin sin
3 3

+
ữ ữ
ữ ữ

x x x
Vỡ
2
sin sin 0
2 3
0 < x <


+ >
ữ
ữ

x x
.
2
2
Goùi laứ goực sao cho sin = ,0 < <
3


Bng bin thiờn :

Vy th tớch khi chúp S.ABC t giỏ tr nh nht
khi v ch khi f(x) t giỏ tr ln nht

2
2
x= vụựi 0 < < vaứ sin =
3


BI TON 15
8
x
0
x
-
0
+f(x)
f(x)
O
D
A
B
C
S
H
E
K
LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN
Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, Gọi M là trung điểm của cạnh SC .Mặt
phẳng (P) đi qua AM nhưng luôn luôn cắt SB,SD lần lượt tại B’,D’

a) Chứng minh :
3
' '
SB SD
SB SD
+ =
B) Gọi V = V
S.ABCD
và V
1
= V
S.AB’MD’
.Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tỉ số
V
1
/V
HD:
Gọi O là tâm của hình bình hành và G = AM∩SO thì G là trọng tâm của tam giác SBD,suy
ra:
2
3
=
SG
SO
Xét tứ diện SAB’D’ và SABD :
Ta có:
' '
' '
.
SAB D

SABD
V
SB SD
V SB SD
=
Xét tứ diện SAB’G và SABO :
Ta có:
'
' 2 '
. .
3
SAB G
SABO
V
SB SG SB
V SB SO SB
= =
Xét tứ diện SAD’G và SADO :
Ta có:
'
' 2 '
. .
3
SAD G
SADO
V
SD SG SD
V SD SO SD
= =
Mà :

' ' ' 'SAB G SAD G SAB D
V V V+ =
và
1
2
SABO SADO SABD
V V V
= =
Suy ra:
' '
2 ' '
3
SAB G SAD G
SABO SADO
V V
SB SD
V V SB SD
 
+ = +
 ÷
 
' '
2 ' '
1 1
3
2 2
SAB G SAD G
SABD SABD
V V
SB SD

SB SD
V V
 
⇒ + = +
 ÷
 
' '
1 ' '
3
SAB G SAD G
SABD
V V
SB SD
V SB SD
+
 
⇒ = +
 ÷
 
' '
1 ' '
3
SAB D
SABD
V
SB SD
V SB SD
 
⇒ = +
 ÷

 
' ' 1 ' '
.
3
SB SD SB SD
SB SD SB SD
 
⇒ = +
 ÷
 
3
' '
SB SD
SB SD
⇒ + =
Ta cũng có:
. ' . '
. .
1 ' 1 '
. .
2 2
S AB M S AD M
S ABC S ADC
V V
SB SD
V SB V SD
= =
;
. ' . '
. .

1 ' '
.
2
S AB M S AD M
S ABC S ADC
V V
SB SD
V V SB SD
 
⇒ + = +
 ÷
 
9
G
M
O
D
A
B
C
S
B'
D'
LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN
. ' . ' . ' '
. . .
1 ' '
.
1 1 1
2

2 2 2
S AB M S AD M S AB MD
S ABCD S ADCD S ABCD
V V V
SB SD
SB SD
V V V
 
⇒ + = = +
 ÷
 

. ' '
1
.
1 ' '
.
4
S AB MD
S ABCD
V
V SB SD
V V SB SD
 
⇒ = = +
 ÷
 
Đặt :
' '
SB SD

x
SB SD
= ≤ ≤ ; y= (1 x;y 2)
1
1 1 1
.
4
V
V x y
 
⇒ = +
 ÷
 
với x + y = 3
1
3 3 1
.
4 4 (3 )
V
V xy x x
⇒ = =
−
1 1
1 9 3
2
3 4 8
V V
V V
⇒ = =min khi xy= ; max khi xy=
BÀI TOÁN 16

Cho tứ diện SABC có SA,SB,SC vuông góc với nhau từng đôi .Biết rằng SA = a ;
SB +SC = k (không đỏi) .Xác định SB,SC để thể tích tứ diện SABC lớn nhất
HD: Ta có:
1 1
. . ax(k-x)
6 6
V SA SB SC
= =
BÀI TOÁN 17
Cho tam giác OAB đều cạnh a.Trên đường thẳng d đi qua O và vuông góc với mp(OAB) ta
lấy điểm M với OM = x.Gọi E,F lần lượt là hình chiếu của A lên MB ,OB .Đường thẳng
EF cắt d tại N .Chứng minh AN⊥ BM và định x để thể tích tứ diện ABMN nhỏ nhất
HD:
Ta có: AF⊥ OB , AF⊥ OM ⇒ AF⊥ MB
AE⊥ MB
⇒ MB⊥ (AEF) ⇒ MB⊥ AN

1
.
3
ABMN OAB
V S MN
=
V
ABMN
nhỏ nhất ⇔ MN nhỏ nhất ⇔ OM + ON nhỏ nhất
∆OMB đồng dạng ∆OFN ⇒ OM.ON = OF.OB = a
2
/2

BÀI TOÁN 18
Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2x ,các cạnh còn lại đều bằng 1.Tìm x để diện tích toàn
phần lớn nhất
HD: S
TP
= 4S
ACD
=
2
4 1x x
−

10
O
B
A
M
F
E
N
LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN
BÀI TOÁN 19
Cho tứ diện ABCD có AB = 2x ; CD = 2y ,các cạnh còn lại đều bằng 1.Tìm x ,y để diện
tích toàn phần lớn nhất
HD:
2 2
2 1 2 1
TP
S x x y y
= − + −

Mà :
(
)
2
2 2 2
2 1 1 1x x x x− ≤ + − =
;
(
)
2
2 2 2
2 1 1 1y y y y− ≤ + − =


2 2
2 1 2 1 2
TP
S x x y y
= − + − ≤

Max S
TP
= 2 Khi x = y =
BÀI TOÁN 20
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ trong đó AA’ = a ; AB = b ;AD = c.Gọi (P) là mặt
phẳng qua C’ và không cắt hình hộp nhưng cắt các cạnh AA’,AB;AD kéo dài tại E,F,G .
a) Chứng minh :
1
AF

a b c
AE AG
+ + =
b) Xác định mp(P) sao cho thể tích tứ diện AEFG nhỏ nhất .
HD: Chọn hệ trục tọa độ: A(0;0;0) B(b;0;0) D(0;c;0) A’(0;0;a) C’(a;b;c)

Mặt phẳng (P) đi qua C’ lần lượt cắt AB,AD,AA’ tại F;G;E
Phương trình mp(P)
1
AG
x y z
AF AE
+ + =
Mà (P) qua C’ nên:
1
AF
a b c
AE AG
+ + =
Do
3
1 3 .AF.AG 27abc
AF .AF.AG
a b c abc
AE
AE AG AE
= + + ≥ ⇒ ≥

1 27abc 9
.AF.AG

6 6 2
AEFG
V AE abc= ≥ =

11
c
b
a
A
D
B
C
C'
B'
D'
A'