Dạng 2. Tìm số chưa biết trong dãy tỉ số bằng nhau potx

Dạng 2. Tìm số chưa biết trong dãy tỉ số bằng nhau.
2.1. Phương pháp chung:
+) Dạng bài tập này các em gặp rất nhiều, nó rất phong phú và đa
dạng. Bài thường cho 2 dữ kiện, cũng có khi chỉ cho 1 dữ kiện. Từ những
mối quan hệ đó ta có thể tìm được đáp án của bài, nhưng cũng có thể phải
biến đổi rồi mới sử dụng được.
+) Có thể sử dụng phương pháp ở dạng 1.
+) Lưu ý đến dấu của số cần tìm trong trường hợp có số mũ chẵn
hoặc tích của 2 số, để tránh tìm ra số không thoả mãn yêu cầu của bài.
Cũng lưu ý các trường hợp có thể xảy ra để không bỏ xót những giá trị
cần tìm.

2.2. Một số ví dụ:
Ví dụ 1. Tìm x, y khác 0 biết:
a)
x
y
=
3
4
và 2x + 5y = 10
b)
2x
3y
= -
1
3
và 2x + 3y = 7
c) 21.x = 19.y và x – y = 4
d)
x

3
=
y
7
và x.y = 84
Bài này tương đối dễ, chỉ cần áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng
nhau là tìm được ngay đáp số của bài; Nhưng trước tiên phải biến đổi tỉ lệ
thức của bài một chút cho phù hợp với mối quan hệ còn lại.
Lời giải:
a) Có
x
y
=
3
4

x
3
=
y
4
=
2x
6
=
5y
20

áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

2x
6
=
5y
20
=
2x+5y
6+20
=
10
26
=
5
13

Do đó: +)
x
3
=
5
13
suy ra x =
3.5
13
=
15
13

+)
y

4
=
5
13
suy ra y =
4.5
13
=
20
13

Vậy: x =
15
13
và y =
20
13

b) Có
2x
3y
= -
1
3

2x
-1
=
3y
3

Do đó:
2x
-1
=
3y
3
=
2x+3y
-1+3
=
7
2

Hay: +)
2x
-1
=
7
2
suy ra: 2x =
-1.7
2
 x = -
7
4

+)
3y
3

=
7
2
suy ra: y =
7
2

Vậy: x = -
7
4
và y =
7
2

c) 21.x = 19. y 
x
19
=
y
21

Do đó:
x
19
=
y
21
=
x-y
19-21

=
4
-2
= -2
Hay: +)
x
19
= -2  x = -2.19 = -38
+)
y
21
= -2  y = -2.21 = -42
Vậy: x = - 38 và y = - 42
d)
x
3
=
y
7

x
2
9

=
y
2
49

=

xy
21
=
84
21
= 4
Hay: +)
x
2
9

= 4  x
2
= 36  x =  6
+)
y
2
49

= 4  y
2
= 196  y =  14
Vậy: x = 6 và y = 14 hoặc x = - 6 và y = -14
* Cũng có em làm cách khác:
Có
x
3
=
y
7


x
y
=
3
7

mà xy = 84 ( x và y cùng dấu)
nên
x
y
. xy =
3
7
. 84  x
2
= 36  x =  6
và xy:
x
y
= 84:
3
7
 y
2
= 196  y = 14
Ví dụ 2. Tìm x, y, z biết:
a)
x
3

=
y
4
;
y
5
=
z
7
và 2x + 3y – z = 186
b) x : y : z = 3 : 5 (- 2) và 5x – y + 3z = 124
c)
y+z+1
x
=
x+z+2
y
=
x+y-3
z
=
1
x+y+z

Lời giải:
a) Chắc chắn là phải sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau nhưng
lại chưa có, hãy làm xuất hiện dãy tỉ số bằng nhau.
Có:
x
3

=
y
4

x
15
=
y
20


y
5
=
z
7

y
20
=
z
28

Do đó:
x
15
=
y
20
=

z
28
=
2x
30
=
3y
60
=
2x+3y-z
30+60-28
=
168
62
= 3
Hay: +)
x
15
= 3  x = 3.15 = 45
+)
y
20
= 3  y = 3.20 = 60
+)
z
28
= 3  z = 3.28 = 84
Vậy: x = 45 ; y = 60 ; z = 84
b) Tương tự như câu a): Có x : y : z = 3 :5 : (- 2) 
x

3
=
y
5
=
z
-2

Do đó, ta có:
x
3
=
y
5
=
z
-2
=
5x
15
=
3z
-6
=
5x-y+3z
15-5+(-6)
=
124
4
= 31

Hay: +)
x
3
= 31  x = 31.3 = 93
+)
y
5
= 31  y = 31.5 = 155
+)
z
-2
= 31  z = 31.(-2) = -62
Vậy: x = 93 ; y = 155 ; z = -62.
c) Bài chỉ cho dãy tỉ số bằng nhau chứ không cho thêm mối quan hệ
khác như những bài trước. Khác những bài trước, học sinh thấy mới lạ.
Vậy thì làm thế nào? Liệu có làm xuất hiện mối quan hệ khác từ dãy tỉ số
bằng nhau không?
Có:
y+z+1
x
=
x+z+2
y
=
x+y-3
z
=
1
x+y+z
=

(y+z+1)+(x+z+2)+(x+y-3)
x+y+z
= 2
Suy ra: x+y+z =
1
2
.
Khi đó: y+z =
1
2
- x ; x+z =
1
2
- y ; x+y =
1
2
- z
Do đó: +)
y+z+1
x
= 2 
1
2
-x+1
x
= 2  x =
1
2

+)

x+z+2
y
= 2 
1
2
-y+2
y
= 2  y =
5
6

+)
x+y-3
z
= 2 
1
2
-z-3
z
= 2  z = -
5
6

Vậy: x =
1
2
; y =
5
6
; z = -

5
6
.
Ví dụ 3. Tìm các số x, y, z biết:
x-1
2
=
y+3
4
=
z-5
6
và 5z – 3x – 4y =
50
Gặp bài này, các em không tránh khỏi băn khoăn: Tạo ra 5z, 3x, 4y
bằng cách nào đây? Vì x còn vướng -1, y vướng 3 và z vướng -5. Cứ bình
tĩnh và làm như bình thường xem sao?
Lời giải:
Có:
x-1
2
=
y+3
4
=
z-5
6
& 5z – 3x – 4y = 50

3(x-1)

6
=
4(y+3)
16
=
5(z-5)
30
& 5z – 3x – 4y = 50

3x-3
6
=
4y+12
16
=
5z-25
30
=
(5z-25)-(3x-3)-(4y+12)
30-6-16
=
50-34
8
= 2
Hay: +)
x-1
2
= 2  x – 1 = 4  x = 5
+)
y+3

4
= 2  y + 3 = 8  y = 5
+)
z-5
6
= 2  z – 5 = 12  z = 17
Vậy: x = y = 5 ; z = 17
Ví dụ 4. Tìm a, b, c biết rằng: 2a = 3b = 4c và a – b + c = 35
Đã có dãy tỉ số bằng nhau chưa? Làm thế nào để có dãy tỉ số bằng
nhau?
Lời giải:
Có: 2a = 3b = 4c 
2a
12
=
3b
12
=
4c
12
=
a
6
=
b
4
=
c
3

Khi đó:
a
6
=
b
4
=
c
3
=
a–b+c
6–4+3
=
35
5
= 7
Hay: +)
a
6
= 7  a = 7.6 = 42
+)
b
4
= 7  b = 7.4 = 28
+)
c
3
= 7  c = 7.3 = 21
Vậy: a = 42 ; b = 28 ; c = 21
Ví dụ 5. Tìm x biết:

44–x
3
=
x–12
5

Đầu bài thật đơn giản, nhưng làm như thế nào? Chỉ có mỗi một mối
quan hệ, có thể làm triệt tiêu x được không?
Lời giải:
Có:
44–x
3
=
x–12
5
=
(44–x)+(x–12)
3+5
=
32
8
= 4
Hay:
x–12
5
= 4  x – 12 = 20
 x = 20 + 12
 x = 32
Vậy: x = 32.
Ví dụ 6. Tìm a, b biết rằng:

a)
a
5
=
b
4
và a
2
– b
2
= 36
b)
a
3
=
b
4
và ab = 48
Muốn sử dụng được tính chất của dãy tỉ số bằng nhau thì phải qua
bước biến đổi đã: Phải làm xuất hiện được a
2
, b
2
ở câu a và tích ab ở câu
b. Làm được điều đó thì coi như bài toán đã được hoàn thành 90%.
Lời giải:
a) Có:
a
5
=

b
4
(a, b cùng dấu)
Suy ra:
a
2
25

=
b
2
16

=
a
2
–b
2
25–16

=
36
9
= 4
Hay:
a
2
25

= 4  a

2
= 100  a =  10

b
2
16

= 4  b
2
= 64  b =  8
Vậy: a = 10 và b = 8 hoặc a = - 10 và b = - 8.
b) Có:
a
3
=
b
4

Suy ra:
a
2
9

=
b
2
16

=
ab

3.4
=
48
12
= 4
Hay:
a
2
9

= 4  a
2
= 36  a =  6

b
2
16

= 4  b
2
= 64  b =  8
Vậy: a = 6 và b = 8 hoặc a = - 6 và b = - 8.
Ví dụ 7. Tìm x
1
, x
2
, x
3
, …, x
9

biết rằng:

x
1
–1
9
=
x
2
–2
8
=
x
3
–3
7
= … =
x
9
–9
1
và x
1
+ x
2
+ x
3
+ … + x
9
= 90

Nhìn có vẻ khó vì nhiều số chưa biết phải tìm quá. Không vấn đề gì, đã
có tính chất cuă dãy tỉ số bằng nhau đây rồi.
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

x
1
–1
9
=
x
2
–2
8
=
x
3
–3
7
= … =
x
9
–9
1
=
x
1
–1+x
2
–2+x
3

–3+…+x
9
–9
9+8+7+…+1

=




1 2 9
1 2 9
9 8 1
x x x
      
  

=
90 45
45


= 1
+)
x
1
–1
9
= 1  x
1

= 9 + 1 = 10
+)
x
2
–2
8
= 1  x
2
= 8 + 2 = 10
+)
x
3
–3
7
= 1  x
3
= 7 + 3 = 10
………………
+)
x
9
–9
1
= 1  x
9
= 1 + 9 = 10
Vậy: x
1
= x
2

= x
3
= … = x
9
= 10.
Ví dụ 8.
a) Tìm phân số có dạng tối giản
a
b
biết
a
b
=
a+6
b+9
với a, b  Z và b ≠ 0.
b) Cho phân số
a
b
. Tìm các số nguyên x, y sao cho
a+x
b+y
=
a
b
.
Lời giải:
a)
a
b

=
a+6
b+9

áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

a
b
=
a+6
b+9
=
a+6–a
b+9–b
=
6
9
=
2
3

Phân số cần tìm có dạng tối giản
a
b
=
2
3
nên phân số cần tìm có dạng
2k
3k

với k  Z và k ≠ 0.
b) Tương tự như câu a, nhưng tổng quát hơn.
Có:
a+x
b+y
=
a
b
=
a+x–a
b+y–b
=
x
y

Với
a
b
=
x
y
thì ta có thể tìm được vô số các số nguyên x, y thoả mãn.

Ví dụ 9. Tìm x, y biết:
a)
x
2
=
y

4
& x
4
y
4
= 16
b)
y
2
–x
2
3

=
x
2
+y
2
5

& x
10
y
10
= 1024
c)
2x+1
5
=
3y–2

7
=
2x+3y–1
6x

Bài này khó đây, số mũ to, có 2 số chưa biết mà chỉ có 1 mối quan
hệ. Làm bằng cách nào, làm như thế nào?
Lời giải:
a) Có thể đưa về số mũ nhỏ hơn không? Đưa về bài toán đã biết cách làm
có được không? Còn chần chừ gì nữa, cứ thử xem?
Từ
x
2
=
y
4
suy ra:
x
2
4

=
y
2
16

=
xy
8
và x, y cùng dấu (1)

Với x
4
y
4
= 16  xy =  2 (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có:
x
2
4

=
y
2
16

=
xy
8
=
2
8
=
1
4

Hay: +)
x
2
4

=
1
4
 x
2
= 1  x =  1
+)
y
2
16
=
1
4
 y
2
= 4  y =  2
Vậy: x = 1 và y = 2 hoặc x = - 1 và y = - 2
b) Có sử dụng được cách làm như ở câu a không? Tại sao lại không thử
xem? Chú ý đến dấu của x, y vì rất dễ kết luận thiếu giá trị cần tìm.
Có:
y
2
–x
2
3

=
x
2

+y
2
5
=
(x
2
+y
2
)+(y
2
–x
2
)
5+3
=
(x
2
+y
2
)–(y
2
–x
2
)
5–3


2y
2
8

=
2x
2
2



y
2
4
= x
2

 x = 
y
2

Khi đó: x
10
y
10
= (±
y
2
)
10
.y
10
= 1024  y

20
= 2
10
.1024
 y
20
= 2
20

 y =  2
Do đó: x =  1
Vậy: x = 1 và y = 2 hoặc x = –1 và y = –2
hoặc x = 1 và y = –2 hoặc x = –1 và y = 2
c) Câu này làm học sinh hoang mang bởi vị trí của x. Nhưng chính
điều đó lại là chìa khoá để mở cửa căn phòng chứa đáp án của bài.
Hãy gợi ý các em nhận về mối quan hệ giữa 2x +1, 3y – 2 và 2x + 3y – 1.
Bây giờ thì bài lại trở thành quá đơn giản với những gì có trong hành
trang của các em.

2x+1
5
=
3y–2
7
=
2x+3y–1
6x
(1)

2x+1

5
=
3y–2
7
=
2x+1+3y–2
5+7
=
2x+3y–1
12
(2)
Từ (1), (2) ta có: 6x = 12  x = 2 thay vào (1) thì y = 3
Vậy: x = 2 và y = 3.
Ví dụ 10. Tìm ba số x, y, z biết
x
3
8

=
y
3
64

=
z
3
216

(1) và x
2

+ y
2
+ z
2
= 14
Làm thế nào đây khi vừa có mũ 3 lại có cả mũ 2? Thường thì hạ bậc
xuống thấp cho dễ tính, làm điều đó với bậc 2 ở đây là không thể, còn bậc
3 thì sao?
(1) 
x
2
=
y
4
=
z
6

Suy ra:
x
2
4

=
y
2
16

=
z

2
36

=
x
2
+y
2
+z
2
4+16+36

=
14
56
=
1
4

Hay: +)
x
2
4

=
1
4
 x
2
= 1  x =  1

+)
y
2
16

=
1
4
 y
2
= 4  y =  2
+)
z
2
36

=
1
4
 z
2
= 9  z =  3
Mà theo (1) thì x, y, z cùng dấu
Nên: x = 1; y = 2; z = 3 hoặc x = –1; y = –2; z = –3.

2.3. Tiểu kết:
Dạng bài tập này tương đối phức tạp, nếu không làm và trình bày cẩn
thận thì rất dễ bị nhầm lẫn. Kiến thức thì không phải là quá khó nhưng
rất cần đến khả năng quan sát và kĩ năng biến đổi. Cũng cần đến sự khéo
léo đưa bài toán về dạng quen thuộc đã biết cách làm ở dạng 1.

2.4. Bài tập tương tự:
Bài 1. Tìm các số a, b, c, d biết:
a) a : b : c : d = 15 : 7 : 3 : 1 và a – b + c – d
b) 2a = 3b ; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30
c) 3a = 4b & b – a = 5
Bài 2. Tìm x
1
, x
2
, …, x
n–1
, x
n
biết:

x
1
a
1
=
x
2
a
2
= …… =
x
n–1
a
n–1
=

x
n
a
n

và x
1
+x
2
+ … +x
n–1
+x
n
= c

(Với a
1
, a
2
, … ,a
n–1
, a
n
khác 0 và a
1
+a
2
+ … +a
n–1
+a

n
≠ 0)

Bài 3. Tìm a, b, c, d biết:
a)
a
3
=
b
5
=
c
7
=
d
9
& a + b + c + d = 12.
b)
a
3
=
b
4
=
c
5
& a – 2b + 3c = 35.
c)
a
5

=
b
6
;
b
8
=
c
7
& a + b – c = 69.

d)
1
2
a =
2
3
b =
3
4
c & a – b = 15.
e)
a–1
2
=
b–2
3
=
c–3
4

& 2a + 3b – c = 95
Bài 4. Tìm x, y, z biết:
a)
2 3
x y

và xy = 54
b)
5 3
x y

; x
2
– y
2
= 4 với x, y > 0
c)
2 3
x y

;
5 7
y z

và x + y + z = 92
d) 2x = 3y = 5z và x + y – z = 95
e)
1 1 2
x y z
x y z

y z x z x y
    
     

g)
2 3
y z
x
 
và 4x – 3y + 2z 36
h)
1 2 3
2 3 4
x y z
  
  và x – 2y + 3z = 14
i)
4 2 3
1 2 2
x y z
 
  
và xyz = 12
k)
2 2
9 16
x y
 và x
2
+ y

2
= 100
l)
2
3
x
y

;
3
5
x
z

và x
2
+ y
2
+ z
2
= 217
m)
16 25 9
9 16 25
x y z
  
  và 2x
3
– 1 = 1
n)

5 4
x y

; x
2
– y
2
= 81 với x, y > 0
p)
2
3
x
y

và x
2
+ y
2
= 208
Bài 5. Tìm x biết:
a)
2 4
1 7
x x
x x
 

 
b)
3 5

5 7
x
x



c)
1 2
2 3
x x
x x
 

 

d)
18 17
4 16
x x
x x
 

 
e)
72 3
18 5
x
x





Bài 6. Tìm a, b, c biết
a)
3 8 5
a b c
 
và 3a + b – 2c = 14
b)
1 2 2
5 3 2
a b c
  
  và a + 2b – c = 6
c)
10 6 21
a b c
  và 5a + b – 2c = 28
d)
1 2 3
2 3 4
a b c
  
  và 2a + 3b – c = 50
e)
12 15 20 12 15 20
7 9 11
a b c a b c
  
  và a + b + c = 48

f)
2 3 4
3 4 5
a b c
  và a + b +c = 49
g)
2 3 5
a b c
 
và abc = 810
h)
6 9 18
11 2 5
a b c
  và –a + b + c = –120
i) ;
3 4 5 7
a b b c
 
và 2a + 3b – c = 186
k) ;
3 4 3 5
a b b c
 
và 2a – 3b + c = 6
l)
10 3
;
9 4
a b

b c
 
và a – b + c = 78
m)
7 5
;
20 8
a b
b c
 
và 2a + 5b – 2c = 100
n)
2 1
;
3 2
a a
b c
 
và a
3
+ b
3
+ c
3
= 99
p) 3a = 2b ; 7b = 5c và a – b + c = 32
q) 5a = 8b = 20c và a – b – c = 3