Phương pháp 7: SỬ DỤNG ĐỒNG DƯ THỨC potx

Phương pháp 7: SỬ DỤNG ĐỒNG DƯ THỨC
Giải bài toán dựa vào đồng dư thức chủ yếu là sử dụng định lý Euler và định
lý Fermat
Ví dụ 1: CMR: 2222
5555
+ 5555
2222
 7
Giải: Có 2222  - 4 (mod 7)  2222
5555
+ 5555
2222
 (- 4)
5555
+ 4
5555
(mod 7)
Lại có: (- 4)
5555
+ 4
2222
= - 4
5555
+ 4
2222

= - 4
2222
(4
3333
- 1) =





144 -
1111
32222

Vì 4
3
= 64  (mod 7)


014
1111
3

(mod 7)
 2222
5555
+ 5555
2222
 0 (mod 7)
Vậy 2222
5555
+ 5555
2222
 7

Ví dụ 2: CMR:

22533
1414
32

 nn
với  n  N
Giải: Theo định lý Fermat ta có:
3
10
 1 (mod 11)
2
10
 1 (mod 11)
Ta tìm dư trong phép chia là 2
4n+1
và 3
4n+1
cho 10
Có 2
4n+1
= 2.16
n
 2 (mod 10)
 2
4n+1
= 10q + 2 (q  N)
Có 3
4n+1
= 3.81
n

 3 (mod 10)
 3
4n+1
= 10k + 3 (k  N)
Ta có:
31021032
23533
1414



kq
nn

= 3
2
.3
10q
+ 2
3
.2
10k
+ 5
 1+0+1 (mod 2)
 0 (mod 2)
mà (2, 11) = 1
Vậy 22533
1414
32


 nn
với  n  N

Ví dụ 3: CMR: 1172
14
2

n
với n  N
Giải : Ta có: 2
4
 6 (mod)  2
4n+1
 2 (mod 10)
 2
4n+1
= 10q + 2 (q  N)

2102
2
2
14



q
n

Theo định lý Fermat ta có: 2
10

 1 (mod 11)
 2
10q
 1 (mod 11)
7272
2102
14



q
n

 4+7 (mod 11)  0 (mod 11)
Vậy
1172
14
2

n
với n  N (ĐPCM)
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: CMR
1932
26
2

n
với n  N
Bài 2: CMR với  n  1 ta có 5

2n-1
. 2
2n-1
5
n+1
+ 3
n+1
.2
2n-1
 38
Bài 3: Cho số p > 3, p  (P). CMR 3
p
- 2
p
- 1  42p
Bài 4: CMR với mọi số nguyên tố p đều có dạng 2
n
- n (n  N) chia hết cho
p.
HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ
Bài 1: Làm tương tự như VD3
Bài 2: Ta thấy 5
2n-1
. 2
2n-1
5
n+1
+ 3
n+1
.2

2n-1
 2
Mặt khác 5
2n-1
. 2
2n-1
5
n+1
+ 3
n+1
.2
2n-1
= 2
n
(5
2n-1
.10 + 9. 6
n-1
)
Vì 25  6 (mod 19)  5
n-1
 6
n-1
(mod 19)
 25
n-1
.10 + 9. 6
n-1
 6
n-1

.19 (mod 19)  0 (mod 19)
Bài 3: Đặt A = 3
p
- 2
p
- 1 (p lẻ)
Dễ dàng CM A  2 và A  3  A  6
Nếu p = 7  A = 3
7
- 2
7
- 1  49  A  7p
Nếu p  7  (p, 7) = 1
Theo định lý Fermat ta có:
A = (3
p
- 3) - (2
p
- 2)  p
Đặt p = 3q + r (q  N; r = 1, 2)
 A = (3
3q+1
- 3) - (2
3q+r
- 2)
= 3
r
.27
q
- 2

r
.8
q
- 1 = 7k + 3
r
(-1)
q
- 2
r
- 1 (k  N)
với r = 1, q phải chẵn (vì p lẻ)
 A = 7k - 9 - 4 - 1 = 7k - 14
Vậy A  7 mà A  p, (p, 7) = 1  A  7p
Mà (7, 6) = 1; A  6
 A  42p.
Bài 4: Nếu P = 2  2
2
- 2 = 2  2
Nếu n > 2 Theo định lý Fermat ta có:
2
p-1
 1 (mod p)
 2
m(p-1)
 1 (mod p) (m  N)
Xét A = 2
m(p-1)
+ m - mp
A  p  m = kq - 1
Như vậy nếu p > 2  p có dạng 2

n
- n trong đó
N = (kp - 1)(p - 1), k  N đều chia hết cho p