Toán rời rạc-Chương 1: Khái niệm cơ ban p5 pptx

TOÁN RI RC
CHNG I : KHÁI NIM C BN
LOGIC V T
Lecturer: PhD. Ngo Huu Phuc
Tel: 0438 326 077
Mob: 098 5696 580
Email:


@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
1
NI DUNG
1. Các công thc trong logic v t.
2. Dng chun tc, dng chun tc hi và dng chun tc
tuyn ca công thc.
3. Các công thc kim tra tính hng đúng và tính hng sai
ca công thc trong logic v t cp 1.
2
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
NI DUNG
1. Các công thc trong logic v t.
2. Dng chun tc, dng chun tc hi và dng chun tc
tuyn ca công thc.
3. Các công thc kim tra tính hng đúng và tính hng sai
ca công thc trong logic v t cp 1.
3
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
1.1. V T VÀ GIÁ TR CHÂN LÝ CA V T
 Biu thc P(x
1
, x

1
,…, x
n
) (n˅1, vi x
i
ly giá tr trên tp M
i

(i=1,2,…,n)) đc gi là v t n bin xác đnh trên trng
M=M
1
×M
2
×… × M
n
khi và ch khi biu thc P(x
1
, x
1
, , x
n
)
không phi là mt mnh đ hoc đúng hoc sai.
 Nu ta thay bin x
i
bi a
i
M
i
(i=1,2,…,n) ta đc P(x

1
,
x
1
,…, x
n
) là mt mnh đ hoc đúng hoc sai.
 Thng ký hiu v t bi các ch P, Q, R, F… (có th
kèm ch s) và gi là các bin v t.
 V t 1 bin đc gi là v t cp 1.
4
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
1.2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN V T 1 BIN (1/2)
Cho v t 1 bin P(x) và Q(x) trên trng M
 Ph đnh ca P(x) ký hiu là cng là 1 v t trên trng
M mà khi thay x=aM ta đc mnh đ nhn giá tr
đúng khi P(a) nhn giá tr sai và ngc li.
 Hi () v t P(x) vi v t Q(x) ta đc v t P(x)Q(x) trên
trng M mà khi thay x=aM ta đc mnh đ P(a)Q(a)
nhn giá tr đúng khi P(a) và Q(a) nhn giá tr đúng, sai trong
các trng hp còn li.
5
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
)(xP
)(aP
1.2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN V T 1 BIN (2/2)
Cho v t 1 bin P(x) và Q(x) trên trng M
 Tuyn () v t P(x) vi v t Q(x) ta đc v t P(x)Q(x)
trên trng M mà khi thay x=aM ta đc mnh đ
P(a)Q(a) nhn giá tr sai khi P(a) và Q(a) nhn giá tr sai,

đúng trong các trng hp còn li.
 V t P(x) suy ra () v t Q(x) trên trng M mà khi thay
x=aM ta đc mnh đ P(a)Q(a) đúng khi P(a) sai hoc
P(a) và Q(a) đúng. Mnh đ này sai khi gi thit P(a) đúng còn
kt lun Q(a) sai.

6
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
1.3. Ý NGHA V T THEO LÝ THUYT TP HP
 Cho P(x) là v t cp 1 trên trng M ≠ , tp tt c các
đim xM mà P(x) đúng đc ký hiu là E
P
={xM | P(x)
đúng}.
 ng vi mi v t P(x) trên trng M ta có E
P
M. Ngc
li, ng vi mi tp con EM có tn ti v t P(x) xác
đnh trên M sao cho E=E
P
.
 Gi E
P
={xM | P(x) đúng} là min đúng ca v t P(x)
trên trng M, còn =M \ E
P
là min sai ca P(x) trên
trng M. ta có:

7

@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
P
E
MEE
P
P





P
P
EE
1.4. NH NGHA CÔNG THC TRONG LOGIC V T
(1/3)
 Mi bin mnh đ X, Y, Z (có th có ch s) hoc mi
bin v t P, Q, R, F (có th có ch s) gi là công thc.
 Nu A, B là công thc thì biu thc: (AB), (AB),
(AB), cng là công thc.
 Nu A là công thc thì (x)A và (x)A cng là công thc.

Nhn xét:
 T đnh ngha ta thy, trong logic v t gm các phép toán hi
(), tuyn (), kéo theo (), ph đnh (-) đc đnh ngha nh
trong logic mnh đ.
 Trong logic mnh đ còn s dng 2 lng t: vi mi () và
tn ti ().

8

@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
A
1.4. NH NGHA CÔNG THC TRONG LOGIC V T
(2/3)
nh ngha v

và

:
 Gi s A là mt công thc xác đnh trên trng M, khi đó:
 (x)A là mt mnh đ. Mnh đ này đúng khi A đúng vi mi giá tr
x trên trng M và sai trong trng hp ngc li. Mnh đ (x)A
không ph thuc vào x và đc din đt: “đi vi mi x, A). Ký hiu
 gi là lng t vi mi (lng t ph dng).

 (x)A là mt mnh đ. Mnh đ này đúng khi và ch khi có 1 phn
t trong M đ A đúng và sai trong trng hp ngc li. Biu din
(x)A đc din đt: “tn ti x, A). Lng t  ph thuc vào x và
đc gi là lng t tn ti.
9
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
1.4. NH NGHA CÔNG THC TRONG LOGIC V T
(3/3)
Mt s nhn xét và lu ý:
 Các mnh đ (x)A, (x)A đc gi là lng t hóa ca
v t A bi lng t ph dng () và lng t tn ti ().
 Trong công thc (x)A ((x)A) thì A là min tác dng ca
lng t ph dng (lng t tn ti).
 Nu P(x) là v t xác đnh trên trng M={a
1

, a
2
,…, a
n
} thì
ta luôn có:
10
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University







   
n
n
aPaPaPxPx
aPaPaPxPx






)(
)(
21
21

1.5. CÔNG THC NG NHT BNG NHAU, CÔNG THC
HNG ÚNG, CÔNG THC HNG SAI (1/2)
 Công thc A đng nht bng công thc B (AB) trên
trng M khi và ch khi A, B cùng nhn giá tr đúng, sai nh
nhau đi vi mi b giá tr đúng, sai ca các bin mnh đ và
các v t c th có mt trong A và B.
 Công thc A là hng đúng (A1) trên trng M khi và ch
khi A luôn nhn giá tr đúng vi mi b giá tr đúng, sai ca
các bin mnh đ và các v t c th có mt trong A.
 Công thc A là hng sai (A0) trên trng M khi và ch khi A
luôn nhn giá tr sai vi mi b giá tr đúng, sai ca các bin
mnh đ và các v t c th có mt trong A.
11
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
II.1.5. CÔNG THC NG NHT BNG NHAU, CÔNG
THC HNG ÚNG, CÔNG THC HNG SAI (2/2)
 Chú ý:
 Logic mnh đ là trng hp riêng ca logic v t. Nh vy, các
công thc đng nht bng nhau, hng đúng, hng sai trong logic
mnh đ vn đúng trong logic v t.
 V t c th là v t mà các bin ca nó đc thay đi bi giá tr c
th trên trng xác đnh ca nó.
12
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
LOGIC V T
NI DUNG
1. Các công thc trong logic v t.
2. Dng chun tc, dng chun tc hi và dng chun
tc tuyn ca công thc.
3. Các công thc kim tra tính hng đúng và tính hng sai

ca công thc trong logic v t cp 1.
13
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
2.1. DNG CHUN TC (DCT)
 Cho A là mt công thc trong logic v t. Công thc B
đc gi là dng chun tc (DCT) ca A nu BA và
trong B không có phép kéo theo, các lng t

và


đu đng trc các phép toán logic , , .
 nh lý 1:
 Trong logic v t mi công thc đu có dng chun tc (DCT).
14
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
2.2. DNG CHUN TC HI (DCTH) VÀ DNG CHUN TC
TUYN (DCTT) CA CÔNG THC A
 Nu trong DCT B ca A mà phn đng sau các lng t đu
có dng chun tc hi - DCTH (dng chun tc tuyn -
DCTT) nh trong logic mnh đ thì ta nói B là DCTH (B là
DCTT) ca A.
 Chú ý:
 Di đây ch xét v t cp 1, tc v t ch cha 1 bin.
 nh lý 2:
 Trong logic v t cp 1, mi công thc đu có DCTH và DCTT.
15
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
LOGIC V T
NI DUNG

1. Các công thc trong logic v t.
2. Dng chun tc, dng chun tc hi và dng chun
tc tuyn ca công thc.

3. Các công thc kim tra tính hng đúng và tính
hng sai ca công thc trong logic v t cp 1.
16
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
3.1. BNG CÁC CÔNG THC NG NHT BNG NHAU
TRONG LOGIC V T CP 1 (1/4)
17
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
STT Công thc
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
A

A
BB
A




A
BB
A







CBACBACBA 








CBACBACBA








B

A
B
A



B
A
B
A









CABACBA 









CABACBA







3.1. BNG CÁC CÔNG THC NG NHT BNG NHAU
TRONG LOGIC V T CP 1 (2/4)
18
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
STT Công thc
10
11
12
13
14
15
16
17
18
BABA 
A
A
A


A
A
A



AA

 0
11


A
1


A
A
0 AA
A
A


1
00


A
3.1. BNG CÁC CÔNG THC NG NHT BNG NHAU
TRONG LOGIC V T CP 1 (3/4)
19
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
STT Công thc
19
20

21
22
23
24
25
26
27


ABAA 




ABAA 





AxAx 




AxAx 



 

HAxHAx 







 
HAxHAx








 
HAxHAx 







 
HAxHAx












)()()()( xQxPxxQxxPx






3.1. BNG CÁC CÔNG THC NG NHT BNG NHAU
TRONG LOGIC V T CP 1 (4/4)
20
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
STT Công thc
28
29
30
31
32
33
34







)()()()( xQxPxxQxxPx 









 


)()()()( yQxPyxxQxxPx 










 



)()()()( yQxPyxxQxxPx












 


)()()()( yQxPyxxQxxPx













 


)()()()( yQxPyxxQxxPx 









 


)()()()( yQxPyxxQxxPx













 


)()()()( yQxPyxxQxxPx 






Chú ý: Công thc H trong các công thc [23], [24], [25], [26]
không cha các v t (H là công thc trong logic mnh đ).
3.2. BNG TÍNH GIÁ TR CHÂN LÝ CA CÁC V T CP 1 VÀ
CP 2 (1/2)
21
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
Ph đnh
Mnh đ tng
đng
Khi nào ph đnh đúng? Khi nào sai?
P(x) sai vi mi x
Có mt x đ P(x)
đúng
Có mt x đ P(x) sai P(x) đúng vi mi x

)(xPx

)(xPx

)(xPx


)(xPx
Bng 1: Ph đnh các lng t mt bin và giá tr chân lý ca chúng
Mnh đ Khi nào đúng? Khi nào sai?
P(x) đúng vi mi x Có mt x đ P(x) sai
Có mt x đ P(x) đúng P(x) sai vi mi x
Bng 2: Các lng t mt bin và giá tr chân lý ca chúng

)(xPx

)(xPx
3.2. BNG TÍNH GIÁ TR CHÂN LÝ CA CÁC V T CP 1 VÀ
CP 2 (2/2)
22
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
Ph đnh Khi nào ph đnh đúng? Khi nào sai?
P(x,y) đúng vi mi cp (x,y) Có mt cp (x,y) đ P(x,y) sai
Vi mi x có mt y đ P(x,y) đúng
Có mt x vi mi y đ P(x,y)
sai
Có mt x đ P(x,y) đúng vi mi y
Vi mi x có mt y đ P(x,y)
sai
Có mt cp (x,y) đ P(x,y) đúng P(x,y) sai vi mi cp (x,y)

),( yxPyx 
Bng 3: Các lng t hai bin và giá tr chân lý ca chúng

),( yxPxy 


),( yxPyx 
 
),( yxPyx 

),( yxPyx 

),( yxPxy 
3.3. THUT TOÁN TÌM DCTH VÀ DCTT CA CÔNG THC
TRONG LOGIC V T CP 1 (PHNG PHÁP BIN I TNG
NG) (1/5)
 Bài toán:
• Input: A công thc bt k.
• Output: DCTH và DCTT ca A.
 Thut toán:
• Bc 1: Kh tt c các phép kéo theo () trong A đc công thc
A
1
(A) bng cách áp dng công thc đng nht bng nhau
( )
23
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
YXYX 
3.3. PHNG PHÁP BIN I TNG NG (2/5)
• Bc 2: a phép toán ph đnh () trong A
1
v liên quan trc tip
ti tng bin mnh đ X, Y, Z và tng bin v t P, Q, R, F có mt
trong A
1
ta đc công thc mi A

2
(A
1
A) bng vic áp dng các
công thc đng nht bng nhau:
24
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University




AxAx 




AxAx 
Y
X
Y
X



Y
X
Y
X




3.3. PHNG PHÁP BIN I TNG NG (3/5)
• Bc 3: a các ký hiu lng t  và  trong A
2
lên trc mi
phép toán ,, ta đc công thc A
3
(A
2
A
1
A) bng cách áp
dng các công thc đng nht bng nhau ([23] đn [34])


(vi H là công thc trong logic mnh đ)




Nu trong A
3
phn công thc đng sau các ký hiu lng t , ta ký
hiu qua A
0
thì A
3
 (,)A
0
.

25
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University





HAxHAx 








HAxHAx










HAxHAx 









HAxHAx





  


)()()()( xQxPxxQxxPx


  


)()()()( xQxPxxQxxPx 
  




)()()()( yQxPyxxQxxPx 











)()()()( yQxPyxxQxxPx 






  




)()()()( yQxPyxxQxxPx












)()()()( yQxPyxxQxxPx 
















)()()()( yQxPyxxQxxPx


















)()()()( yQxPyxxQxxPx 





