Toán rời rạc-Chương 3: Bài toán đếm potx

TOÁN RI RC
Lecturer: PhD. Ngo Huu Phuc
Tel: 0438 326 077
Mob: 098 5696 580
Email:

CHNG 3
BÀI TOÁN M
1
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
NI DUNG
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
2
3.1. Gii thiu bài toán.
3.2. Nguyên lý Bù tr.
3.3. Bin đi v bài toán đn gin.
3.4. Quan h gia tp hp và dãy nh phân.
3.5. H thc truy hi.
3.6. Bài tp.
3.1. Gii thiu bài toán (1/3)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
3
 Vi mt tp hp nào đó, cn đm s phn t trong tp đó.
 S dng công thc toán hc đ biu din.
 Nói chung, đ đm, thng đa v dng đã bit nh thit lp
quan h 1-1 gia chúng.
  đm, có th s dng
 nguyên lý cng,
 nguyên lý nhân hay
 nguyên lý bù tr.
3.1. Gii thiu bài toán (2/3)

@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
4
Ví d 1:
Có bao nhiêu cách xp 5 ngi đng thành mt hàng ngang
sao cho A không đng cnh B
Gii:
 m s cách xp A đng cnh B.
 Xem A và B nh mt v trí ta có 4! = 24 cách xp.
 S này cn đc nhân 2 vì A có th đng bên trái cng nh bên
phi B, nên s cách là 48.
 Mt khác tng s cách xp 5 ngi thành mt hàng ngang là 5!
= 120 cách.
 Vy s cách mà A không đng cnh B là 120 - 48 = 72 cách.
3.1. Gii thiu bài toán (3/3)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
5
Ví d 2:
Trên t x s có:
 Phn đu gm 2 ch cái ly t A đn Z ( 26 ch cái) và
 Phn sau gm 4 ch s ly t 0 đn 9 (10 ch s).
 Hi xác sut đ trúng gii đc đc là bao nhiêu?
Gii:
 S t có th phát hành: 26
2
x 10
4
= 6 760 000.
 Xác sut đ trúng gii đc đc là, nu có 1 t đc đc:
1/6 760 000  1,48×10
-7

3.2. Nguyên lý Bù tr (1/9)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
6
3.2.1. Gii thiu v nguyên lý bù tr
Gi s có 2 tp A và B, khi đó:
 S các phn t trong hp ca hai tp A và B đc tính:
 Tng các phn t ca tp A và tp B
 Tr s phn t ca giao tp A và B.
 Công thc:
N(AB) = N(A) + N(B) - N(AB).
3.2. Nguyên lý Bù tr (2/9)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
7
Ví d 1 v nguyên lý bù tr:
 Trong k thi hc sinh gii cp thành ph, mt trng PTCS có 20
hc sinh đt gii môn Toán
, 11 hc sinh đt gii môn Vn, trong
s đó có
7 em đt gii đng thi c Vn và Toán. Hi trng có
bao nhiêu hc sinh đt gii hc sinh gii?
Li gii:
 A là tp các hc sinh đt gii môn Toán.
 B là tp các hc sinh đt gii môn Vn.
 Tng s hc sinh đt gii ca trng: N(AB).
 S các hc sinh đt gii c hai môn Vn và Toán: N(A  B).
 Do vy,
N(AB) = N(A) + N(B) - N(AB) = 20 + 11 - 7 = 24
3.2. Nguyên lý Bù tr (3/9)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University

8
Ví d 2 v nguyên lý bù tr:
 Xác đnh s lng các s nguyên dng nh hn hoc bng 1000 chia ht cho 9
hoc 11?
Li gii:
 A: tp các s nguyên dng nh hn hoc bng 1000 chia ht cho 9.
 B: tp các s nguyên dng nh hn hoc bng 1000 chia ht cho 11.
 A  B: tp các s nguyên dng nh hn hoc bng 1000 chia ht cho 9 hoc 11
 A  B: tp các s nguyên dng nh hn hoc bng 1000 chia ht cho c 9 và 11.
 Lc lng ca A: [1000/9].
 Lc lng ca B: [1000/11].
 9 và 11 là hai s nguyên t cùng nhau nên s nguyên chia ht cho c 7 và 11 là s
nguyên chia ht cho 9.11=99. S các s này là [1000/99].
 T đó ta có: N(AB) = N(A) + N(B) - N(AB)
1000 1000 1000
111 90 10 191
91199




3.2. Nguyên lý Bù tr (4/9)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
9
Ví d 3 v nguyên lý bù tr:
 Gi s mt trng đi hc có 1503 sinh viên nm th nht. Trong s đó có 453 sinh
viên tham gia Câu lc b (CLB) tin hc, 267 sinh viên tham gia CLB toán hc và 99
sinh viên tham gia c hai CLB. Hi có bao nhiêu sinh viên không tham gia c CLB
toán hc cng nh CLB tin hc?
Li gii:

 S sinh viên không tham gia CLB toán hc cng nh CLB tin hc s bng tng s
sinh viên tr đi s sinh viên tham gia mt trong hai CLB.
 A: tp các sinh viên nm th nht tham gia CLB tin hc.
 B: tp các sinh viên tham gia CLB toán hc.
 Khi đó ta có N(A) = 453, N(B) = 267 và N(AB) = 99. S sinh viên tham gia hoc
CLB tin hc hoc CLB toán hc là:
N(AB) = N(A) + N(B) - N(AB) = 453 + 267 - 99 = 621.
 Do vy có 1503 - 621 = 882 sinh viên nm th nht không tham gia CLB toán cng
nh tin hc.

3.2. Nguyên lý Bù tr (5/9)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
10
3.2.2. Nguyên lý bù tr:
 Cho A
1
, A
2
, …, A
n
là các tp hu hn. Khi đó

n
1i
nkji1
kji
nji1
ji
n
1i

ii
AAANAANANAN



 )()()()(
)()(

n
1i
i
1n
AN1



3.2. Nguyên lý Bù tr (6/9)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
11
3.2.2. Nguyên lý bù tr:
H qu:
 Cho A
k
, 1 k  m là các tp con ca tp hu hn X tho
mãn tính cht k nào đó, khi đó s phn t ca X không tho
mãn bt c tính cht k nào là:
N(X) - N(A
1
A
2

 A
m
) = N - N
1
+ N
2
+(-1)
m
N
m

 Trong đó N
k
là tng s các phn t ca X tho mãn k tính
cht ly t
m tính cht đã cho.
3.2. Nguyên lý Bù tr (7/9)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
12
3.2.2. Nguyên lý bù tr:
Ví d:
 Vi trng hp có 3 tp A, B, C.
 Khi đó, s phn t ca hp 3 tp trên đc tính:
N(ABC)=N(A) + N(B) + N(C)
- N(A B) - N(A  C) - N(BC)
+N(ABC)
3.2. Nguyên lý Bù tr (8/9)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
13
Ví d:

 Bit rng có 1 202 sinh viên hc ting Anh.
 813 sinh viên hc ting Pháp.
 114 sinh viên hc ting Nga.
 103 sinh viên hc c ting Anh và ting Pháp.
 23 hc c ting Anh và ting Nga.
 14 hc c ting Pháp và ting Nga.
 Nu tt c 2 092 sinh viên đu theo hc ít nht mt ngoi
ng, thì có bao nhiêu sinh viên hc c ba th ting?

3.2. Nguyên lý Bù tr (9/9)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
14
Li gii:
 E: tp các sinh viên hc ting Anh,
 F: tp các sinh viên hc ting Pháp,
 R: tp các sinh viên hc ting Nga.
 Khi đó:
 N(E) = 1202; N(F) = 813; N(R) = 114; N(EF) = 103; N(ER) = 23;
N(FR) = 14
N(S FR) = 2092.
 N(EFR) = N(E) + N(F) + N(R) - N(ER) - N(EF) - N(FR) +
N(EFR)
 Ta có: 2092 = 1202 + 813 + 114 - 103 - 23 - 14 + N(EFR)
 Nh vy: N(EFR) = 3.
 Do vy có 3 sinh viên theo hc c ba th ting.
3.3. Bin đi v bài toán đn gin (1/13)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
15
 i vi các bài toán đm, có th ng dng nguyên lý Bù
tr đ đa v các bài toán đn gin hn.

 Trong phn này xem xét mt s bài toán:
 Bài toán b th.
 Bài toán sp khách Lucas.
3.3. Bin đi v bài toán đn gin (2/13)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
16
Bài toán b th:
 Có n lá th và n phong bì ghi sn đa ch.
 B ngu nhiên các lá th vào các phong bì.
 Hi xác sut đ xy ra không mt lá th nào b đúng đa
ch là bao nhiêu
3.3. Bin đi v bài toán đn gin (3/13)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
17
Li gii bài toán b th:
 Có tt c n cách b th.
 Cn tìm s cách b th sao cho không có lá th nào đúng
đa ch.
 Gi X là tp hp tt c các cách b th và A
k
là tính cht lá
th th k b đúng đa ch.
 Theo h qu ca nguyên lý bù tr ta có:
n
n
NNNNN )1(
21

3.3. Bin đi v bài toán đn gin (4/13)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University

18
Li gii bài toán b th (tip):
 Gi s, ly k lá th trong s n lá th và đúng đa ch, khi đó,
s cách:
 Có (n-k) cách b đ k lá này đúng đa ch.
 Vy:
 Hay:

 Do đó, xác sut:
k
n
C
!
!
)!(
k
n
knCN
k
nk












!
)(

!!
!
n
1
2
1
1
1
1nN
n
_
11 1
1 ( 1)
1! 2! !
n
N
Nn
   
3.3. Bin đi v bài toán đn gin (5/13)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
19
Bài toán sp khách ca Lucas:
 Có mt bàn tròn xung quanh có 2n gh.
 Cn sp ch cho n cp v chng sao cho các ông ngi xen
k các bà và không có cp v chng nào ngi cnh nhau.
 Hi tt c bao nhiêu cách xp?

3.3. Bin đi v bài toán đn gin (6/13)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
20
B đ 1:
 Có bao nhiêu cách ly ra k phn t trong n phn t xp trên đng
thng sao cho không có 2 phn t k nhau cùng đc ly ra?
Li gii:
 Khi ly ra k phn t ta còn n-k phn t.
 Gia n-k phn t này có n-k+1 khong trng (k c 2 đu).
 Mi cách ly ra k khong t các khong này s tng ng vi mt cách
chn k phn t tho mãn yêu cu đã nêu.
 Vy s cách cn tìm là
k
1kn
C


3.3. Bin đi v bài toán đn gin (7/13)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
21
B đ 2:
 Có bao nhiêu cách ly ra k phn t trong n phn t xp trên đng tròn
sao cho không có 2 phn t k nhau cùng đc ly ra?
Li gii:
 Gi s tp các phn t trên là {a
1
, a
2
,. . . , a
n

}, c đnh
phn t
a
1
trong n phn t chia các cách ly thành 2 lp:
 Lp 1. Các cách mà a
1
đc chn khi đó 2 phn t k a
1
là a
2
và a
n

s không đc chn và ta phi ly k-1 phn t t n-3 phn t còn li.
Các phn t này đc xem nh trên đng thng. Theo b đ 1 s
cách thuc lp này là
1
1


k
kn
C
3.3. Bin đi v bài toán đn gin (8/13)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
22
Li gii (tip):
 Lp 2. Các cách mà a
1

không đc chn, khi đó b a
1
đi ta đa v
bài toán ly k phn t t n-1 phn t xp trên đng thng. theo b
đ 1 s cách thuc lp này là


 Vy theo nguyên lý cng s cách cn tìm là
k
k
n
C

k
kn
k
kn
k
kn
C
kn
n
CC





1
1

3.3. Bin đi v bài toán đn gin (9/13)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
23
Li gii bài toán Lucas:
 Gi s cách phi tìm là M
n
.
 Thc hin vic xp cho các bà trc (c mt gh xp thì
mt gh đ trng dành cho các ông).
 S cách xp cho các bà là 2n!.
 Gi s cách xp các ông ng vi mt cách xp các bà là U
n

ta đc s cách xp là :
M
n
=2n! × U
n

 Vy, U
n
= ?
3.3. Bin đi v bài toán đn gin (10/13)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
24
Li gii bài toán Lucas (tip):
 ánh s các bà (đã xp) t 1 đn n.
 ánh s các ông tng ng vi các bà (ông i là chng bà i).
 ánh s các gh trng theo nguyên tc:
 gh s i nm gia bà i và bà i+1 (chú ý vì sp tròn: n+1=1).

 Mi cách xp các ông đc biu din bng mt phép th  t
tp (1,2, ,n) vi quy c:

遡
兄噺啓 có ngha: gh i đc xp cho ông j.
 Theo đu bài,  phi tho mãn (i)i và (i)  i+1(*).
 Nh vy U
n
là s tt c các phép th  tho mãn điu kin (*).
3.3. Bin đi v bài toán đn gin (11/13)
@Copyrights by Dr. Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University
25
Li gii bài toán Lucas (tip):
 Xét tp hp tt c các phép th  ca {1,2, ,n}.
 Trên tp này, gi

P
i
là tính cht (i) = i và

Q
i
là tính cht (i) = i+1.
 Nh vy, tng s tính cht là 2.n, theo nguyên lý bù tr :
U
n
= 窪
拍
= n! - N
1

+ N
2
-
 Trong đó N
k
là tng s tt c các phép th tho mãn k tính
cht ly t 2n tính cht đang xét.