Tuyền tập một số bài toán dãy số thi học sinh giỏi doc

Gv: Nguyễn Nhuận Trờng THPT Yên Thành 3

Tuyển tập một số bài toán dãy số thi hsg
Bài1) Tính tổng:
2
1n2

2
5
2
3
2
1
S
n32



giải:
Đặt
n32
n
2
1n2

2
5
2
3
2
1

S


1n32
n
2
1n2

2
7
2
5
2
3
1S2



nn
1n
n2n2
n
2
3n2
3
2
1n2
2
1
1

2
1
1.1
1
2
1n2
2
1

2
1
2
1
11S

.
Vậy S = 3Slim
n
n


.

Bài 2) Cho dãy (u
n
) với ;
7
13
u;
5
10
u;
3
7
u
321
Chứng minh rằng khi n

dãy có giới
hạn là
2
3
.
Giải.

Mỗi số hạng của dãy là một phân thức, các mẫu thức lập thành CSC có u
1
= 3, d = 2 số hạng
tổng quát w
n
= 3 + (n 1).2 = 2n + 1, n = 1, 2, các tử thức lập thành CSC có u
1
= 7, d = 3
số hạng tổng quát v
n
= 7 + (n 1).3 = 3n + 4, n = 1, 2,
Vậy
1n2
4n3
w
v
u
n
n
n


, n = 1, 2,
2
3
1
n
2
4n3
limLimu

n



.

Bài 3. Cho CSC a
1
, a
2
, và CSN b
1
, b
2
, thỏa mãn:
a
1
= b
1
; a
1
+ a
2
= 2b
2
; a
1
+ a
2
+ a

3
= b
1
+ b
2
+ b
3
. Tìm 2 cấp số đó.

Giải. gt a
1
= b
1
; a
2
= 2b
2
b
1
; a
3
= b
1
b
2
+ b
3
và a
1
+ a

3
= 2a
2
nên 2b
1
b
2
+ b
3
= 4b
2
2b
1

4b
1
5b
2
+ b
3
= 0 (*).
Mặt khác: b
1
, b
2
, là CSN nên b
2
= qb
1
, b

3
= q
2
b
1
, thay vào (*)
b
1
(q
2
5q + 4) = 0 b
1
= 0 q = 1 q = 4. Từ đó tìm đợc các cấp số là:
CSC: b
1
, b
1
, ; CSN: b
1
, b
1
, Hoặc CSC: b
1
, 7b
1
, 13b
1
,; CSN: b
1
, 4b

1
, 16b
1
,

Bài 4. Cho 2 dãy số (u
n
) và (v
n
) thỏa mãn:
u
1
= 1995, v
1
= 1997,
nn
nn
1nnn1n
vu
vu2
v),vu(
2
1
u



, n = 1, 2,
Gv: Nguyễn Nhuận Trờng THPT Yên Thành 3
Chứng minh rằng:

n
2
1n1n
2
2
vu
n


, n 1.
Giải. gt u
n
> 0, v
n
> 0 n = 1, 2,
Ta có: u
n + 1
v
n + 1
= 0
)vu(2
)vu(
vu
vu2
)vu(
2
1
nn
2
nn

nn
nn
nn





, n = 1, 2,
u
n + 1
> v
n + 1
, n = 1, 2, 1
)vu(2
vu
0
nn
nn



, n = 2, 3,

nn
nn
2
nn
vu
)vu(2

)vu(



, n = 2, 3,
u
n + 1
v
n + 1
< u
n
v
n
< < u
2
v
2
= 1
1996
1
)19971995(2
4
)vu(2
)vu(
11
2
11

.
Mặt khác, dễ thấy 1
2
2
n
2
n
. Từ đó suy ra đ.p.c.m.

Bài5. Cho dãy số (u
n
) thỏa mãn:
u
0
= 2, u
1
= 6, u
n + 1
= 6u
n
+ 2u
n 1
, n 1.
Tìm công thức tính u
n
theo n.

Giải

Phơng trình đặc trng của dãy số là: x
2
= 6x + 2 có 2 nghiệm phân biệt :
113x,113x
21
. Ta chứng minh:
nn
n
)113()113(u , n = 0, 1, 2,
Thậy vậy: Với n = 0: 2)113()113(u
00
0
đúng
Với n = 1: 6)113()113(u
11
1
đúng.
n 1, ta có:
6u
n
+ 2u
n 1
=
1n1nnn
)113(2)113(2)113(6)113(6

=
= )11620()113()11620()113(
1n1n

=
=
1n
1n1n
u)113()113(


(đ.p.c.m).

Bài 6. Dãy số (u
n
) đợc xác định nh sau:
a) u
1
= a; u
2
= b (a, b R, a < b)
b) )uu(
2
1
u
2n1nn
.
Chứng tỏ rằng tồn tại giới hạn của dãy và tìm giới hạn đó theo a, b.
Giải.
Gv: Nguyễn Nhuận Trờng THPT Yên Thành 3
)uu(
2
1

u
2n1nn
)uu(
2
1
uu
2n1n1nn
(1).
Đặt v
n 1
= u
n
u
n 1
, n 2 v
1
= u
2
u
1
= b a.
Từ (1)
2n1n
v
2
1
v

(v
n

) là CSN có công bội
2
1
q . Do đó:
1n1n
1n
2
1
)ab(
2
1
vv














.
Ta có: u
n
= (u

n
u
n 1
) + (u
n - 1
u
n 2
) + + (u
2
u
1
) + u
1
=
= v
n 1
+ v
n 2

+ + v
1
+ u
1
=
1n
1
1n
1
2
1

)ab(
3
2
3
ab2
u
2
1
1
2
1
1
v

.
Vì

3
ab2
0
2
1
lim
1n

n
ulimnnê
.
Bài 7. Cho dãy số xác định bởi

căn dấu n
n
a aau với a > 0. Chứng minh dãy đã cho có
giới hạn. Tìm lim u
n
.

Giải.
Từ công thức xác định dãy suy ra:
1nn1
uau;au

, n 2.
n = 2, 3, ta có:
1n

1nn
n
ua aaa aau




căn dấu căn dấu
.
Mặt khác:
2
a411
u
n

(*) n = 1, 2, Thậy vậy:
2
a411
au
1

. Giả sử (*) đúng
đến n 1, ta có:
2
a411
2
a411
auau
1nn

, tức (*) đúng n = 1, 2,
u
n
tăng và bị chặn trên tồn tại lim u
n
= L. Khi đó: L > 0 và LaL

2
a411
L

. Vậy lim u
n
=
2
a411
L

.

Bài 8. a) Cho dãy số u
1
, u
2
, , u
n

, có tất cả các số hạng khác 0 và thỏa mãn:
k1k1k3221
uu
1k
uu
1

uu
1
uu
1



, k 3 (*).
Chứng minh dãy đã cho là cấp số cộng.
Gv: Nguyễn Nhuận Trờng THPT Yên Thành 3
b) Cho dãy số thực (u
n
) đợc xác định u
1
= a, u
2
= b, )uu(
2
1
u
2n1nn
, n 3. Chứng minh tồn
tại lim u

n
và tính giới hạn đó theo a, b.
Giải.
a) Viết (*) dới dạng:
313221
uu
2
uu
1
uu
1
;
41433221
uu
3
uu
1
uu
1
uu
1
; ;
n1n1n3221
uu
1n
uu
1

uu
1

uu
1



.
Hay:
313221
uu
2
uu
1
uu
1
(1) ;
414331
uu
3
uu
1
uu
2
(2) ; ;
n1n1n1n1
uu
1n
uu
1
uu
2n

(n 2).
Từ (1) u
1
+ u
3
= 2u
1
u
1
, u
2
, u
3
lập thành CSC, gọi d là công sai của CSC này. Từ (2) 2u
4

+ u
1
= 3u
3
2u
4
= 3(u
1
+ 2d) u
1

= 2(u
1
+ 3d) u
4
= u
1
+ 3d. Suy ra u
1
, u
2
, u
3
, u
4
lập thành
CSC.
Giả sử đã chứng minh đợc: u
n-1
= u
1
+ (n 2)d (**).
Từ (n 2) (n 2)u
n
+ u
1
= (n 1)u
n 1
, kết hợp (**) (n 2)u
n
= (n 1)[u

1
+ (n 2)d] u
n

= u
1
+ (n 1)d. Vậy theo nguyên lý qui nạp suy ra: u
n
= u
1
+ (n 1)d n = 2, 3, Điều đó
chứng tỏ u
1
, u
2
, , u
n
, lập thành CSC (đ.p.c.m).
b) Xem bài 6

Bài 9. Tìm giới hạn của tổng dãy số sau:

5
.
4
1
4
.
3
1

3
.
2
1
2
.
1
1
S
Giải. a) Đặt
)1n(n
1

4.3
1
3.2
1
2.1
1
S
n


.
Ta dễ dảng tìm đợc
1
n
1
1S
n

. Từ đó 1
1n
1
1limSlimS
n








.
Bài 10. Cho số thực > 2 và dãy số thực dơng



1n
n
a thỏa mãn điều kiện:
1n21n
a aaa


, với mọi n 2.
Chứng minh dãy

1n
n
n
a
có giới hạn khi n và tìm giới hạn đó.
Giải
Ta có:



nnnn211n
aaaa aaa hay a
2
< a
3
< a
4
<
Gv: Nguyễn Nhuận Trờng THPT Yên Thành 3

n1n1n211nnn
a)2n(aa)1n(aa aaaaa

n
a hay (*)
+) Nếu a
1
< 1 thì 1a1a1aa
n212



Từ (*) 1naa)1n(a)2n(aa
1
nnnnn




21
1
n
n
n
1
1
n
1n
n
a
0

. Vì 0
n
a
lim0
n
n
1
1
lim
1
n
n
2
n

n nê .
+) Nếu a
1
1 thì a
n
> 1, n 2
Từ (*) suy ra
11
1
1
n
1
1
1
n
n
2n
n
a
n
2n
an

a
n
a
0












.
0
n
a
0
n
2n
n
a
lim
1
n
11
1

n



















n
lim n nê .

Bài 11. Cho dãy số
n
(u )
đợc xác định nh sau:
1
2
n 1 n n

u 0
u 5u 24u 1, n 1,2









Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số nguyên.
Giải.
Từ giả thiết ta có:
2
n 1 n n
u 5u 24u 1


(1) và u
2
= 1.
2 2 2 2 2
n 1 n 2 n n 1 n n 1 n n 1 n
(1) u 25u 10u .u 24u 1 u u 10u .u 1 0 (2)


Trong (2) thay n bởi n -1 ta đợc:
2 2 2 2
n n n 1 n 1 n 1 n n 1 n

u 10u .u u 1 0 u 10u .u u 1 0 (3)


Từ (2) và (3) suy ra u
n+1
và u
n-1
là 2 nghiệm của phơng trình
2 2
n n
t 10u t u 1 0


Theo dụng định lí Vi-et, ta có:
n 1 n 1 n n+1 n n 1
u u 10u hay u 10u u


(4)
Từ u
1
= 0; u
2
= 1 và (4) ta suy ra các số hạng của dãy đã cho đều là số nguyên

Bài 12. Cho dãy số (u
n
) với u
n
= -n

4
+ 8n
3
0,5n
2
+ 4n, với n N
*
. Tìm số hạng lớn nhất của dãy số
đã cho.

Giải.
a) Xét hàm số f(x) = -x
4
+ 8x
3
0,5x
2
+ 4x, x 1.
Ta có: f(x) = -4x
3
+ 24x
2
x + 4.
Nếu x 6 thì f(x) = 4x
2
(6 x) + (4 x) < 0;
Gv: Nguyễn Nhuận Trờng THPT Yên Thành 3
Nếu x 5 thì f(x) = 4x
2
(5 x) + 4x

2
x + 4 > 0
Suy ra bảng biến thiên của f(x):
Từ BBT suy ra u
n
lớn nhất n = 5 hoặc n =
6.
Ta có: u
5
= 382,5; u
6
= 438.
Vậy số hạng lớn nhất của dãy là:
u
6
= 438.








Bài 13. Cho dãy {u
n
}:

1n,
u21
u2
u
2u
n
n
1n
1

Chứng minh {u
n
} không tuần hoàn.
Giải.
Đặt tg = 2, (0 ;
2

). Ta dễ dàng chứng minh đợc rằng u
n
= tgn, n 1.
Giả sử {u
n

} tuần hoàn chu kỳ T, tức là: u
n + T
= u
n
n tg(n + T) = tgn, n sinT = 0 tgT =
0 u
T
= 0.
n ta có: u
2n
= tg2n =
2
n
n
2
u1
u2
ntg1
tgn2




(*)
Vì vậy nếu u
2n
= 0 thì u
n
= 0.
Viết T dới dạng T = 2

k
(2s + 1), k, s nguyên 0. Vì u
T
= 0 nên sử dụng (*) k lần ta đi đến u
2s + 1
= 0, mà
s
s
1s2
u21
u2
u




nên từ u
2s + 1
= 0 u
2s
= -2. Sử dụng (*) suy ra:
01uu1
u1
u
s
2
s
2
s
s

u
s
là số vô tỉ (vì PT X
2
X 1 = 0 có nghiệm vô tỉ).
Mặt khác, do u
1
= 2 và từ
n
2
n
1n
u21
u2
u




suy ra mọi số hạng của dãy đều hữu tỉ. Mâu thuẩn. Vậy {u
n
}
không tuần hoàn.


Bài 14. Ký hiệu [x] là phần nguyên của x và {x} = x [x] là phần thập phân của x.
Tìm })22{(lim
n

x


.
Giải.
+


x

f(x)

f(x)

1

5

6

+

_

Gv: Nguyễn Nhuận Trờng THPT Yên Thành 3
n N, ta có: 2yx)22(,2yx)22(
nn
với x, y Z (dễ dàng chứng minh
bằng qui nạp)
Suy ra:

nn
)22()22( Z n N.
Mặt khác: Để ý nếu a Z và 0 < d < 1 thì [a + d] = a, ta có:
])22(11)22()22[(])22[(
nnnn
,
Vì 1)22()22(
nn
Z và 1)22(10
n
(do 1)22(0
n
) nên
1)22()22(])22[(
nnn
.
Do đó:
nnnn
)22(1])22[()22(})22{( .
Vì 0)22(lim
n
n


nên 1})22{(lim
n
n


.

Bi 15
Tớnh:
2 2 2 3 2 2
2 3
1 1 1 1

4 cos 4 cos 4 cos 4 cos
2 2 2 2
n
n
n
S
a a a a

Giải:
2
2 2
2 2 2 2 2
2 2
2 1 2 2
1
2
2
1 1 1
sin
4 cos 4sin
2 2

1 1 1
4 cos 4sin 4 sin
2 2 2

1 1 1
4 cos 4 sin 4 sin
2 2 2
1 1
sin
4 sin
2
n n n
n n n
n
n
n
a a
a
a a a
a a a
S
a
a

Cõu 16. Cho dóy s (U
n
) xỏc nh bi U
n
=


n
2 3
. Chng minh rng [U
n
] l mt s l vi mi n (ký
hiu [U
n
] l phn nguyờn ca U
n
).

Ta cú
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 sin cos 4 1 4 1
(1)
cos sin sin cos sin 2 cos sin 2 sin
x x
x x x x x x x x

Thay x trong (1) ln lt bi
2
; ; ;
2 2 2
n
a a a
thỡ ta cú:
Gv: NguyÔn NhuËn Trêng THPT Yªn Thµnh 3
Giải:
Ta có:
 


 

n
n
k n k k
n
k 0
2 3 C 2 ( 3)


 


  

k
n

n
k k n k
n
k 0
2 3 ( 1) C 2 ( 3)

   


      

n
n n
k
k k n k
n
k 0
2 3 2 3 (1 ( 1) )C 2 3


n
k
k n k
n
k sè ch¨n, k=0
2C 2 3 2.m víi m N


  


Do 0 < 2 -


      
n
*
3 1 0 2 3 1 n N

Mặt khác:








 
        
 
 
n n n n
2 3 2 3 2 3 1 1 2 3

Mà


 
   

 
 
n
0 1 2 3 1

Suy ra






 
       
 
 
n n n
2 3 2 3 2 3 1 2.m 1
là số lẻ




Bài 17:
Cho dãy số (a
n
) , a
1
= 1 và
n 1 n

n
1
a a
a

 
. Chứng minh:
n
n
a
lim 2
n


.

Gi¶i:

n n 1 n 1
2 2 2 2
k 1 k i j
2 2
i 2 j 1 j 1
k j
1 1
a a 2 a a 2(n 1).
a a
 

  

       
  


n 1
2
n
2
j 1
j
1
a 2n 1 .
a


  

Vy a
n
>
2n 1 , n 2.
  


2
k
4 2 2
k
1 1 1 1 1 1 1
a 2k 1 k 2

a (2k-1) (2k-1) 1 4k(k+1) 4 k 1 k
 
         
 
 
 
.
 Suy ra:
n 1 n 1
4 4
k 2 j 1
k j
1 1 1 1 1 1 5
(1 ) 1
a 4 n 1 4 a 4 4
 
 
      

 
.
 Suy ra:
n 1 n 1
2 4
j 1 j 1
j j
1 1 5
(n 1) (n 1) (n 2).
a a 4
 

 
    
 

 Vậy:
2
n
5(n 1)
a 2n 1 (n 2)
2

   
.
Gv: Ngun Nhn Trêng THPT Yªn Thµnh 3
 Suy ra:
n
n
5(n-1) 5(n-1)
a1
n 2; 2n-1<a < 2n-1+ 2- < 2n-1+
2 n 2
n
   .
 Do đó:
n
n
a
lim 2
n


.
Bµi 18.
Cho dãy số (
n
x ) thỏa : )1(
1
2006
1,1
11




n
x
xx
n
n
.
Chứng minh dãy số (
n
x ) có giới hạn và tìm giới hạn ấy.

Giải
2 3
2006 2006
1 1004; 1
2 1005
    x x
Hàm số

2006
( ) 1
1
 

f x
x
liên tục và nghịch biến trên [0,+),
1 ( ) 2007
 
f x
Ta có
1
2006
1 ( ),
1

   

n n
n
x f x n
x

( )
n
x
bị chặn
1 3 1 3 2 4 2 4 3 5
( ) ( ) ( ) ( )

         
x x f x f x x x f x f x x x
suy ra dãy
2 1
( )

n
x đồng biến và dãy
2
( )
n
x
nghịch biến suy ra
2 1 2
( ),( )

n n
x x
là các dãy hội tụ.
Giả sử
2 2 1
lim ;lim ( , 1)

  
n n
x x
   

Từ
2 1 2 2 1 2

( ) lim lim ( ) ( )
 
    
n n n n
x f x x f x f
 

Từ
2 2 2 1 2 2 2 1
( ) lim lim ( ) ( )
   
    
n n n n
x f x x f x f
 

Giải hệ phương trình
2006
1
1
2007
2006
1
1

 



  



 




 


. Vậy
lim 2007

n
x