CHƯƠNG I: BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC pot

2
CHNGI:
BINILNGGIC
Bi1:Cho
2 2 1 2
2 1
tan tan 2 tan tan 2 tan tan
2 2 2 2 2
n
n
n n
a a a a a
S a
-
-
= + + + .Tỡmlim
n
n
S
đƠ
Gii:
Tacú
2
2 tan
tan 2
1 tan
x
x
x
=
-

2
tan 2 tan 2 tan 2tanx x x x - =
2
tan tan 2 tan 2 2tanx x x x = - (1)
Thayvo(1)ricngvtheov,ta c:
2
2 2
2 2
2 2 2 3
3 2 2 3
1 2 1
1 1
tan tan tan 2tan
2 2
2 tan tan 2 tan 2 tan
2 2 2 2
2 tan tan 2 tan 2 tan
2 2 2 2

2 tan tan 2 tan 2 tan
2 2 2 2
n n n
n n n n
a a
a a
a a a a
a a a a
a a a a
- -
- -

ỡ
= -
ù
ù
ù
= -
ù
ù
ù
+ = -
ớ
ù
ù
ù
ù
= -
ù
ù
ợ
tan 2 tan
2
n
n
n
a
S a = -
lim tan lim 2 tan
2
n
n

n
n n
a
S a
đƠ đƠ
ổ ử
ị = -
ỗ ữ
ố ứ
tan
n
S a a = -
Bi2: Cho
2
cos cos cos
2 2 2
n
n
x x x
P = .Tỡm lim
n
n
P
đƠ
Gii:
T
sin 2
sin 2 2sin cos cos
2sin
a

a a a a
a
= ị =
2
2
2
3
3
1
sin
sin
2
co s , co s
2 2
2 sin 2 sin
2 2
sin
2
co s ,
2
sin
2
s in
2
co s
2
2 sin
2
n
n

n
x
x x x
x x
x
x
x
x
x
x
-
ỡ
ù
= =
ù
ù
ù
ù
ù
ù
=
ớ
ù
ù
ù
ù
ù
=
ù
ù

ợ
3
Nhõnvtheovtac:
sin
2 sin
2
n
n
n
x
P
x
=
ị
sin
lim lim
2 sin
2
n
n n
n
n
x
P
x
đƠ đƠ
=
sin
lim
sin

2
2
n
n
n
x
x
x
x
đƠ
=
ổ ử
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ố ứ
=
sin x
x
Bi3:Rỳtgnbiuthc:
2 2 2 2
n
n
A = + + +
14444244443
Gii:
Tacúvin=1:
1
2 2cos
4

A

p

= =
Taschngminh: 2cos
2
n
n
A

p

= (*)
Vin=1,ngthcỳng
Gis(*)ỳngtin=k,tcl:
2cos
2
k
k
A

p

=
Tachngminh(*)ỳngvin=k+1,tcl
1
1
2cos
2

k
k
A

p

+
+
=
Thtvy:
1
1
2 2 2
k
k
A
+
+
= + +
1442443
2
k
A = +
= 2(cos2 cos
2
k

p
p
+

1 1
4cos( )cos( )
2 2
k k

p p
p p

+ +
= + -
1
2cos
2
k

p

+
= (pcm)
Vytheonguyờnlớquynp,tacú :
2cos
2
n
n
A

p

=
4 

Bài4: Chovài(hoặctấtcả)cácsố
1 2 3
, , , ,
n
a a a a bằng+1vàcácsốcònlạicủachúngbằng1.
Chứngtỏrằng:
1 2 3 1 2 3
1 2
1
2 1
1 2 3

2sin 45
2 2 2
2 2 2 2
n
n
n
a a a a a a aa a
a
a a a a
-
æ ö
+ + + +
ç ÷
è ø
= + + + +
o
Chẳnghạnvới
1 2 3

1
n
a a a a = = = = = tađược:
1 1
1 1 1 45
2sin(1 )45 2cos 2 2 2
2 4 2 2
n n
n
- -
+ + + + = = + +
o
o
1442443
Giải:
Tasẽtiếnhànhtừcôngthứcnửagóc:
2sin 2 2cos
2

a
a
= ± - trongđódấu“+”hoặc”–“đượcchọnchophùhợpvớiquiluậtvề
dấucủahàmsin.Sửdụngcôngthứcnàytalầnlượtđịnhđượcsincácgóc:
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 1 2 1 2
1 1 1 1
2 2 1

45 ; 45 ; 45 ; ; 45
2 2 2 2 2 2

n
n
a a a a a a a a a a
a a a a a a
a a a a
-
æ ö æ ö
æ ö
+ + + + + + +
ç ÷
ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
o o o o
Giảsửtađãxácđịnhđượcsingóc:
1 2 3 1 2 3
1 2
1
2 1

45
2 2 2
n
n
a a a a a a a
a a
a
-
æ ö
+ + + +
ç ÷

è ø
o
trongđó
1 2 3
, , , ,
n
a a a a lấycácgiátrịbằng+1hoặc1bởi
vì:
1 2 3 1 2 3
1 2
1
2 1

2 45
2 2 2
n
n
a a a a a a a
a a
a
-
æ ö
+ + + +
ç ÷
è ø
o
=
1 2 3 1 2 3
1 2
1

2 1

90 45
2 2 2
n
n
a a a a a a aa a
a
-
é ù
æ ö
± ± + + + +
ç ÷
ê ú
è ø
ë û
o o
trongđódấu“+”tươngứngvớia=1vàdấu”–
“ứmgvớia=1
Và
1 2 3 1 2 3
1 2
1
2 1

cos 90 45
2 2 2
n
n
a a a a a a aa a

a
-
é ù
æ ö
± ± + + + +
ç ÷
ê ú
è ø
ë û
o o
1 2 3 1 2 3
1 2
1
2 1

sin 45
2 2 2
n
n
a a a a a a a
a a
a
-
æ ö
= - + + + +
ç ÷
è ø
o
Ápdụngcôngthức 2sin 2 2cos
2

a

= ± - , tacó:
1 2 3 1 2 3
1 2
1
2 1

2sin 45
2 2 2
n
n
a a a a a a a
a a
a
-
æ ö
+ + + +
ç ÷
è ø
o
1 2 3 1 2 31 2
1
2 1

2 2sin 45
2 2 2
n
n

a a a a a a aa a
a
-
æ ö
= ± + + + + +
ç ÷
è ø
o
Để ý rằng tất cả các góc được xét đều nhỏ hơn 90
o
về mặt giá trị tuyệt đối ( ngay cả
2
1 1 1 1
1 45 90 90 90
2 2 2 2
n n
æ ö
+ + + + = - <
ç ÷
è ø
o o o o
vàvìdấucủacácgócnàyđượcđịnhbởidấucủa
1
a ,nên
cănbậchaitrongcôngthứccuốiphảilấydấu“+”hoặc”–“tùytheodấucủa
1
a .Nóicáchkhácta
cóthểviết:
5 
1 2 3 1 2 3

1 2
1
2 1

2sin 45
2 2 2
n
n
a a a a a a a
a a
a
-
æ ö
+ + + +
ç ÷
è ø
o
1 2 3 1 2 31 2
1 1
2 1

2 2sin 45
2 2 2
n
n
a a a a a a aa a
a a
-
æ ö
= + + + + +

ç ÷
è ø
o
Giờtahãydùngcôngthứchiểnnhiên
1 1
2sin 45 2a a =
o
giúptasuyraliêntiếpcáchệthứcsau:
1 2
1 1 2
2sin 45 2 2
2
a a
a a a
æ ö
+ = +
ç ÷
è ø
o
1 2 3
1 2
1 1 2 3
2
2sin 45 2 2 2
2 2
a a a
a a
a a a a
æ ö
+ + = + +

ç ÷
è ø
o
……………………………………………
1 2 3 1 2 3
1 2
1
2 1
1 2 3

2sin 45
2 2 2
2 2 2 2
n
n
n
a a a a a a aa a
a
a a a a
-
æ ö
+ + + +
ç ÷
è ø
= + + + +
o
Bài5:Tìmđiềukiệnđốivớiavàbđểhàmsố:
2 sin cosy x a x b x = + + luônđồngbiến
Giải:
Hàmsốcótậpxácđịnh D R =

Cóđạohàm ' 2 cos siny a x b x = + -
Trườnghợp1: 0 ' 2 0a b y = = Þ = >
x R " Î
Điềunàythỏamãnyêucầuđề bài
Trườnghợp2:
2 2
0a b + >
Tacó:
2 2
2 2 2 2
' 2 cos sin
a b
y a b x x
a b a b
æ ö
= + + -
ç ÷
+ +
è ø
Với
2 2
2 2
cos
sin
a
a b
b
a b

j

j

ì
=
ï
+
ï
í
ï
=
ï
+
î
( )
2 2
' 2 cosy a b x
j
= + + +
vì
( )
1 cos 1x
j
- £ + £ nên
( )
2 2 2 2 2 2
2 2 cos 2a b a b x a b
j
Û - + £ + + + £ + +
Đểhàmsốluônđồngbiến:
' 0y Û ³

x R " Î
2 2
2 0a b Û - + ³
2 2
2a b Û + £
2 2
4a b Û + £
Kếiluận
2 2
4a b + £
(chúý
2 2
4a b + £ vẫnđúngkhi
0a b = =
)
6 
Bài6:
Chohàmsố
3
4y x mx = - .Tínhmđể 1y £ khi 1x £
Giải:
Thuận:vì 1x £ nêntachọn:
* 1 4x y m = Þ = -
Theogiả thiết 1y £ 4 1m Þ - £
Þ 1 4 1m - £ - £
Þ3 5m £ £
(1)
Theogiảthiết 1
2
1

1 £
-
Þ £
m
y
31
212
21
£ £ - Þ
£ - £ - Þ
£ - Þ
m
m
m
Kếthợp(1)và(2)suyram=3
Đảo:vớim=3 xxy 34
3
- = Þ
Theogiảthiết 1 £x

a a
 cos: = Î $ Û xR
Vậy
a a
 cos3cos4
3
- =y
13cos
3cos
£ = Û

= Û

a
a

y
y
Kếtluậnm=3
Bài7:Chứngminhrằngnếu )cos()sin( baam = = + trongđo

p
kba ¹ -
và
1 ¹m
thìbiểuthức
bmam
E
2sin1
1
2sin1
1
-
+
-
= khôngphụthuộcvàoavàb
Giải:
Tacó: )]()sin[(2sin babaa - + + =
)sin()cos()(sin
)sin()cos()cos()sin(
2

bababam
babababa
- + + + =
- + + - + =
)]cos())[sin(sin(
)sin()cos()(sin
)sin()cos()(cos1
)sin()cos()(sin12sin1
2
2
22
bambaba
babamba
babamba
babambamam
+ - - - =
- + - - =
- + - - - =
- + - + - = - Þ
Tươngtự )]cos())[sin(sin(2sin1 bambababm + + - - = -
1 1
sin( )[sin( ) cos( )] sin( )[sin( ) ( )]
1 1 1
sin( ) sin( ) cos( ) sin( ) cos( )
E
a b a b m a b a b a b mco a b
a b a b m a b a b m a b
= +
- - - + - - + +
é ù

= +
ê ú
- - - + - + +
ë û
7
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
1 2sin( )
sin( ) sin ( ) co s ( )
2
sin ( ) [1 sin ( )]
2
sin ( ) sin ( )
a b
a b a b m a b
a b m a b
a b m a b m
-
=
- - - +
=
- - - +
=
- + + -
2 2 2
2
sin ( ) cos ( )a b a b m
=
- + - -

2
1
2
m -
= (khụngph thucvoav b)
Bi8:Chodóys
{ }
n
u xỏcnhnhsau:
2,1),1t an(tan = - = nnnu
n
Chngminhrngtnticỏchngs
b a
, saochotacú
nnuuuS
nn

b a
+ = + + = tan
21
2,1 = "n
Gii:
Theocụngthccngcung,tacú 2,1 = "n
1tan
)1tan(tan
)1tan(tan
)1tan(tan1
)1tan(tan
1tan
- -

= - ị
- +
- -
=
kk
kk
kk
kk
Túsuyra:
n
n
n
kk
kk
kkS
n
k
n
k
n
k
n
- = -
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ - -
=

ỳ
ỷ
ự
ờ
ở
ộ
-
- -
= - =
ồ
ồ ồ
=
= =
1tan
tan
1tan
)1tan(tan
1
1tan
)1tan(tan
)1tan(tan
1
1 1
t
1tan
1
=
a
, 1 - =
b

khiú 2,1 = "n tacú:
nnS
n

b a
+ = tan
Vybitoỏncchngminhvistnticacỏchngs
b a
, nhtrờn
Bi9:Dóysxỏcnhnhsau:
ù
ợ
ù
ớ
ỡ
- =
=
+
12
2
1
0
nn
xx
ax
n=0,1,2
Bit 1 <a .Tỡmiukincaacỏcshngcadóytrờnụimtkhỏcnhau.
Gii:
Vỡ 1 <a nờntacú tht
a

cos =a vi

p a
< <0
Khiútacú:

a a a
a a
a

22
2
2
1
0
2cos4cos12cos2
2cos1cos2
cos
= = - =
= - =
=
x
x
x
Bngquinpdthy
a

n
n
x 2cos =

8
Gistacú mn < m
mn
xx = tcl
a a

mn
2cos2cos =
zkk
mn
ẻ + = ị ,222
p a a

mn
k
22
2
m
= ị

p
a

Lshut
oligis

p
a

lshut,tcl

q
p
=

p
a

Trongúp,q nguyờndngvnguyờntcựngnhau.
Khiútacú:
( )
qq
q
q
p
kkkk
kk

p
b p a
p
b a
p
a
+ = + = = 2222
Trongú
k

b
nhnmt trongcỏcgiỏ tr 0,1,2.2q1v N
k

ẻ
a

Vỡ
a

k
k
x 2cos = suyramimts
k
x trongdóyvụhn
{ }
2,1,0, =kx
k
sbng1phnttrongdóy
huhn
ỵ
ý
ỹ
ợ
ớ
ỡ
q
l
p

cos
vil=1,22q1
iuúcúnghatntin<msaocho x
n

=x
m
Vykhi 1 <a ,mishngcadóyụimtkhỏcnhau,iukincnvl

p
a

lsvụtvi
cos=a
Bi10:Cho
V
ABCcú

= = CBA 24 .Chngminhrng:
5
4
coscoscos
222
= + + CBA
Gii:
Trchttachngminhngthcsau:
( )
1
2
1
7
3
cos
7
2

cos
7
cos = + -

p p p

Thtvy,nhõnc2vcho
7
2
sin

p

,ta c
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+ - =
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
- +
ữ
ứ

ử
ỗ
ố
ổ
- - =
= + -
7
4
sin
7
3
sin
7
sin
2
1
7
2
sin
7
4
sin
2
1
7
sin
7
3
sin
2

1
7
sin
2
1
7
sin
2
1
7
sin
7
3
cos
7
sin
7
2
cos
7
sin
7
cos

p p p
p p p p p
p p p p p p p

VT
Nhng

7
3
7
4
p
p
p

- = ,nờn
7
3
sin
7
4
sin

p p

=
Vy
dpcmVP
VT
ị = =
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+ - =

7
sin
2
1
7
4
sin
7
3
sin
7
sin
2
1

p
p p p

Tgithittacú:
9 
7
4
;
7
2
;
7
24

p p p

p

= = = Û
ï
î
ï
í
ì
= =
= + +
Ù Ù Ù
Ù Ù Ù
CBA
CBA
CBA
( )
2
5
4
coscoscos
222
= + + CBA
( )
1
2
1
7
3
cos
7

2
cos
7
cos
2
1
7
cos
7
3
cos
7
2
cos
2
1
7
8
cos
7
4
cos
7
2
cos
2
1
2cos2cos2cos
5
4

2
2cos1
2
2cos1
2
2cos1
= + - Û
- = - - Û
- = + + Û
- = + + Û
=
+
+
+
+
+
Û

p p p
p p p
p p p

CBA
CBA
(1)đúng
Þ
2đúng
Bài11:Chodãysốxácđịnhnhưsau:
( )
ï

ï
î
ï
ï
í
ì
=
- -
- +
=
=
+
3,2;
231
32
3
3
1
1
1
n
U
U
U
U
n
n
Tìm
2008
u

Giải:
Tacó: 32
32
32
6
cos1
6
cos1
12
tan - =
+
-
=
+
-
=

p
p
p

ViếtlạibiểuthứccủaU
n+1
dướidạngsau:
( )
1
12
tan1
12
tan

1

p
p

n
n
n
U
U
U
-
+
=
+
ĐặtU
n
=tanβthìtừ(1)suyra
( )
2
12
tan
1
÷
ø
ö
ç
è
æ
+ =

+

p
b

n
U
Vì
2
3
1
=U nêntừ(2)vànguyênlý quynạptadễ dàngsuyra:
( )
÷
ø
ö
ç
è
æ
- + =
12
1
6
tan

p p

nU
n
10

Vy:
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+ =
12
2007
6
tan
2008

p p

U
tan 167 tan
6 4 6 4
3
1
3 3
3
2 3
3 3 3
1
3

p p p p
p

ổ ử ổ ử
= + + = +
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
+
+
= = = +
-
-
*Chỳý:Bngcỏchgiihontontngt,talmcbitoỏnsau:
Cho 2
1
=U v
( )
112
12
1
+ -
- +
=
+
n
n
n
U
U
U
.TỡmU
2008

Do 12
8
tan - =

p

.Nờntasuyra
( )
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
- + =
8
1tan

p
a
nU
n
vi
2arctan =
a

2tan
2008
= = ị
a

U