Chuyên đề: Biến đổi lượng giác

Bài tập nâng cao Lớp 10A1
Ch ơng 1: Hàm số l ợng giác Biến đổi l ợng
giác
Bài 1 Giá trị các hàm số l ợng giác có mối
quan hệ đặc biệt
A lý thuyết
Cung đối
Cung bù
Cung hơn kém pi
Cung phụ
Cung hơn kém pi/2
B. Bài tập
Dạng 1: tính giá trị của các hàm số lợng giác và
rút gọn
Bài 1: tính giá trị
Cos120
0
tg130
0
sin(-780
0
)
Bài 2: Tính giá trị
Sin150
0
, cotg135
0
, tg150
0
Sin210
0

, cos225
0
, tg240
0
, cotg225
0
7 11
sin , , cot
6 4 6
tg g



ữ ữ ữ

Bài 3: Chứng minh rằng
1)
( )
( )
0 0 0 0
2 0
0 0 0 0
sin 515 .cos 475 cot 222 .cot 408
1
25
2
cot 415 .cot 505 197 . 73
g g
cos
g g tg tg

+
=
+
2)
0 0 0 0
0 0
sin( 328 ).sin 958 s( 508 ). s( 1022 )
1
cot 572 t ( 212 )
co co
g g

=

HD: Biến đổi về góc nhỏ hơn 90 độ
Bài 4: Rút gọn biểu thức sau
( )
0 0
0 0 0
2sin 2550 .cos 188
1
368 2cos 638 98
A
tg cos

= +
+
0 0 0
0 0
0

(cot 44 226 ). s 406
cot 72 .cot 18
cos316
g tg co
B g g
+
=
( )
( )
( )
( )
sin( 4,8 ).s 5,7 s( 6,7 ). s 5,8
cot 5, 2 t 6,2
in co co
C
g g



= +

Bài 5: Rút gọn biểu thức sau
( )
0 0
0
0 0
sin 234 cos 216
. 36
sin144 126
A tg

cos

=

( ) ( )
0 0 0
0 0
0
cot 44 226 . s 406
72 .cot 18
316
g tg co
B cotg g
cos
+
=
0 0 0 0 0
20 40 60 ... 160 180C cos cos cos cos cos= + + + + +
2 0 2 0 2 0 2 0
sin 10 sin 20 sin 30 ... sin 180C = + + + +
Bài 6: Rút gọn biểu thức sau
( ) ( )
3
sin cot 2
2 2
A x cos x g x tg x



= + + + +

ữ ữ

( )
3 3
s sin t
2 2 2
B co x x g x cotg x



= + +
ữ ữ ữ

( ) ( ) ( )
( ) ( )
0 0 0
0 0
sin 270 2sin 450 cos 900
2sin 720 540
C x x x
x cos x
= + + +
+
Bài 7: Tính giá trị của biểu thức
3 2
3 3
.sin sin
2
sin
cos x cosx x x

A neu tgx
x cos x
+
= =

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức
Bài 1: Chứng minh các đẳng thức sau
1)
2
2
sin sin
sin
sin 1
x x cosx
x cosx
x cosx tg x
+
= +

2)
2 2 4
2 2 2 2
1 cot 1
.
1 cot cot
tg x g x tg x
tg x g x tg x g x
+ +
=
+ +

Bài 2: Chứng minh các đẳng thức sau
1)
11 21 9 29 2
sin sin sin sin 2
10 10 10 10 5
cos


+ + + =
ữ ữ ữ ữ ữ

2)
( ) ( )
0 0 0 0
105 285 435 75 0tg tg tg tg+ =
3)
( )
0 0
0 0 0
cos 20 .sin 70
1
sin160 .co 340 . 250s tg

=
Bài 3: CMR nếu tam giác ABC thoả mãn hệ thức
3 3
sin . sin .
2 2 2 2
C B B C
cos cos=

thì tam giác đó cân
HD: Chia cả tử và mẫu cho
.
2 2
B C
cos cos
Bài 4: CMR
2 2
2 2
2 2
1
cot cot
sin sin 2
cos A cos B
g A g B
A B
+

= +

+

thì tam giác đó cân
HD:
( )
2
2 2
sin sin 0A B =
Bài 5: Đơn giản biểu thức sau
( )

( ) ( )
2 2
11
1 1 cot 3 .
2
3 13
sin 11 . sin 7
2 2
A tg x g x
cos x x cos x x







= + +
ữ





+
ữ ữ


( ) ( ) ( )
6 6 4

4 2
sin 2sin 2
3
sin
2 2
B x cos x x
x cos x


= + + +

+ +
ữ ữ

Bài 6: Cho
4 4
98
3sin 2
81
x cos x+ =
Tính
4 4
2sin 3A x cos x= +
HD: đặt
4
4
sinx x
y cos x

=

=


Giải hệ phơng trình theo A và
hằng số để tìm A thay
,x y
vào phơng trình
2 2
sin 1 1x cos x x y+ = + =
Tổ toán : Trờng THPT Bình Giang 1 Tháng 4/2008
Bài tập nâng cao Lớp 10A1
Bài 2 Công thức cộng
Dạng 1: tính giá trị của các hàm số lợng giác và
rút gọn
Bài 1 Tính giá trị các hàm số lợng giác
1)
0
15

=

7
12
x

=
2)
0

285x =

103
12
x

=
Bài 2 Tính giá trị của biểu thức
0 0 0 0 0 0
sin160 . 110 sin 250 . 340 110 . 340A cos cos tg tg
= + +
HD:Sử dụng cung liên kết
Dùg công thức cộng theo chiều xuôi chiều
ngợc

( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0
sin 337 . 53 sin 307 sin 113B cos
= +

0 0 0
0 0
225 cot 81 .cot 69
cot 261 201
tg g g
C
g tg

=
+

0 0 0 0 0
68 . 78 s 22 . 12 10D cos cos co cos cos
= +
Bài 3 Tính
9
cos
4 41
A tg x biet x


= =
ữ

Với
3
2
x



< <
ữ

HD:
4
1 .
4
tgx tg
A
tgx tg

=
+
Bài 4 Tính
( ) ( )
.cosA cos a b a b
= +
Biết
1
cos
3
a =
Với
3
2
x



< <
ữ

HD:
4
1 .
4
tgx tg
A

tgx tg



=
+
Bài 5 Cho a,b là các góc nhọn với
8 5
sin ,
17 12
a tgb= =

Tính
( ) ( ) ( )
sin , ,a b cos a b tg a b
+

Bài 6 Cho
0 , , , . 3 2 2
2 4
a b a b tga tgb

< < + = =
1) Tính
tga tgb+
2) Tính
,tga tgb
từ đó tính a,b
Dạng 2: Chứng minh đẳng thức và rút gọn đẳng
thức

Bài 1 Chứng minh rằng
1)
( ) ( )
2 2
2 2
sin sin
.
a b a b
tg a tg b
cos a cos b
+
=
2)
2 2
2 2
2
. 3
1 2 .
tg a tg a
tga tg a
tg a tg a

=

HD : VT làm xuất
hiện
( ) ( )
2 . 2tg a a tg a a +
3)
sin sin 2 sin

4 4
a a a


+ =
ữ ữ

HD Chia 2 vế cho
2

Chú ý
4 4 2
a a


+ + =
ữ ữ

4)
( )
sin
. .
cos .cos .cos
a b c
tga tgb tgc tga tgb tgc
a b c
+ +
+ + =
5)
( )

sin sin .cos .cos sin .cos .cos
sin .cos .cos sin .sin .sin
a b c a b c b a c
c b a a b c
+ + = + +

6)
( ) ( )
2 2
2 2
sin sin
.sin
1 .cot
a b a b
cos a b
tg a g b
+
=

7)
( ) ( )
2 2
2 2
s s
1 .
.co
co a b co a b
tg a tg b
cos a s b
+

=
Bài 2 Rút gọn biểu thức sau
sin . sin .
3 4 4 3
A x cos x x cos x


= +
ữ ữ ữ ữ

sin 4 .cot 2 4B x g x cos x=
2
3 4
C tgx tg x tg x


= + + + +
ữ ữ

s . s .
3 4 6 4
D co x cos x co x cos x


= + +
ữ ữ ữ ữ

HD: NX
3 6 2
x x

+ =
ữ ữ

Bài 3 Chứng minh đẳng thức sau không phụ
thuộc và x
2 2 2
s
3 3
A cos x co x cos x


= + + +
ữ ữ

2 2 2
2 2
sin sin sin
3 3
B x x x


= + + +
ữ ữ

2
sin s
3 3
C x co x cos x

= + +
ữ ữ

2
. .
3 3 3
2
3
D tgx tg x tg x tg x
tg x tgx



= + + + + +
ữ ữ ữ


+
ữ

Bài 4: Cho tam giác ABC CMR
1)
sin sin . sin .A B cosC C cosB= +
2)
sin s . sin .sin
2 2 2 2 2
A B C B C
co cos=

3)
. .tgA tgB tgC tgA tgB tgC+ + =
Tổ toán : Trờng THPT Bình Giang 2 Tháng 4/2008
Bài tập nâng cao Lớp 10A1
4)
. . . 1
2 2 2 2 2 2
A B B C C A
tg tg tg tg tg tg+ + =
Bài 5:
1) Cho
( ) ( )
. , #1cos a b k cos a b k+ =

CMR
1
.
1
k
tga tgb
k

=
+

2) Cho
( ) ( )
2 . , # 1cos a b k cos a k+ =

CMR

( )
1
.
1
k
tg a b tgb
k

+ =
+

HD: Sử dụng công thức cộng
( ) ( ) ( ) ( )
. cos .cos 1 sin .sin 1cos a b k cos a b a b k a b k
+ = = +
Bài 6: CMR
1)
3 3
3 3
2 2
1 cot
cot
sin sin .cos
tg a g a
tg a g a
a a b cos a
+ = +
2)
2
4.sin sin 4sin 3

3 3
a a a


+ =
ữ ữ

3)
( ) ( )
2 2 2
2cos .cos .cos cos cos sina b a b a b a b
+ = + +
Bài 3 Công thức nhân
Dạng 1: Thực hiện phép tính bằng công thức nhân
Bài 1 Tính sin2a biết
1)
4
sin
5 2
a va a


= < <
2)
1
s 0
3 2
co a va a

= < <

3)
1
15
tga =
Bài 2 Tính giá trị của các hàm số lợng giác của
góc
0
112 30'a =

HD:
0
2 45a =
Bài 3 Tính giá trị của biểy thức sau
1)
0 0 0 0
sin 6 .sin 42 .sin 66 .sin 78A =

HD : nhân 2 vế với
0
6cos
2)
4 5
s . s . s
7 7 7
B co co co

=
HD : nhân 2 vế với
sin
7

3)
0 0 0 0 0
16sin10 .sin 30 .sin 50 .sin 70 .sin 90C =

HD : nhân 2 vế với
0
10cos
4)
2 4 8
s . s . s . s .
65 65 65 65
16 32
s . s
65 65
D co co co co
co co


=
Dạng 2: Thực hiện phép tính qua một số giá trị đã
biết
Bài 1
1) Tính
2A cos a
=
Biết
1
sin
2 2 2

a a
cos+ =

HD: bình phơng 2 vế
2) Cho
1
2
tga =
;
1
3
tgb

=
với
0 0
0 0
0 90
90 180
a
b

< <


< <


Tính
( ) ( )

sin 2 ; 2a b cos a b +
3) Cho
7
sin cos ; 0
2 6
a a a

+ = < <
Tính
2
a
tg
HD: Bình phơng 2 vế suy ra sin2a;tg2a
áp dụng liên tiếp
2
2
2
1
tga
tg a
tg a
=

Bài 2 CMR
1)
3 3
3
3 .sin sin 3 . .sin 4
4
cos x x x cos x x+ =

AD: Tính
0 3 0 0 3 0
22 30'.sin 172 30' sin 22 30 '. 172 30'B cos cos=
2)
. . 3
3 3
tgx tg x tg x tg x


+ =
ữ ữ


AD: tính
7 13
. .
18 18 18
A tg tg tg

=
Dạng 3: Rút gọn biểu thức
1)
2 2
1 cos
.
1 cos 2
x x
A tg cos x
x

+

=
ữ


2)
sin 3 . 5 sin 5 . 3
cos
x cos x x cos x
B
x

=
3)
2
cot 2
sin 4
C g x
x
=
4)
2 2
2 2
sin 2 4sin
sin 2 4sin 4
x x
D
x x

=
+
5)
2 2
2 2
a a
cotg tg
E
a a
cotg tg
+
=

6)
2
2
2 1
2 .sin
4 4
cos a
H
tg a a


=

+
ữ ữ

7)

( )
0
0 0
sin 60
4sin 25 sin 75
4 4
a
F
a a
+
=

+
ữ ữ

Dạng 4: Chớng minh rằng
1)
4
1 3
4. 2 2 4
2 2
cos x cos x cos x =
2)
3 3
sin 4
.sin sin .
4
x
cos x x x cosx =
3)

4 4
1 3
sin . 4
4 4
x cos x cos x+ = +
4)
1 sin
cot
cos 4 2
x x
g
x

+

=
ữ

Tổ toán : Trờng THPT Bình Giang 3 Tháng 4/2008
Bài tập nâng cao Lớp 10A1
5)
2 2
6 2 4
cot
1 4
cos x
g x tg x
cos x
+
= +

6)
( )
2 2 2 2
1
. sin 2 .sin 2 sin .sin
2
cos x cos y x y x y
cos x y
+
= +
HD: Sử dụng công thức nhân đôi
7)
cos sin
1
2 2
cos
cos sin
2 2
x x
tgx
x x
x

=
+
8)
( ) ( )
2 2
2 0

cos sin s cos 4 45
2
x y
x y n y cos


+ + = +
ữ

9)
( ) ( )
2 2
sin 1 1 2.
4
3
; #0; #
4 4 2
x cotgx cos x tgx cos x
x x x



+ + + =
ữ



ữ

10)

2 2
2 2
sin 3 s 3
8. 2
sin s
x co x
cos x
x co x
=
Bài tập:
CMR biểu thức sau không phụ thuộc vào x
( )
2 0
sin 8 2cos 45 4A x x= + +
3 3
3 sin sin 3
sin
cos x cos x x x
B
cosx x
+
= +
1 1
.sin 0
1 1
C x x
cosx cosx

= + < <
+

4 4 4 4
3
sin sin sin sin
4 2 4
D x x x x


= + + + + + +
ữ ữ ữ

( ) ( )
4 4 6 6
3 sin s 2 sin sE x co x x co x= + +
6 2 2 6 4
1
sin . s sin . s . 2
8
F x co x x co x cos x= + +
Bài 4 Công thức biến đổi
Dạng 1: Biến đổi tổng thành tích và ngợc lại
Bài 1 Biến đổi thành tích
1)
2 2
3A cos a cos a=
2)
sin 3 sin 2B x x
= +
3)
3
3

C tgx=
4)
1D cotgx=
5)
( ) ( )
0 0
60 60 3E cos x cos x cos x= + + +
Bài 2 Biến đổi thành tích
1)
0 0 0
sin 70 sin 20 sin 50A = +
2)
0 0 0
46 22 2 78B cos cos cos=
3)
1 2 3C cosx cos x cos x
= + + +
4)
( )
cos cos sinD a b a b= + + +
5)
1 sin 2x cos x
+
6)
1 2 cos 2x cos x
+
7)
sin . 3 sin 4 . 2x cos x x cos x+
8)
2 2 2

2 3 1cos x cos x cos x+ +
9)
2 2 2
sin sin 2 sin 3x x x +
10)
sin 0
2
tgx sinx tgx x x

+ + < <
Bài 3 Biến đổi thành tổng
1)
( ) ( )
0 0
sin 30 .sin 30a a+
2)
2
sin .sin
5 5

3)
2 . 2 .sin 3sinx sin x x
4)
8cos .sin 2 .sin 3x x x
5)
sin .sin . 2
6 6
x x cos x

+
ữ ữ

6)
( ) ( ) ( )
4cos a b cos b c cos c a
Dạng 2 Tính giá trị và rút gọn biểu thức
Bài 1 Biến đổi thành tích
1)
2 2
3A cos a cos a=
2)
11 5
sin .
12 12
B cos

=
3)
0 0 0
sin 20 .sin 40 .sin 80C =
4)
0 0 0
sin 20 .sin 50 .sin 70D =
5)
5 7
9 9 9
E cos cos cos

= + +

6)
2 2 2
7 7 7
F cos cos cos

= + +
7)
0 0 0 0
9 27 63 81F tg tg tg tg= +
8)
0
0
1
4sin 70
sin10
F =
Bài 2 Tính gí trị của bểu thức
1)
5
sin .sin
4 4
x x
A =
Biết
0
60x =
2)
2 4
sin 4 sin 2
cos a cos a

B
a a

=

Biết
0
20a =
3)
cos . 13
3 5
a cos a
C
cos a cos a
=
+
Biết
7
a

=
4)
0 0 0 0
20 . 40 . 60 . 80D tg tg tg tg=
Bài 3 Rút gọn biểu thức
3 3
cos . .A x cos cos
x x

+

=
2 2
sin sin
8 2 8 2
x x
B


= +
ữ ữ

sin 4 sin 7
cos cos 4 cos 7
sinx x x
C
x x x
+ +
=
+ +
( )
0 0
1 sin 2 1 sin 2 45 45D x x x= + + < <
Dạng 3 Chứng minh hằng đằng thức
Bài 1 Chứng minh rằng
1)
( ) ( ) ( ) ( )
sin .cos sin .cos sin .cosa b b a c c b c a b c
+ + = + +
Tổ toán : Trờng THPT Bình Giang 4 Tháng 4/2008
Bài tập nâng cao Lớp 10A1

2)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
cos .sin cos sin
cos sin cos sin
a b a b b c b c
c d c d a d a d
+ + +
+ + = +
3)
2. 2
4 4
tg a tg a tg a


+ =
ữ ữ

4)
( ) ( )
2 2
2cos .cos .A cos a x cos x x a cos a x= + + +
5)
sin 6 .sin 4 sin15 .sin13 sin19 .sin 9B x x x x x x= +
Bài 2 Chứng minh rằng
2
1 sin 2
1 sin 2 4
x
tg x

x



=
ữ
+

HD:
sin sin 2
2
sin sin 2
2
x
VT
x



=
+
: Biến đổi thành tích cả tử
và mẫu và thay theo tg và cotg
Bài 3 tính giá trị của biểu thức
1)
0 0 0 0 0 0
9 15 27 cot 27 cot 15 cot 9A tg tg tg g g g
= + + +
HD: nhóm thàn 3 nhóm A=8
2)

0 0
0 0 0 0
80 10
cot 25 cot 75 t 25 t 75
tg cotg
B
g g g g
=
+ +
HD: thay
0 0
80 cot 10tg g=
B=1
Bài 4 CMR
1)
4 4 4 4
3 5 7 3
sin sin sin sin
16 16 16 16 2
A

= + + + =
HD: Biến đổi
4
3 1 1
sin 2 4
8 2 8
x cos x cos x= +

Thay từng hạng tử sau đó rút gọn

2)
2 3
1 1
cos cos3 cos 5 8sin .cos
2 2
x x x x x =
HD:
( )
cos5 cos 2 3x x x= +
Sử dụng công thức nhân
3 và công thức cộng
3)
( ) ( ) ( )
sin sin sin
0
cos .cos cos .cos cos .cos
a b b c c a
a b c b a c

+ + =

4)
( )
sin 1 2 cos 2 2 cos 4 2 cos6 sin 7x x x x x+ + + =
Bài 5
1) Cho
a b c+ =
CMR
sin sin sin 4cos .cos .cos
2 2 2

a b c
a b c+ + =
2) Cho
a b c d

+ + + =
CMR
sin sin sin sin 4sin .sin .sin
2 2 2
a b b c c a
a b c d
+ + +
+ + + =
Bài 6: Cho tam giác ABC CMR
1)
sin 2 sin 2 sin 2 4sin .sin .sinA B C A B C+ + =
2)
s cos cos 1 4sin .sin .sin
2 2 2
A B C
co A B C+ + = +
3)
sin sin sin 4. . .
2 2 2
A B C
A B C cos cos cos+ + =
4)
2 2 2
s cos cos 1 2 s . s . sco A B C co A co B co C+ + =
Bài 5 Giải toán biến đổi l ợng giác

Dạng 1: Chứng minh đẳng thức lợng giác
Bài 1 CMR
1)
( )
2
2
3
3
1 3
tga tg a
tg a
tg a

=

2)
2cotcotgx tgx gx =
3)
4 4
1 3
sin 4
4 4
x cos x cos x+ = +
4)
6 6
3 5
sin 4
8 8
x cos x cos x+ = +
5)

8 8
1 7 35
sin 8 . 4
64 16 64
x cos x cos x cos x+ = + +
Bài 3 CMR
1)
1
sin 2
cosx x
tg
x

=
2)
( ) ( )
0 0
4 .sin 60 .sin 60 sin 3sinx x x x + =
3)
1
. . 3
3 3 4
cosx cos x cos x cos x


+ =
ữ ữ

4)
. 3

3 3
tgx tg x tg x tg x


+ =
ữ ữ

5)
( )
sin 5 2sin cos 4 2 sinx x x cos x x + =
6)
5 3 7
cos .cos sin sin cos .cos 2
2 2 2 2
x x x x
x x

+ =
ữ ữ ữ ữ

Bài 3
1) CMR nếu
1 1
1 1, #0
1 1
y y
tgx y y
y y
+ +
=

+

thì y=sinx
HD: nhân chia liên hợp
2
1 1 y
tgx
y

=
Thay vào biểu thức sin2x
2) CMR
( )
( )
sin sin 3 sin 5 .. sin 2 1
s s 3 s5 .. s 2 1
a a a n a
tgna
co a co a co a co n a
+ + + +
=
+ + + +
HD: Nhóm các hạng tử lại biến đổi tổng thành
tích
( )
( )
( )
( )
( )
( )

( )
( )
sin sin 2 1 sin 3 sin 2 3 ...
s s 2 1 s3 s 2 3 ..
a n a a n a
co a co n a co a co n a
+ + + +
+ + + +
3) CMR
( ) ( )
( )
( )
0
0 0
0
2cos 10 2 1
35 25
2cos 10 2 1
a
tg a tg a
a
+
+ =
+ +
HD: chuyển về sin và cos thực hiện phép nhân
Bài 4 Cho
# 2a k

k thuộc Z CMR
Tổ toán : Trờng THPT Bình Giang 5 Tháng 4/2008