sử dụng đạo hàm để giải bất phương trình pot

Sưu tầm bởi:

www.daihoc.com.vn


BÀI TẬP : GIẢI PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH( SỬ DỤNG ĐẠO HÀM)

Bài 1: Giải phương trình

13232
122
+++=+
+
x
xx
x
x

Giải:
Ta có
xxf
xx
++= 32)( tăng trên R, nên phương trình tương đương

)1()2( += xff
x
12 +=⇔ x
x

Hàm số
)1(2)( +−= xxg

x
xác định trên R

(
)
exxgxg
x
22
//
loglog0)(12ln2)( ≥⇔≥⇒−=
Vậy phương trình có nhiều nhất 2 nghiệm trên
(
)
)(loglog;
22
e
∞
−
v
(
)
∞
+;)(loglog
22
e

Thử trực tiếp tìm được hai nghiệm là 1;0
=
=
xx

Bài 2: Giải phương trình
1514312log
114312
5
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−++−−
−−−++−− xxxx
xxxx
Giải :
Điều kiện
1≥x
.Đặt 0114312 ≥−−−++−−= xxxxt (chứng minh)
phương trình tương đương
15)1(log
5
−=+
t
t

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧

⎩
⎨
⎧
=
+=
⇔
−=−
+=
⇔
⎩
⎨
⎧
+=
+=
⇔
ty
t
ty
y
t
y
t
yt
t
y
t
15
(*)55
15
15

15
0
=
⇔
t

0114312 =−−−++−−⇔ xxxx
52 ≤≤⇔ x

Bài 3: Giải phương trình

324
42442
2
1
−+−= xxxx

Giải :
021224
234
=−+−−⇔ xxxx

Xét hàm số
12412421224
23/234
+−−=⇒−+−−= xxxyxxxxy
Lập bảng biến thiên, suy ra hàm số có trục đối xứng x =1
Do đó đặt
1+= Xx
, ta có phương trình

⎢
⎢
⎣
⎡
+±=
−±=
⇔=+−
1141
1141
058
24
x
x
XX


Bài 4: Giải phương trình

(
)
x
x
x
coscos
4.342)cos1( =++

Giải :
Đặt
11cos

≤
≤−= yyx
(
)
yy
y 4.342)1( =++⇔

Đặt
()
1
42
4.4ln.6
)(1
42
4.3
)(
2
/
−
+
=⇒−−
+
=
y
y
y
y
yfyyf

Sưu tầm bởi:

www.daihoc.com.vn


()
2
/
424.4ln.160)(
yy
yf +=⇔=
Đây là phương trình bậc hai theo
y
4 , nên có không quá 2 nghiệm. Vậy theo định lý Roolle
phương trình
0)( =yf có không quá 3 nghiệm.
Ta có
1,
2
1
,0 === yyy
là 3 nghiệm của phương trình 0)(
=
yf
Suy ra phương trình có nghiệm
π
π
π
π
π
2

3
2
,
2
,2 kxkxkx +±=+==

Bài 5: Giải phương trình
13
1
24
log
26
26
2
2008
−−=
+
+
+
xx
x
x
x

Giải :
241
2008
2008
1
24

226
26
2
2
2
4
1
26
+=++⇔=
++
+
+
++
xxx
xx
x
x
xx
vì hàm số
x
xxf 2008.)( = tăng trên R
Giải phương trình
013013
326
≥−−⇔=−− uuuxx
phương trình chỉ có nghiệm trong (0,2)
Đặt
2
0cos2
π

<<= ttu

2
1
3cos =⇒ t

Suy ra phương trình có nghiệm
9
cos2
π
±=x

Bài 6: Giải phương trình

xx
xx
cossin
2
5
.sin
2
5
.cos
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛

Giải :
Cosx = 0 và sinx = 0 không là nghiệm . Xét
2
π
k
x ≠

xx
xx
cos
2
5
sin
2
5
cossin
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇔

Xét hàm số
0,1
2
5
)( ≠<
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= tt
t
tf
t
. Hàm số
)(tf
nghịch biến
Suy ra
π
π
kxxx +=⇔=

4
cossin

Bài 7: Giải phương trình
322
32
54
log)2(
2
2
2
+=
+
++
++ x
x
xx
x
Giải :
Đk
032 >+x

[]
322log3221)2(log1)2(
2
2
2
2
+++=+++++⇔ xxxx

Đặt
)0(log)(
2
>+= ttttf

Tương tự
Sưu tầm bởi:

www.daihoc.com.vn


Phương trình có nghiệm 1−=x
Bài 8: Giải phương trình

x
x
xx
20072007
19751975
cos
1
sin
1
cossin −=−


Giải :
x
x
x

x
2007
1975
2007
1975
cos
1
cos
sin
1
sin
−=−

1cos;1sin == xx
không là nghiệm của phương trình
Đặt hàm số
)1;0()0;1(
1
)(
2007
1975
∪−∈−= t
t
ttf

Ta có
0
2007
1975)(
2008

1974/
>+=
t
ttf nên hàm số tăng trên mỗi khoảng
)(:)0;1( tft −∈ chỉ nhận giá trị dương
)(:)1;0( tft ∈
chỉ nhận giá trị âm
Nên
π
π
kxxxxfxf +=⇔=⇔=
4
cossin)(cos)(sin

Bài 9: Giải phương trình
xxxxxx
4422
cos2cos3sin.sin22cos.
2
cossin.
2
sin −+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟

⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ππ

Giải :
()
xxxxxx
442222
cos2cos2coscos22cos.
2
coscos.
2
cos −+−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇔

ππ

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−⇔ xxxxxx
224224
cos.
2
coscos2cos2cos.
2
cos2cos22cos
ππ

Xét hàm số
10.
2
cos2)(
2
≤≤

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−= tttttf
π
. )(tf giảm
3
cos2cos)(cos)2(cos
2222
π
k
xxxxfxf
=⇔=⇔=
Bài 10: Giải phương trình

[
]
35)37634(log337634)37634(2
2
2
2329334
2
=+−+++−+−
+−
xxxxxx
xx

Giải :
Đặt
)87(37634
2
≥+−= txxt
)256.256(log256.22.35).2(log.2
3
2
32562833
2
3 ttt
tt ==⇔
Hàm số
).2(log.2)(
3
2
3
tttf
tt
=
đồng biến trên
[
)
∞
+
;1

4;3025637634256
2
==⇔=+−⇔=⇔ xxxxt

Bài 11: Giải phương trình
)16cos2cos4(log2cos
2
1
2
1
3
4
2
sin2
−−+=+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
xxx
x

Giải :
Sưu tầm bởi:

www.daihoc.com.vn


Đặt )1
3
1

(2cos ≤<= yxy
)13(log
2
1
2
4
1
−+=+⇔
−
yy
y

Đặt
)1(132)13(log
2
≤−=⇔−= tyyt
t

Ta có hệ
ty
y
ty
ty
t
y
+=+⇔
⎩
⎨
⎧
−=

−+=
22
132
122

Xét hàm số
uug
u
+= 2)(
, hàm số đồng biến trên R

0132)(132 =+−=⇔−=⇔ ttft
tt

Xét hàm số
132)( +−= ttf
t
, sử dụng định lý Roll cm phương trình có không quá 3 nghiệm
Phương trình có nghiệm )(31 Ltt == , suy ra phương trình có nghiệm
π
kx =


Bài 12: Giải phương trình

11
7.4.128343.864
−−
+=−
xxxx

Giải :
Đặt
1
7.2;4;2
−
=−==
xx
cba
03
333
=−++⇔ abccba
00
2
)()()(
)(
222
=++⇔=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+−+−
++⇔ cba
accbba
cba

07.242
1
=+−⇔
−xx

Xét hàm số
7ln.7.
7
2
4ln.4)(7.242)(
/1 xxxx
xfxf +−=⇒+−=
−

Phương trình
0)(
/
=xf có nghiệm duy nhất nên theo định lí Lagrange phương trình 0)(
=
xf
không có quá 2 nghiệm phân biệt
Phương trình có nghiệm
2;1 == xx
Bài 13: Giải phương trình

)32(log)22(log
2
32
2
322

−−=−−
+
+
xxxx

Giải :
Điều kiện
xvx <−< 31
)32(log)22(log
2
347
2
348
−−=−−⇔
++
xxxx

Đặt
347 +=a
và 32
2
−−= xxt
tt
aa
log)1(log
1
=+⇔
+

Đặt

ty
a
log=

1
1
1
1
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⇔
yy
aa
a
1=⇔ y
là nghiệm duy nhất

Phương trình có nghiệm
34111 +±=x

Bài 14: Giải hệ phương trình
Sưu tầm bởi:

www.daihoc.com.vn



()
()
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+=
+=
+=
4loglog
4loglog
4loglog
35
35
35
xz
zy
yx

Giải :
Hệ phương trình không đổi qua phép hoán vị vòng quanh
zy
x
=
=
⇒
Từ đó ta có
(
)
4loglog
35
+= xx , đặt xt
5
log
=

1
3
1
4
3
5
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝

⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⇔
t
t


Phương trình có đúng 1 ngiệm
2=t
do hàm số 1
3
1
4
3
5
)( =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛

+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
t
t
tf nghịch biến
Hệ phương trình có 1 nghiệm
25
=
== zyx
Bài 15: Giải hệ phương trình

()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−+−+
−−=−
−
04122
2

3
22
2
2
2
2
2
1
xyxxyx
xy
y
x
x

Giải :
Từ phương trình (2)
2
21
1)2(
x
x
yxyx
−
=⇔=+⇔

(1)
22
2
2
21

2
2
1
2
2
21
2
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
−
=
−
⇔
+
−
+
−

xét hàm số
0
2
1

2ln2)(
2
2)(
/
>+=⇒+=
tt
tf
t
tf
22
2
2
21
2
1
x
x
x
x −
=
−
⇔

Hệ phương trình có 1 nghiệm
4
3
,2 −== yx


Bài 16: Giải hệ phương trình

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+++=++
+
+
=
−
1)2(log2)62(log3
1
1
23
2
2
22
yxyx
y
x
e
xy

Giải :
Đk
062 >++ yx và 02 >+
+
yx
(1)

1)1ln(1)1ln(
2222
+++=+++⇔ yyxx

Hàm số
1ln)( >+= ttttf
đồng biến trên
);0(
∞
+

yxyx ±=⇔+=+⇔ 11
22

.Nếu
3;31)6(log)2(
3
−
=
=
⇔=−⇔−= yxxyx

Sưu tầm bởi:

www.daihoc.com.vn


.Nếu
y
x

=
(2)
uxx 6)1(log2)2(log3
23
=
+=+⇔


⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇔
=+
=+

⇔ 1
9
8
9
1
21
32
3
2
uu
u
u
x
x

Hàm số
uu
ug
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝

⎛
=
9
8
9
1
)( nghịch biến trên R, suy ra 1
=
u là nghiệm duy nhất
Hệ phương trình có 2 nghiệm
4
3
,2 −== yx
và 7;7
=
=
yx

Bài 17: Giải hệ phương trình

()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=++
−=−

+
+
+
2
7
2
3
2
)2(342
2
2
1
2
8
1
2
yx
xy
yx
y
x

Giải :
Đk
0; ≥yx
()
⎪
⎩
⎪
⎨

⎧
=++
+=+
⇔
++
+
+
732
43232
1
2
1
2
)4(
1
2
yx
yx
yx
y
x

Hàm số
xxf
x
32)(
1
2
+=
+

đồng biến trên
[
)
∞
;0
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
⇔
=+
=
⇔

=+
=
⇔
5
1
5
4
1
4
)1()(
)4()(
y
x
yx
yx
fyxf
yfxf

Bài 18: Giải hệ phương trình

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−−=
−−=
−−=
)52coscos8(logcos
)52coscos8(logcos

)52coscos8(logcos
2
2
2
zyz
yxy
xzx

Giải :
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
++=
++=
++=
⇔
4228
4228
4228
2
2
2
ZY
YX
XZ
Z
Y
X

Hàm số
()
422
8
1
)(
2
++= ttf
t
đồng biến trên
⎥
⎦
⎤
⎜
⎝
⎛
1;
2
1

()
422
8
1
2
++===⇔ XZYX
X

Giải bằng đồ thị

⎢
⎣
⎡
===
===
⇔
)(2
1
lZYX
ZYX

Hệ phương trình có 2 nghiệm
π
π
π
2;2,2 mzlykx
=
=
=
Sưu tầm bởi:

www.daihoc.com.vn


Bài 19: Giải hệ phương trình

⎩
⎨
⎧
+=+

+=+
2)(coslog)sin31(log
2)(sinlog)cos31(log
32
32
xy
yx

Giải :
Đk
0sin;cos ≥yx

)(sinlog)sin31(log)(coslog)cos31(log
3232
yyxx
=
+
=++⇒
Hàm số
tttf
32
log)31(log)( ++=
0
3ln
2
2ln)31(
3
)(
/
>+

+
=⇒
tt
tf đồng biến trên
0>∀t

xy cossin =⇒

Thay vào phương trình (1)
2)(coslog)cos31(log
32
+
=
+⇒ xx

Lập BBT hàm số
vvvg
32
log)31(log)( −+
=
với
(
]
1,0cos
∈
=
xv phương trình chỉ có 2 nghiệm
3
1
cos,1cos == xx

Bài 20: Giải hệ phương trình

34
223
28
2182
xy y
xy xy y
⎧
−=
⎪
⎨
++=
⎪
⎩

Giải:
Hệ tương đương

(
)
33
2
28 (1)
0
( ) 18 2 (2)
yx y
xy
yx y

⎧
−=
⎪
⇒>>
⎨
+=
⎪
⎩

(2)
4
38
x
y
y
⇒= −
, thay vào (1) được:
3
4
3
38
28yyy
y
⎡⎤
⎛⎞
⎢⎥
−
−=
⎜⎟
⎜⎟

⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
(3)
Đặt
0ty=>
, (3) trở thành:
()
3
4
3
226 93
4
38
28 3 8 28 0ttt ttt
t
⎡⎤
⎛⎞
⎢⎥
−
−=⇔− − +=
⎜⎟
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦

Xét hàm
()
3

93
4
() 3 8 28
f
tt t t=− − +
ta có:

()
82 3
4
'( ) 9 9 3 8 28 0, 0
f
ttt t t=+ −+>∀>

Chứng tỏ hàm số f(t) đồng biến trên khoảng (0;+∞) phương trình f(t) = 0 nếu có nghiệm
trên Khoảng (0;+∞) thì nghiệm đó là nghiệm duy nhất. Từ đó suy ra hệ phương trình đă cho nếu
có nghiệm (x
0
, y
0
) thì nghiệm đó là nghiệm duy nhất của hệ.
Nếu chọn x = 2y thì từ (1) ta có:
4
4222yy x=⇔= ⇒=
. Rỏ ràng cặp số
(2 2; 2)

thỏa (2).
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
(2 2; 2)

.

Bài 21: Tìm số nghiệm của nằm trong khoảng
)2;0(
π
của phương trình

2
5
)sin10sin12sin8(
246cos2
2
+=+− exxxe
x

Giải :
Sưu tầm bởi:

www.daihoc.com.vn


0
1
1
t
g'
g
1-
3
6

0
+
_
-5
f
u
0
1
6
t
f'
0
+
_
0
Đặt 10sin
2
≤≤== tyxt
2
5
)10128(
23)1(2
+=+−⇔
−
etxtxte
t

Xét hàm số
)10128()(
23)1(2

tttexf
t
+−=
−

[
]
)( 2)10128(2)102424()(
)1(2232)1(2/
tgetttttexf
tt −−
−=+−−+−=⇒
Với
)112412(2)(522248)(
2/23
+−=⇒−+−= tttgttttg
Lập bảng biến thiên, suy ra phương trình
0)(
=
tg có nghiệm duy nhất
6
3
10,
−<<= uut

Lập bảng biến thiên hàm số
)(tf
, suy ra phương trình
0)(
=
tf
có nghiệm duy nhất
uvvt <<= 0,
Suy ra phương trình
vx ±=sin
có 4 nghiệm phân biệt )2,0(
π
∈
x