KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ SỐ PHỨC (PHẦN 2) pdf

Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ


Biên t
ậ
p viên : Nguy
ễn Thu Hương


2011
1
KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ SỐ PHỨC (PHẦN 2)
I. Dạng lượng giác
II. Định nghĩa Môdun của số phức:
Môdun của số phức z = a + bi là một số
thực dương được định nghĩa như sau:


22
barzMod 
ký hiệu z
vậy môdun của số z bằng khoảng cách
từ điểm M biểu thị nó đến gốc tọa độ .
Ví dụ: Tìm môdun của số phức sau: z = 4 + 3i
Giải :
Ta có a = 4 , b = 3 vậy Mod(z) = 534
22

III. Định nghĩa argument của số phức :
2 2
2 2 2 2

a bi
z a bi a b
a b a b
 
    
 
 
 
 
Trong đó
 
2 2
2 2
2 2
r a b
a
cos z r cos sin i
a b
b
sin
a b


 



      





 




là dạng lượng giác
Mọi nghiệm của hệ phương trình
2 2
2 2
a
cos
a b
b
sin
a b

 





 



gọi là argument của số phức
z a bi

 
0

. Mọi argument của số phức z khác nhau bội lần

2
và ký hiệu thống
nhất Argz .mỗi giá trị argument trùng với véctơ bán kính
OM
của điểm M
Imz
b
M(a; b)  a + bi
r

Trục thực
Rez

a
Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ


Biên t
ậ
p viên : Nguy
ễn Thu Hương


2011
2

Góc

được giới hạn trong khoảng
0 2
   
hoặc
    

Ví dụ: Tìm argument của số phức
z 1 3i
 

Giải :
a 1 , b 3
 
ta tìm góc


a 1
cos
r 2
3
b 3
sin
r 2

  




  


  


vậy Argz =
3


IV. Bằng nhau giữa hai số phức ở dạng lượng giác:
1 2
1 2
1 2
k2
z z
r r
    

 




V. Phép nhân ở dạng lượng giác:
Nhân hai số phức ở dạng lượng giác: môđun nhân với nhau và argument cộng lại.





1 2 1 2 1 2 1 2
z .z r .r cos sin .i
 
       
 

Ví dụ: Tìm dạng lượng giác, môđun và argument của số phức :
 


z 1 i 1 3i
  

Giải :
 


z 1 i 1 3i
2 cos sin .i 2 cos isin .
4 4 3 3
  
   
   
    
   
   

2 2 cos isin
4 3 4 3
2 2 cos sin i

12 12
   
   
   
   
   
 
   

VI. Phép chia ở dạng lượng giác:
Chia hai số phức ở dạng lượng giác: môđun chia cho nhau và argument trừ ra.
Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ


Biên t
ậ
p viên : Nguy
ễn Thu Hương


2011
3
1 1
2 2
z r
z r






1 2 1 2
cos sin .i
 
      
 

Ví dụ: Tìm dạng lượng giác, môđun và argument của số phức :
2 12i
z
3 i


 

Giải :

1 3
4 i
2 2
2 12i 2 2 3i
z
3 i 3 i
3 1
2 i
2 2
2 cos isin
7 7
3 3
2 cos isin

5 5
6 6
cos isin
6 6
 

 
 
 
 
  
 
   


 
 
 
 
 

 
 
 
 
    
 
 
 


VII. Dạng mũ số phức
1. Định lý Euler (1707-1783):
i
z e cos isin

    

Ví dụ: Tìm dạng mũ của số phức sau.
z 3 i
  

Giải :

5
i.
6
3 1
z 3 i 2 i
2 2
5 5
2 cos isin
6 6
2e

 
     
 
 
 

 
 
 
 
 


Ví dụ: Biểu diễn các số phức sau lên mặt phẳng phức :
2 i
z e
 


Giải :

 
2 i 2 i
2
z e e e
e cos isin
  
 
   

Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ


Biên t
ậ
p viên : Nguy

ễn Thu Hương


2011
4
Môđun không thay đổi, suy ra tập hợp các điểm là đường tròn.
2. Dạng lũy thừa
  
 
 
2 2 2
3
3 3 2 2 2 3 3
z a bi
z z.z a bi a bi a b 2abi
z a bi a 3a bi 3ab i b i
 
      
      

 
n
n
n k n k k
n
k 0
0 n 0 1 n 1 1 0 1 n 1 1 0 n
n n n n
z a bi C a b
C a b C a b C a b C a b

A Bi


 
  
    
 


Ví dụ: Tính
5
z
của
z 2 i
 

Giải :
5
k 5 k k
5
k 0
1 5 0 1 4 1 2 3 2 3 2 3 4 1 4 1 0 5
5 5 5 5 5 5
1
z 2 i C 2 i
C 2 i C 2 i C 2 i C 2 i C 2 i C 2 i
32 80i 80 40i 10 i
38 41i



  
     
     
  


3. Lũy thừa bậc n của số phức i:
2
3 2
4 2 2
i i
i 1
i i .i i
i i .i 1

 
  
 

5 4
6 4 2
7 4 3
8 4 4
i i .i i
i i .i 1
i i .i i
i i .i 1
 
  
  

 

vậy ta có qui luật sau đây .
Giả sử n là số tự nhiên, khi đó
n r
i i

, với r là phần dư của n chia cho 4.
Ví dụ: Tính z của
403
z i


Giải :
Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ


Biên t
ậ
p viên : Nguy
ễn Thu Hương


2011
5
Ta . 403 = 100.4 +3

403 100.4 3 3
z i i i 1


    

về bài toán dễ ta có thể làm theo cách này nhưng bài toán phức tạp ta nhờ vào công
thức De Moivre .
4. De Moivre : Cho r > 0, cho n là số tự nhiên. Khi đó ta có:
   
n
n
r cos isin r cosn isinn
 
      
 

Ví dụ: Sử dụng công thức de Moivre’s, tính:


25
25
z 1 i
 
Giải :

1 1
z 1 i 2 i
2 2
2 cos isin
4 4
 
   
 

 
 
 
 
 
 

vậy .
 
 
25
25
25
25 25
z 1 i 2 cos isin
4 4
 
 
   
 
 

= 4096 2 cos isin
4 4
 
 

 
 

5. Định nghĩa căn bậc n của số phức:
Căn bậc n của số phức z là số phức w, sao cho w
n
= z, trong đó n là số tự nhiên
z a bi cos isin
     

 
n
n
n
k
z r cos isin
k2 k2
z r cos isin
n n
    
     
 
 
 
 

với


k 1,2,3, n 1
 

Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ

Biên t
ậ
p viên : Nguy
ễn Thu Hương


2011
6
Căn bậc n của số phức z có đúng n nghiệm phân biệt.
6. Số nghiệm của một đa thức:
Nhà bác học người Đức Carl Friedrich Gauss (1777-1855) chứng minh rằng mọi đa
thức có ít nhất một nghiệm.
Đa thức P(z) bậc n có đúng n nghiệm kể cả nghiệm bội.
Nếu đa thức với hệ số thực, chúng ta có một hệ quả rất quan trọng sau đây .
Nếu a + bi là một nghiệm phức của đa thức P(z) với hệ số thực, thì a – bi cũng là
một nghiệm phức.
Ví dụ: Tìm đa thức bậc 3 với hệ số thực nhận
1
z 3i

và
2
z 5 i
 


Giải :
Vì i3z

1
 và i5z
2
 là hai nghiệm nên
1
z 3i
 
và
2
z 5 i
 
cũng hai nghiệm vậy
không tồn tại đa thức bậc 3 thỏa ycbt.
Bài tập
1) Tính trong C
a) 9 + 5i +(7-2i) b) (2+6i)(5
)i8

c )


2
1 5i


1 2i
d)
2 i



1 itan
e)
1 itan
 
 

Giải :
a) 9 + 5i +(7-2i) = 12 +3i
b) (2+6i)(5
)i8

=
2
10 16i 30i 48i 58 14i
    

c)


2
2
1 5i 1 10i 25i 24 10i
      

Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ


Biên t
ậ

p viên : Nguy
ễn Thu Hương


2011
7




  
2
1 2i 2 i
1 2i 2 i 4i 2i 5i
d)
2 i 2 i 2 i 3 3
 
   
   
  





  
2
2 2
2
1 itan 1 itan

1 itan
e)
1 itan 1 itan 1 itan
1 2itan tan
cos 2isin cos sin
1 tan
cos2 isin2
   
 

     
   
       
 
   

2) giải phương trình trong C :
a)
2
x 2x 2 0
  

b)
2
x 5x 7 0
  

Giải :
a)
2

x 2x 2 0
  

1

  


1,2
x 1 1
  
phương trình có hai nghiệm phức :

1 2
x 1 i , x 1 i
   

b)
2
x 5x 7 0
  


3
  


1,2
5 3
x

2
 
 phương trình có hai nghiệm phức

1 2
5 3i 5 3i
x , x
2 2 2 2
   
3) Tìm nghiệm thực của phương trình :
a)
x 6i 7 yi
  

Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ


Biên t
ậ
p viên : Nguy
ễn Thu Hương


2011
8
b)





1 i x 2 5i y 4 17i
      

c) 12










2x i 1 i x y 3 2i 17 6i
      

Giải :
a)
x 7
y 6



 


b)





1 i x 2 5i y 4 17i
      


 
x xi 2y 5yi 4 17i
x 2y x 5y i 4 17i
x 2y 4 x 2
x 5y 17 y 3
     
     
   
 
 
 
  
 

a) 12
     
 
17 6i
2x i 1 i x y 3 2i
12

 
     
 

 




   
2
2x 2xi i i 3x 2xi 3y 2yi
1 5x 3y 1 2y i
      
     


1
17
x
1 5x 3y
3
12
6
1
1 2y y
12
4


   

 


 
 
 






4) Giải phương trình trong C :
a)




2
x 1 i x 1 i 0
    

b)


2
x 1 2i x i 1 0
    

Giải :
a)





2
x 1 i x 1 i 0
    

Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ


Biên t
ậ
p viên : Nguy
ễn Thu Hương


2011
9





2
x
1 i 4 1 i
4 2i
    
 

gọi



2
a bi 4 2i
  


2 2
a b 2abi 4 2i
    


2 2
2 2
2 2
2
2
a b 4
a b 4
2ab 2
a b 2 5
a 5 2
a 5 2
b 5 2
b 5 2
a 5 2
ab 1
b 5 2

 


 

 
 
 
 





 




 



  
 

   




  


 






 




Vậy phương trình có nghiệm:
 


1,2
1 i 5 2 i 5 2
x
2
     

b)


2
x 1 2i x i 1 0
    

   
2
x
2
1 2i 4 i 1
4i 5 1
    
  

Vậy phương trình có nghiệm:
1 2
x 1 i , x i
    

5) Tìm đa thức bậc 4 với hệ số thực nhận
1
z 3i

và
2
z 2 i
 
làm nghiệm .
Giải :
Đa thức cần tìm là .










    
  
1 1 2 2
2 2
f(z) z z z z z z z z
z 3i z 3i z (2 i) z (2 i)
z 9 z 4z 5
    
      
   

Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ


Biên t
ậ
p viên : Nguy
ễn Thu Hương


2011
10
6) Tìm tất cả các nghiệm của
4 3 2
P(z) z 4z 14z 36z 45

     biết
z 2 i
 
là một
nghiệm .
Giải :
Bởi vì đa thức với hệ số thực và 2 + i là một nghiệm, theo hệ quả ta có 2 –i là một
nghiệm.
P(z) có thể phân tích thành:




2
z (2z i z (2 i) z 4z 5
      

P(z) có thể tách thành:




2 2
P(z) z 4z 5 z 9
   

Mà





2
z 9 z 3i z 3i
   
vậy phương trình có 4 nghiệm:
2 i, 2 i ,3i, 3i
  

7) Giải phương trình sau trong C :
9
z i 0
 

Giải:
9
9
9
k
z i 0 z i cos isin
2 2
k2 k2
2 2
z cos isin
9 9
 
        
 
     
  

với
8, ,2,1,0k


8) Giải phương trình sau trong C
5
a)z 1 i 0
  

2
b)z z 1 0
  

2
c)z 2z 1 i 0
   

Giải :
a)
Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ


Biên t
ậ
p viên : Nguy
ễn Thu Hương


2011
11

5
5
5
5
1 1
z 1 i 0 z 1 i 2 i
2 2
3 3
2 cos isin
4 4
 
         
 
 
 
 
 
 
 

10
k
3 3
k2 k2
4 4
z 2 cos isin
5 5
 
 
   

 
  
 
 
 

với
4,3,2,1,0

k

2
b)z z 1 0
  

3
  
phương trình có hai nghiệm .

1,2
1 3 1 i 3
x
2 2
    
 

1 2
1 3 1 3
x i , x i
2 2 2 2

     
2
c)z 2z 1 i 0
   

i

 
phương trình có 2 nghiệm
1,2
z 1 i
  

9) Mô tả hình học các tập số phức thỏa mãn các điều kiện sau :

a) Rez 0
b) 0 Imz 1
c) Imz 2
d) z 1
e) z 1 2

 


 

f)1 z 2 2
g) z 1 Rez
k) z 1 z 2
m)0 argz

4
n) argz
4
  
 
  

 

  

Giải :
Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ


Biên t
ậ
p viên : Nguy
ễn Thu Hương


2011
12
a) Rez 0 x 0
  
là nửa mặt phẳng
x 0


b) 0 Imz 1

 
0 y 1
  
là dải
0 y 1
 

c) Imz 2 y 2
  
là dải
2 y 2
  

d) z 1

đặt
z x yi
 
ta có
2 2
z x y
 
2 2
x y 1
  
là phần trong của có tâm
I(0;0) bán kính R=1
e) z 1 2
 
đặt

z a bi
 
ta có

   
2
2
z i x 1 yi x 1 y 2
       

Là phương trình đường tròn tâm I(-1,0) bán kính R=4 .
f)1 z 2 2
  
đặt
z x yi
 
ta có

   
 
2
2
2
2
z 2 x 2 yi x 2 y
1 x 2 y 4
      
   

Là hình khuyên giữa 2 đường tròn



2
2
x 2 y 1
  
và


2
2
x 2 y 1
  
mà


2
2
x 2 y 1
  
không thuộc hình khuyên
g) z 1 Rez
  đặt
z x yi
 
ta có

2 2 2 2 2
2
x y 1 x x y 1 x 2x

y 1 2x
       
 

vậy


2
D x,y y 1 2x
  

k) z 1 z 2
  
đặt
z x yi
 
ta có
Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ


Biên t
ậ
p viên : Nguy
ễn Thu Hương


2011
13

   

   
   
2
2
2
2
2 2
2 2
z 1 x 1 yi x 1 y
z 2 x 2 yi x 2 y
ycbt x 1 y x 2 y
4x 2y 3 0
      
      
     
   

Là phương trình đường thẳng
4x 2y 3 0
  

m)0 argz
4

 
là hình quạt được giới hạn bởi


1
l x,y y 0,x 0

  
và


2
l x,y y x,x 0
  


n) argz argz
4 4 4
3 5
argz
4 4
  
        
 
  

Là hìmh quạt giới hạn bởi các tia .



1
l x,y y x,x 0
  
và


2

l x,y y x,x 0
   

10) Tìm dạng mũ của số phức sau:
z 3 i
  

Giải :

5
i.
6
5 5
z 3 i 2 cos isin
6 6
2e

 
 
    
 
 


11) Chứng minh công thức Ơle (Euler) :
i i
e e
cos
2
  


 
Giải :
Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ


Biên t
ậ
p viên : Nguy
ễn Thu Hương


2011
14
Ta có
i
i
e cos isin
e cos isin

 

   


   



i i
e e cos isin cos isin
cos
2 2
  
       
   

12) Chứng minh công thức Ơle (Euler):
i i
e e
sin
2i
  

 
Giải :
Ta có
i
i
e cos isin
e cos isin

 

   


   





i i
e e cos isin cos isin
sin
2i 2i
  
       
  

Bài tập tự làm
13) Chứng minh công thức Moivre : Nếu
i
z r.e

 thì
n n in
z r .e


14) Tính theo Moivre :


 
 
 
 
10
5

3
20
6
8
a) 1 i
1 i
b)
1 i
1 3i
c)
1 i
d) 1 i 1 i 3



 

 
 

 
 

15) Chứng minh các đẳng thức :
 
 
n
n
2
n

n
n n
a) 1 i 2 cos isin
4 4
n n
b) 3 i 2 cos isin
6 6
 
 
  
 
 
 
 
  
 
 

Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ


Biên t
ậ
p viên : Nguy
ễn Thu Hương


2011
15
16) Tìm căn bậc 3 của số:

a 2 2i 3
  

17) Tìm nghiệm của đa thức
6 3
z 2z 1
 
:
18) Giải phương trình trong C :
2
a) z 2z 5 0
  

2
b)4 z 2z 1 0
  



2
c) z 2i 3 z 5 i 0
    

3
d)z 1 0
 



4

e) z 1 16
 



4
f) z 1 16
  

19) Tìm tất cả các nghiệm của
4 3 2
P(z) z 6z 9z 100
    biết
z 1 2i
 
là một nghiệm
.