CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2009 pot

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT
VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2009
Môn: TOÁN
Chuyên đề:
SỰ TƯƠNG GIAO
I. MỤC ĐÍCH CHUYÊN ĐỀ
- Các bạn sẽ nắm vững phương pháp làm về sự tương giao giữa hai đường cong
- Giúp các bạn làm tốt bài tập về dạng này.
II. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Phương pháp làm bài
- Để tìm giao điểm của một đường cong y = F(x) nói chung (của lớp các hàm đa thức nói riêng)
với một đường cong y = G(x) nào đó; phương pháp chung ta quy về xét sự tồn tại nghiệm của
phương trình
F(x) = G(x) (1).
Nhìn chung (1) đều là các phương trình bậc cao (có bậc ≥ 3). Nếu có thể, các bạn tìm mọi
cách hạ bậc của (1). Ta luôn sử dụng kết quả sau:
Nếu x = a là một nghiệm đoán được của (1) thì (1) đưa được về dạng sau:
(x - a)H(x) = 0
Trong đó phương trình H(x) = 0 có bậc giảm đi 1 so với phương trình gốc (1).
- Nếu sử dụng các kết quả về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm bậc 3, ta có kết quả thông dụng
sau:
Xét phương trình sau:
F(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0, a ≠ 0 (2).
Khi đó:
1. (2) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi F(x) có cực đại, cực tiểu và
Y
max

Y
min
< 0.
2. . (2) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi F(x) có cực đại, cực tiểu và
Y
max
Y
min
= 0.
3. . (2) có 1 nghiệm khi và chỉ khi:
- Hoặc là F(x) không có cực đại , cực tiểu.
- hoặc là F(x) có cực đại, cực tiểu và Y
max
Y
min
> 0.
Cần nhấn mạnh rằng với bài toán ngoài việc đòi hỏi tính giao nhau của các đường cong bậc ba
với một đường cong khác có bậc không quá ba, ta còn quan tâm đến tính chất của các giao điểm
thì kết quả vừa dẫn ra ở trên chỉ có thể xem như một điều kiện cần. Nó chưa đủ sức mạnh để giải
hoàn toàn bài toán. Để giải quyết trọn vẹn, ta cần sử dụng thêm các kiến thức khác.

Trang 1

2. Sự tương giao hàm đa thức với trục Ox.
VD1: Cho họ đường cong phụ thuộc tham số m:
y = x
3
– 3(m+1)x
2
+ 2(m

2
+ 4m + 1)x – 4m(m+1).
Tìm m để đường cong cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ > 1.

Giaùo vieân Leâ Hoàng Sôn
www.hsmath.net
www.hsmath.net
Trang 2

Đường cong cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ > 1 khi và chỉ khi phương
x
3
– 3(m+1)x
2
+ 2(m
2
+ 4m + 1)x – 4m(m+1) = 0 (1)
có 3 nghiệm phân biệt > 1.
Do x = 2 là nghiệm của (1), nên(1) có thể viết dưới dạng sau:
(x - 2)[x
2
– 3(m+1)x

+ 2m(m + 1)] = 0 (2)
Để (2) có 3 nghiệm phân biệt > 1, thì điều kiện cần và đủ là phương trình
x
2
– 3(m+1)x

+ 2m(m + 1) = 0 có 2 nghiệm phân biệt > 1 và khác 2.

Theo định lý đảo về tam thức bậc 2, điều đó xảy ra khi:
0
(1) 0
1
2
(2) 0
af
s
f
Δ>
⎧
⎪
>
⎪
⎪
⎨
>
⎪
⎪
≠
⎪
⎩
<=>
2
2
2
210
20
3!2
242

mm
mm
m
mm
⎧
−+>
⎪
⎪
−>
⎨
+>
⎪
⎪
0
− +≠
⎩
<=>
1
2
1
m
m
⎧
>
⎪
⎨
⎪
≠
⎩

Vậy các giá trị cần tìm của m là:
1
1
2
m
< <
và m > 1.
Nhận xét
:
- Định lý đảo về dấu tam thức bậc hai nói chung là công cụ hữu hiệu để giải các bài toán
thuộc loại này.
- Tuy nhiên trong VD trên (2) có thể viết dưới dạng:
(x - 2)(x – 2m)(x – m - 1) = 0
<=> x = 2, x= 2m, x = m + 1.
Vì thế ta cần có:
21,22
11; 12
21
mm
mm
mm
>≠
⎧
⎪
+> +≠
⎨
⎪
≠+
⎩
<=>

1
2
1
m
m
⎧
>
⎪
⎨
⎪
≠
⎩

Đó là cách giải trực tiếp không thông qua định lý đảo về dấu tam thức bậc hai.
VD2
: Biện luận theo m số giao điểm với trục hoành của đường cong:
y = x
3
– 3x
2
+ 3(1 – m )x + 3m+1.
Bài giải:
Ta có y’ = 3x
2
– 6x + 3(1 –m ) = 3(x
2
– 2x +1 –m ).
Đường cong có cực trị <=> PT: y’ = 3(x
2
– 2x +1 –m ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt

<=> Δ
’
= 1 – (1 – m ) = m > 0 (1)
Ta có nhận xét sau:
x
3
– 3x
2
+ 3(1 – m )x + 3m+1 = (x
2
– 2x +1 –m )(x - 1) + 2 (-mx + 1 + m).
Bài giải:
trình
Hay: y =
1
3
y’ (x - 1) + 2 (-mx +1+m) (2)
Đẳng thức (2) chứng tỏ rằng: Nếu(x
1
, y
1
) và (x
2
, y
2
) là các điểm cực trị của hàm số thì:

11
22
2( 1 )

2( 1 )
ymxm
ymx
=− ++
⎧
⎨
=− ++
⎩
m
Bây giờ ta biện luận số giao điểm của đường cong với trục hoành như sau:
1. Đường cong cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất khi:
a. Hoặc là đường cong không có cực đại, cực tiểu.
<=>Δ
’
≤ 0
<=> m ≤ 0
Giaùo vieân Leâ Hoàng Sôn
www.hsmath.net
www.hsmath.net
Trang 3

b. Hoặc là có cực đại, cực tiểu nhưng y
1
y
2
> 0. Điều đó xảy ra khi:
12
0
0
m

yy
>
⎧
⎨
>
⎩

⇔
22
12 1 2
0
(1 )( ) (1 ) 0
m
mxx m m x x m
>
⎧
⎪
⎨
−+ +++ >
⎪
⎩
(3)
(4)
Do x
1,
x
2
là hai nghiệm của phương trình x
2
– 2x + 1 – m = 0, nên

x
1
+ x
2
= 2; x
1
x
2
= 1 – m
Thay vào (4) và có:
(3),(4)
⇔
3
0
10
m
m
>
⎧
⎪
⎨
−+>
⎪
⎩
⇔
0 < m < 1
Kết hợp lại ta có: Đường cong cắt trục hoành tại một điểm duy nhất khi m<1
2. Đường cong cắt trục hoành tại 2 điểm khi đường cong có cực trị và y
1
y

2
=0 Điều này xảy ra
khi:
12
0
0
m
yy
>
⎧
⎨
=
⎩
⇔
3
0
10
m
m
>
⎧
⎪
⎨
−+=
⎪
⎩
⇔
m=1
3. Tương tự đường cong cắt trục hoành tại 3 điểm khi m > 1.
VD3:

Cho đường cong y = x
3
– 3x
2
+( 2m - 2 )x + m - 3.
Tìm m để đường cong cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x
1
, x
2
, x
3
thoả mãn điều
kiện: x
1
< -1 <x
2
< x
3

Bài giải:
Điều kiện cần: Giả sử m là giá trị thoả mãn yêu cầu bài toán. Khi đó ta có:
F(x) = x
3
– 3x
2
+( 2m - 2 )x + m – 3= (x – x
1
)(x – x
2
)(x – x

3
).
Ta giả thiết: x
1
< -1 <x
2
< x
3
ta suy ra F(-1) > 0.
=> -m – 5 > 0
=> m < -5
Vậy m < -5 là điều kiện cần để thoả mãn điều kiện đề ra.
Điều kiện đủ: giả sử m < -5. Ta có:
F(-1) = -m – 5 > 0
F(0) = m – 3 < 0 (Do m < -5).
Vì ,nên tồn tại b<-1 ,sao cho F(b)<0
lim ( )
x
Fx
→−∞
=−∞

Vì: , nên tồn tại a>0 , sao cho F(a)>0.
lim ( )
x
Fx
→+∞
=+∞
Từ tính liên tục của F(x) và do F(b) < 0; F(-1) > 0; F(0) < 0; F(a) > 0;
nên tồn tại x

1
, x
2
, x
3
thoả mãn: x
1
< -1 <x
2
< x
3
khi và chỉ khi m < -5.
Nhận xét: Ba Vd trên cho ta các cách giải khác nhau, và đó cũng chính là các cách thường gặp
nhất:
- Hạ bậc phương trình rồi dùng định lý đảo về dấu tam thức bậc 2.
- Sử dụng với mối liên hệ với giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.
- Sử dụng các kiến thức khác.
Đó chính là các lược đồ chung nhất để xét các bài toán về điểm cắt đối với các đường cong đa
thức bậc ba.
VD4:
Cho đường cong y = x
3
- 3 mx
2
+ 2m (m - 4)x + 9m
2
– m .
Tìm m để đường cong chắn trên trục hoành 2 đoạn bằng nhau.
Bài giải
Giaùo vieân Leâ Hoàng Sôn

www.hsmath.net
www.hsmath.net

Điều kiện cần:

Giả sử đường cong chắn trên trục hoành hai đoạn bằng nhau, tức là đường cong cắt trục
hoành tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho: BA = BC
Giả sử x
1
, x
2
, x
3
tương ứng là hoành độ của A, B, C
Khi đó ta có: x
2
- x
1
= x
3
- x
2

=> x
3
+ x
1
= 2x
2

=> x
1
+

x
2
+ x
3
= 3 x
2

Vì x
1
, x
2
, x
3
là 3 nghiệm của phương trình bậc 3
x
3
- 3mx
2
+ 2m(m - 4)x + 9m
2
- m = 0 (1)
nên theo định lý Viet với (1), và có x
1
+

x

2
+ x
3
= 3 m
Từ đó có 3m = 3x
2
=> x
2
= m
Do m là nghiệm của (1), nên thay vào (1) ta có
m
3
- 3m
3
+ 2m
2
(m - 4) + 9m
2
- m = 0
<=> m
2
- m = 0
<=>
0
1
m
m
=
⎡
⎢

=
⎣
Vậy điều kiện cần là: m = 0 hoặc m = 1
Điều kiện đủ:
-Nếu m = 0 => đường cong trở thành y = x
3

Rõ ràng y = x
3
chỉ cắt trục hoành tại một điểm => loại trường hợp này
- Nếu m = 1 => y = x
3
- 3x
2
- 6x + 8
Từ y = 0 <=> (x - 1) (x
2
- 2x - 8) = 0
Trang 4

<=> x
1
= 1, x
2
= -2, x
3
= 4
Rõ ràng đường cong cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ x
1,
x

2
, x
3
sao cho:
x
2
- x
1
= x
3
- x
2 ,
tức là chắn trên trục hoành 3 đoạn bằng nhau.
Vậy m = 1 là giá trị của tham số m cần tìm.
3. Sự tương giao của hàm phân thức.
Các bài toán thuộc loại này thường có dạng sau: Tìm điều kiện để đường cong (C) biểu
diễn hàm phân thức và một đường (C’) cho trước cắt nhau và hoành độ các giao điểm thỏa mãn
một điều kiện cho trước nao đó. Hãy xét các thí dụ sau đây:
Thí dụ 1.
Chứng minh rằng đường cong y =
2
2
1
x
x
x
+
+
và đường thẳng y = -x - 3 cắt nhau tại 2
điểm phân biệt đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x .

Giải: Xét phương trình
2
2
1
x x
x
+
+
= - x - 3 với điều kiện x
1≠ −
Ù
x
2
+ 2x = - x
2
- 4x = 3
Ù
2x
2
+ 6x + 3 = 0 (1)
Rõ ràng (1) có hai nghiệm phân biệt (vì
'Δ
= 3 > 0)
Gọi M
1
(x
1
, -x
1
- 3) và M

2
(x
2
, -x
2
- 3) là hai giao điểm của hai đường trên.
Đường thẳng qua M
1
M
2
có hệ số góc
k =
21
21
(3)(3)
1
xx
xx
−−−−−
=−
−
.
Giaùo vieân Leâ Hoàng Sôn
www.hsmath.net
www.hsmath.net

Trang 5

Vì vậy, M
1
M
2
nằm trên đường thẳng vuông góc với y = x
Gọi I là trung điểm M
1
M
2
, thì toạ độ (x
0
, y
0
) của I là
x
0
=
12
2
x x+
y
0
=
12
21

(3)( 3)
1
xx
xx
−−+− −
= −
−
Do x
1
, x
2
là hai nghiệm của (1), nên theo định lí Viet, ta có x
1
+ x
2
= - 3 .
Thay vào (2) ta có: x
0
= y
0
=
3
2
−
Điều đó chứng tỏ rằng I nằm trên đường thẳng y = x
Nói cách khác, M, N đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x. Đó là đ.pc.m.
Thí dụ 2.
Cho y =
2
3

1
x
x
+
+
(C)
Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M(2,
2
5
) sao cho (d) và (C) cắt nhau tại hai
điểm phân biệt A và B, sao cho M là trung điểm của AB.
Giải : Vì y =
2
3
1
x
x
+
+
là đường cong thuần tuý (ứng vưói một x chỉ có một y tương ứng),
nên đường thẳng x = 2 không thể cắt (C) tại hai điểm phân biệt, cho nên đường thẳng cần tìm
phải có dạng y = k(x - 2) +
2
5
(d)
Trước hết ta tìm k để (d) và (C) cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Muốn vậy xét phương
trình:
2
3
1

x
x
+
+
= k(x - 2) +
2
5
Ù
5(1 - k)x
2
+ (5k - 2) + 10k + 13 = 0 (1)
( do x=-1 không phải là nghiệm của
2
3x +
).
Để (1) có hai nghiệm phân biệt ta cần có
(5k - 2)
2
+ - 20(1- k) (10k + 3)> 0 (2)
Khi đó (1) có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
và hai giao điểm của (C) với (d) là
1
, k(x
1
-
2) +
2

5
) và J(x
2
, k(x
2
- 2) +
2
5
Rõ ràng M, I, J cùng nằm trên (d), do đó M là trung điểm của IJ nếu như
2x
M
= x
I
+ x
J
Ù
4 = x
1
+ x
2

Ù
4 =
52
5( 1)
k
k
−
−
Ù

20k - 20 = 5k - 2
Ù
k =
6
5
(3)
Thay (3) vào (2) thấy đúng. Vậy k =
6
5
là giá trị duy nhất của tham số m thoả mãn yêu
cầu đề ra.
Thí dụ 3: Cho y =
2
1
1
x
x
x
+ −
−
(C)
I(x
Giaùo vieân Leâ Hoàng Sôn
www.hsmath.net
www.hsmath.net

Trang 6

Tìm m để (C) cắt y = -x + m tại hai điểm phân biệt A và B. Chứng minh rằng khi ấy A, B
thuộc cùng 1 nhánh của đồ thị (C).
Giải : Để y = -x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt, điều kiện là phương trình:
2
1
1
x
x
x
+−
−
= -x + m có hai nghiệm phân biệt
≠
1. Vì x = 1 không phải là nghiệm của x
2
+
x - 1, nên điều đó xảy ra khi phương trình
x
2
+ x - 1 = (x - 1)(-x + m) (1) có hai nghiệm phân biệt. Ta có thể viết lại (1) dưới dạng
sau :
f(x) = 2x
2
- mx + m - 1 = 0 (2) .
(1)
có hai nghiệm phân biệt khi

Δ
= m
2
- 8m + 8 > 0
Ù
m < 4 - 2
2
hoặc m > 4 + 2
2
(3)
Với điều kiện (3) ta có:
af(1) = 2 > 0 . Vậy 1
∉
[
]
12
,
x
x
, ở đây x
1,
x
2
là hai nghiệm của (2). Điều này chứng tỏ
rằng cả hai giao điểm A, B giữa (C) và y = -x + m nằm về cùng một phía của đường thẳng x = 1,
tức là A, B thuộc cùng một nhánh của đồ thị của (C) => đpcm.
III. CỦNG CỐ KIẾN THỨC
Bài tập 1:
Cho y =
2

8xmx
xm
+ −
−
(C
m
)
Tìm m để C
m
cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A, B sao cho các tiếp tuyến với (C
m
)
tại A và B vuông góc với nhau.
Giải : Đường cong (C
m
) và trục hoành Ox cắt nhau tại hai điểm phân biệt (mà ta sẽ gọi là
A, B) khi và chỉ khi hệ sau
2
8xmx
x
m
+−
−
= 0
x m
≠
có hai nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi và chỉ khi hệ
f(x) = x
2
+ mx - 8 = 0

f((m) 0
≠
có hai nghiệm phân biệt , tức là:
Δ
= m
2
+ 32 > 0 . (1)
Từ (1) suy ra với mọi m, C
m
và Ox luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi x
1
, x
2
tương ứng là hoành độ của A và B thì x
1
, x
2
là hai nghiệm phân biệt của phương trình :
8 = 0 . (2)
Ta có y
’
=
22
2
28
()
x
mx m
xm
−+−

−
= 1 +
2
2
82
()
m
x
m
−
−
.
Tiếp tuyến với (C
m
) tại A, B tương ứng có hệ số góc là
k
1
= 1 +
2
2
1
82
()
m
x
m
−
−
k
2

= 1 +
2
2
2
82
()
m
x
m
−
−
.
x
2
+ mx -
Giaùo vieân Leâ Hoàng Sôn
www.hsmath.net
www.hsmath.net

Trang7

Áp dụng định lý Viet với (2), ta có
x
1
+ x
2
= - m; x
1
x
2

= - 8, suy ra
2
1
x
+
2
2
x
= (x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2
= m
2
+ 16 ,
(x
1
- m) (x
2
- m) = x
1
x
2
- m (x

1
+ x
2
) + m
2
= - 8 + 2m
2 .

Thay lại vào trên và có
k
1
k
2
= - 1 1 + (8 - 2m
2
)
⇔
22
22
16 4
(2 8)
mm
m
++
−
+
22
2
(8 2 )
(2 8)

m
m
−
−
2
= -1
⇔
3 -
2
2
51
28
m
m
+
−
6
= 0 m =
⇔ ±
40 .
Vậy có hai giá trị cần tìm của tham số m là m =
±
2 10 .
Bài tập 2
: (Đại học, Cao đẳng khối D năm 2003)
Tìm m để

đường thẳng y = mx + 2 - 2m cắt đường cong y =
2
24

2
xx
x
− +
−
tại hai điểm phân
biệt.
Bài giải
Đường cong y =
2
24
2
xx
x
−+
−
và y = mx + 2 - m cắt tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi
phương trình:
2
24
2
2
xx
m
m
−+
=+−
−
m
có hai nghiệm phân biệt, tức là phương trình

x
2
- 2x + 4 = (m - 2) (mx + 2 - m)
Ù
(m - 1) (x - 2)
2
= 4 có hai nghiệm phân biệt
≠
2
Điều đó xảy ra khi và chỉ khi m - 1 > 0
Ù m > 1
Bài tập 3
: (Đại học, Cao đẳng khối A - 2004)
Cho y =
2
33
2( 1)
x
x
x
−+−
−
(C)
Tìm m để

đường thẳng y = m cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB = 1
Bài giải
Xét phương trình
2
33

2( 1)
xx
m
x
−+−
=
−
(1)
Do x = 1 không phải là nghiệm của - x
2
+ 3x - 3, nên
(1)
Ù
- x
2
+ 3x - 3 = 2m(x-1)
Ù
x
2
+ (2m -3)x + 3 - 2m = 0 (2)
Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm phân biệt của (2). Để có điều này ta cần có
Δ = (2m - 3)
2
- 4(3 - 2m) > 0
Ù
4m

2
- 4m - 3 > 0
Ù
3
2

hoặ
1
2
(3)
c
m >
Để hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau, ta cần có
k
1
, k
2
= - 1 1 + (8 - 2m
2
)
⇔
22
12
11
()()xm x m
⎡ ⎤
+
⎢ ⎥
−−
⎢ ⎥

⎣ ⎦
+
22
22
12
(8 2 )
()( )
m
x
mxm
−
−−
⇔
1 + (8 - 2m
2
)
[]
22
11 12
2
12
1( ) 22
()( )
x
xmxx m
xmx m
+− + +
−−
+
22

2
12
(8 2 )
()( )
m
xmx m
−
⎡ ⎤
−−
⎣ ⎦
.
Giaùo vieân Leâ Hoàng Sôn
www.hsmath.net
www.hsmath.net

Trang 8

Ta có giao điểm A, B là A (x
1
, m) . B (x
2
, m)
Từ

đó AB = 1
Ù

21
1xx−=

Ù
(x
2
- x
1
)
2
= 1
Ù
(x
2
+ x
1
)
2
- 4x
1
x
2
= 1 (4)
Áp dụng định lí Viet đối với (2), thì x
1
+ x
2
= 3 - 2m, x
1
x
2
= 3 - 2m
Thay lại vào (4) ta có:

(3 - 2m)
2
- 4 (3 - 2m) = 1
Ù
m
2
- m - 1 = 0
Ù
m =
15
2
±
(5)
Kết hợp (3), (5) suy ra m =
15
2
±

Vậy có hai giá trị của tham số m thoả mãn đầu bài .
IV. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài tập 1
. Chứng minh rằng với mọi m, đường thẳng y =
1
2
x - m luôn cắt (c) tại hai điểm phân
biệt A và B. Tìm m sao cho AB là nhỏ nhất.
Đáp số:
nên AB = 10 khi m = -2
Bài tập 2
. Tìm m để (C) : y =

2
x
xm
xm
−++
+
cắt đường thẳng (d) y = x - 1 tại 2 điểm phân biệt.
Đáp số:
m < - 6 -
42
hoặc m > - 6 +
42
(vì m
≠
0)
Bài tập 3
:Tìm m để đồ thị hàm số y =
2
1
1
x
mx
x
+ −
+
cắt y = m tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho
.
AB OB⊥
Đáp số:
m =

15
2
−±

Bài tập 4:
Cho đường cong y = x
3
- x
2
+ 18mx - 2m
Tìm m để đường cong cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x
1
, x
2
,x
3
,sao cho x
1
< 0
< x
2
< x
3.
Đáp số: m < 0
Bài tập 5
: Cho hàm số . Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm M(0;-1) và có hệ
số góc là k. Tìm k để đường thẳng (d) cắt (C) tạo 3 điểm phân biệt.
32
23yx x
=−−

1
Bài tập 6
: Cho hàm số :
2
24
2
xx
y
x
−+
=
−
(1) và đường thẳng (d): y = mx+2-2m. Tìm m để đường
thẳng (d) cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt



Giaùo vieân Leâ Hoàng Sôn
www.hsmath.net
www.hsmath.net