Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.55 MB, 4 trang )
Chương 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH (TT)
5.3 Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
5.3.1. Mệnh đề:
Cho f L(V, W). Khi đó:
i) Ký hiệu Im(f) = f(V) = không gian ảnh của ánh xạ tuyến tính f
= ảnh của toàn bộ V qua ánh xạ tuyến tính f
ii) Nếu a là một cơ sở của V thì f(a) là một tập sinh của Im(f) = f(V).
Từ tập sinh f(a) của Im(f), ta sẽ tìm ra một cơ sở của Im(f).
iii) Chọn K = { } W thì f-1(K) V
Ký hiệu ker(f) = f-1 ( W) ={ V /f( ) = W }
Muốn tìm cơ sở cho ker(f) ta chỉ cần tìm cơ sở cho không gian lời giải
(không gian nghiệm) của hệ phương trình tuyến tính f(x) = .
Ví dụ:
f : R4 R4
(u, v, w, t) (u + 2v + 4w – 7t, -3u – 2v + 5t, 2u + v – w – 2t, 3u + v – 3w
– t)
Tìm cơ sở cho Im(f)
Chọn một cơ sở a tùy ý của R4, chẳng hạn: ta chọn cơ sở chính tắc như sau:
f( 1) = f(1, 0, 0, 0) = ( 1, -3, 2, 3)
f( 2 ) = f(0, 1, 0, 0) = (2, -2, 1, 1)
f( 3) = f(0, 0, 1, 0) = (4, 0, -1, -3)
f( 4) = f(0, 0, 0, 1) = (-7, 5, -2, -1)
Ta sẽ đi tìm cơ sở từ một tập sinh:
Lập ma trận:
Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ma trận về dạng bậc thang
Im(f) có một cơ sở là D = { 1 = (1, -3, 2, 3), 2 = (0, 4, -3, 5)} => dimIm(f)
= 2
· Tìm một cơ sở cho không gian Ker(f)