Ôn toán (Nguyễn Đức Tuấn - ĐH Thủy Lợi Hà Nội) - 2 potx

Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
8

Chương 2: Phương trình lượng giác, mũ, logarit

Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I. Phương trình lượng giác cơ bản

Khi gi
ả
i các ph
ươ
ng trình l
ượ
ng giác cu
ố
i cùng d
ẫ
n
ñế
n phép gi
ả
i các ph
ươ
ng trình
l
ượ
ng giác c
ơ
b

ả
n. Ta c
ầ
n ghi nh
ớ
b
ả
ng sau
ñ
ây:

Ph
ươ
ng trình
ð
i
ề
u ki
ệ
n có nghi
ệ
m
ðư
a v
ề
d
ạ
ng Nghi
ệ
m

sinx = m
1
m
1
≤
≤
−

sinx = sin
α




π+α−π=
π+α=
2kx
2kx

cosx = m
1
m
1
≤
≤
−

cosx = cos
α

α
±
+ k2
π

tgx = m m
ọ
i m
tgx = tg
α

α
+ k
π

cotgx = m m
ọ
i m
cotgx = cotg
α

α
+ k
π


Ở
b
ả
ng trên k nh

ậ
n m
ọ
i giá tr
ị
nguyên (
Z
k
∈
) .
ðơ
n v
ị
góc th
ườ
ng dùng là radian.
ðể
thu
ậ
n l
ợ
i cho vi
ệ
c ch
ọ
n
α
ta c
ầ
n nh

ớ
giá tr
ị
c
ủ
a hàm l
ượ
ng giác t
ạ
i các góc
ñặ
c bi
ệ
t.
ðườ
ng
tròn l
ượ
ng giác s
ẽ
giúp ta nh
ớ
m
ộ
t cách rõ ràng h
ơ
n.

Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
9

Ví dụ 1.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
a) sin3x =
2
2
; b) sin(2x -
5
π
) = 1; c) sin(
π
x
) = 0.
Ví dụ 2
. Gi
ả
i ph

ươ
ng trình:
a) cos2x = cos
5
π
; b) cos(3x -
3
π
) = cos(x +
2
π
); c) cosx = sin(2x +
4
π
).
Ví dụ 3
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
0)
3
8
xcos
3
(cos
2
=
π

−
π
.
Ví dụ 4.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
)xsin3cos()xsincos(
π
=
π

Ví dụ 5
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
1)x2(sinxcos
22
=−


II
.
Phương trình bậc nhất ñối với sinx và cosx:

asinx + bcosx = c

(1) ,
0ba
22
≠+

Chia hai v
ế
c
ủ
a ph
ươ
ng trình (1) cho
22
ba +
, ta
ñượ
c:
(1)
⇔

222222
ba
c
xcos
ba
b
xsin
ba
a
+

=
+
+
+
(2)

ðặ
t
22
ba
a
+
= sin
ϕ
;
22
ba
b
+
= cos
ϕ
.
Khi
ñ
ó ph
ươ
ng trình l
ượ
ng giác có d
ạ

ng: cos(x -
ϕ
) =
22
ba
c
+
(3)
Ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m khi và ch
ỉ
khi:
222
22
cba1
ba
c
≥+⇔≤
+

Khi
ñ
ó t
ồ
n t
ạ
i

[
]
π
∈
α
;0
sao cho
22
ba
c
cos
+
=α
nên ta có:
(1)
⇔

α
=
ϕ
−
cos)xcos(

⇔

π
+
α
±
ϕ

=
2kx
;
Z
k
∈


Ví dụ 6
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: 2sin4x + 3 sinx = cosx.
Ví dụ 7
. Cho ph
ươ
ng trình: sinx + mcosx = 1
a)

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình v
ớ
i m = - 3 .
b)

Tìm m

ñể
ph
ươ
ng trình vô nghi
ệ
m.
Ví dụ 8
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: 1xsin3xcosxsin32xcos
22
=++

Ví dụ 9
. Tìm
α

ñể
ph
ươ
ng trình sau có nghi
ệ
m x
∈
IR:

2)xsin(xcos3
=α++

Ví dụ 10
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: ).x8cosx6(sin3x6cosx8sin
+=−

Ví dụ 11
. Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình sau có nghi
ệ
m






π
∈
2
;0x
:
cos2x – msin2x = 2m – 1
Ví dụ 12

. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: sin8x – cos6x = 3 (sin6x + cos8x).
Ví dụ 13
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
0
4
1
xsinx4cos.xcosx4cos
22
=+−−







Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
10

III.

Phương trình ñẳng cấp, phương trình ñối xứng ñối với sinx và cosx


1) Phương trình ñẳng cấp bậc cao ñối với sinx và cosx:

Khái niệm:
M
ộ
t ph
ươ
ng trình sau khi bi
ế
n
ñổ
i v
ề
cosx, sinx mà
ở
t
ấ
t c
ả
các s
ố

h
ạ
ng có t
ổ
ng s

ố
m
ũ
c
ủ
a cosx và c
ủ
a sinx ho
ặ
c
ñề
u là s
ố
t
ự
nhiên ch
ẵ
n ho
ặ
c
ñề
u là s
ố
t
ự

nhiên l
ẻ
thì ph
ươ

ng trình
ñ
ó
ñượ
c g
ọ
i là “
ñẳ
ng c
ấ
p”
ñố
i v
ớ
i cosx và sinx. G
ọ
i k là s
ố
l
ớ
n
nh
ấ
t trong các t
ổ
ng s
ố
m
ũ
nói trên

ñượ
c g
ọ
i là b
ậ
c c
ủ
a ph
ươ
ng trình.

Cách giải
: - Xét tr
ườ
ng h
ợ
p cosx = 0 th
ử
vào ph
ươ
ng trình
- Khi 0xcos
≠
chia hai v
ế
ph
ươ
ng trình cho cos
k
x sau

ñ
ó
ñặ
t
ẩ
n ph
ụ
t = tgx.

Ví dụ 14.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: 2sin
3
x = cosx
Ví dụ 15
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: xsin2)
4
x(sin
3
=
π
+

Ví dụ 16
. Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m:
msin2x + cos2x + sin
2
x +m = 0.
Ví dụ 17:
Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình sau có
ñ
úng hai nghi
ệ
m x n
ằ
m trong kho
ả
ng







ππ
−
2
;
2
:
3sin
4
x – 2(m+2)sin
2
x.cos
2
x + (1 – m
2
)cos4x = 0.


2) Phương trình ñối xứng sinx và cosx:

Khái niệm:
M
ộ
t ph
ươ
ng trình sau khi bi
ế
n
ñổ
i v

ề
cosx, sinx mà các s
ố
h
ạ
ng có
ch
ứ
a t
ổ
ng (cosx
±
sinx ) ho
ặ
c ch
ứ
a tích cosx.sinx
ñượ
c g
ọ
i là ph
ươ
ng trình
ñố
i x
ứ
ng
ñố
i
v

ớ
i cosx và sinx. Ví d
ụ
ph
ươ
ng trình:
0cxsin.xcosb)xsinx(cosa
=
+
+
±
.


Cách giải: ðặ
t t = sinx + cosx, ta có
2t ≤
. Khi
ñ
ó: sinx.cosx =
2
1t
2
−


N
ế
u
ñặ

t t = sinx - cosx, ta có
2t ≤
. Khi
ñ
ó: sinx.cosx =
2
t1
2
−


Ví dụ 18
. Cho ph
ươ
ng trình: sinx.cosx = 6 ( sinx + cosx + m).

a)

Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình v
ớ
i m = - 1.
b)

Tìm m

ñể
ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m.
Ví dụ 19
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
x2sin
2
3
xcosxsin1
33
=++

Ví dụ 20.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: x4sin
2
3
x2cosx2sin1
33
=++

Ví dụ 21
. Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình sau có nghi
ệ
m






ππ
∈
4
3
,
4
x
:

.mxsinxcos
33
=+

Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
11

IV. Phương trình ñưa về dạng tích
Các ph
ươ
ng trình l
ượ
ng giác

không có d
ạ
ng nh
ư
nh
ữ
ng ph
ươ
ng trình
ñ
ã trình bày
ở
các

m
ụ
c tr
ướ
c, ng
ườ
i ta th
ườ
ng ngh
ĩ
t
ớ
i phân tích chúng thành nh
ữ
ng ph
ươ
ng trình c
ơ
b
ả
n.
Vi
ệ
c phân tích thành tích th
ự
c ch
ấ
t là
ñ
i tìm th

ừ
a s
ố
chung c
ủ
a các s
ố
h
ạ
ng có trong
ph
ươ
ng trình.
ðể
làm
ñượ
c
ñ
i
ề
u
ñ
ó, chúng ta c
ầ
n ph
ả
i thành th
ạ
o các công th
ứ

c l
ượ
ng giác, các
h
ằ
ng
ñẳ
ng th
ứ
c
ñạ
i s
ố

ñ
áng nh
ớ
và c
ũ
ng c
ầ
n ph
ả
i có kinh nghi
ệ
m nhìn nh
ậ
n m
ố
i quan h

ệ
gi
ữ
a
các s
ố
h
ạ
ng có trong ph
ươ
ng trình.
•

Th
ử
các nghi
ệ
m
ñặ
c bi
ệ
t nh
ư

1xsin
±
=
,
2
1

xsin
±=
,
1xcos
±
=
,
2
1
xcos
±=

và ph
ươ
ng trình có ch
ứ
a th
ừ
a s
ố
(cosx
±
sinx). S
ử
d
ụ
ng
ñẳ
ng th
ứ

c sin
2
x + cos
2
x
= 1.

•

Dùng các công th
ứ
c bi
ế
n
ñổ
i nh
ư
h
ạ
b
ậ
c, bi
ế
n
ñổ
i t
ổ
ng thành tích , bi
ế
n

ñổ
i tích
thành t
ổ
ng, hàm s
ố
l
ượ
ng giác c
ủ
a hai góc có liên quan
ñặ
c bi
ệ
t. Chú

thêm m
ộ
t
s
ố
bi
ế
n
ñổ
i sau
ñ
ây:

x

2
sin
2
tgxgxcot =+ ,
x2gcot2tgxgxcot
=
−
,
x
2
sin
1
x2gcotgxcot =−
•
ðặ
t các nhân t
ử
chung (nhân t
ử
chung suy ra t
ừ
nghi
ệ
m
ñ
ã th
ử

ñượ
c).

Tham kh
ả
o thêm b
ả
ng h
ọ
các bi
ể
u th
ứ
c có nhân t
ử
chung.

f(x) Biểu thức chứa thừa số f(x)
sinx sin2x, tgx, tg2x,
cosx sin2x, tg2x, cotgx,
1+cosx
2
x
cos
2
,
2
x
gcot
2
, sin
2
x, tg

2
x
1-cosx
2
x
sin
2
,
2
x
tg
2
, sin
2
x, tg
2
x
1+sinx
cos
2
x, cotg
2
x, )
2
x
4
(cos
2
−
π

, )
2
x
4
(sin
2
+
π

1-sinx
cos
2
x, cotg
2
x,
)
2
x
4
(cos
2
+
π
,
)
2
x
4
(sin
2

−
π

sinx+cosx cos2x, cotg2x, 1+ sin2x, 1+ tgx, 1+ cotgx, tgx - cotgx
sinx-cosx cos2x, cotg2x, 1 - sin2x, 1 - tgx, 1 - cotgx, tgx - cotgx

Ví dụ 1
.Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: cos3x – 2cos2x + cosx = 0 .
Ví dụ 2
.Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: sin
2
x + sin
2
2x + sin
2
3x =
2
3

Ví dụ 3.
Gi
ả

i ph
ươ
ng trình: cos3x.cos4x + sin2x.sin5x =
2
1
( cos2x + cos4x).
Ví dụ 4
.Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: 2sin
3
x + cos2x + cosx = 0
Ví dụ 5
.Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: sin4x – cos4x = 1 + 4(sinx – cosx)
Ví dụ 6.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
x2sin1
tgx1
tgx1
+=

−
+

Ví dụ 7
.Gi
ả
i ph
ươ
ng trình






−
π
=−
2
x
4
sin4x2sinx4cos.xsin
22
.




Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội

12

Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LOGARIT

I. Các kết quả cơ bản
1) Hàm số mũ:
y = a
x
,
.1a0
≠
<

•

T
ậ
p xác
ñị
nh: IR.
•

T
ậ
p giá tr
ị
: IR
+
. (
ñồ

th
ị
luôn n
ằ
m phía trên tr
ụ
c hoành)
•

Khi a > 1 hàm s
ố

ñồ
ng bi
ế
n.
Khi 0 < a < 1 hàm s
ố
ngh
ị
ch bi
ế
n.
•

D
ạ
ng
ñồ
th

ị
:

2) Hàm số logarit:
y = log
a
x ,
.1a0
≠
<

a) Các tính ch
ấ
t:
•

T
ậ
p xác
ñị
nh: IR
*
(x > 0 ).
•

T
ậ
p giá tr
ị
: IR

•

Khi a > 1 hàm s
ố

ñồ
ng bi
ế
n.
Khi 0 < a < 1 hàm s
ố
ngh
ị
ch bi
ế
n.
•

D
ạ
ng
ñồ
th
ị
:


Chú ý:
Trong các b
ấ

t ph
ươ
ng trình m
ũ
, logarit, c
ơ
s
ố
a l
ớ
n h
ơ
n hay bé
h
ơ
n 1 quy
ế
t
ñị
nh chi
ề
u c
ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng trình. Vì v
ậ
y ph

ả
i chú ý
ñế
n chi
ề
u c
ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng trình
trong quá trình bi
ế
n
ñổ
i.






Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
13

b)Các công thức chú ý:
•

blog
a
có ngh
ĩ
a



≠<
>
⇔
1a0
0b

•

alog
blog
blog
c
c
a
=
( Công th
ứ
c
ñổ
i c
ơ

s
ố
v
ớ
i
0b
>
,
1a0
≠
<
,
1c0
≠
<
).
•

blog
n
m
blog
a
m
a
n
=
( V
ớ
i b > 0 và

1a0
≠
<
)
•

|b|log.k2blog
a
k2
a
=
v
ớ
i
Z
k
∈
.
II. Các phương trình, bất phương trình có dạng cơ bản
1) Phương trình mũ:
Cho
.1a0
≠
<

D
ạ
ng 1:




=
>
⇔=
blog)x(f
0b
ba
a
)x(f

D
ạ
ng 2:
ba
)x(f
<
(v
ớ
i b > 0)










>

<<



<
>
⇔
blog)x(f
1a0
blog)x(f
1a
a
a

D
ạ
ng 3:
ba
)x(f
>

-
N
ế
u
0b
≤
b
ấ
t ph

ươ
ng trình nghi
ệ
m
ñ
úng v
ớ
i m
ọ
i x thu
ộ
c t
ậ
p xác
ñị
nh
c
ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng trình.
-
N
ế
u b > 0, khi
ñ
ó b
ấ

t ph
ươ
ng trình t
ươ
ng
ñươ
ng v
ớ
i:










<
<<



>
>
blog)x(f
1a0
blog)x(f
1a

a
a

D
ạ
ng 4:










>
<<



<
>
⇔<
)x(g)x(f
1a0
)x(g)x(f
1a
aa
)x(g)x(f

Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
14

2)Phương trình logarit
D
ạ
ng 1:
b
a
a)x(fb)x(flog
=⇔=
.
D
ạ
ng 2:











>
<<



<<
>
⇔<
b
b
a
a)x(f
1a0
a)x(f0
1a
b)x(flog

D
ạ
ng 3:











<<
<<



>
>
⇔>
b
b
a
a)x(f0
1a0
a)x(f
1a
b)x(flog

D
ạ
ng 4:











<<
<<



<<
>
⇔<
)x(f)x(g0
1a0
)x(g)x(f0
1a
)x(glog)x(flog
aa

Ví dụ 1.
Cho ph
ươ
ng trình:
1mm
5
1
24
3x4x
2
+−=







+−

a)Gi
ả
i ph
ươ
ng trình khi m = 1.
b)Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình có 4 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t.
Ví dụ 2
. Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình:
2)3x8x5(log

2
x
>+−

Ví dụ 3.
Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình sau có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t:
x)m99(log
3x
2
=+

Ví dụ 4
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:

0)x2cosx(coslog)xsinx(coslog
x
1x
=

+
+
−

Ví dụ 5.
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình:
[
]
1)729(loglog
x
3x
≤−
Ví dụ 6.
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình: )x3(log)x5(log
3
1
3
1

−<−








Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
15

III. Các phương trình, bất phương trình không cơ bản
•

Ph
ả
i
ñặ
t
ñ
i
ề
u ki
ệ
n.
•

Nh

ữ
ng bài toán có tham s
ố
,
ñặ
t
ẩ
n ph
ụ
ph
ả
i tìm t
ậ
p xác
ñị
nh c
ủ
a
ẩ
n m
ớ
i.
•

Nh
ữ
ng bài toán ph
ươ
ng trình, b
ấ

t ph
ươ
ng trình m
ũ
, logarit mà
ẩ
n x v
ừ
a
ở
s
ố

m
ũ
c
ủ
a l
ũ
y th
ừ
a, v
ừ
a
ở
h
ệ
s
ố
, th

ườ
ng chuy
ể
n v
ề
vi
ệ
c phân tích thành th
ừ
a s
ố
,
nh
ẩ
m nghi
ệ
m và ch
ứ
ng minh nghi
ệ
m duy nh
ấ
t
ñố
i v
ớ
i ph
ươ
ng trình; xét d
ấ

u
c
ủ
a tích
ñố
i v
ớ
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình.
•

Khi bài toán ph
ứ
c t
ạ
p, có nh
ữ
ng ph
ầ
n t
ử
gi
ố
ng nhau hay nhân t
ử
gi
ố

ng nhau
ta có th
ể

ñặ
t
ẩ
n ph
ụ

ñể

ñư
a bài toán tr
ở
lên
ñơ
n gi
ả
n h
ơ
n.
Ví dụ 7
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
1x1x2xx
9

4
1
4.69
3
1
4.3
+++
−=+
Ví dụ 8.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
xxx
6242.33.8 +=+

Ví dụ 9.
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình:
3
)x5(log
)x35(log
a
3

a
>
−
−
(v
ớ
i
1a0
≠
<
).
Ví dụ 10
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
2
9
3
32
27
)3x(log
2
1x
log)6x5x(log −+







−
=+−

Ví dụ 11
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: 0)2xlg(lg)xlg(lg
3
=−+
Ví dụ 12
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:

x2x)3x2x5(log.x3x2x5log.x
22
6
1
2
6
2
+=−−−−−

Ví dụ 13.

Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình:
)3x(log
2
1
2xlog6x5xlog
3
1
3
1
2
3
+>−++−

Ví dụ 14.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: 1)x7(log)1x(log)1x(log
2
1
2
1
2

1
=
−
−
+
+
−

Ví dụ 15
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
25)1x(lg)1x(lg
3224
=−+−

Ví dụ 16.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
4)21x23x6(log)x4x129(log
2
3x2
2
7x3
=+++++

++

Ví dụ 17
. Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình sau
ñ
ây có hai nghi
ệ
m trái d
ấ
u:

01m4)4m2(16)3m(
xx
=++−++