NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG BỘ ĐIỀU KHIỂN P,PI,PID

NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG BỘ ĐIỀU KHIỂN P,PI,PID
LỜI NÓI ĐẦU
Điều khiển tự động là một trong những ngành quan trọng trong quá trình công
nghiệp hóa , hiện đại hóa đặc biệt là góp phần vào việc giải phóng sức lao động
của con người và chính xác hơn con người.Điều khiển tự động có mặt từ trước
công nguyên đó là chiếc đồng hồ có phao điều chỉnh Ktesibios của Hi Lạp. Rồi sau
này cũng có thêm một số máy móc điều khiển tự động ( như : hệ điều chỉnh nhiệt
độ của Cornelis drebble ,hệ điều chỉnh tốc độ được ứng dụng trong công nghiệp
….). Trong chiến tranh thế giới thứ 2 người hỏi điều khiển tự động để ứng dụng
vào mục đích quân sự (như : máy bay tự động lái , điều khiển vũ khí ,điều khiển ra
đa ) . Những năm 50 các phương pháp toán học bắt đầu ra đời được đưa nhanh
vào ứng dụng thực tế .Ở Mỹ người ta nghiên cứu dựa trên miền tần số còn ở Liên
Xô thì lại dựa trên miền thời gian.
Môn điều khiển tự động là môn cần thiết cho sinh viên của ngành công nghệ
tự động và còn một số ngành khác (như :hệ thống điện ,nhiệt điện ) .Nó trang bị
cho chúng ta kiến thức để phân tích và tổng hợp hệ điều khiển trong miền thời gian
và tần số bằng công cụ toán học .
Trong điều khiển tự động có khâu dao động bậc 2 là một trong nhưng khâu cơ
bản. Quá trình phân tích và tổng hợp của khâu này sẽ được trình bày trong các
trang sau.

NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG BỘ ĐIỀU KHIỂN P,PI,PID
ĐỀ BÀI:
Cho 1 đối tượng chưa biết mô hình toán học. Bằng thực nghiệm người ta
dùng tác động đầu vào là hàm 5.1(t) và đo tín hiệu đầu ra thu được đường đặc tính
y(t) như sau:
Yêu cầu:
1. Xác định hàm truyền đạt của đối tượng trên từ đường đặc tính thu được?
2. Từ hàm truyền thu được dùng Matlab vẽ lại đường quá độ và so sánh. Nhận
xét về tính ổn định của đối tượng .Tìm các điểm cực và điểm không?
3. Tổng hợp bộ điều khiển P, PI, PID để hệ có chất lượng điều khiển tốt nhất?

NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG BỘ ĐIỀU KHIỂN P,PI,PID
I. PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH HÀM TRUYỀN :
Với khâu bậc 2 dao động thì hàm truyền có dạng :
2 2
( ) .
2 1
P
K
W P e
T P TP
τ
ξ
−
=
+ +
với
1
ξ
<
.
Ta có đồ thị hàm quá độ:
NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG BỘ ĐIỀU KHIỂN P,PI,PID
Hình 1: đặc tính quá độ của khâu bậc 2.
- Hàm quá độ:
phương trình đặc trưng của khâu dao động:
2 2
2 1 0T P TP
ξ
+ + =
Có hai nghiệm phức liên hợp:

2
1,2
1
P j j
T T
ξ
ξ
α β
−
= − ± = − ±
hàm quá độ là :(với tín hiệu đầu vào là hàm 1(t). )
2 2
1
( ) . .
2 1
P
K
h p e
T P TP P
τ
ξ
−
=
+ +
Ta có hàm thời gian:
NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG BỘ ĐIỀU KHIỂN P,PI,PID
1
2 2
1
( ) { . . }

2 1
P
K
h t L e
T P TP P
τ
ξ
− −
=
+ +


( )
.1( ).{1 [ os( ( ))+ sin( ( ))]}
t
K t e c t t
α τ
α
τ β τ β τ
β
− −
= − − − −
Trong đó :
2
0 0 0
1
; 1 ;
T
α ω ξ β ξ ω ω
= = − =

do tín hiệu đầu vào là hàm 5.1(t) nên khi biến đổi laplace ta có:
5
( )x p
p
=
Từ đó ta có hàm quá độ :
2 2
5 5
( ) W( ). . .
2 1
P
K
h p p e
P T P TP P
τ
ξ
−
= =
+ +
=>
1
2 2
5 5
( ) {W( ). } { . . }
2 1
P
K
h t L p L e
P T P TP P
τ

ξ
− −
= =
+ +
( )
.5.1( ){1 [ os( ( )) sin( ( ))]}
t
K t e c t t
α τ
α
τ β τ β τ
β
− −
= − − − + −
Từ hàm truyền ta xác định được các thông số :
1 2 1
, ,5 ,A A K T
và
τ
chính thời gian trễ.
Từ đó ta xác định được
0
, , ,
α β ω ξ
như sau:
NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG BỘ ĐIỀU KHIỂN P,PI,PID
1
1 2
1
ln

A
T A
α
=

1
2
T
π
β
=

2 2
0
1
T
ω α β
= + =

T
ξ α
=
-Từ hàm truyền của đề bài ta xác định dược các thông số như sau:
1 2 1
43,3; 8,3;5 100; 62.5A A K T
= = = =
;
33
τ
=

s
Và ta có:
0
0,0264; 0,1; 0,103; 9,7; 0,256.T
α β ω ξ
= = = = =
Từ đây ta có hàm truyền :
33
2 2 2
20
W( )
2 1 94,1 4,96 1
P
p
K
P e e
T P TP P P
τ
ξ
− −
= =
+ + + +
NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG BỘ ĐIỀU KHIỂN P,PI,PID
II.VẼ LẠI HÀM TRUYỀN , SO SÁNH VÀ NHẬN XÉT
Từ hàm truyền ta có hàm quá độ như sau:
0.0264( 33)
0.0264
( ) 100.1( 33).{1 .[ os(0,1( 33)) sin(0,1( 33))]}
0,1
t

h t t e c t t
− −
= − − − + −
Ta có đồ thị như sau:
Hình 2:đồ thị hàm quá độ của hàm truyền.
NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG BỘ ĐIỀU KHIỂN P,PI,PID
NHẬN XÉT:

Hình 3:đồ thị hàm quá độ và đặc tính ra trên một hệ trục tọa độ.
(đồ thị không bị nhấp nhô là đồ thị của hàm truyền tim được)
• Từ hình hai đồ thị của hàm quá độ và đặc tính ra trên một hệ trục tọa độ ta thấy
về biên độ gần giống nhau có thể chấp nhận được.
• Sự khác nhau là do sai số làm tròn và không thể xác định chính xác được bằng
thủ công. Đường cong sau khi vẽ lại nhẵn hơn là do chọn bước nhảy của tham
số đầu vào nhỏ hơn.càng xác định chính xác thì ta càng có hàm truyền chuẩn
theo như đường đặc tính mong muôn.
• Nếu ghép thành mô hình với thời gian chậm trễ là 33 thì ta có đặc tính ra.Cụ thể
như sau.
NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG BỘ ĐIỀU KHIỂN P,PI,PID
Hình 4:mô hình trong matlab
Ta có step time bằng 33 ta có đặc tính ra:


Hình 5:đồ thị đặc tính ra khi ghép thành mô hình:

NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG BỘ ĐIỀU KHIỂN P,PI,PID
III.TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG :
Hệ thống ĐKTĐ được gọi là ổn định nếu sau khi bị phá vỡ trạng thái cân
bằng do tác động của nhiễu, nó sẽ tự điều chỉnh để trở lại trạng thái cân bằng. Nếu
nó không trở lại trạng thái cân bằng mà tín hiệu ra tiến tới vô cùng thì hệ thống sẽ

không ổn định. Trạng thái trung gian giữa ổn định và không ổn định được gọi là
biên giới ổn định, khi đó tín hiệu ra của hệ thống dao động với biên độ không đổi.
* ĐIỀU KIỆN ĐỂ HỆ THỐNG ỔN ĐỊNH
Một hệ thống tuyến tính liên tục được gọi là ổn định nếu quá trình quá độ
của nó tắt dần theo thời gian, không ổn định nếu quá trình quá độ của nó tăng dần
theo thời gian và ở biên giới ổn định nếu quá trình quá độ của nó dao động với biên
độ không đổi hoặc bằng hằng số.
NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG BỘ ĐIỀU KHIỂN P,PI,PID
Hình 6:mô tả sự ổn định của hệ thống
(1): Hệ thống ổn định và không dao động.
(2): Hệ thống ổn định và dao động.
(3): Hệ thống không ổn định và không dao động.
(4): Hệ thống không ổn định và dao động.
(5): Hệ thống dao động với biên độ không đổi(biên giới ổn định)
Để biết hệ thống ĐKTĐ có ổn định hay không, ta phải giải PTDT của hệ
thống có dạng:
Phương trình trên có nghiệm như sau:
+Hệ thống ổn định nếu
0
i
α
<
tức là có nghiệm nằm bên trái trục ảo
+Hệ ở biên giới ổn định nếu
0
i
α
=
tức là có nghiệm ở trên trục trục ảo
NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG BỘ ĐIỀU KHIỂN P,PI,PID

+Hệ không ổn định nếu
0
i
α
>
tức là có nghiệm nằm bên phải trục ảo
*Chỉ cần 1 nghiệm của phương trình đặc tính có phần thực dương thì hệ thống
không ổn định.
Hình 7:các nghiệm của phương trình đặc tính
1 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ
1.1 Tiêu chuẩn ổn định routh
Điều kiện cần thiết để một hệ thống điều khiển tuyến tính ổn định là các hệ
số của phương trình đặc trưng dương. Khi không tồn tại điều kiện cần thì hệ thống
được liệt vào loại có cấu trúc không ổn định, và lúc đó ta phải thay đổi cấu trúc của
nó.
Điều kiện cần và đủ để hệ thống tuyến tính ổn định là tất cả các số hạng
trong cột thứ nhất của bảng Routh dương.
Giả sử có phương trình đặc tính như sau:
Ta có bảng routh
NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG BỘ ĐIỀU KHIỂN P,PI,PID
Cách tính các hệ số của bảng Routh:
* Cách lập bảng:
+ Dòng đầu tiên của bảng Routh ghi các số hạng có chỉ số chẵn, dòng thứ hai ghi
các số hạng có chỉ số lẻ.
+ Mỗi số hạng trong một hàng của bảng Routh là một số âm có giá trị là một định
thức bậc hai với cột thứ nhất là cột thứ nhất của hai hàng ngay sát trên hàng có số
hạng đang tính; cột thứ hai là hai hàng ngay sát trên và nằm bên phải hàng có số
hạng đang tính.
+ Bảng Routh sẽ kết thúc khi nào dòng cuối cùng chỉ còn một số hạng.
NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG BỘ ĐIỀU KHIỂN P,PI,PID

+Nếu trong hệ có khâu trậm sau với hàm truyền
p
e
τ
−
thì khi đó phương trình đặc
tính A (p) không phải là phương trình đại số tuyến tính. Muốn áp dụng tiêu chuẩn
Routh ta phải khai triển
p
e
τ
−
theo chuỗi Taylo và lấy biểu thức gần đúng.
* Tính chất của bảng Routh:
+ Có thể nhân hoặc chia các số hạng trên cùng một hàng của bảng Routh với một
số dương thì kết quả tính toán vẫn không thay đổi.
+ Số lần đổi dấu của các số hạng trong cột đầu tiên của bảng Routh bằng số
nghiệm của phương trình đặc trưng có phần thực dương.
+ Nếu cột đầu tiên của bảng có một số hạng bằng không thì hệ cũng không ổn
định.
1.2 Tiêu chuẩn hurwutz
Điều kiện cần và đủ để hệ điều khiển tuyến tính ổn định là các hệ số ai của
phương trình đặc tính dương và các giá trị định thức HURWITZ dương.
Định thức hurwitz được thành lập từ các hệ số ai của phương trình đặc tính
A (p) và được thực hiện theo các bước sau:
B1:Ma trận HURWUIT là một ma trận vuông cỡ n x n
B2:Đường chéo của ma trận là các hệ số từ a1 tới an
B3:Hàng lẻ của ma trận chỉ gồm các hệ số có chỉ số lẻ tăng theo thứ rự từ trái qua
phải.
B4:Hàng chẵn của ma trận chỉ gồm các hệ số chẵn tăng theo thứ tự từ trái qua phải

Ta có bảng ma trận HURWITS
NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG BỘ ĐIỀU KHIỂN P,PI,PID
2.TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ:
Tiêu chuẩn NYQUYTS
Tiêu chuẩn này áp dụng để xét ổn định cho hệ thống kín với phản hồi (-1)
dựa vào đặc điểm của đặc tính tần số hệ thống hở .
Điều kiện cần và đủ để hệ kín ổn định là
+ Khi hệ hở ổn định hoặc ở biên giới ổn định thì đặc tính tần số biên pha hệ hở
WH(j
ω
) không được bao điểm (-1, j0) khi
ω
biến đổi từ 0
→ ∞
.
+ Khi hệ hở không ổn định thì dặc tính tần số biên pha của hệ bao điểm (-1,j0)
m/2 vòng kín nếu
ω
từ 0
→ ∞
(trong đó m là số nghiệm cùa Phương trình đặc tính
có phần thực dương )
NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG BỘ ĐIỀU KHIỂN P,PI,PID
Hình 8 : điểm (-1,j0) nằm trên đường đặc tính
Hình 9 : điểm (-1,j0) nằm trong đường đặc tính
Hình 10: điểm (-1,j0) nằm ngoài đường đặc tính
Ngoài ra còn một số tiêu chuẩn khác như tiêu chuẩn MIKHAILOP,phương
pháp quỹ đạo nghiệm số .
NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG BỘ ĐIỀU KHIỂN P,PI,PID
NHẬN XÉT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG

Về mặt ổn định thì từ đồ thị ta thấy hệ thống ổn định nhưng thời gian quá độ
dài.Hơn nữa các nghiệm của phương trình đặc tính có phần thực dương nên càng
có thể khảng định rằng hệ ổn định.
NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG BỘ ĐIỀU KHIỂN P,PI,PID
IV CÁC ĐIỂM CỰC VÀ ĐIỂM KHÔNG CỦA HỆ THỐNG.
Một hệ thống hàm truyền có dạng :
1
0 1 1
1
0 1 1

( )
w( )
( )
m m
m m
n n
n n
a p a p a p a
A p
p
B p b p b p b p b
−
−
−
−
+ + + +
= =
+ + + +
Nếu tính được nghiệm của A(p)=0 thì các nghiệm đó là điểm không:

Nếu tính được nghiệm của B(p)=0 thì các nghiệm đó là điểm cực:
Theo hàm truyền của hệ thống thì ta có:A(p)>0
=>không có điểm không
Còn B(p)=0 <=>
2
94.1 4.96 1 0p p
+ + =
Phương trình có hai nghiệm phức:
1,2
0,0264 0,1p j= − ±
NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG BỘ ĐIỀU KHIỂN P,PI,PID
V BỘ ĐIỀU KHIỂN P, PI, PID
1.BỘ ĐIỀU KHIỂN P :
Có hàm truyền là :
w( )
P
p K
=
Trong đó Kp là hệ số khuếch đại của quy luật. Theo tính chất của khâu
khuếch đại (hay khâu tỷ lệ) ta thấy tín hiệu ra của khâu luôn luôn trùng pha với tín
hiệu vào. Điều này nói lên ưu điểm của khâu khuếch đại là có độ tác động nhanh.
Vì vậy, trong công nghiệp, quy luật tỉ lệ làm việc ổn định với mọi đối tượng. Tuy
nhiên, nhược điểm cơ bản của khâu tỉ lệ là khi sử dụng với các đối tượng tĩnh, hệ
thống điều khiển luôn tồn tại sai lệch tĩnh. Để giảm giá trị sai lệch tĩnh thì phải
tăng hệ số khuếch đại nhưng khi đó, tính dao động của hệ thống sẽ tăng lên và có
thể làm hệ thống mất ổn định.
quy luật tỉ lệ thường được dùng cho những hệ thống cho phép tồn tại sai lệch
tĩnh. K càng lớn thì sai số xac lập càng nhỏ.
NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG BỘ ĐIỀU KHIỂN P,PI,PID
Hình 11: Quá trình điều khiển với các hệ số Kp khác nhau

Nếu tăng KP thì rõ ràng sai lệch tĩnh giảm nhưng lại có biên độ dao động
tăng quá ,khi đó hệ thống sẽ mất tính ổn định vì vậy phải lựa chọn thong số cho
phù hợp.
2 BỘ ĐIỀU KHIỂN PI.
Để hệ thống vừa có tác động nhanh, vừa triệt tiêu được sai lệch dư, người ta
kết hợp quyluật tỉ lệ với quy luật tích phân để tạo ra quy luật tỉ lệ - tích phân.
Hàm truyền có dạng :
1
w( ) (1 )
i
P p
i
K
p K K
p T P
= + = +
với
P
i
i
K
K
T
=
trong đó: Kp là hệ số khuếch đại
Ti = Kp/ Ki là hằng số thời gian tích phân
Hàm truyền tần số của quy luật PI:
1
w( ) (1 )
i

P p
i
K
j K K j
j T
ω
ω ω
= + = −

Như vậy khi ω = 0 thì ϕ (ω ) = −π/ 2 , còn khi ω = ∞ thì ϕ (ω ) = 0 . Tín
hiệu ra chậm pha so với tín hiệu vào một góc trong khoảng từ −π/ 2 đến 0 phụ
thuộc vào các tham số Kp , Ti và tần số tín hiệu vào.
Đồ thị bode
NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG BỘ ĐIỀU KHIỂN P,PI,PID
Hình 12 : đồ thị bode của khâu PI
Về tốc độ tác động thì quy luật PI chậm hơn quy luật tỉ lệ nhưng nhanh hơn
quy luật tích phân. Hình 5.5 mô tả các quá trình quá độ của hệ thống điều khiển tự
động sử dụng quy luật PI với các tham số Kp và Ti khác nhau.

Hình 13: Các quá trình quá độ điều khiển của quy luật PI
NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG BỘ ĐIỀU KHIỂN P,PI,PID
Đường 1 ứng với Kp nhỏ và Ti lớn. Tác động điều khiển nhỏ nên hệ thống
không dao động.
Đường 2 ứng với Kp nhỏ và Ti nhỏ. Tác động điều khiển tương đối lớn và
thiên về quy luật tích phân nên hệ thống có tác động chậm, dao động với tần số
nhỏ và không tồn tại sai lệch dư.
Đường 3 mô tả quá trình khi Kp lớn và Ti lớn. Tác động điều khiển tương
đối lớn nhưng thiên về quy luật tỉ lệ nên hệ thống dao động với tần số lớn và tồn tại
sai lệch dư.
Đường 4 tương ứng với quá trình điều khiển khi Kp lớn và Ti nhỏ. Tác động

điều khiển rất lớn. Quá trình điều khiển dao động mạnh, thời gian điều khiển kéo
dài và không có sai lệch dư.
Đường 5 được xem như là quá trình tối ưu khi Kp và Ti thích hợp với đối
tượng điều khiển.
Trong thực tế, quy luật điều khiển PI được sử dụng khá rộng rãi và đáp ứng
được chất lượng cho hầu hết các quá trình công nghệ. Tuy nhiên, do có thành phần
tích phân nên độ tác động của quy luật bị chậm đi. Vì vậy, nếu đối tượng có nhiễu
tác động liên tục mà hệ thống điều khiển lại đòi hỏi độ chính xác cao thì quy luật
PI không đáp ứng được.
3.BỘ ĐIỀU KHIỂN PID
NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG BỘ ĐIỀU KHIỂN P,PI,PID
Để tăng tốc độ tác động của quy luật PI, trong thành phần của nó người ta
ghép thêm thành phần vi phân và nhận được quy luật điều khiển tỉ lệ vi tích phân.
Có thêm thành phần vi phân làm tăng tốc độ tác động của hệ thống.
Hàm truyền có dạng :
1
w( ) . (1 )
i
P d p d
i
K
p K K P K T P
P T P
= + + = + +
trong đó: Kp là hệ số khuếch đại
Ti = Kp /Ki là hằng số thời gian tích phân
Td = Kd Kp là hằng số thời gian vi phân
Hàm truyền tần số:
1
w( ) . (1 )

i
P d p d
i
K
p K K j K j T j
j T
ω ω
ω ω
= + + = − +
=>
1
w( ) [1 ( )]
p d
i
p K j T
T
ω
ω
= + −
Đặc tính pha tần:
2
1
( ) ar ( )
i d
i
TT
ctg
T
ω
ϕ ω

ω
−
=
Như vậy khi ω = 0 thì ϕ (ω ) = −π/ 2 , còn khi
1/
i d
TT
ω
=
thì ϕ (ω ) = 0 và
khi ω = ∞ thì ϕ (ω ) =π/ 2 . Rõ ràng góc lệch pha của tín hiệu ra so với tín hiệu vào
nằm trong khoảng từ −π/ 2 đến π/ 2 , phụ thuộc vào các tham số Kp , Ti, Td và tần
số của tín hiệu vào. Nghĩa là về tốc độ tác động, quy luật PID còn có thể nhanh
hơn cả quy luật tỉ lệ. Nói tóm lại, quy luật PID là hoàn hảo nhất. Nó đáp ứng được
yêu cầu về chất lượng của hầu hết các quy trình công nghệ nhưng việc hiệu chỉnh
các tham số của nó rất phức tạp, đòi hỏi người sử dụng phải có một trình độ nhất
NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG BỘ ĐIỀU KHIỂN P,PI,PID
định. Vì vậy, trong công nghiệp, quy luật PID chỉ sử dụng ở những nơi cần thiết,
khi quy luật PI không đáp ứng được yêu cầu về chất lượng điều chỉnh.
Đồ thị bode:
Hình 14: đồ thị bode của khâu PID
NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG BỘ ĐIỀU KHIỂN P,PI,PID
Hình 15: Minh hoạ sai lệch điều khiển với các luật điều chỉnh
4.MÔ HÌNH ĐIỀU KHIỂN:
Ta có mô hình khiển với phản hồi âm . Bộ điều khiển PID được ghép nối tiếp với
đối tượng: