Bài 11 -ProofStrategy pptx

08/14/14 (c)2001-2003, Michae
l P. Frank
1
Module #11 – Proof Strategies
University of Florida
Dept. of Computer & Information Science & Engineering
COT 3100
Applications of Discrete Structures
Dr. Michael P. Frank
Slides for a Course Based on the Text
Slides for a Course Based on the Text
Discrete Mathematics & Its Applications
Discrete Mathematics & Its Applications


(5
(5
th
th
Edition)
Edition)
by Kenneth H. Rosen
by Kenneth H. Rosen
08/14/14 (c)2001-2003, Michae
l P. Frank
2
Module #11 – Proof Strategies
Module #11:
Chiến lược chứng minh
Proof Strategies
Rosen 5

Rosen 5
th
th
ed., §3.1
ed., §3.1
~21 slides, ~1 lecture
~21 slides, ~1 lecture
08/14/14 (c)2001-2003, Michae
l P. Frank
3
Module #11 – Proof Strategies
Tổng quan Bài #11
•
Trong bài #2, ta đã thấy:
Trong bài #2, ta đã thấy:
–
Một số kiểu chứng minh của phép kéo theo
Một số kiểu chứng minh của phép kéo theo
p
p
→
→
q
q
:
:
•
Ngây thơ, Hiển nhiên, Trực tiếp, Gián tiếp
Ngây thơ, Hiển nhiên, Trực tiếp, Gián tiếp
–

Các kiểu chứng minh tồn tại:
Các kiểu chứng minh tồn tại:
•
Xây dựng và không xây dựng.
Xây dựng và không xây dựng.
–
Một số phương pháp chứng minh mệnh đề tổng quan:
Một số phương pháp chứng minh mệnh đề tổng quan:
•
Chứng minh phân trường hợp, chứng minh phản chứng.
Chứng minh phân trường hợp, chứng minh phản chứng.
•
Trong bài này, chúng ta xét các ví dụ về:
Trong bài này, chúng ta xét các ví dụ về:
–
Suy luận tới và lui.
Suy luận tới và lui.
–
Chứng minh phân trường hợp.
Chứng minh phân trường hợp.
–
Chứng minh tồn tại thích hợp.
Chứng minh tồn tại thích hợp.
–
Qui giả thuyết về các chứng minh.
Qui giả thuyết về các chứng minh.
08/14/14 (c)2001-2003, Michae
l P. Frank
4
Module #11 – Proof Strategies

Suy luận tới
•
Ta có giả thiết
Ta có giả thiết
p
p
, và muốn chứng minh
, và muốn chứng minh
q
q
.
.
–
Tìm
Tìm
s
s
1
1
sao cho
sao cho
p
p
→
→
s
s
1
1
•

Khi đó, luật suy diễn modus ponens sẽ cho
Khi đó, luật suy diễn modus ponens sẽ cho
s
s
1
1
.
.
–
Tiếp tục tìm
Tiếp tục tìm
s
s
2
2


∋
∋


(sao cho)
(sao cho)
s
s
1
1
→
→
s

s
2
2
.
.
•
Khi đó, luật suy diễn modus ponens sẽ cho
Khi đó, luật suy diễn modus ponens sẽ cho
s
s
2
2
.
.
–
Và hy vọng sẽ nhận được
Và hy vọng sẽ nhận được
s
s
n
n


∋
∋


s
s
n

n
→
→
q
q
.
.
•
V
V
ấn đề với phương pháp này là
ấn đề với phương pháp này là
…
…
–
Ph
Ph
ải bền bỉ để nhìn thấy đường đi từ
ải bền bỉ để nhìn thấy đường đi từ
p
p
.
.
08/14/14 (c)2001-2003, Michae
l P. Frank
5
Module #11 – Proof Strategies
Suy luận lui
Backward Reasoning
•

Thông thường dễ dàng hơn để thấy con đường tương tự
Thông thường dễ dàng hơn để thấy con đường tương tự
nếu bạn bắt đầu từ kết luận
nếu bạn bắt đầu từ kết luận
q
q
…
…
–
Như vậy, đầu tiên tìm
Như vậy, đầu tiên tìm
s
s
−1
−1
sao cho
sao cho
s
s
−1
−1
→
→
q
q
.
.
–
Sau
Sau

đó
đó
, t
, t
ìm
ìm


s
s
−2
−2
∋
∋


s
s
−2
−2
→
→
s
s
−1
−1
, v
, v
à tiếp tục
à tiếp tục

…
…
–
Cho
Cho
đến khi
đến khi


s
s
−
−
n
n


∋
∋


p
p
→
→
s
s
−
−
n

n
.
.
•
L
L
ưu ý ta cũng sử dụng luật suy diễn
ưu ý ta cũng sử dụng luật suy diễn
modus ponens
modus ponens


để triển
để triển
khai tính đúng đắn từ
khai tính đúng đắn từ
p
p


đến
đến
s
s
−
−
n
n

đến
đến
…
…
s
s
-1
-1


đến
đến


q
q
!
!
–
Ch
Ch
úng ta tìm được dãy lui nhưng áp dụng tiến tới
úng ta tìm được dãy lui nhưng áp dụng tiến tới
.
.
–
Đây không phải hoàn toàn như chứng minh gián tiếp
Đây không phải hoàn toàn như chứng minh gián tiếp
…
…

•
Ở đó ta dùng
Ở đó ta dùng


modus tollens
modus tollens
v
v
à
à
¬
¬
q
q


để chứng minh
để chứng minh
¬
¬
s
s
−
−
1
1
, …
, …
.

.
–
Tuy nhi
Tuy nhi
ên
ên
, n
, n
ó cũng gần tương tự
ó cũng gần tương tự
.
.
08/14/14 (c)2001-2003, Michae
l P. Frank
6
Module #11 – Proof Strategies
Ví dụ suy luận lui
Backward Reasoning Example
•
Theorem:
Theorem:


∀
∀
a
a
>0,
>0,
b

b
>0,
>0,
a
a
≠
≠
b
b
: (
: (
a
a
+
+
b
b
)/2 > (
)/2 > (
ab
ab
)
)
1/2
1/2
.
.
•
Proof:
Proof:

–
Notice it is not obvious how to go from the
Notice it is not obvious how to go from the
premises
premises
a
a
>
>
0
0
,
,
b
b
>0
>0
,
,
a
a
≠
≠
b
b
directly forward to the
directly forward to the
conclusion
conclusion
(

(
a
a
+
+
b
b
)/2 > (
)/2 > (
ab
ab
)
)
1/2
1/2
.
.
–
So, let’s work
So, let’s work
backwards
backwards
from the conclusion,
from the conclusion,
(
(
a
a
+
+

b
b
)/2 > (
)/2 > (
ab
ab
)
)
1/2
1/2


!
!
Example 1
08/14/14 (c)2001-2003, Michae
l P. Frank
7
Module #11 – Proof Strategies
Steps of Example
•
(
(
a
a
+
+
b
b
)/2 > (

)/2 > (
ab
ab
)
)
1/2
1/2


⇔
⇔


(squaring both sides)
(squaring both sides)
–
This preserves the “>” since both sides are positive.
This preserves the “>” since both sides are positive.
•
(
(
a
a
+
+
b
b
)
)
2

2
/4 >
/4 >
ab
ab


⇔
⇔


(multiplying through by 4)
(multiplying through by 4)
•
(
(
a
a
+
+
b
b
)
)
2
2
> 4
> 4
ab
ab

⇔
⇔


(squaring
(squaring
a
a
+
+
b
b
)
)
•
a
a
2
2
+2
+2
ab
ab
+
+
b
b
2

2
> 4
> 4
ab
ab


⇔
⇔


(subtracting out 4
(subtracting out 4
ab
ab
)
)
•
a
a
2
2
−
−
2
2
ab
ab
+
+

b
b
2
2
> 0
> 0


⇔
⇔


(factoring left side)
(factoring left side)
•
(
(
a
a
−
−
b
b
)
)
2
2
> 0
> 0
•

Now, since
Now, since
a
a
≠
≠
b
b
,
,
(
(
a
a
−
−
b
b
)≠0
)≠0
, thus
, thus
(
(
a
a
−
−
b
b

)
)
2
2
>0
>0
, and we
, and we
can work our way back along the chain of steps…
can work our way back along the chain of steps…
08/14/14 (c)2001-2003, Michae
l P. Frank
8
Module #11 – Proof Strategies
Phương án chuyển thành tiến
“Forwardized” version of Example
•
Theorem:
Theorem:


∀
∀
a
a
>0,
>0,
b
b
>0,

>0,
a
a
≠
≠
b
b
: (
: (
a
a
+
+
b
b
)/2 > (
)/2 > (
ab
ab
)
)
1/2
1/2
.
.
–
Proof.
Proof.
If Since
If Since

a
a
≠
≠
b
b
,
,
(
(
a
a
−
−
b
b
)≠0
)≠0
. Thus,
. Thus,
(
(
a
a
−
−
b
b
)
)

2
2
>0
>0
,
,
i.e.
i.e.
,
,
a
a
2
2
−2
−2
ab
ab
+
+
b
b
2
2
>
>
0
0
. Adding
. Adding

4
4
ab
ab
to both sides,
to both sides,
a
a
2
2
+2
+2
ab
ab
+
+
b
b
2
2
> 4
> 4
ab
ab
. Factoring the left
. Factoring the left
side, we have
side, we have
(
(

a
a
+
+
b
b
)
)
2
2
> 4
> 4
ab
ab
, so
, so
(
(
a
a
+
+
b
b
)
)
2
2
/4 >
/4 >

ab
ab
. Since
. Since
ab
ab
is positive,
is positive,
we can take the square root of both sides and get
we can take the square root of both sides and get


(
(
a
a
+
+
b
b
)/2 > (
)/2 > (
ab
ab
)
)
1/2
1/2
.
.

■
■
•
Đ
Đ
ây chỉ là ví dụ đơn giản để đi từ giả thiết đến kết luận
ây chỉ là ví dụ đơn giản để đi từ giả thiết đến kết luận
,
,
nh
nh
ưng bạn không thể tưởng tượng nó được nhậnnhư thế
ưng bạn không thể tưởng tượng nó được nhậnnhư thế
nào
nào
, n
, n
ó trông có vẻ
ó trông có vẻ
“th
“th
ần bí
ần bí
.”
.”
–
Phản ứng chung của sinh viên: “Nhưng làm sao bạn nghĩ ra việc
Phản ứng chung của sinh viên: “Nhưng làm sao bạn nghĩ ra việc
bổ sung
bổ sung

4
4
ab
ab
vào hai vế?”
vào hai vế?”
•
Trả lời: Bằng cách suy luận lui từ kết luận!
Trả lời: Bằng cách suy luận lui từ kết luận!
08/14/14 (c)2001-2003, Michae
l P. Frank
9
Module #11 – Proof Strategies
Ví dụ trò chơi sỏi
Stone Game Example
•
Game rules:
Game rules:
–
Có 15 hòn sỏi trong 1 đống. Hai người chơi lần lượt
Có 15 hòn sỏi trong 1 đống. Hai người chơi lần lượt
lấy ra khỏi đống 1, 2, hoặc 3 hòn. Ai lấy hòn sỏi cuối
lấy ra khỏi đống 1, 2, hoặc 3 hòn. Ai lấy hòn sỏi cuối
cùng người đó thắng.
cùng người đó thắng.
•
Định lý:
Định lý:
Có một chiến lược để đảm bảo rằng
Có một chiến lược để đảm bảo rằng

người đi đâu luôn thắng.
người đi đâu luôn thắng.
•
Nó được chứng minh như thế nào? Chứng minh
Nó được chứng minh như thế nào? Chứng minh
có xây dựng không…
có xây dựng không…
–
Nhìn có vẻ phức tạp… Chúng ta có thể chọn chiến lược
Nhìn có vẻ phức tạp… Chúng ta có thể chọn chiến lược
chiến thắng nào trong số các chiến lược có thể?
chiến thắng nào trong số các chiến lược có thể?
•
Suy luận quay lui từ cuối trò chơi!
Suy luận quay lui từ cuối trò chơi!
Example 2
08/14/14 (c)2001-2003, Michae
l P. Frank
10
Module #11 – Proof Strategies
Working Backwards in the Game
•
Player 1 wins if it is player 2’s turn and there are
Player 1 wins if it is player 2’s turn and there are
no stones…
no stones…
•
P1 can arrange this if
P1 can arrange this if
it is his turn, and there

it is his turn, and there
are 1, 2, or 3 stones…
are 1, 2, or 3 stones…
•
This will be true as
This will be true as
long as player 2 had
long as player 2 had
4 stones on his turn…
4 stones on his turn…
•
And so on…
And so on…
Player 1
Player 1
Player 2
Player 2
0
0
1, 2, 3
1, 2, 3
4
4
5, 6, 7
5, 6, 7
8
8
9, 10, 11
9, 10, 11
12

12
13, 14, 15
13, 14, 15
08/14/14 (c)2001-2003, Michae
l P. Frank
11
Module #11 – Proof Strategies
Phương án chuyển thành tới
“Forwardized” version
•
Theorem.
Theorem.
Ng
Ng
ười nào đi trước người
ười nào đi trước người
đó luôn
đó luôn
có cách để thắng.
có cách để thắng.
–
Proof.
Proof.
Player 1 can remove 3 stones, leaving 12. After
Player 1 can remove 3 stones, leaving 12. After
player 2 moves, there will then be either 11, 10, or 9
player 2 moves, there will then be either 11, 10, or 9
stones left. In any of these cases, player 1 can then
stones left. In any of these cases, player 1 can then
reduce the number of stones to 8. Then, player 2 will

reduce the number of stones to 8. Then, player 2 will
reduce the number to 7, 6, or 5. Then, player 1 can
reduce the number to 7, 6, or 5. Then, player 1 can
reduce the number to 4. Then, player 2 must reduce
reduce the number to 4. Then, player 2 must reduce
them to 3, 2, or 1. Player 1 then removes the remaining
them to 3, 2, or 1. Player 1 then removes the remaining
stones and wins.
stones and wins.
08/14/14 (c)2001-2003, Michae
l P. Frank
12
Module #11 – Proof Strategies
Chứng minh phân trường hợp
Proof by Cases Example
•
Định lý:
Định lý:


∀
∀
n
n
∈
∈
Z
Z

¬(
¬(
2|
2|
n
n


∨
∨
3
3
|n
|n
)
)
→ 24|(
→ 24|(
n
n
2
2
−1)
−1)
–
Proof:
Proof:
Since
Since
2·3=6

2·3=6
, the value of
, the value of
n
n
mod 6
mod 6
is sufficient
is sufficient
to tell us whether
to tell us whether
2|
2|
n
n
or
or
3|
3|
n
n
. If
. If
(
(
n
n
mod 6)
mod 6)
∈

∈
{0,3}
{0,3}
then
then
3|
3|
n
n
; if it is in
; if it is in
{0,2,4}
{0,2,4}
then
then
2|
2|
n
n
. Thus
. Thus
(
(
n
n
mod 6)
mod 6)
∈
∈
{1,5}

{1,5}
.
.
•
Case #1:
Case #1:
If
If
n
n
mod 6 = 1
mod 6 = 1
, then
, then
(
(
∃
∃
k
k
)
)
n
n
=6
=6
k
k
+1
+1

.
.
n
n
2
2
=36
=36
k
k
2
2
+12
+12
k
k
+1
+1
,
,
so
so
n
n
2
2
−1=36
−1=36
k
k

2
2
+12
+12
k
k
= 12(3
= 12(3
k
k
+1)
+1)
k
k
. Note
. Note
2|(3
2|(3
k
k
+1)
+1)
k
k
since either
since either
k
k
or
or

3
3
k
k
+1
+1
is even. Thus
is even. Thus
24|(
24|(
n
n
2
2
−1)
−1)
.
.
•
Case #2:
Case #2:
If
If
n
n
mod 6 = 5
mod 6 = 5
, then
, then
n

n
=6
=6
k
k
+5
+5
.
.
n
n
2
2
−1 = (
−1 = (
n
n
−1)·(
−1)·(
n
n
+1) =
+1) =
(6
(6
k
k
+4)·(6
+4)·(6
k

k
+6) = 12·(3
+6) = 12·(3
k
k
+2)·(
+2)·(
k
k
+1)
+1)
. Either
. Either
k
k
+1
+1
or
or
3
3
k
k
+2
+2
is
is
even. Thus,
even. Thus,
24|(

24|(
n
n
2
2
−1)
−1)
.
.
Example 3
08/14/14 (c)2001-2003, Michae
l P. Frank
13
Module #11 – Proof Strategies
Chứng minh bằng ví dụ
Proof by Examples?
•
Mệnh đề với mọi không bao giờ có thể
Mệnh đề với mọi không bao giờ có thể
chứng minh bằng ví dụ, trừ khi nó đưa được
chứng minh bằng ví dụ, trừ khi nó đưa được
về hữu hạn ví dụ và bạn cần phải chứng
về hữu hạn ví dụ và bạn cần phải chứng
minh tất cả ví dụ đó.
minh tất cả ví dụ đó.
•
Theorem:
Theorem:

¬
¬
∃
∃
x,y
x,y
∈
∈
Z
Z
:
:
x
x
2
2
+3
+3
y
y
2
2
= 8
= 8
.
.
–
Proof:
Proof:
If

If
|
|
x
x
|≥3
|≥3
or
or
|
|
y
y
|≥2
|≥2
then
then
x
x
2
2
+3
+3
y
y
2
2
>8
>8
. This

. This
leaves
leaves
x
x
2
2
∈
∈
{0,1,4}
{0,1,4}
and
and
3
3
y
y
2
2
∈
∈
{0,3}
{0,3}
. The largest
. The largest
pair sum to
pair sum to
4+3 = 7 < 8
4+3 = 7 < 8
.

.
Example 4
08/14/14 (c)2001-2003, Michae
l P. Frank
14
Module #11 – Proof Strategies
Chứng minh tồn tại xây dựng
A Constructive Existence Proof
•
Định lý:
Định lý:
Với mọi số nguyên
Với mọi số nguyên
n
n
>0, tồn tại
>0, tồn tại
dãy gồm n số liên tiêp đều không phải là số
dãy gồm n số liên tiêp đều không phải là số
nguyên tố.
nguyên tố.
•
Khẳng định trên viết dạng logic vị từ:
Khẳng định trên viết dạng logic vị từ:
∀
∀
n
n
>0
>0

∃
∃
x
x
∀
∀
i
i
(1
(1
≤
≤
i
i
≤
≤
n
n
)
)
→
→
(
(
x
x
+
+
i
i

is composite)
is composite)
•
Chứng minh trang sau…
Chứng minh trang sau…
Example 7
08/14/14 (c)2001-2003, Michae
l P. Frank
15
Module #11 – Proof Strategies
The proof
•
Given
Given
n
n
>0
>0
, let
, let
x
x
= (
= (
n
n
+ 1)! + 1
+ 1)! + 1
.
.

•
Let
Let
i
i
≥
≥
1
1
and
and
i
i
≤
≤


n
n
, and consider
, and consider
x
x
+
+
i
i
.
.
•

Note
Note
x
x
+
+
i
i
= (
= (
n
n
+ 1)! + (
+ 1)! + (
i
i
+ 1)
+ 1)
.
.
•
Note
Note
(
(
i
i
+1)|(
+1)|(
n

n
+1)!
+1)!
, since
, since
2
2
≤
≤


i
i
+1
+1
≤
≤


n
n
+1
+1
.
.
•
Also
Also
(
(

i
i
+1)|(
+1)|(
i
i
+1)
+1)
. So,
. So,
(
(
i
i
+1)|(
+1)|(
x+i
x+i
)
)
.
.
∀
∴
∴


x+i
x+i
is composite.

is composite.
∀
∴
∴


∀
∀
n
n


∃
∃
x
x
∀
∀
1
1
≤
≤
i
i
≤
≤
n
n
:
:

x
x
+
+
i
i
is composite
is composite
. Q.E.D.
. Q.E.D.
08/14/14 (c)2001-2003, Michae
l P. Frank
16
Module #11 – Proof Strategies
Chứng minh tồn tại không xây dựng
Nonconstructive Existence Proof
•
Định lý:
Định lý:
Có vô số các số nguyên tố.
Có vô số các số nguyên tố.
–
Mọi tập hữu hạn các số luôn chứa số lớn nhất,
Mọi tập hữu hạn các số luôn chứa số lớn nhất,
vậy ta có thể chứng minh Định lý nếu chỉ ra
vậy ta có thể chứng minh Định lý nếu chỉ ra
rằng không có số nguyên tố lớn nhất.
rằng không có số nguyên tố lớn nhất.
–
Tức là.

Tức là.
, chỉ ra rằng với mọi số nguyên tố luôn
, chỉ ra rằng với mọi số nguyên tố luôn
tồn tại số lớn hơn mà cũng là nguyên tố.
tồn tại số lớn hơn mà cũng là nguyên tố.
generally: For
generally: For
any
any
number,
number,
∃
∃
a larger prime.
a larger prime.
–
Formally: Show
Formally: Show
∀
∀
n
n


∃
∃
p>n
p>n
:
:

p
p
is prime
is prime
.
.


08/14/14 (c)2001-2003, Michae
l P. Frank
17
Module #11 – Proof Strategies
The proof, using proof by cases
•
Given
Given
n
n
>0
>0
, prove there is a prime
, prove there is a prime
p
p
>
>
n
n
.
.

•
Consider
Consider
x
x
=
=
n
n
!+1
!+1
. Since
. Since
x
x
>1
>1
, we know
, we know
that
that
(
(
x
x
is prime)
is prime)
∨
∨
(

(
x
x
is composite)
is composite)
.
.
•
Case 1:
Case 1:
Suppose
Suppose
x
x
is prime. Obviously
is prime. Obviously
x
x
>
>
n
n
, so let
, so let
p
p
=
=
x
x

and we’re done.
and we’re done.
•
Case 2:
Case 2:


x
x
has a prime factor
has a prime factor
p
p
. But if
. But if
p
p
≤
≤
n
n
,
,
then
then
p
p
mod
mod
x

x
= 1
= 1
. So
. So
p
p
>
>
n
n
, and we’re done.
, and we’re done.
08/14/14 (c)2001-2003, Michae
l P. Frank
18
Module #11 – Proof Strategies
Chứng minh tồn tại thích hợp
Adapting Existing Proofs
•
Theorem:
Theorem:
There are infinitely many primes of the form
There are infinitely many primes of the form
4
4
k
k
+3
+3

, where
, where
k
k
∈
∈
N
N
.
.
–
Recall we proved there are infinitely many primes because if
Recall we proved there are infinitely many primes because if
p
p
1
1
,…,
,…,
p
p
n
n
were all the primes, then
were all the primes, then
(
(
∏
∏
p

p
i
i
)+1
)+1
must be prime or
must be prime or
have a prime factor greater than
have a prime factor greater than
p
p
n
n
,
,
⇒
⇒
contradiction!
contradiction!
–
Proof:
Proof:


Similarly, suppose
Similarly, suppose
q
q
1
1

,…,
,…,
q
q
n
n
lists all primes of the form
lists all primes of the form
4
4
k
k
+3
+3
,
,
•
and analogously consider
and analogously consider
Q
Q
= 4(∏
= 4(∏
q
q
i
i
)+3
)+3
.

.
–
Unfortunately, since
Unfortunately, since
q
q
1
1
= 3
= 3
is possible,
is possible,
3|
3|
Q
Q
and so
and so
Q
Q
does have a prime
does have a prime
factor among the
factor among the
q
q
i
i
, so this doesn’t work!
, so this doesn’t work!

•
So instead, consider
So instead, consider
Q
Q
= 4(∏
= 4(∏
q
q
i
i
)−1 = 4(∏
)−1 = 4(∏
q
q
i
i
−1)+3
−1)+3
. This has the right
. This has the right
form, and has no
form, and has no
q
q
i
i
as a factor since
as a factor since
∀

∀
i
i
:
:
Q ≡
Q ≡
−1 (mod
−1 (mod
q
q
i
i
)
)
.
.
Example 5
08/14/14 (c)2001-2003, Michae
l P. Frank
19
Module #11 – Proof Strategies
Giả thuyết và chứng minh
Conjecture and Proof
•
We know that some numbers of the form
We know that some numbers of the form
2
2
p

p
−1
−1
are
are
prime when
prime when
p
p
is prime.
is prime.
–
These are called the Mersenne primes.
These are called the Mersenne primes.
•
Can we prove the inverse, that
Can we prove the inverse, that
a
a
n
n
−1
−1
is composite
is composite
whenever either
whenever either
a
a
>2

>2
, or (
, or (
a
a
=2
=2
but
but
n
n
is composite)?
is composite)?
–
All we need is to find a factor greater than 1.
All we need is to find a factor greater than 1.
•
Note
Note
a
a
n
n
−1
−1
factors into
factors into
(
(
a

a
−1)(
−1)(
a
a
n
n
−1
−1
+…+
+…+
a
a
+1)
+1)
.
.
–
When
When
a
a
>2
>2
,
,
(
(
a
a

−1)>1
−1)>1
, and so we have a factor.
, and so we have a factor.
–
When
When
n
n
is composite,
is composite,
∃
∃
r,s
r,s
>1:
>1:
n
n
=
=
rs
rs
. Thus, given
. Thus, given
a
a
=2
=2
,

,
a
a
n
n
= 2
= 2
n
n
= 2
= 2
rs
rs
= (2
= (2
r
r
)
)
s
s
, and since
, and since
r
r
>1
>1
,
,
2

2
r
r
> 2
> 2
so
so
2
2
n
n
− 1 =
− 1 =
b
b
s
s
−1
−1
with
with
b
b
= 2
= 2
r
r
> 2
> 2
, which now fits the first case.

, which now fits the first case.
Example 6
08/14/14 (c)2001-2003, Michae
l P. Frank
20
Module #11 – Proof Strategies
Giả thuyết và phản ví dụ
Conjecture & Counterexamples
•
Giả thuyết:
Giả thuyết:
∀
∀
số nguyên
số nguyên


n
n
>0
>0
,
,
n
n
2
2
−
−
n

n
+41
+41
l
l
à nguyên
à nguyên
tố
tố
.
.
–
Hm, let’s see if we can find any counter-examples:
Hm, let’s see if we can find any counter-examples:
•
1
1
2
2
−1+41 = 41
−1+41 = 41
(prime)
(prime)
•
2
2
2
2
−2+41 = 4−2+41 = 43
−2+41 = 4−2+41 = 43

(prime)
(prime)
•
3
3
2
2
−3+41 = 9−3+41 = 47
−3+41 = 9−3+41 = 47
(prime)
(prime)
Looking good so far!!
Looking good so far!!
–
Ch
Ch
úng ta có thể kết luận sau khi chỉ ra
úng ta có thể kết luận sau khi chỉ ra
20 ho
20 ho
ặc
ặc
30
30
tr
tr
ường hợp đúng rằng giả thuyết đó là đúng được
ường hợp đúng rằng giả thuyết đó là đúng được
không
không

?
?
•
KH
KH
ÔNG BAO GIỜ
ÔNG BAO GIỜ
NEVER NEVER NEVER!
NEVER NEVER NEVER!
–
Of course, 41
Of course, 41
2
2
−41+41 is divisible by 41!!
−41+41 is divisible by 41!!
Example 8
08/14/14 (c)2001-2003, Michae
l P. Frank
21
Module #11 – Proof Strategies
Ngay cả các nhà Bác học vĩ đại cũng
có thể đưa ra giả thuyết sai lầm!
•
Euler conjectured that for
Euler conjectured that for
n
n
>2
>2

, the sum of
, the sum of
n
n
−1
−1


n
n
th
th


powers of positive integers is not an
powers of positive integers is not an
n
n
th power.
th power.
–
Remained true for all cases checked for 200 years, but
Remained true for all cases checked for 200 years, but
no proof was found.
no proof was found.
•
Finally, in 1966, someone noticed that
Finally, in 1966, someone noticed that
27
27

5
5
+ 84
+ 84
5
5
+ 110
+ 110
5
5
+ 133
+ 133
5
5
= 144
= 144
5
5
.
.
–
Larger counter-examples have also been found for
Larger counter-examples have also been found for
n
n
=4,
=4,
but none for
but none for
n

n
>5 yet.
>5 yet.
Example 9
08/14/14 (c)2001-2003, Michae
l P. Frank
22
Module #11 – Proof Strategies
Fermat’s “Last Theorem”
•
Theorem:
Theorem:


x
x
n
n
+
+
y
y
n
n
=
=
z
z
n
n

has no solutions in integers
has no solutions in integers
xyz
xyz


≠ 0
≠ 0
with integer
with integer
n
n
>2
>2
.
.
–
In the 1600s, Fermat famously claimed in a marginal note that
In the 1600s, Fermat famously claimed in a marginal note that
he had a “wondrous proof” of the theorem.
he had a “wondrous proof” of the theorem.
•
But unfortunately, if he had one, he never published it!
But unfortunately, if he had one, he never published it!
–
The theorem remained a publicly unproven conjecture for the
The theorem remained a publicly unproven conjecture for the
next ~400 years!
next ~400 years!
–

Finally, a proof that requires hundreds of pages of advanced
Finally, a proof that requires hundreds of pages of advanced
mathematics was found by Wiles at Princeton in 1990.
mathematics was found by Wiles at Princeton in 1990.
•
It took him 10 years of work to find it!
It took him 10 years of work to find it!
•
Challenge:
Challenge:
Find a
Find a
short, simple
short, simple
proof of Fermat’s last
proof of Fermat’s last
theorem, and you will become instantly famous!
theorem, and you will become instantly famous!
Theorem 2
08/14/14 (c)2001-2003, Michae
l P. Frank
23
Module #11 – Proof Strategies
Some Open Conjectures
•
Conjecture:
Conjecture:
There are infinitely many primes of
There are infinitely many primes of
the form

the form
n
n
2
2
+1
+1
, where
, where
n
n
∈
∈
Z
Z
.
.
•
Conjecture:
Conjecture:
(Twin Prime Conjecture) There are
(Twin Prime Conjecture) There are
infinitely pairs of primes of the form
infinitely pairs of primes of the form
(
(
p
p
,
,

p
p
+2)
+2)
.
.
•
Conjecture:
Conjecture:
(The Hailstone Problem) If
(The Hailstone Problem) If
h
h
(
(
x
x
) =
) =
x
x
/2
/2
when
when
x
x
is even, and
is even, and
3

3
x
x
+1
+1
when
when
x
x
is odd, then
is odd, then
∀
∀
x
x
∈
∈
N
N


∃
∃
n
n
∈
∈
N
N

h
h
n
n
(
(
x
x
) = 1
) = 1
(where the superscript
(where the superscript
denotes composition of
denotes composition of
h
h
with itself
with itself
n
n
times).
times).
Prove any of these, and you can probably have a lifetime
career sitting around doing pure mathematics…
Example 13
Example 12
Example 11