skkn phương pháp giải toán xác suất trung học phổ thông nghĩa hưng a

PHẦN I :

LỜI NÓI ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình sách giáo khoa đại số và giải tích 11 ở chương II đề
cập đến chủ đề: Tổ hợp - xác suất. Để có thể giải quyết được các bài toán Tổ
hợp - xác suất học sinh phải nắm vững các kiến thức theo chuẩn kiến thức kỹ
năng đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài tốn
vào những tình huống cụ thể. Qua thực tiễn giảng dạy xác suất cho học sinh lớp
11 chương trình cơ bản mơn Tốn tơi nhận thấy: đa số các em chưa hiểu thấu
đáo các khái niệm cơ bản như: không gian mẫu, biến cố, biến cố độc lập, biến cố
xung khắc, biến cố đối,… các em chỉ biết giải bài toán xác suất trong một số
kiểu bài tập quen thuộc, đa số học sinh chưa biết sử dụng linh hoạt các quy tắc
cộng và quy tắc nhân xác suất để giải quyết các tình huống cụ thể.
Lý thuyết xác suất nghiên cứu quy luật của các hiện tượng ngẫu nhiên. Do
đặc thù của chuyên ngành nên các bài tốn về xác suất có nhiều điểm khác biệt
so với các bài tốn đại số, giải tích, hình học. Chính vì vậy, đứng trước một bài
tốn xác suất học sinh thường lúng túng, không biết cách giải quyết như thế nào,
thậm chí có nhiều em đã làm xong vẫn băn khoăn cũng khơng dám chắc mình đã
làm đúng.
Với mong muốn giúp các em học sinh lớp 11 nắm vững các kiến thức cơ
bản về xác suất đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt các kiến thức đó để
giải quyết nhiều tình huống khác nhau, tơi chọn đề tài: “Phương pháp giải bài
toán xác suất lớp 11”.
Đề tài của tơi gồm 3 phần:
Phần I: Lời nói đầu
Phần II: Nội dung
A: Cơ sở lý thuyết
B: Phương pháp giải một số bài toán xác suất 11
C: Một số bài tập tham khảo

Phần III: Kết luận

1


2. Mục đích yêu cầu
Giúp học sinh nắm vững các khái niệm và các quy tắc cơ bản của xác suất
đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài tốn vào
những tình huống cụ thể.
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
- Khách thể: Học sinh khối 11 trường THPT Nguyễn Trung Ngạn.
- Đối tượng nghiên cứu: Các khái niệm và các quy tắc cơ bản của xác
suất, các bài toán xác suất.
- Phạm vi nghiên cứu: Các kiến thức cơ bản về xác suất trong chương
trình SGK cơ bản và nâng cao mơn tốn lớp 11.
4.Nhiệm vụ nghiên cứu.
a) Trình bày hệ thống các kiến thức cơ bản về xác suất
b) Hướng dẫn học sinh giải quyết các bài toán xác suất trong một số tình
huống cụ thể.
5.Phương pháp nghiên cứu
a) Kết hợp linh hoạt các phương pháp dạy học
b) Phỏng vấn trình độ nhận thức, kỹ năng giải toán của học sinh.
c) Tổng kết kinh nghiệm, tìm ra những khó khăn, thuận lợi khi giải
quyết các bài toán ở những lớp trước.

2


Phần II: NỘI DUNG
A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1) Biến cố và phép thử biến cố
• Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta khơng đốn trước được
kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp các kết quả có thể có của phép thử đó.
• Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là
khơng gian mẫu của phép thử và kí hiệu là Ω .
• Biến cố là một tập con của khơng gian mẫu
Biến cố thường được kí hiệu bằng chữ in hoa A, B, C,… và cho dưới dạng
mệnh đề xác định tập hợp diễn đạt bằng lời hoặc dạng mệnh đề xác định tập con.
Trong một phép thử ln có hai biến cố đặc biệt:
- Tập φ được gọi là biến cố không thể ( gọi tắt là biến cố không).
- Tập Ω được gọi là biến cố chắc chắn.
• Phép tốn trên biến cố
Trước hết ta giả thiết các biến cố đang xét cùng liên quan đến phép thử và
các kết quả của phép thử là đồng khả năng.
+ Tập Ω \ A được gọi là biến cố đối của biến cố , kí hiệu là . Và

khi và chỉ khi

xảy ra

không xảy ra.

+Tập A ∪ B được gọi là hợp của các biến cố A và B.
+ Tập

được gọi là giao của các biến cố A và B, cịn được viết là

A.B.
+ Nếu
+ Hai biến cố

thì ta nói
và

và

là xung khắc.

được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay

không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến
cố kia.

2) Định nghĩa cổ điển của xác suất

3


Giả sử

là biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết

quả đồng khả năng xuất hiện. Ta gọi tỉ số

n( A)
n ( Ω)

là xác suất của biến cố , kí

n( A)

hiệu là P(A). Vậy P( A) = n(Ω)
3) Tính chất của xác suất:
a) Tính chất cơ bản:
• P( φ ) = 0
• P( Ω ) = 1
• 0 ≤ P (A) ≤ 1 với mọi biến cố A.
• P ( A ) = 1- P(A)
b) Quy tắc cộng xác suất
• Nếu A và B xung khắc thì: P( A ∪ B ) = P ( A) + P( B)
• Nếu A ∩ B = φ thì P( A ∪ B) = P( A) + P( B)
• Với mọi biến cố

và

bất kì ta có:

P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A.B )

c) Quy tắc nhân xác suất:
Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi P( A.B ) = P ( A).P ( B )

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN XÁC SUẤT LỚP 11
B1. Dạng 1: Các bài tốn tính xác suất đơn giản: Áp dụng định nghĩa cổ
điển của xác suất. Xác suất của biến cố A là: P( A) =

n( A)
n ( Ω)

Bài toán 1.

4


Cho một lục giác đều ABCDEF. Viết các chữ cái A, B, C, D, E, F vao 6
thẻ. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ. Tìm xác suất sao cho đoạn thẳng mà các đầu mút là
các điểm được ghi trên 2 thẻ đó là:
a) Cạnh của lục giác.
b) Đường chéo của lục giác.
c) Đường chéo nối 2 đỉnh đối diện của lục giác.
Phân tích:
Đây có thể coi là một bài tốn đếm: đếm tổng số cạnh và đường chéo của
một lục giác đều. Chúng ta đã biết từ 6 điểm phân biệt sao cho khơng có 3 điểm
2
nào thẳng hàng có thể tạo ra được C6 = 15 đoạn thẳng.

Do đó nếu gọi:
là biến cố “Đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai
thẻ là cạnh của lục giác”
là biến cố “Đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai
thẻ là đường chéo của lục giác”
là biến cố “Đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai
thẻ là đường chéo nối hai đỉnh đối diện của lục giác”.
Và ta có n(Ω) = 15,
n( A)

6

2

n(A) = 6 ⇒ P(A) = n(Ω) = =
15 5
B = A ⇒ P(B) = 1 – P(A) = 1 -

n(C ) = 3 ⇒ P(C) =

2 3
=
5 5

n(C ) 3 1
= =
n(Ω) 15 5

Bài toán 2.
Xếp ngẫu nhiên ba bạn nam và ba bạn nữ ngồi vào sáu ghế kê theo hàng
ngang. Tìm xác suất sao cho.
a)

Nam nữ ngồi xen kẽ nhau.
5


b)

Ba bạn nam ngồi cạnh nhau.

Phân tích:
Đây tuy là một bài tốn xác suất nhưng thực chất nó lại là một bài tốn đếm
trong tổ hợp. Đó là tập hợp của các bài toán tổ hợp nhỏ quen thuộc như sau:

(1) Có bao nhiêu cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ vào 6 ghế kê theo hàng
ngang
( Đáp số:

cách).

(2) Có bao nhiêu cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ và 6 ghế kê theo hàng
ngang, biết rằng nam nữ ngồi cạnh nhau.
( Đáp số:

cách).

(3) Có bao nhiêu cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ vào 6 ghế kê theo hàng
ngang, biết rằng ba bạn nam ngồi cạnh nhau.
( Đáp số: 4.

cách)

Như vậy bài toán trên được giải như sau:
Lời giải:
Gọi

là biến cố “Xếp 3 học sinh nam và 3 học sinh nữ vào 6 ghế kê theo

hàng ngang mà nam và nữ xen kẽ nhau”
Và

là biến cố “Xếp 3 học sinh nam và 3 học sinh nữ vào 6 ghế kê theo

hàng ngang mà 3 bạn nam ngồi cạnh nhau”

Ta có n( Ω ) = 720, n(A) = 72, n(B) = 144
n( A)

72

1

n( B )

144

1

=
= , P(B) =
Suy ra P(A) = n(Ω) =
=
n(Ω) 720 5
720 10

Như vậy phần lớn các bài toán dạng 1 là các bài tốn sử dụng cơng thức và
kĩ thuật của toán tổ hợp. Đối với các bài toán như vậy thì học sinh chỉ cần phải
nắm vững cơng thức về tổ hợp và định nghĩa xác suất.
Bên cạnh đó, có những bài tốn chỉ cần dùng phương pháp liệt kê.
Bài toán 3.
6


Gieo đồng thời hai con súc sắc. Tính xác suất để tổng số chấm trờn mặt
xuất hiện của hai con súc sắc bằng 8.

Hướng dẫn học sinh:
Phộp thử T: ‘‘Gieo đồng thời hai con súc sắc’’
(1,1), (1, 2), (1,3),..............(1, 6) 
(2,1), (2, 2), (2,3),..............(2, 6) 


Không gian mẫu: Ω = 
 gồm 6.6=36 phần tử
...................................................
(6,1), (6, 2), (6,3),..............(6, 6) 



Xét biến cố A: tổng số chấm tròn mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 8.
Tập Ω A các kết quả thuận lợi của A :
Ω A = { (2, 6), (6, 2), (3,5), (5,3), (4, 4)} suy ra Ω A = 5
Xác suất của A: P ( A) =

5
36

Nhận xét: Tuy nhiên, phương pháp liệt kê chỉ có hiệu quả khi số phần tử của
biến cố là nhỏ. Nếu số phần tử lớn thì việc liệt kê trở nên khó khăn và dễ xét
thiếu phần tử
Bài tốn 4. ( Đề thi đại học khối A,A1 năm 2013)
Gọi S là tập hợp tát cả các số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn
từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Xác định số phần tử của S. chon ngẫu nhiên một
số từ S, tính xác suất để số được chọn là số chẵn.
Lời giải : Gọi A là biến cố ” Số được chọn là số chẵn”
3

Số phần tử của S là A7 = 210 ⇒ n(Ω) = 210

Số cách chọn một số chẵn từ S là 3.6.5 = 90 cách ⇒ n( A) = 90
Xác suất cần tính là P =

90 3
=
210 7

Phân tích: Trong bài tốn này ta khơng thể sử dụng phương pháp liệt kê vì số
phần tử của biến cố là tương đối lớn học sinh đếm số phần tử quy tắc nhân
Tương tự học sinh giải bài toán sau đây :
Bài toán 5. ( Đề thi đại học khối B năm 2013)

7


Có hai chiếc hộp chứa bi. Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi
trắng, hộp thứ 2 chứa 2 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hôp
ra 1 viên bi, tính xác suất để 2 viên bi được lấy ra có cùng màu.
Lời giải :
Số cách chọn 2 viên bi, mỗi viên từ một hộp là 7.6 = 42.
Số cách chọn 2 viên bi đỏ, mỗi viên từ một hộp là 4.2 = 8
Số cách chọn 2 viên bi trắng, mỗi viên từ một hộp là 3.4 = 12
Xác suất để 2 viên bi được lấy ra có cùng màu là: P =

8 + 12 10
=
42
21

Bài toán 6.
Trên một cái vịng hình trịn dùng để quay sổ số có gắn 36 con số từ 01
đến 36. Xác suất để bánh xe sau khi quay dừng ở mỗi số đều như nhau. Tính xác
suất để khi quay hai lần liên tiếp bánh xe dừng lại ở giữa số 1 và số 6 ( kể cả 1
và 6) trong lần quay đầu và dừng lại ở giữa số 13 và 36 ( kể cả 13 và 36) trong
lần quay thứ 2.
Phân tích: Rõ ràng là trong bài tốn này ta khơng thể sử dụng phương pháp
liệt kê vì số phần tử của biến cố là tương đối lớn. Ở đây ta sẽ biểu diễn tập
hợp dưới dạng tính chất đặc trưng để tính tốn.
Gọi A là biến cố cần tính xác suất

Có 6 cách chọn i, ứng với mỗi cách chọn i có 24 cách chọn j ( từ 13 đến 36 có
24 số) do đó theo quy tắc nhân: n(A) = 6.24 = 144
n( A)

khi đó P(A) = n(Ω) =

144
1
=
1296 9

Bài toán 7.
Gieo một đồng tiền cân đối đồng chất liên tiếp cho đến khi lần đầu tiên xuất
hiện mặt ngửa hoặc cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại.
a) Mô tả không gian mẫu.
8

b) Tính xác suất:
A: “Số lần gieo khơng vượt q ba”
B: “Số lần gieo là năm”
C: “Số lần gieo là sáu”
Phân tích: Đối với bài tốn này rất nhiều học sinh lúng túng không biết cách
xác định không gian mẫu vì học sinh vốn quen với các bài tốn cho trước số lần
gieo. Bài toán này trước hết phải xác định được số lần gieo. Giáo viên có thể gợi
ý cho học sinh bằng các câu hỏi như:
o Nếu không có giả thiết “cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại” thì ta
phải gieo đồng tiền bao nhiêu lần?
o Nếu kết hợp với giả thiết “cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại” thì ta
phải gieo đồng tiền tối đa bao nhiêu lần?
Tất nhiên với câu hỏi đầu tiên học sinh không thể đưa ra một con số cụ thể vì
nếu gieo 100 lần vẫn có thể là cả 100 lần đều xuất hiện mặt sấp do đó vẫn chưa
thể dừng lại nhưng học sinh đã hình dung ra dạng các phần tử đầu tiên. Với câu
hỏi thứ hai học sinh có thể trả lời được số lần gieo tối đa là 6. Từ đó học sinh có
thể xác định được khơng gian mẫu.
Lời giải:
a) Khơng gian mẫu Ω = { N , SN , SSN , SSSN , SSSSN , SSSSSN , SSSSSS }
b) Ta có: A = { N , SN , SSN } , n(A) =3 ⇒ P(A) =
B=

{ SSSSN } , n(B) = 1 ⇒ P(B) =

3
7

1
7

C = { SSSSSN , SSSSSS } , n(C) = 2 ⇒ P(C) =

2
7

Bài toán 8. Một người say rượu bước bốn bước. Mỗi bước anh ta tiến lên phía
trước nửa mét hoặc lùi lại phía sau nửa mét với xác suất như nhau. Tính xác
suất để sau bốn bước đó anh ta trở lại điểm xuất phát.
Hướng dẫn :
Anh ta trở lại điểm xuất phát khi và chỉ khi trong 4 bước, anh ta có 2 lần
bước tiến ( T) và 2 lần bước lùi ( L). Dễ thấy có 6 trường hợp để trong 4 bước có
2 tiến, 2 lùi là :
T –T - L – L, T – L –T – L, L – L – T – T,
L –T - L –T, T –L – L – T, L – T – T – L .
9


Mỗi bước tiến hay lùi đều có xác suất là

1
, nên mỗi trường hợp có xác suất là
2

1 1 1 1
1
6 3
. . . = . Khi đó xác suất cần tìm là P = = .
2 2 2 2 16
16 8

B2. Dạng 2: Biến cố đối
Trong tốn học, có những bài tốn khi tính tốn trực tiếp rất dài dịng và phức
tạp. Khi đó phương pháp gián tiếp lại rất hiệu quả và cho ta cách làm ngắn gọn.
Phương pháp sử dụng biến cố đối là một phương pháp như vậy
Bài toán 9.
Gieo đồng tiền xu cân đối đồng chất 3 lần. Tính xác suất của các biến cố:
a) Biến cố A: “Trong 3 lần gieo có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa”.
b) Biến cố B: “Trong 3 lần gieo có cả hai mặt sấp, ngửa”.
Phân tích:

10


Học sinh có thể giải quyết bài tốn theo định hướng là: ít nhất 1 lần xuất
hiện mặt ngửa thì có 3 khả năng có thể xảy ra là: 1 lần xuất hiện mặt ngửa, hai
lần xuất hiện mặt ngửa, ba lần xuất hiện mặt ngửa.
Do vậy học sinh sẽ giải bài toán như sau:

Suy ra P( A) =

n( A) 7
= .
n ( Ω) 8

Tuy nhiên làm như vậy dài và rất dễ bỏ quên trường hợp. Tuy nhiên nếu
để ý rằng biến cố đối của biến cố A là biến cố

: “Khơng có lần nào xuất hiện

mặt ngửa”. Do đó bài tốn này sẽ được giải như sau:

Lời giải:
Khơng gian mẫu
a) Ta có biến cố đối của biến cố A là biến cố:
: “Không cố lần nào xuất hiện mặt ngửa”
1

7

Và ta có A = { SSS} ⇒ n( A ) = 1 ⇒ P( A ) = . Vậy P(A) =
8
8
1

3

b) Tương tự ta có: B = { SSS , NNN } ⇒ n( B ) = 2 ⇒ P( B ) = suy ra P(B) =
4
4
Bài toán 10.
Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác
suất của các biến cố sau:
a) Biến cố A: “Trong hai lần gieo ít nhất một lần xuất hiện mặt một
chấm”
b) Biến cố B: “Trong hai lần gieo tổng số chấm trong hai lần gieo là
một số nhỏ hơn 11”

11


Phân tích: Đối với bài tốn này dùng phương pháp sử dụng biến cố đối là

phương pháp tối ưu bởi lẽ nếu tính trực tiếp ta phải xét rất nhiều trường hợp
o Đối với biến cố A
• Mặt một chấm xuất hiện lần thứ nhất
• Mặt một chấm xuất hiện lần thứ hai
• Hai lần gieo đều xuất hiện mặt một chấm (khả năng này lại nằm
trong cả hai khả năng trên)
o Đối với biến cố B. Tổng số trong hai lần gieo là một số nhỏ hơn 11 tức
là có 10 khả năng xảy ra: 1,2,…,10
Lời giải:
Khơng gian mẫu

Ta có biến cố đối

a) Ta có:

Phương pháp sử dụng biến cố đối là một phương pháp hay, tuy nhiên đểvận
dụng được phương pháp này học sinh cần nắm được hai yếu tố:
o Nhận dạng loại tốn: Các bài tốn có cụm từ “có ít nhất”, “tối thiểu”,
“tất cả”…hoặc tính chẵn, lẻ, vơ nghiệm, có nghiệm,…nếu tính kiểu bù gọn
hơn thì ta dùng biến cố đối
o Xác định tốt mệnh đề phủ định và phép toán lấy phần bù của một tập
hợp để tránh xác định sai biến cố đối.
Bài toán 11 . Chon ngẫu nhiên 3 người biết rằng không có ai sinh vào năm
nhuận. Hãy tính xác suất để có ít nhất hai người có sinh nhật trùng nhau
( cùng ngày, cùng tháng).
Hướng dẫn :
Xét biến cố đối “ ba người có ngày sinh đơi một khác nhau”.
12

Số trường hợp có thể là 3653. Số trường hợp thuận lợi là 365.364.363
Vậy P = 1-

365.364.363
≈ 1 − 0,9918 = 0, 0082
3653

Bài toán vận dụng
Bài toán 12. Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi xanh và 6 viên bi
vàng. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp đó. Tính các suất để 4 viên bi được chọn
khơng có đủ 3 màu.
4
Lời giải: Số kết quả có thể là: Ω = C15 = 1365.
Gọi A là biến cố “4viên bi lấy được có đủ 3 màu”, khi đó các kết quả thuận lợi
1
1
1
1
1
1
cho biến cố A là : Ω A = C4 .C5 .C62 + C4 .C52 .C6 + C42 .C5 .C6 = 720
Ta có A là biến cố “ 4 viên bi lấy ra khơng có đủ 3 màu”

Do đó xác suất cần tìm là P( A ) = 1 – P(A) = 1-

720
43
= .
1365 91

13


B3. Dạng 3: Các bài toán sử sụng quy tắc cộng, quy tắc nhân
Bài toán 13.
Gieo đồng thời hai con súc sắc. Tính xác suất sao cho:
a) Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn.
b) Tích số chấm trên 2 con súc sắc là số chẵn.
Phân tích:
a) Đối với bài toán này phần lớn học sinh đều giải bằng cách đếm số phần tử
của biến cố. học sinh trung bình thường liệt kê phần tử và đếm trực tiếp. Tất
nhiên là cách giải này rất dài và có thể làm sót phần tử dẫn tới giải sai. Học sinh
khá hơn thì sử dụng tính tốn để đếm số phần tử như sau:
Ta có

Chọn

là biến cố “Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn”

Do đó

Có 3 cách chọn

, với mỗi cách chọn ta có 3 cách chọn . Do đó có 9

cách chọn

Tơi thấy rằng đây là một lời giải hợp lý, tuy nhiên bài tốn này có thể
được giải quyết một cách đơn giản hơn khi ta sử dụng quy tắc xác suất. Cho nên
giáo viên có thể gợi mở, dẫn dắt học sinh để đi tới giải bài toán theo định hướng

này như sau:
Gọi A là biến cố “Con súc sắc thứ nhất xuất hiện mặt chẵn”
B là biến cố “Con súc sắc thứ hai xuất hiện mặt chẵn”

14


X là biến cố “Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn”
Thấy rằng

và

là hai biến cố độc lập và

3 1
=
6 2

(Trong 6 mặt thì có 3 mặt chẵn)
Do vậy ta có:

b) Gọi

là biến cố “Tích số chấm trên 2 con súc sắc là số chẵn”

Có 3 khả năng xảy ra để tích số chấm trên con súc sắc là số chẵn:
• Con súc sắc thứ nhất xuất hiện mặt chẵn, con súc sắc thứ hai xuất hiện
mặt lẻ.
• Con súc sắc thứ nhất xuất hiện mặt lẻ, con súc sắc thứ hai xuất hiện mặt
chẵn.

• Cả hai con súc sắc cùng xuất hiện mặt chẵn.
Và ta có

“Tích số chấm trên 2 con súc sắc là số lẻ” chỉ có 1 khả năng là cả

hai con súc sắc đều xuất hiện mặt lẻ.
Như vậy một lần nữa ta lại thấy ưu thế của biến cố đối.
Ta có

và ,

độc lập nên ta có:

Và do đó P(Y) = 1- P( Y ) = 1-

1 3
=
4 4

Nhận xét: Bài toán trên ta đã sử dụng quy tắc nhân xác suất. Muốn sử dụng
được quy tắc nhân phải khẳng định được hai biến cố là độc lập. Vậy hai biến cố
thường độc lập trong các phép thử nào? Tất nhiên ở đây tôi không thể nêu tất cả
mà chỉ đưa ra một số trường hợp quen thuộc
*)Gieo hai đồng tiền hoặc gieo đồng tiền hai lần thì biến cố xảy ra trong

15


lần gieo này độc lập với biến cố xảy ra trong lần gieo kia. Tương tự đối với con
súc sắc.

*) Hai xạ thủ bắn súng thì sự bắn trúng hay trượt của người này không ảnh
hưởng tới người kia. Do đó các biến cố liên quan đến người này độc lập với biến
cố liên quan đến người kia. Tương tự đối với một người bắn hai phát súng
*) Có hai cái hịm đựng bóng. Lấy từ mỗi hịm ra một quả bóng thì biến cố
lấy ra bóng của hịm này sẽ độc lập với biến cố lấy bóng ra ở hịm kia. Tương tự
đối với bài tốn lấy bi, lấy cầu...
Chú ý rằng: Nếu A và B độc lập thì

và

;

và B; A và

cũng độc lập

Cũng giống như quy tắc cộng và quy tắc nhân trong toán tổ hợp, đối với biến cố
xảy ra khả năng này hoặc khả năng kia thì ta sử dụng quy tắc cộng xác suất. Cịn
với biến cố thực hiện lien tiếp hai hành động thì ta dùng quy tắc nhân
Bài tốn14.
Trong hịm có 10 chi tiết, trong đó có 2 chi tiết hỏng. Tìm xác suất để khi lấy
ngẫu nhiên 6 chi tiết thì có khơng q 1 chi tiết hỏng.
Phân tích: Trong 6 chi tiết thì có khơng q 1 chi tiết hỏng nghĩa là khơng cóchi
tiết nào hỏng hoặc có một chi tiết hỏng. Bài tốn này khơng thể giải theo dạng 1
mà phải sử dụng phép tính xác suất. Đây là bài toán dùng quy tắc cộng xác suất
Lời giải
Gọi

là biến cố “Trong 6 chi tiết lấy ra khơng có chi tiết nào hỏng”

là biến cố “trong 6 chi tiết lấy ra có 1 chi tiết hỏng”

là biến cố “Trong 6 chi tiết lấy ra có khơng q 1 chi tiết hỏng”

Khi đó

. Do A1 và A2 xung khắc nhau nên P(A) = P(A1) + P(A2)

6
6
Số cách lấy ra 6 chi tiết từ 10 chi tiết là C10 ⇒ N (Ω) = C10 = 210

6
Có 8 chi tiết khơng bị hỏng nên n( A1 ) = C8 = 28

16


5
Số cách lấy 5 chi tiết từ 8 chi tiết bị hỏng là C8
1
Số cách lấy 1 chi tiết từ 2 chi tiết hỏng là C2
1
Theo quy tắc nhân ta có n( A2 ) = C85C2 = 112

Do vậy ta có: P( A1 ) =

n( A1 )
2
28

2
2 8
⇒ P(A) = P(A1) +P(A2) =
=
+ =
=
n (Ω )
210 15
15 15 3

Bài toán 15.
Có hai hộp cùng chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất có 7 quả cầu đỏ, 5 quả
cầu xanh. Hộp thứ hai có 6 quả cầu đỏ, 4 quả cầu xanh. Từ mỗi hộp lấy ra ngẫu
nhiên 1 quả cầu.
a) Tính xác suất để 2 quả cầu lấy ra cùng màu đỏ.
b) Tính xác suất để 2 quả cầu lấy ra cùng màu.
Phân tích: Bài tốn này vẫn có thể giải theo dạng 1, tuy nhiên việc giải rất dài
dòng và phức tạp. Nếu sử dụng phối hợp quy tắc cộng và quy tắc nhân thì việc
giải quyết bài tốn trở nên đơn giản hơn rất nhiều.
Lời giải
a) Gọi:
A là biến cố “Quả cầu lấy ra từ hộp thứ nhất màu đỏ”
B là biến cố “Quả cầu lấy ra từ hộp thứ hai màu đỏ”
X là biến cố “Hai quả cầu lấy ra cùng màu đỏ”

Ta có

,

Mặt khác A và B độc lập nên P(X) = P(A).P(B) =

7 3
7
. =
12 5 20

b) Gọi:
Y là biến cố “Hai quả cầu lấy ra cùng màu xanh”
Z là biến cố “Hai quả cầu lấy ra cùng màu”

17


Ta có

. Mặt khác

Thấy rằng

và

độc lập nên

nên

Những bài tốn sử dụng quy tắc cộng xác suất và quy tắc nhân xác suất là các
bài tốn ln tính được xác suất của biến cố cơ sở (các biến cố cần tính xác suất
biểu diễn qua các biến cố này). Chúng ta để ý các xác suất sau:
o Khi gieo một đồng tiền xu cân đối, đồng chất thì
• Xác suất xuất hiện mặt sấp là

1
2

• Xác suất xuất hiện mặt ngửa là

1
2

o Khi gieo một con súc sắc cân đối đồng chất thì
1
6

•

Xác suất xuất hiện từng mặt là

•

Xác suất xuất hiện mặt có số chấm là chẵn:

•

Xác suất xuất hiện mặt số chấm là lẻ:

•

Xác suất xuất hiện mặt số chấm là số chia hết cho 3:

1

2

1
2
1
2

Đối với các phép thử khác thì tuỳ theo từng bài tốn ta sẽ tính được
xác suất này. Và cũng có nhiều bài tốn cho trực tiếp xác st. Bài tốn sau là
một ví dụ
Bài tốn 16.
Có 2 lơ hàng. Người ta lấy ngẫu nhiên từ mỗi lô hàng một sản phẩm. Xác suất
để được sản phẩm chất lượng tốt ở từng lô hàng lần lượt là

. Hãy tính

xác suất để:
a) Trong 2 sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm có chất lượng tốt.
b) Trong 2 sản phẩm lấy ra có đúng 1 sản phẩm có chất lượng tốt.
18


Phân tích: Đây là bài tốn cho trước xác suất nên chắc chắn ta phải sử dụng
phép tốn tính xác suất để giải quyết. Biến cố cơ sở sẽ là “Lấy được sản phẩm
tốt từ lô hàng thứ nhất” và “Lấy được sản phẩm tốt từ lô hàng thứ hai”
Lời giải:
Gọi

“Lấy được sản phẩm tốt từ lô hàng thứ nhất”

“Lấy được sản phẩm tốt từ lơ hàng thứ hai”
Khi đó ta có: P(A) = 0,7 ⇒ P( A) = 1 – 0,7 = 0,3
P(B) = 0,8 ⇒ P ( B) = 1 – 0,8 = 0,2
a) Gọi

là biến cố “Trong 2 sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm có

chất lượng tốt”. Suy ra

Do ba biến cố

b) Gọi

là độc lập nên ta có

là biến cố “Trong 2 sản phẩm lấy ra có đúng một sản phẩm có

chất lượng tốt”. Suy ra

Do

xung khắc và biến cố

và B; A và

độc lập nên ta có

Bài tốn 17.
Một phịng được lắp hai hệ thống chng báo động phịng cháy, một hệ

19


thống báo khi thấy khói và một hệ thống báo khi thấy lửa xuất hiện. Qua thực
nghiệm thấy rằng xác suất chng báo khói là

cả 2 chng báo là

, chng báo lửa là

và

. Tính xác suất để khi có hỏa hoạn ít nhất một trong 2

chng sẽ báo.
Phân tích: Biến cố cần tính xác suất là chng báo khói báo hoả hoạn hoặc
chuông báo lửa báo lửa sẽ báo hỏa hoạn. Do đó bài tốn này chắc chắn là dùng
quy tắc cộng. Tuy nhiên hai biến cố cơ sở lại không xung khắc. Trong trường
hợp này ta phải sử dụng quy tắc cộng mở rộng
Lời giải
Gọi

là biến cố “Chuông báo khi thấy khói”

là biến cố “Chng báo khi thấy lửa”

là biến cố “Ít nhất một trong hai chơng báo khi hỏa hoạn”

Theo giả thiết bài tốn ta có
Do đó ta có:

B4.Luyện tập chung:
Bài 18. Một hộp đựng chín thẻ đánh số từ 1 đến 9. Rút ngẫu nhiên hai thẻ rồi
nhân hai số ghi trên thẻ với nhau. Tính xác suất để kết quả nhận được là một số
chẵn.
Hướng dẫn :

20


Gọi A là biến cố: “ Rút được một thẻ chẵn và một thẻ lẻ”, B là biến cố: “Cả hai
thẻ được rút ra là thẻ chẵn”. Khi đó biến cố C: “ Tích hai số ghi trên thẻ là một
số chẵn” là: C = A ∪ B .
Do hai biến cố A và B xung khắc, nên P(C ) = P( A ∪ B) = P( A) + P( B) . Vì có 4 thẻ
1 1
2
C5C4 20
C4
6
chẵn và 5 thẻ lẻ nên ta có: P( A) = 2 = ; P( B) = 2 = . Vậy
C9
36
C9 36

P (C ) = P ( A ∪ B ) =

20 6 13
+
=
36 36 18

Bài 19 . Trên giá sách có 4 quyển sách Tốn, 3 quyển sách Lí và 2 quyển sách
Hóa. lấy ngẫu nhiên ba quyển sách. Tính xác suất sao cho:
a) Ba quyển lấy ra thuộc ba môn khác nhau
b) Cả ba quyển lấy ra đều là sách Toán
c) Ít nhất một quyển sách Tốn
Hướng dẫn : Khơng gian mẫu là một tổ hợp chập 3 của 9 quyển sách nên
3
n(Ω) = C9 = 84 . Kí hiệu A, B, C là các biến cố tương ứng câu a), b), c)

a) Để có một phần tử của A ta phải tiến hành ba lần lựa chọn (từ mỗi loại
sách một quyển).
Vậy n(A) = 4.3.2 = 24 và P( A) =

2
7

b) Cả ba quyển sách lấy ra đều là sách Toán , nên n( B ) = C43 ⇒ P ( B) =

1
21

c) Gọi C là biến cố: “Trong ba quyển khơng có quyển sách Tốn nào”, ta
có: n(C ) = C53 = 10 , và P(C ) = 1 − P(C ) = 1 −

10 37
=
84 42

Bài toán 20: Có 8 học sinh lớp A, 6 học sinh lớp B, 5 học sinh lớp C. Chọn

ngẫu nhiên 8 học sinh. Tính xác suất để 8 học sinh được chọn thuộc vào không
quá hai trong 3 lớp.
8

Hướng dẫn học sinh: Không gian mẫu gồm C19 phần tử
8
Gọi A là biến cố 8 học sinh được chọn đều thuộc lớp A, khi đó Ω A = C8 = 1

21


8
Gọi B là biến cố 8 học sinh được chọn thuộc lớp A, hoặc B khi đó Ω B = C14
8
Gọi C là biến cố 8 học sinh được chọn thuộc lớp A, hoặc C khi đó ΩC = C13
8
Gọi D là biến cố 8 học sinh được chọn thuộc lớp C, hoặc B khi đó Ω B = C11

A,B,C,D là các biến cố xung khắc A ∪ B ∪ C ∪ D là biến cố 8 học sinh được chọn
thuộc vào không quá hai trong 3 lớp .
Vậy xác suất để 8 học sinh được chọn thuộc vào không quá hai trong 3 lớp
bằng:
P ( A ∪ B ∪ C ∪ D ) = P ( A) + P ( B ) + P (C ) + P ( D ) =
8
8
8
1 C14 C13 C11
= 8 + 8 + 8 + 8
C19 C19 C19 C19

Giúp học sinh đưa ra nhận xét: Trong những bài toán mà các kết quả
thuận lợi của biến cố A chia thành nhiều nhóm ta có thể coi biến cố A là biến cố
hợp của các biến cố A1 , …, An xung khắc tương ứng. Sau đó sử dụng quy tắc
cộng xác suất để tính xác suất của biến cố A.
Bài tốn 21: Xạ thủ A bắn 2 viên đạn vào mục tiêu, xác suất bắn trúng của A
trong một lần bắn là

7
. Xạ thủ B bắn 3 viên đạn vào mục tiêu, xác suất bắn
10

trúng của B trong một lần bắn là

9
. Tính xác suất để mục tiêu không trúng đạn
10

Hướng dẫn học sinh:
Gọi A1 là biến cố A bắn trượt lần bắn thứ nhất thì P( A1 ) =
Gọi A2 là biến cố A bắn trượt lần bắn thứ hai thì P( A2 ) =

3
10

3
. A1, A2 là độc lập
10

A = A1 ∩ A2 là biến cố A bắn trượt cả hai lần bắn
3

P ( A) = P ( A1 ).P ( A2 ) = ( ) 2
10
B = B1 ∩ B2 ∩ B3 là biến cố B bắn trượt cả ba lần bắn P ( B ) = P ( B1 ).P ( B2 ) P ( B3 ) = (

1 3
)
10

. A, B là độc lập

22


A ∩ B là biến cố mục tiêu không trúng đạn P ( A ∩ B ) = P ( A).P ( B ) =

32
105

 Giúp học sinh đưa ra nhận xét : Trong những bài toán mà các kết quả
thuận lợi của biến cố A phải đồng thời thỏa mãn nhiều điều kiện ràng buộc khác
nhau ta có thể coi biến cố A là biến cố giao của các biến cố A1 , ..., An độc lập
tương ứng. Sau đó sử dụng quy tắc nhân xác suất để tính xác suất của biến cố
A.
Bài toán 22: Trong lớp học có 6 bóng đèn, mỗi bóng có xác suất bị cháy là
0,25. Lớp học đủ ánh sáng nếu có ít nhất 4 bóng hỏng. Tính xác suất dể lớp học
khơng đủ ánh sáng.
Hướng dẫn học sinh:
Mỗi bóng có xác suất bị cháy là 0,25, mỗi bóng có xác suất hỏng là 0,75
4
Gọi A1 là biến cố 4 bóng hỏng 2 bóng tối, A1 là biến cố hợp của C6 biến cố

4
4
2
con, P ( A1 ) = C6 .0, 75 .0, 25

5
Gọi A2 là biến cố 5 bóng hỏng 1 bóng tối, A2 là biến cố hợp của C6 biến cố

con, P( A2 ) = C6 .0, 75 .0, 25
5

5

1

6
6
Gọi A3 là biến cố 6 bóng hỏng P( A3 ) = C6 .0, 75

A = A1 ∪ A2 ∪ A3 là biến cố lớp học đủ ánh sáng

A là biên cố lớp học không đủ ánh sáng
P ( A) = 1 − P ( A) = 0,8305

Bài toán 23: Một người bắn 3 viên đạn. Xác suất để cả 3 viên trúng vòng 10 là
0,008, xác suỏt để 1 viên trúngvòng 8 là 0,15, xác suất để 1 viên trúng vòng
dưới 8 là 0,4. Tính xác suất để xạ thủ đạt ít nhất 28 điểm
1
Hướng dẫn: Gọi A1 là biến cố 1 viên 10, 2 viên 9, A1 là biến cố hợp của C3 biến
1

2
cố con, P( A1 ) = C3 .0, 2.0, 25

1
Gọi A2 là biến cố 2 viên 10, 1 viên 9, A2 là biến cố hợp của C3 biến cố con,
1
P( A2 ) = C3 .0, 22.0, 25

23


1
Gọi A3 là biến cố 2 viên 10, 1 viên 8, A3 là biến cố hợp của C3 biến cố con,
1
P ( A3 ) = C3 .0, 22.0,15

Gọi A4 là biến cố 3 viên 10, P( A4 ) = 0, 008
A = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 là biến cố xạ thủ đạt ít nhất 28 điểm. Vậy P ( A) = 0, 0935

Bài toán 24. Chon ngẫu nhiên 3 số từ tập hợp X = { 1, 2,3...11}
a) Tính xác suất để tổng ba số được chọn là 12.
b) Tính xác suất để tổng ba số được chọn là số lẻ.
3
Hướng dẫn: Số kết quả có thể là C11 =165

a)Các bộ ( a, b,c ) mà a + b + c = 12 là ( 1, 2,9), ( 1, 3, 8), (1,4,7),
( 1, 5 , 6), (2,3,7), ( 2,4,6), ( 3,4,5). Vậy P =

7
.

165

b)Tổng a + b + c là lẻ khi và chỉ khi: Hoặc cả ba số đều lẻ hoặc trong
1
ba số có 1 số lẻ và 2 số chẵn. Ta có C63 =20 cách chọn 3 số lẻ và C6 .C52 = 60 cách

chọn 1 số lẻ và 2 số chẵn. Vậy P =

20 + 60 16
= .
165
33

24


C.BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
1/ Từ cỗ bài 52 con, rút ngẫu nhiên 3 con. Tính xác suất để
a/ Có ít nhất một con át
b/ Có đúng một con K
c/ Cả 3 con có số khác nhau đều thuộc tập hợp {2,3,…10}
2/ Trong một chiếc hộp có 5 bóng trắng, 6 bóng xanh, 7 bóng đỏ lấy ngẫu
nhiên 4 quả bóng. Tìm xác suất để có 4 quả bóng có đủ 3 mầu.
3/Gieo ngầu nhiên con súc sắc cân đối đồng chất 2 lần: Tính xác suất của
các biến cố:
a/ A: “ Có ít nhất một mặt lẻ”
b/ B: “ Có một mặt chẵn và một mặt lẻ”
c/ C: “ Tổng số chấm hai mặt là một số chẵn”
4/ Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối đồng chất 3 lần, tính xác suất
để:

a/ Có ít nhất một lần xuất hiện mặt 6 chấm
b/ Tổng các số chấm trên 3 mặt là số lẻ
5/ Trong một hộp có 10 chiếc thẻ được đánh số 0,1,2,….9. Lấy ngầu
nhiên liên tiếp 4 thẻ và xếp cạnh nhau theo thứ tự từ trái sang phải tìm xác suất
để 4 thẻ xếp thành 1 số tự nhiên sao cho trong đó chỉ một chữ số 1
6/ Một máy bay có 5 động cơ, trong đó có 3 động cơ ở cánh phải và 2
động cơ ở cánh trái. Mỗi động cơ ở cánh phải có xác suất bị hỏng là 0,1, cịn
mỗi động cơ ở cánh trái có xác suất hỏng là 0,05. Các động cơ hoạt động độc lập
với nhau. Tính xác suất để máy bay thực hiện chuyến bau an toàn trong các
trường hợp sau:
a/ Máy bay bay được nếu có ít nhất hai động cơ làm việc
b/ Máy bay bay được nếu có ít nhất mỗi động cơ trên mỗi cánh làm việc
7/ Một bài thi trắc nghiệm gồm 12 câu hỏi. Mỗi câu hỏi có 5 câu trả lời, trong đó
chỉ có một câu đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 4 điểm, mỗi câu trả lời sai bị trừ
1 điểm .Một học sinh kém làm bài bằng cách chọn hú hoạ một câu trả lời. Tính
xác suất để:
25