Giáo trình thủy lực biển ( Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội ) - Phụ lục potx

203

PHỤ LỤC
MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ TEN XƠ VÀ GIẢI TÍCH TEN XƠ
1.CÁC KHÁI NIỆM VỀ VÉC TƠ VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI TOẠ ĐỘ
1.1. Hệ toạ độ và biến đổi toạ độ
Hệ toạ độ
Trong hình học Ơclit chúng ta cho rằng các đại lượng y
1
, y
2
, y
3
các các
toạ độ trong hệ Đề-các trực giao. Các đại lượng
),,(
321
yyy
xx
αα
=
(1)
được xác định như các toạ độ cong x
α
trong trong miền V nếu như hàm (1) cho
phép biến đổi nghịch đảo

),,(
321
xxx

yy
αα
= (2)
Mặt x
α
= const được gọi là mặt tạo độ và đường cong mà trên đó chỉ có
một toạ độ duy nhất biến đổi được gọi là đường toạ độ.








Hình 1. Hệ toạ độ và véc tơ cơ sở của hệ toạ độ

x
2

x
3

O
M
e
1

e
2

e
3
x
1


204
Cho điểm cố định O là gốc toạ độ và bán kính véc tơ OM , người ta đưa ra
định nghĩa các véc tơ cơ sở e
1
, e
2
, e
3
như sau:
x
e
OM
α
α
∂
∂
=
(3)
Theo định nghĩa trong hình học giải tích đây chính là các véc tơ tiếp tuyến
với đường toạ độ x
α
tại điểm M.
Đối với các véc tơ

a bất kỳ ta có thể phân tích về dạng thành phần thông
qua các véc tơ cơ sở:
eaeaeaa
332211
++=

Bên cạnh các véc tơ cơ sở
e
α
người ta còn đưa ra định nghĩa về đối véc
tơ cơ sở
e
α
theo mối tương quan hàm như sau:
δ
β
α
α
α
.
=
ee

trong đó
⎩
⎨
⎧
=↔
≠↔
=

βα
βα
δ
β
α
1
0
.

Trong trường hợp đó véc tơ
a bất kỳ ta có thể phân tích về dạng thành
phần thông qua các véc tơ cơ sở
e
α
như sau:
eaeaeaeaa
α
α
=++=
3
3
2
2
1
1

Các thành phần a
α
được gọi là các thành phần covariant và a
α

tương ứng là
contrecovariant. Đối với hệ toạ độ Đề-các thì các thành phần này hoàn toàn
tương đương. Trong các công thức có chứa tích các số hạng kèm theo chỉ số,
nếu các chỉ số trùng nhau thì đó là tổng của các thành phần với các chỉ số biến
đổi từ 1 đến 3.
Tại điểm M từ hai hệ véc tơ cơ sở ta có thể thu được một ma trận đối
xứng:

eem
βααβ
= và
eem
βααβ
=


205
Từ các biểu thức này ta có:
aeeaeeaeaeeaaeeam
ββ
β
ββ
α
αββα
αα
βα
α
αβ
======
và tương tự

aam
α
β
αβ
= ,
eem
α
β
αβ
= ,
eem
β
α
αβ
= .
Đồng thời ta cũng thu được:
δ
ω
α
ωβ
αβ
.
=
mm

điều này cho ta thấy hai ma trận
m
αβ
và
m

ωβ
nghịch đảo nhau.
Trên các cơ sở định nghĩa và hệ quả nêu trên chúng ta có thể đưa ra biểu
thức tích vô hướng hai véc tơ như sau:
babambamba
β
αβα
αββα
αβ
=== .
Ta cũng có thể viết công thức tính khoảng cách giữa hai điểm M’(x
α
+dx
α
)
và M(x
α
), biết rằng
xex
x
dd
OM
OMOMds
ααα
α
=
∂
∂
=−= '
từ đó

xxm
ddds
βα
αβ
=
2

Biến đổi toạ độ
Cho rằng cũng trong miền V nêu trên ta có thể xác định một hệ toạ độ
khác liên quan tới x
α
theo các hệ thức mới:
),,(
321''
xxxxx
αα
= và ),,(
'3'2'1
xxxxx
αα
= (4)
Như vậy tương tự như trên ta cũng thu được các véc tơ cơ sở và các ma
trận cơ sở tương ứng
mmee
''
''
'
'
,,,
βα

βα
α
α
cùng với các thành phần véc tơ
aa
'
'
,
α
α


206
Dựa vào định nghĩa véc tơ cơ sở ta có các biểu thức liên quan giữa hai hệ
toạ độ nêu trên
e
x
x
x
x
xx
e
OMOM
α
α
α
α
α
αα
α

'''
'
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
=
(5)
và ngược lại
e
x
x
x
x
xx
e
OMOM
'
''
'
α
α
α
α

α
αα
α
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
=
(6)
Tuy các thành phần toạ độ của một véc tơ phụ thuộc vào hệ toạ độ lựa
chọn, nhưng bản thân véc tơ là không đổi vì vậy đối với một véc tơ bất kỳ ta
có:
eaeaa
αααα
==
''
.
Sử dụng công thức (6) ta có:
a
x
x
a
α
α

α
α
∂
∂
=
'
'
(7)
và hoàn toàn tương tự

a
x
x
a
α
α
α
α
'
'
∂
∂
=
(8)
Như vậy giữa hai hệ toạ độ nêu trên tồn tại một ma trận chuyển đổi A như
sau:
x
x
A
'

'.
α
α
α
α
∂
∂
=
và
x
x
A
α
α
α
α
∂
∂
=
'
'
.

Các công thức (7) và (8) cũng là điều kiện để tập hợp 3 số
a
α
,
a
α
và

a
'
α
,
a
'
α
là các thành phần của một véc tơ
a
.
Để làm rõ điều này chúng ta dẫn ra một ví dụ chứng minh rằng ba đại
lượng đạo hàm riêng theo các biến toạ độ của một đại lượng vô hướng
ϕ bất kỳ
là các thành phần của một véc tơ. Ta có thể viết

207
xx
x
x
x
xx
αα
α
α
α
αα
ϕϕϕ
∂
∂
∂

∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
'''

và
xx
x
x
x
xx
'
''
'
αα
α
α
α
αα
ϕϕϕ
∂
∂
∂
∂

=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂

Như vậy chúng hoàn toàn tuân theo các điều kiện (7) và (8) do đó 3 đại
lượng
x
α
ϕ
∂
∂
là thành phần của một véc tơ, véc tơ đó được gọi là gradient của
hàm vô hướng
ϕ và thông thường được viết trong dạng sau:
e
x
e
x
e
x
e
x
α
α
ϕ

ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
3
3
2
2
1
1

Phụ thuộc vào tính chất của bài toán người ta có thể chọn các toạ độ
covariant hoặc contrecovariant.
2.TEN-XƠ VÀ MỘT SỐ PHÉP TÍNH TOÁN TEN-XƠ
2.1. Định nghĩa về ten-xơ
Trong khi nghiên cứu và giải quyết các bài toán vật lý và cơ học, các khái
niệm về đại lượng vô hướng và véc tơ chưa cho phép mô tả được đầy đủ tất cả
các yếu tố và đặc trưng cơ bản. Ví dụ, khi một véc tơ lực tác động lên một bề

mặt bất kỳ tại một điểm M, ta cần phải biết véc tơ pháp tuyến của bề mặt tại
đ
iểm đó. Chúng ta đã biết lực tác động lên bề mặt theo hướng x
α
sẽ được xác
định theo véc tơ sức căng hay áp lực theo hướng đó:
n
p
n
p
n
p
n
p
n
p
F
3
3.
2
2.
1
1
ααα
β
α
β
α
α
++===

Như vậy để xác định đầy đủ lực mặt tác động lên một điểm M của bề mặt
ta cần 9 đại lượng
p
α
β
.
. Chín đại lượng này có thể viết trong hệ toạ độ x
α’
theo
quy luật đã được trình bày trong các công thức (7) và (8) trên cơ sở cho rằng
các thành phần của véc tơ có thể thay đổi phụ thuộc vào hệ toạ độ nhưng bản
thân véc tơ lại không đổi:

208
p
x
x
x
x
p
α
β
β
β
α
α
α
β
.
'

'
'
'.
∂
∂
∂
∂
=

Điều này hoàn toàn tương tự trong phép chuyển đổi ngược lại của hệ toạ
độ.
Tương tự như khi đưa ra định nghĩa véc tơ đối với tập hợp 3 đại lượng a
α
,
ngời ta cũng đưa ra khái niệm ten-xơ bậc hai cho 9 đại lượng
p
α
β
.
. Thông
thường ten-xơ bậc hai được viết trong dạng
p . Điều này cũng có thể áp dụng
đối với 27 đại lượng
q
αβ
γ

:
q
x

x
x
x
x
x
q
αβ
γ
γ
γ
β
β
α
α
βα
γ

''
'
''
'
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
(10)
là thành phần của một ten-xơ bậc ba.

Điều kiện tương tự (10) là cơ sở để đưa ra định nghĩa ten-xơ các bậc khác
nhau, trong đó ta dễ dàng nhận thấy các đại lượng vô hướng là ten-xơ bậc
không và véc tơ là ten-xơ bậc nhất.
2.2. Một số tính chất cơ bản của ten-xơ
a. Hai ten-xơ được xem là bằng nhau nếu như trong cùng một hệ toạ độ các
thành phần tương ứng của các ten-xơ đó như nhau.
b.
Ten-xơ được xem là đối xứng theo các cặp chỉ số trên hoặc dưới tương ứng
nếu như khi hoán vị chúng các thành phần đó không thay đổi giá trị:
A
A
βααβ
= .
Nếu như khi hoán vị các thành phần đó chỉ đổi dấu mà không thay đổi giá trị
tuyệt đối thì ten-xơ đó được gọi là bất đối xứng:
A
A
−
=
βααβ
.
c.
Tổng hai ten-xơ cùng loại được xác định theo công thức sau:

BA
C
α
βγ
α
βγ

α
βγ

.
+=
d.
Tích của hai ten-xơ
A
và
B
là ten-xơ C có các thành phần như sau:

BA
C
νμ
ω
γ
αβ
γνμ
ωαβ




=

209
e. Khi có các chỉ số trùng nhau là biểu thức tổng theo các chỉ số đó và kết
quả cho ta một ten-xơ mới:

A
A
αβλ
να
βλ
ν

=

f.
Với một ten-xơ
B
bất kỳ nếu ta có:


C
BA
α
βγα
βγ
=


với
C là ten-xơ thì các đại lượng
A
α
βγ

cũng là thành phần của một ten-xơ A .

2.3. Một số ten-xơ đặc trưng
a. Ten-xơ
δ

Dựa vào phép biến đổi các công thức liên quan tới các thành phần
δ
α
β
.
ta
có:
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
'
'
'
'.
'
'
.

'
'
α
β
β
β
β
α
β
β
α
β
β
α
β
β
α
α
δδ
∂
∂
∂
∂
==
∂
∂
∂
∂
=
∂

∂
∂
∂

(trong khi biến đổi đã cho các chỉ số
α = β trong thành phần
δ
α
β
.
).
Hoàn toàn tương tự có thể viết công thức đối với
δ
α
β
.
:
x
x
x
x
β
α
α
α
β
α
δ
∂
∂

∂
∂
=
'
'
.

Như vậy theo định nghĩa thì
δ
cũng là một ten-xơ.
b.
Ten-xơ metric m
Chúng ta có thể chứng minh một cách hoàn toàn tương tự các công thức
thành phần
m
αβ
và
m
ωβ
đã dẫn ra trên đây.

210
c. Ten-xơ
ε

Ten-xơ
ε
được xác định bởi các thành phần theo các công thức sau:

ee

m
m
αβγαβγ
αβγαβγ
εε
== ,
1


trong đó: m là định thức của ma trận
m
αβ
: m =
m
αβ
,
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
=
)(1
)(1
)(0
iii
ii
i
e

αβγ

với các điều kiện tương ứng: (i) nếu như hai chỉ số bằng nhau; (ii) nếu như 3
chỉ số tạo thành hoán vị chẵn 1,2,3 và (iii) – ba chỉ số tạo thành hoán vị lẻ
1,2,3.
Dựa vào định nghĩa này ta có thể chứng minh rằng tích véc tơ của hai véc
tơ cũng là một véc tơ. Thực vậy:
ebaebeaba
α
γβ
αβγβ
β
α
α
ε
=×=× )()(

Trong khi biến đổi đã sử dụng định nghĩa tích hỗn hợp ba véc tơ
(
)
cbacba
γβα
αβγ
ε
=
và định nghĩa của các véc tơ cơ sở:
eeeeee
1
32132
)(=×

eeeeee
2
32113
)(=×
eeeeee
3
32121
)(=×


211
3. MỘT SỐ QUY TẮC VÀ PHÉP TÍNH TEN-XƠ
3.1. Đạo hàm
a. Đạo hàm của một tổng các ten-xơ bằng tổng các đạo hàm
b.
Đạo hàm của một tích tuân theo quy luật sau:


(
)
(
)
(
)
BABABA
γ
μ
α
β
γ

μ
α
β
γ
μ
α
β
χχχ

∇+∇=∇
c.
Đạo hàm của các ten-xơ m ,
δ
,
ε
bằng không.
3.2. Một số toán tử đạo hàm ten-xơ
a. Divergence (div)

()
a
x
a
x
a
aa
m
m
div
α

α
β
α
αβ
α
α
α
α
∂
∂
=+
∂
∂
=∇=
Γ
1
)(
trong đó
Γ
γ
αβ
là ký hiệu Cristofel:
x
e
e
β
α
γ
γ
αβ

∂
∂
=
Γ

hay
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
Γ
x
m
x
m
x
m

m
χ
αβ
α
χβ
β
χα
γχ
γ
αβ
2
1

Như vậy div của một véc tơ là một đại lượng vô hướng.
áp dụng toán tử div đối với một ten-xơ bậc hai cho ta một véc tơ:
()
aa
x
aa
x
a
a
m
m
νμ
β
νμ
αβ
α
χν

β
χν
αβ
χ
χα
α
αβ
αβ
α
ΓΓΓ
+
∂
∂
=++
∂
∂
=∇
1

b. Gradient

212
Như đã trình bày ở phần trước gradient của một đại lượng vô hướng là một
véc tơ. Có thể viết trong dạng khai triển sau:
e
x
me
β
α
αβα

ϕ
ϕ
αϕ
∂
∂
=∇=∇

Như vậy áp dụng toán tử gradient làm tăng bậc ten-xơ, gradient của một
véc tơ là một ten-xơ bậc hai với các thành phần của
a
∇ là
a
β
α
∇ .
c. Laplace
Laplace của một đại lượng vô hướng cũng là một đại lượng vô hướng
()
ϕ
βα
β
αβ
χ
χ
χ
αβ
αβ
βα
αβαβ
ϕ

ϕ
ϕ
ϕϕ
∇=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
=
=
∂
∂
−
∂∂
∂
=∇∇=Δ
Γ
divm
m
x
m
x

x
m
xx
mm
1
2

Laplace của một véc tơ là một véc tơ:
)()(
aaa
rotrotdiv −∇=Δ , trong đó
rot của một véc tơ được hình thành từ một ten-xơ bất đối xứng sau đây:
aa
αβ
βα
∇−∇
.
Các thành phần của véc tơ rot được xác định như sau:
aaa
γ
αβγ
βγ
αβγα
βγβ
εεω
∇=∇−∇= )(
2
1

Với

α = 1, ta thu được thành phần thứ nhất của véc tơ rot:
)(
1
3
2
2
3
1
x
a
x
a
m
∂
∂
−
∂
∂
=
ω
là thành phần thứ nhất của xoáy vận tốc
a
.
3.3. Một số thí dụ tính toán ten-xơ trong hệ toạ độ trực giao
Theo định nghĩa, đối với hệ toạ độ trực giao ta có:

213
⎪
⎩
⎪

⎨
⎧
=
≠
==
jikhi
jikhi
h
eem
i
jiij
2
0

trong đó h
i
là độ dài của véc tơ cơ sở tương ứng thường đợc gọi là hệ số Lamê.
Hệ số này được xác định từ ten-xơ
m như sau:
mh
iii
=
Khi chuyển từ hệ toạ độ Đề các
α’ sang hệ toạ độ mới α ta có:
m
x
x
x
x
m

αβ
β
β
α
α
βα
''
''
∂
∂
∂
∂
=

và từ đây khi i=j
x
x
x
x
m
ii
ii
∂
∂
∂
∂
=
αα

Sử dụng kết quả trên có thể đưa ra ví dụ đối với công thức tính div:

⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
∂
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
+
∂
⎟
⎟
⎠
⎞

⎜
⎜
⎝
⎛
∂
+
∂
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
=
∧
∧∧
x
a
hh
x
a
hh
x
a
hh
hhh
a

div
3
21
2
13
1
32
321
3
21
1

trong đó
α
a
∧
là thành phần của véc tơ
a
theo các véc tơ cơ sở mới xác định
theo công thức sau:
e
m
ue
m
ue
m
u
3
33
32

22
21
11
1
1
,
1
,
1
===
Có thể viết biểu thức div
a
cho hệ toạ độ cầu trên cơ sở các công thức
trên đây.
Chúng ta đều biết tương quan giữa toạ độ Đề các và toạ độ cầu được mô tả
như sau:

214
θ
ϕθ
ϕθ
cos
sinsin
cossin
3
2
1
r
r
r

x
x
x
=
=
=

Ta có thể tìm được giá trị hệ số Lamê theo định nghĩa: h1 = 1, h2= r, h3 =
r sin
θ. Như vậy vận tốc trong hệ toạ độ cầu sẽ là:
t
r
t
x
hvv
r
∂
∂
=
∂
∂
==
'1
11

t
r
t
x
hvv

∂
∂
=
∂
∂
==
θ
θ
'2
22

t
r
t
x
hvv
∂
∂
=
∂
∂
==
ϕ
θ
ϕ
sin
'3
33

và đối với div

(
)
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
=
v
r
v

rr
v
r
r
v
r
div
θ
ϕ
θ
θθ
ϕ
θ
(sin
sin
1
sin
11
2
2

Hoàn toàn tương tự ta có thể viết các phương trình thuỷ nhiệt động lực
trong các hệ toạ độ khác nhau sử dụng các công thức và toán tử cơ bản của giả
tích ten-xơ.