KHAI THÁC BÀI TOÁN CON LẮC ĐƠN docx

KHAI THÁC BÀI TOÁN CON LẮC ĐƠN
( sgk Vật lí lớp 12 )
Mục đích : Dùng để ôn thi tốt nghiệp và đại học

I . Tóm tắt lí thuyết cơ bản về con lắc đơn
1. Cấu tạo : Con lắc đơn gồm một vật nặng kích thước nhỏ khối lượng m gắn vào đầu một sợi dây dài l không
giản , khối lượng không đáng kể .
2 . Vị trí cân bằng : Dây treo thẳng đứng
3 . Lực tác dụng
F
hl
= P + T

F
hl
Có phương trùng với tiếp tuyến quỹ đạo tròn , luôn luôn hướng về vị trí cân bằng làm cho quả nặng dao
động quanh vị trí cân bằng .

F
hl
= - mgs / l = - mgỏ , (

< 10
o
)
Dấu trừ vì ngược chiều li độ cung s hoặc li độ góc ỏ .
4 . Phương trình dao động
s = S
o

cos ( t +  ) ( Li dộ cung )
ỏ = ỏ
o
cos ( t +  ) ( Li độ góc )
5 . Tần số góc  = lg / g là gia tốc trọng trường .
6 . Chu kì dao động
T= gl /2
2




7 .Tần số dao động
f = 1 / T = lg /
2
1


8 . Năng lượng dao động ( gốc thế năng lúc vật ở vị trí thấp nhất )
W =
2
1
m

2
S
o
2
=
2

1
mgl
2
o

= mgl(1- cosỏ
o
)
9. Phương trình vận tốc quả nặng ( khối lượng m)
v = s’ = -

S
o
sin( t +  )
Hoặc ỏ’ = -

ỏ
o
sin( t +  )
Chú ý : ỏ nhỏ nên sinỏ = tgỏ = ỏ = s/l

II . Dạng bài tập thường gặp
Dạng 1: Viết phương trình dao động và phương trình vận tốc của con lắc
1. viết phương trình dang tổng quát
s = S
o
cos ( t +  ) , v = s’
+

Dựa theo giả thiết bài toán đi tìm các đại lượng S
o
,

,


Rồi thay vào phương trình tổng quát.
ví dụ : một con lắc đơn có chiều dài l = 1 m , một đầu dây cố định , đầu kia có gắn quả cầu nhỏ dao
động trên quỹ đạo 6 cm . Viết phương trình dao động và phương trình vận tốc của con lắc . Chọn gốc
thời gian là lúc quả cầu đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương, lấy g =

2
m/s
2

giải : ta có s = S
o
cos ( t +  ) , v = -

S
o
sin( t +  )


= lg / =

( Rad/s ) và S

o
= 6/2 = 3 (cm)
Lúc t = 0

s = 0 0 = cos


v > 0 sin

< o

vậy s = 3 cos (

t -
2/

) , (cm)
v = - 9,4 sin(

t -
2/

) , (cm /s )

Dạng 2 phương trình dao động con lắc đơn đã biết , tìm các đại lượng đặc trưng :
ví dụ : con lắc đơn dao động với biên độ nhỏ có phương trình
ỏ = 0,1

cos


t ( Rad )
a. xác định chu kì dao động
b. Chiều dài l
c. Tính thời gian để con lắc đi từ vị trí có toạ độ góc


1
= 0,05 Rad đến vị trí +ỏ
o
, lấy g =

2
m/s
2
.
Giải :
a. Từ phương trình đã cho


=

= 2

/ T

T = 2 ( s )
b. T = 2

gl /


T
2
= 4

2
g
l


l = T
2
g/4

2
= 1 (m).
c. Thời gian con lắc đi từ vị trí có li độ góc

1
đến li độ biên

o
cũng bằng thời gian nó đi từ

o

đến

1

Vậy t

o
= 0

ỏ = ỏ
o

t
1
là thời gian từ ỏ

ỏ
o

ỏ = ỏ
1
= ỏ
o
/2
cos

t
1
= ẵ



t
1
=


/3

t
1
= 1/3 (s)
0 < t
1
< T/4







Dạng 3 : Xác định tốc độ quả nặng – sức căng sợi dây , tại vị trí
có góc lệch

bất kì . Khi biết khối lượng m chiều dài l ,
góc lệch cực đại . (Bỏ qua sức cản môi trường , ma sát chổ nối )
- áp dụng định luật bảo toàn cơ năng , chọn gốc thế năng tại vị trí thấp nhất (cân bằng ) .

Ví dụ : Một con lắc đơn gồm quả cầu nhỏ khối lượng
m = 50 gam , treo vào dây mảnh dài l . lấy g = 9,8 m/s
2
.
Kéo con lắc ra khỏi vị trí cân bằng một góc

o
= 60

o
rồi buông ra không vận tốc ban đầu .
a. Xác định tốc độ quả nặng tại vị trí có góc lệch

= 45
o
,


= 30
o
,

= 0
o
. Có nhận xét gì ?
b. Xác định sức căng dây treo tại vị trí có góc lệch

= 60
o


= 45
o
,

= 30
o
,


= 0
o
( so với phương thẳng đứng )
Giải :
Dể dàng chứng minh và đưa ra kết quả
v= )cos(cos2

gl (1)
T = mg ( 3cos

- 2cos

o
) (2)
a. Thay

o
,

vào (1)

tìm được các giá trị tương ứng .
2/





b. Thay


vào phương trình (2)

tìm được các giá trị tương ứng.
Bỏo cỏo : sự phụ thuộc của chu kỡ con lắc đơn vào chiều dài và
theo độ cao, độ sâu
I. Đặt vấn đề:

Đao động của con lắc đơn là một nội dung lớn của chương dao động và sóng cơ học. Nó cũng
chiếm một vị trí lớn trong cấu trúc của đề thi tốt nghiệp THPT và thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng. Để
khắc sâu về bản chất hiện tượng vật lí cũng như định hướng, hướng dẫn cách giải các bài tập liên quan cho
học sinh lớp 12, thay mặt cho nhóm vật lí tôi trỡnh bày bỏo cỏo " sự phụ thuộc của chu kỡ con lắc đơn vào
chiều dài và theo độ cao, độ sâu ".

II. Cơ sở lí thuyết:
1. Biểu thức của chu kỡ dao động:
g
l
T

2
(Đó được trỡnh bày ở bỏo cỏo 1)
2. Nguyên nhân của sự thay đổi chu kỡ dao động
2.1. Do sự thay đổi chiều dài
2.1.1. Do quỏ trỡnh dao động dây treo của con lắc bị vướng đinh sẽ làm ảnh hưởng đến chuyển động sang
phải (hoặc sang trái) nhưng không ảnh hưởng đến chuyển động cũn lại.
2.1.2. Do thanh treo con lắc làm bằng kim loại nờn chiều dài này phụ thuộc vào nhiệt độ: l = l
o
(1 + t).
2.2. Do sự thay đổi vị trí địa lí dẫn đến sự thay đổi về gia tốc g.
2.2.1. Đưa lên cao so với mực nước biển.

2.2.2. Đưa xuống thấp so với mực nước biển, trong giếng mỏ.
2.3. Do khi đặt con lắc trong hệ quy chiếu quán tính sẽ thay đổi gia tốc hiệu dụng g (sẽ trỡnh bày
trong bỏo cỏo 3).
III. Thiết lập sự phụ thuộc của chu kỡ dao động vào chiều dài và g.

1. Vào chiều dài (g không đổi).
Ta cú:
g
l
T
1
1
2



g
l
T
2
2
2



2
1
2
1
l

l
T
T

(1)
1.1. Khi bị vướng đinh
Bài toỏn: Một con lắc đơn có chiều dài l, dao động với biên độ góc nhỏ. Trên đường thẳng đứng qua điểm
O treo con lắc và cách về phía dưới một đoạn l
1
có đóng một cái đinh nhỏ tại điểm O
1
. Khi dao động dây
treo của con lắc bị vướng ở O
1
trong chuyển động sang trái của VTCB song không làm ảnh hưởng đến
chuyển động sang phải. Tính chu kỡ dao động của hệ.
Nhận xột: Một dao động đầy đủ của hệ gồm hai nửa dao động ứng với con lắc chiều dài l và con lắc chiều
dài (l - l
1
) với chu kỡ T'.
Giải: Từ (1) 
1
'
ll
l
T
T




l
ll
TT
1
'

 .
Chu kỡ dao động của hệ là T =










l
ll
TTT
1
'
1
2
1
)(
2
1
(2)

1.2. Khi dây treo con lắc làm bằng kim loại có chiều dài phụ thuộc vào nhiệt độ:
Bài toỏn: Con lắc đơn có chu kỡ dao động T
1
ở nhiệt độ t
1
. Biết hệ số nở dài của dõy treo con lắc là .
Tớnh chu kỡ dao động của con lắc ở nhiệt độ t
2
> t
1
.
Cho các công thức gần đung với x, y << 1.
(1 + x)(1 + y) ≈ 1 + x + y; (1 + x)(1 - y) ≈ 1 + x - y; (1 + x)
n
≈ 1 + nx.
Nhận xột: Từ (1) 
2
1
2
1
2
1)1()1(
1
1
12
2
1
1
2
1

2
1
2
1
2
1
2
t
tt
tt
t
t
l
l
T
T


























(3)
 0
2
1
12
1





 t
T
TT
T
T

.
Kết luận: Vậy khi tăng nhiệt độ thỡ chu kỡ dao động của vật tăng.

2. Ảnh hưởng của độ cao hoặc độ sâu
- Khi thay đổi vị trí địa lí thỡ gia tốc trọng trường g thay đổi do đó dẫn đến T thay đổi.
- Ta cú:
1
1
2
g
l
T


;
2
2
2
g
l
T



1
2
2
1
g
g
T
T


(4)
2.1. Ảnh hưởng độ cao
Giải: Ta biết lực hấp dẫn giữa Trái Đất và vật chính là trọng lực tác dụng lên vật, lực này truyền cho vật
gia tốc rơi tự do g.
2
)( hR
mM
Gmg



2
)( hR
M
Gg

 (ở vị trí có độ cao h).
2
R
M
Gg
o
 (ở vị trí ngang với mặt nước biển).
Từ (4) 
R
h
R
hR
g
g

T
T
o
o


 1
(5)
 0



R
h
T
TT
T
T
o
o
.
Kết luận: Vậy khi con lắc dao động ở vị trí có độ cao h thỡ
0


T
 chu kỡ dao động tăng.
2.2. Ảnh hưởng của độ sâu:
Giải: Ta có khối lượng Trái Đất là: M
Đ

= DR
3
3
4

.
Khối lượng Trái Đất ở độ sâu h: M
Đ
= DhR
3
)(
3
4


.
 M
R
hR
M
3
'







 .


R
h
R
h
hR
R
g
g
T
T
o
o
2
1
1
1
'
'




 . (6)
Hay
0
2
'
'





R
h
T
TT
T
T
o
o
o
.
3. Thay đổi cả chiều dài lẫn vị trí địa lí:
Ta cú
)
2
1)(
2
1
1(.
12
1
1
2
1
2
g
g
t

g
g
l
l
T
T



.












11
2
1
g
g
t
T
T


cú thể > 0 hoặc < 0.
IV. Ứng dụng:

Biết được sự thay đổi chu kỡ dao động của con lắc ta sẽ xác định được trong một khoảng thời gian
nhất định vật (con lắc) sẽ dao động nhiều (ít hơn) máy dao động.
Bài toỏn 1: Nếu một đồng hồ treo tường có quả lắc là một con lắc đơn mà dây treo làm bằng kim loại có
hệ số nở dài  = 5.10
-5
K
-1
. Chu kỡ dao động đúng ở 15
o
C là 2,000s. Tỡm chu kỡ dao động của con lắc ở
35
o
C và thời gian chạy nhanh (hay chậm) của đồng hồ trên sau 24h.
Giải: Từ (2)  Ät = 0,001 (s)  T
2
= T
1
+ Ät = 2,001 (s).
Vỡ Ät > 0 nên đồng hồ chạy chậm lại 1 thời gian là  sau 24 h là:
 = 2,43.
3600.24
2
t
T
(s).
Ngược lại: Nếu t giảm  T giảm  đồng hồ chạy nhanh hơn.

Bài toỏn 2: Một con lắc đơn của đồng hồ có chu kỡ dao động là T
o
= 2,000 (s) ở ngang mực nước biển.
a) Tớnh chu kỡ dao động của con lắc này ở độ cao 6400 m (xem t = const).
b) Đưa con lắc xuống một giếng mỏ có độ sâu 1 600 m thỡ độ biến thiên chu kỡ dao động của nó so với
trường hợp a) là bao nhiêu ?
Giải: Từ (5) 
3
10



R
h
T
T
o
 T = 2,002 (s).
Từ (6)
oo
T
T
R
h
R
h
T
T 



8
1
42
1
2
''
.
 TT 
8
1
'
.
Bài tập 3: Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ ở nơi có g = 9,787 m/s
2
. Đưa con lắc đến nơi có nhiệt độ
giảm 10
o
C thỡ đồng hồ chạy chậm mỗi ngày 34,5 s. Tính g
2
tại nơi này.  = 2.10
-5
K
-1
.
Giải: Từ (7) 
86400
5,34
2
1
11













g
g
t
T
T


1
g
g

= 6.10
-4
 g
2
= 9,793 m/s
2
.

V. Kết luận:

Việc giải bài tập vật lí trong chương trỡnh thi trắc nghiệm ngoài đũi hỏi độ chính xác về hiện
tượng vật lí và tính toán cũn đũi hỏi phải nhanh để kịp thời gian (khoảng 1,5 phút/câu đối với đề thi tốt
nghiệp và 1,8 phút/câu đèi với đề thi đại học). Bài toán về sự biến đổi chu kỡ của con lắc đơn là một bài
toán khó, đũi hỏi người học phải thận trọng khi giải bài toán này. Thống kê về mức độ bài toán này trong
các năm gần đây như sau (bắt đầu thi trắc nghiệm):
Năm học 2006 - 2007 Năm học 2007 - 2008

Tốt nghiệp Tuyển sinh Tốt nghiệp Tuyển sinh
Số câu về con lắc đơn 4 4 Khụng thi 5
Kiểu bài TL1-2; TL2-1;
TL3-1
TL1-2; TL2-1;
TL3-1
TL1-2; TL2-1;
TL3-2
Mức độ TB TB-Khú TB-Khú

Cuối cựng chỳc sức khỏe cỏc thầy cụ giỏo, chỳc cỏc em học sinh học tốt !!




THẦY HUỲNH NGỌC MINH
CHUYÊN ĐỀ
“ DAO ĐỘNG CỦA CON LẮC ĐƠN TRONG TRƯỜNG HỢP CHỊU THÊM TÁC DỤNG CỦA
MỘT LỰC KHÔNG ĐỔI”
-Trong trường hợp này ta coi con lắc chịu tác dụng của trọng lực hiệu dụng
'

P

:
'
P P F
 
  
(1)
- Gia tốc hiệu dụng :
'
'
P F
g g
m m
  
 
 
(2)
- Khi đó chu kì dao động của con lắc :
2
'
l
T
g


(3)
- Vị trí cân bằng của con lắc ứng với :
0
' 0

P T
 
 
(4)
- Các phương trình dao động, phương trình vận tốc và phương trình gia tốc vẫn không thay đổi.
DẠNG 1:
DAO ĐỘNG CỦA CON LẮC TRONG ĐIỆN TRƯỜNG ĐỀU
BÀI TOÁN I : Một con lắc đơn gồm một quả cầu nhỏ bằng kim loại khối lượng m, được treo bằng một
sợi dây có chiều dài l. cho gia tốc trọng trường g.
1. Đầu trên của dây được treo vào một điểm cố định. Tính chu kì dao dộng của con lắc.
2. Đầu trên của dây được treo vào một điểm cố định và tích cho quả cầu một điện tích +q. Cho
con lắc dao động trong một điện trường đều
E

.
a. Hãy tính chu kì dao động của con lắc khi điện
trường
E

hướng thẳng đứng xuống dưới.
b. Xác định vị trí cân bằng và tính chu kì dao động
của con lắc khi điện trường
E

hướng nằm ngang.

GIẢI:
1:
g
l

T

2

2.
a: Các lực tác dụng lên con lắc như hình 1
Trọng lực hiệu dụng :
'
P P F
 
  

Với
F qE

 
là lực điện trường .
Về độ lớn P’ = P+F
=> Gia tốc hiệu dụng :
g’

= g +
' .
F q E
g
m m
 

- Chu kì dao động của con lắc:
T



F


P


q

E


Hình

2 2
.
'
l l
T
q E
g
g
m
 
 


b: Giả sử là điện trường hướng từ trái sang phải.
Các lực tác dụng lên quả cầu như hình vẽ (2).

Với
F qE

 
là lực điện trường .
- Tại vị trí cân bằng:
0
T P F
  
   

- hay
P F T
  
  




- Trọng lực hiệu dụng :
'
P P F T
   
   

Vì
'
P



F

nên vị trí cân bằng mới
là O’ được xác định bằng góc
Với tan = F / P
- Từ hình vẽ ta có g’= g / cos
( g’=
2
2
2
( )
qE
g
m

)
Vậy chu kì dao động của con lắc

T’=
0 0
2 2 cos 2 cos
'
l l
T
g g
    
 

DẠNG 2:
DAO ĐỘNG CỦA CON LẮC TRONG
HỆ QUY CHIẾU PHI QUÁNTÍNH
“Hệ quy chiếu phi quán tính là hệ quy chiếu chuyển động với gia tốc
a

so với hệ quy chiếu
quán tính. Trong trường hợp này, mọi hiện tượng cơ học xảy ra giống như là mỗi vật có khối
lượng m chịu thêm tác dụng của một lực bằng -m
a

. Lực
F

= -m
a

gọi là lực quán tính ”.

BÀI TOÁN II: Một con lắc đơn gồm một quả cầu nhỏ khối lượng m, được treo bằng một sợi dây có chiều
dài l. cho gia tốc trọng trường g.
1. Đầu trên của dây được gắn vào trần một thang máy.
Cho thang máy đi lên nhanh dần đều với gia tốc
a

. Tính chu kì dao động của con lắc.
2. Đầu trên của dây được treo vào trần một chiếc xe.Thả cho xe lăn không ma sát với gia tốc trên một
mặt phẳng nghiêng với góc nghiêng


so với mặt phẳng ngang. Xác định vị trí cân bằng và tính chu kì
dao động của con lắc khi xe chuyển động trên mặt phẳng nghiêng
0


0



a


'
P


F


0



T


P


O

Hình 2

E


F


0



T


P



O

O
’

0


3. Đầu trên của dây được treo vào một toa xe đang chuyển động nhanh dần đều trên đường nằm ngang.

Xác định vị trí cân bằng và tính chu kì dao động của con lắc.
GIẢI:

1. Các lực tác dụng lên quả cầu như hình vẽ (3).
Thang máy đi lên với gia tốc thì
lực quán tính hướng thẳng đứng
xuống dưới cùng chiều trọng lực
=>
' ( ) '
g g a g g a
     
  

Vậy chu kì dao động củacon lắc là
T’ =
2

2
'
l l
g g a



 chu kì giảm
2. Lực quán tính có chiều như hình vẽ
Ta có : m
g

+ (- m

a

) = -
T

=
'
P


Vậy vị trí cân bằng dây treo hợp
một góc

so với phương thẳng đứng.
Từ hình vẽ => P’= Pcos


Hay g’ = gcos


Vậy chu kì dao động của con lắc là
T’ =
2
cos
l
g



 chu kì tăng

3. Vị trí cân bằng dây treo hợp với
phương thẳng đứng một góc

, với
tan

=
a
g

Từ hình vẽ có P’= Pcos


Hay g’ = g/cos


Vậy chu kì dao động của con lắc
T’=
2 cos
l
g
 

 chu kì giảm

a


a


m
g


-m
a


'
P


T




m

a


g


T


-
m

(
m

’)

a


a


Hình 3

Hình
5

a


-
m
a


P


T


'
P






Hình 4