chuyên đề CỰC TRỊ hàm số

CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ HÀM SỐ - TÁC GIẢ: ĐẶNG THÀNH NAM
1
Website:
/>
Email:


Mobile: 0976 266 202


CHỦ ĐỀ 2. BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ HÀM SỐ
1. Tóm tắt lý thuyết
Hàm số
( )
f x
có tập xác định
f
D
.
Điểm cực đại: Điểm
0
f
x D

được gọi là điểm cực đại của hàm số
( )
f x
nếu tồn tại một khoảng


;

f
a b D

sao cho


0
;
x a b

và với mọi




0
; \
x a b x

thì
0
( ) ( )
f x f x

.
Điểm cực tiểu: Điểm
0
f
x D


được gọi là điểm cực tiểu của hàm số
( )
f x
nếu tồn tại một khoảng


;
f
a b D

sao cho


0
;
x a b

và với mọi




0
; \
x a b x

thì
0
( ) ( )
f x f x


.
Các dấu hiệu nhận biết hàm số có cưc trị
Định lý 1(Điều kiện cần để hàm số có cực trị) Nếu
0
x
là điểm cực trị của hàm số
( )
f x
và
( )
f x
có đạo hàm
thì
0
'( ) 0
f x

.
Định lý 2(Điều kiện đủ để hàm số có cực trị)
- Nếu
'( )
f x
đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua
0
x
thì
0
x
là điểm cực đại của hàm số.

- Nếu
'( )
f x
đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua
0
x
thì
0
x
là điểm cực tiểu của hàm số.
Định lý 3(Dấu hiện nhận biết điểm cực đại, cực tiểu)
- Nếu
0 0
'( ) 0, ''( ) 0
f x f x
 
thì
0
x
là điểm cực đại của hàm số.
- Nếu
0 0
'( ) 0, ''( ) 0
f x f x
 
thì
0
x
là điểm cực tiểu của hàm số.
Định lý ba được áp dụng trong trường hợp bài toán yêu cầu tìm tham số để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại

điểm
0
x
xác định. Tuy nhiên ta cần phải xét điều kiện cần và điều kiện đủ.
Chú ý. Đối với hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất


2
'
ax b ad bc
y y
cx d
cx d
 
  


có dấu đạo hàm không
đổi nên hàm số không có cực trị. Do vậy bài toán có cực trị chỉ được xét dưới ba dạng hàm số cơ bản là hàm
đa thức bậc ba, hàm trùng phương và hàm phân thức bậc hai trên bậc một.
2. Các dạng bài toán
Dạng 1. Xác định điểm cực đại, cực tiểu của hàm số.
CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ HÀM SỐ - TÁC GIẢ: ĐẶNG THÀNH NAM
2
Website:
/>
Email:


Mobile: 0976 266 202

Phương pháp giải.
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2. Tính đạo hàm và giải phương trình
' 0
y

.
Bước 3. Xác định dấu của đạo hàm khi đi qua các điểm tới hạn(hoặc kẻ bảng biến thiên) và đưa ra kết luận.
Bài tập minh họa
Dạng 2. Số điểm cực trị của hàm số(có chứa tham số)
Đối với hàm đa thức bậc 3
3 2 2
' 3 2
y ax bx cx d y ax bx c
       
.
- Nếu
2
' 3 0
b ac
   
hàm số không có cực trị.
- Nếu
2
' 3 0
b ac
   
hàm số có hai cực trị

1 2
,
x x
là hai nghiệm phân biệt của phương trình
' 0
y

.
Đối với hàm trùng phương
4 2 3
2
0
' 4 2 ; ' 0
(1)
2
x
y ax bx c y ax bx y
b
x
a




       

 


.

- Để hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0, điều này tương đương với
0
2
b
a
 
.
- Nếu
0
2
b
a
 
hàm số có duy nhất một cực trị.
Bài tập minh họa
Bài 1. Tìm các giá trị của m để
a) Hàm số


3 2 2
1
2 3 2 8
3
y x mx m m x
     
có cực trị.
b) Hàm số


3 2

1 1
y x mx m x
     
không có cực trị.
c) (TSĐH Khối B 2002) Hàm số


4 2 2
9 10
y mx m x    có 3 cực trị.
d) Hàm số
4 2
1 3
4 2
y x mx
  
chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.
Bài giải
CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ HÀM SỐ - TÁC GIẢ: ĐẶNG THÀNH NAM
3
Website:
/>
Email:


Mobile: 0976 266 202


a) Hàm số



3 2 2
1
2 3 2 8
3
y x mx m m x
     
có cực trị.
Ta có
2 2
' 2 2 3 2
y x mx m m
    
. Hàm số có cực trị khi và chỉ khi phương trình
' 0
y

có hai nghiệm
phân biệt, điều này tương đương với :
2
' 3 2 0 1 2
m m m
        
.
Vậy


1;2
m


là giá trị cần tìm.
b) Hàm số


3 2
1 1
y x mx m x
     
không có cực trị.
Ta có


2
' 3 2 1
y x mx m
    
. Yêu cầu bài toán tương đương với
' 0
y

không có hai nghiệm phân
biệt, điều này tương đương với
 
2 2
3 21 3 21
' 3 1 0 3 3 0
2 2
m m m m m
 
            .

Vậy
3 21 3 21
;
2 2
m
 
 
 

 
 
 
là giá trị cần tìm.
c) Hàm số


4 2 2
9 10
y mx m x   
có 3 cực trị.
Ta có


3 2 2 2
' 4 2 9 2 (2 9)
y mx m x x mx m
     
. Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi phương trình
' 0
y


có 3 nghiệm phân biệt, điều này tương đương với :
2
9
0
0 3 3
0
m
m m
m
m




 


     







.

d) Hàm số
4 2

1 3
4 2
y x mx
  
chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.
Ta có
 
3 2
2
0
' 2 2 ; ' 0
2
x
y x mx x x m y
x m



     




.
+ Nếu
0
m
 
hàm số chỉ có cực tiểu tại
0

x

.
+ Nếu
0
m

thì hàm số chỉ có cực tiểu tại
0
x

.
+ Nếu
0
m

thì hàm số có 3 cực trị, nên không thỏa mãn.
Vậy
0
m

là những giá trị cần tìm.
CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ HÀM SỐ - TÁC GIẢ: ĐẶNG THÀNH NAM
4
Website:
/>
Email:


Mobile: 0976 266 202

Bài toán liên quan đến biện luận số điểm cực trị của hàm số áp dụng đối với hàm trùng phương
Bài 2. Tìm các giá trị của m để
a) Hàm số




4 2
1 2 1
y m x m x
    
có ba cực trị.
b) Hàm số
4 2
1
y x mx
  
có ba cực trị.
c) Hàm số




4 2
1 2 1
y m x m x
    
có đúng một cực trị.

d) Hàm số


4 2 2
1 1
y mx m x
   
có đúng một cực trị.

Dạng 3. Tìm điều kiện để một điểm là điểm cực trị của hàm số.
Ta dùng định lý 3 như sau
Cho hàm số
( )
y f x

điểm




0 0
;
M x y C

là điểm cực trị của hàm số khi đó
0
'( ) 0
f x

.

- Nếu
0
0
'( ) 0
''( ) 0
f x
f x










M
là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
- Nếu
0
0
'( ) 0
''( ) 0
f x
f x











M
là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
Tuy nhiên sau khi tìm được tham số, phải thay ngược lại xem có thỏa mãn hay không?
Bài tập minh họa
Bài 1. Tìm các giá trị của m để
a) Hàm số


3
3
y x m x
  
đạt cực tiểu tại
0
x

.
b) Hàm số




3 2 2 2
1

2 3 1 5
3
y x m m x m x m
       
đạt cực tiểu tại
2
x
 
.
Bài giải
a) Hàm số


3
3
y x m x
  
đạt cực tiểu tại
0
x

.
Ta có




2
' 3 3; '' 6
y x m y x m

     .
CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ HÀM SỐ - TÁC GIẢ: ĐẶNG THÀNH NAM
5
Website:
/>
Email:


Mobile: 0976 266 202


Hàm số đạt cực tiểu tại
0
x

thì
2
'(0) 0
3 3 0
1
''(0) 0
6 0
y
m
m
y
m






 



   
 
 

 
 



.
Thử lại với
1
m
 
thì hàm số


3
1 3
y x x
  
có





2
' 3 1 3 3 2
y x x x
    

đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua
0
. Vậy nên hàm số đạt cực tiểu tại
0
x

.
Vậy
1
m
 
là giá trị cần tìm.
Bình luận : Rất nhiều học sinh cũng như cả các thầy cô không hiểu rõ điều kiện để hàm số đạt cực trị tại một
điểm ; và tất nhiên như trên khi nói điều kiện để hàm số đạt cực tiểu tại
0
x

thì học sinh lại viết :
Để hàm số đạt cực tiểu tại
0
x

khi và chỉ khi

'(0) 0
''(0) 0
y
y









.
Lưu ý : Sẽ không có điều tương đương trên, mà chỉ có là nếu đạt cực tiểu tại
0
x

thì
'(0) 0
''(0) 0
y
y










chứ
không có điều ngược lại. Do đó khi tìm được giá trị của tham số m thì ta phải thử lại xem có thỏa mãn điều
kiện đổi dấu của
'
y
hay không.
b) Hàm số




3 2 2 2
1
2 3 1 5
3
y x m m x m x m
       
đạt cực tiểu tại
2
x
 
.
Ta có




2 2 2

2
' 2 2 3 1
'' 2 2 2
y x m m x m
y x m m


     




   



.
Hàm số đạt cực tiểu tại
2
x
 
thì
2
2
'( 2) 0 2 2 0
4
''( 2) 0
4 0
y m m
m

y
m m




   



  
 
 
 
 
 



.
Thử lại với
4
m

thỏa mãn.
Vậy
4
m

là giá trị cần tìm.

Dạng 4. Hoành độ, tung độ điểm cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước
Giả sử hai điểm cực trị lần lượt là




1 1 2 2
; ; ;
x y x y
.
CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ HÀM SỐ - TÁC GIẢ: ĐẶNG THÀNH NAM
6
Website:
/>
Email:


Mobile: 0976 266 202


Bài toán có thể yêu cầu tìm điều kiện của tham số để


1 2 1 2
, , , 0
f x x y y

, trong đó



1 2 1 2
, , ,
f x x y y
là một
hàm đối với các biến
1 2 1 2
, , ,
x x y y
và thường có dạng đối xứng.
Để giải quyết loại bài toán này chúng ta sử dụng định lý Vi-ét cho phương trình bậc hai
1 2
1 2
b
x x
a
c
x x
a



  












.
Bài tập minh họa
Bài 1. Tìm các giá trị của m để
a) (TSĐH Khối D 2012) Hàm số


3 2 2
2 2
2 3 1
3 3
y x mx m x
    
có hai điểm cực trị
1 2
,
x x
thỏa mãn


1 2 1 2
2 1
x x x x
  
.
b) Hàm số





2
3 1
y x m x x m
    
có cực đại và cực tiểu
1 2
,
x x
thỏa mãn
1 2
. 1
x x

.
c) Đồ thị hàm số
   
3 2
1 1
3 2 1 1
3 2
y x m x m x
     
có hai điểm cực trị với hoành độ lớn hơn 1.
d) Hàm số
3 2
1
3 2
3

y x mx mx
   
có hai cực trị
1 2
,
x x
thỏa mãn
1 2
4
x x
 
.
e) Hàm số
 
3 2
1 1 50
2 1 1
3 2 9
y x m x x
    
có hai cực trị
1 2
,
x x
thỏa mãn
1 2
2
x x

.

Bài giải
a) (TSĐH Khối D 2012) Hàm số


3 2 2
2 2
2 3 1
3 3
y x mx m x
    
có hai điểm cực trị
1 2
,
x x
thỏa mãn


1 2 1 2
2 1
x x x x
  
.
Ta có


2 2
' 2 2 2 3 1
y x mx m
   
.

Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi
' 0
y

có hai nghiệm phân biệt
1 2
,
x x
, điều này tương đương
với


2 2
2
' 4 3 1 0
13
m m m      
.
CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ HÀM SỐ - TÁC GIẢ: ĐẶNG THÀNH NAM
7
Website:
/>
Email:


Mobile: 0976 266 202


Khi đó theo Vi-ét ta có
1 2

2
1 2
1 3
x x m
x x m


 




 



. Do đó
 
2
1 2 1 2
0
2 1 1 3 2 1
2
3
m
x x x x m m
m





       




. Đối chiếu với điều kiện chỉ nhận
2
3
m

.
Vậy
2
3
m

là giá trị cần tìm.
b) Hàm số




2
3 1
y x m x x m
    
có cực đại và cực tiểu thỏa mãn
D
. 1

C CT
x x

.
Ta có


2
' 3 2 3 2 1
y x m x m
    
. Yêu cầu bài toán tương đương với
' 0
y

có hai nghiệm phân biệt
1 2
,
x x
thỏa mãn
1 2
1
x x

, điều này tương đương với :
2
2
2 2
1 2
' 7 0

2
2 1
1
1
3
m
m
m
m
x x


   







 






 

 










 


.
Vậy


1;2
m
 
là giá trị cần tìm.
c) Đồ thị hàm số
   
3 2
1 1
3 2 1 1
3 2
y x m x m x
     
có hai điểm cực trị với hoành độ lớn hơn 1.
Ta có





2
' 3 2 1
y x m x m
    
.




2
' 0 3 2 1 0 (*)
y x m x m
      

Hàm số có 2 cực trị khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
2
2 1 0 1
m m m
       
.
Yêu cầu bài toán tương đương với (*) có 2 nghiệm
1 2
,
x x
thỏa mãn :







1 2
1
2
1 2
2 3 2
1
0
1
1 1 0 2 1 3 1 0
x x m
x
m
x
x x m m
 

 

   

 

 
   
  

  

       
  

 
 
.
Kết hợp với điều kiện suy ra
0 1
m
 
là giá trị cần tìm.
d) Hàm số
3 2
1
3 2
3
y x mx mx
   
có hai cực trị
1 2
,
x x
thỏa mãn
1 2
4
x x
 
.

Ta có
2
' 2 3
y x mx m
  
. Yêu cầu bài toán tương đương với
' 0
y

có 2 nghiệm phân biệt
1 2
,
x x
thỏa
mãn
1 2
4
x x
 
, điều này tương đương với :
CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ HÀM SỐ - TÁC GIẢ: ĐẶNG THÀNH NAM
8
Website:
/>
Email:


Mobile: 0976 266 202



2
2
2
1 2
1 2 1 2
3 0
3 0
' 3 0
4 1
4 12 16 0
4
4 16
m m
m m
m m
m m
m m
x x
x x x x




  


  
   




  
      
  
  
  
 
  
  






.
Vậy


; 1 4;m
 
   
 
 
 là giá trị cần tìm.
e) Hàm số
 
3 2

1 1 50
2 1 1
3 2 9
y x m x x
    
có hai cực trị
1 2
,
x x
thỏa mãn
1 2
2
x x

.
Hàm số có 2 cực trị khi và chỉ khi
 
2
50
' 2 1 0
9
y x m x
    
có hai nghiệm phân biệt
1 2
,
x x
, điều này
tương đương với :
 

2
200 3 10 2 3 10 2
2 1 0
9 6 6
m m m
 
         .
Theo vi –ét ta có
1 2 1 2
50
2 1;
9
x x m x x   
. Do đó
2
1 2 1 2 1 2
2
2 1 2 1 50
2 2 2. 2
3
3 3 9
m
m m
x x x x x x
m

 
 
 




       







 


, thỏa mãn điều kiện.
Vậy


2; 3
m
 
là giá trị cần tìm.
Bài 2. Tìm các giá trị của m để
a) Hàm số


3 2
3 3 2 1 1
y mx mx m x
    
có hai cực trị

1 2
,
x x
thỏa mãn
2 2
1 1 2 2 1 2
2 3 4 5 1
x x x x x x
    

b) Hàm số
3 2
2 12 13
y x mx x
   
có cực đại và cực tiểu và các điểm này cách đều trục tung.
c) Hàm số


3 2 2
1 1
3
3 2
y x mx m x
   
có cực đại, cực tiểu sao cho
CÐ
,
CT
x x

là độ dài các cạnh góc vuông
của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng
5
2
.
d) Hàm số




3 2 2
2 1 3 2 4
y x m x m m x
       
có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía trục tung.
e) Hàm số
3 2
3 2
y x x mx
   
có cực đại, cực tiểu cách đều đường thẳng
1
y x
 
.
f) Cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số
3 2 3
3 4
y x mx m
  

đối xứng nhau qua đường thẳng
y x

.
CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ HÀM SỐ - TÁC GIẢ: ĐẶNG THÀNH NAM
9
Website:
/>
Email:


Mobile: 0976 266 202


g) Hàm số


3 2 2 3
3 3 1
y x mx m x m m
      có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại đến
gốc tọa độ bằng
2
lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đến gốc tọa độ.
h) Hàm số




3 2

1 2 2 2
y x m x m x m
      
có cực trị đồng thời hoành độ cực tiểu nhỏ hơn 1.
i) Hàm số




3 2
3 1 3 2 2
y x m x m m x m
      
có cực trị, đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại
đến trục hoành bằng khoảng cách từ điểm cực tiểu đến trục tung.
j) Điểm cực đại, cực tiểu của hàm số
   
3
3 2
1 4
1 1
3 3
y x m x m    
nằm khác phía với đường tròn


2 2
: 4 3 0
T x y x
   

.
Bài giải
a) Hàm số


3 2
3 3 2 1 1
y mx mx m x
    
có hai cực trị
1 2
,
x x
thỏa mãn
2 2
1 1 2 2 1 2
2 3 4 5 1
x x x x x x
    
.
Ta có




2 2
' 3 6 3 2 1 3 2 2 1
y mx mx m mx mx m
       
.

Để hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi
' 0
y

có hai nghiệm phân biệt
1 2
,
x x
, điều này tương đương với
 
2
0
' 2 1 0
1
3
m
m m m
m




     

 


.
Khi đó





2
2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2
2 3 4 5 1 2 4 1 0
x x x x x x x x x x x x
            
.
Mặt khác theo vi-ét ta có
1 2
1 2
2
2 1
(*)
x x
m
x x
m


 






 





. Suy ra
2 2
2 2 2 2 2 2
3
4 2 4.2 1 0 2 3 0 1
2
x x x x x x
             
.
Với
2 1
2 1
1 3 (*) 3 1
m
x x m
m

          
, thỏa mãn điều kiện.
Với
2 1
3 1 3 2 1 4
(*)
2 2 4 11
m
x x m

m

         
, thỏa mãn điều kiện.
CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ HÀM SỐ - TÁC GIẢ: ĐẶNG THÀNH NAM
10
Website:
/>
Email:


Mobile: 0976 266 202


Vậy
4
;1
11
m
 
 
 
 
 
 
 
 
là giá trị cần tìm.
Bình luận. Cái khó của bài toán là biểu thức không đối xứng giữa các nghiệm.
b) Hàm số

3 2
2 12 13
y x mx x
   
có cực đại và cực tiểu và các điểm này cách đều trục tung.
Ta có


2
' 2 3 6
y x mx
  
. Phương trình
' 0
y

có
2
72 0
m
   
nên hàm số luôn đạt cực trị tại hai
điểm
1 2
,
x x
. Điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số cách đều trục tung khi và chỉ khi
1 2 1 2 1 2
0 0
3

m
x x x x x x m

         
.
Vậy
0
m

là giá trị cần tìm.
c) Hàm số


3 2 2
1 1
3
3 2
y x mx m x
   
có cực đại, cực tiểu sao cho
CÐ
,
CT
x x
là độ dài các cạnh góc vuông
của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng
5
2
.
Ta có

2 2
' 3
y x mx m
   
. Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình
' 0
y

có hai nghiệm dương
phân biệt
1 2
,
x x
và thỏa mãn
2 2
1 2
5
2
x x
 
.
 
2
2
2 2 2
2 2
4 0
0
0
14

3 3
3 0
2
5
14
2 2 3
2
2
m
m
m
S m
m
m m
P m
S P m m
m



  

   









 




 
   
 
   
  
 
 
 
 
 
    
 
 
 



.
Vậy
14
2
m  là giá trị cần tìm.
d) Hàm số





3 2 2
2 1 3 2 4
y x m x m m x
       
có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía trục tung.
Để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía đối với trục tung khi và chỉ khi phương trình
' 0
y


có hai nghiệm trái dấu




2 2
3 2 2 1 3 2 0
x m x m m
       
có hai nghiệm trái dấu.
2
3 2 0 1 2
m m m
      
.
CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ HÀM SỐ - TÁC GIẢ: ĐẶNG THÀNH NAM
11

Website:
/>
Email:


Mobile: 0976 266 202


Vậy


1;2
m

là giá trị cần tìm.
e) Hàm số
3 2
3 2
y x x mx
   
có cực đại, cực tiểu cách đều đường thẳng
1
y x
 
.
Hàm số có cực trị khi và chỉ phương trình
2
' 3 6 0
y x x m
   

có hai nghiệm phân biệt
1 2
,
x x
, điều này
tương đương với
' 9 3 0 3
m m
      
.
Khi đó gọi tọa độ hai điểm cực trị là




1 1 2 2
; ; ;
A x y B x y
.
Cách 1. Lấy
y
chia cho
'
y
ta được :
1 2
' 2 2
3 3 3 3
x m m
y y x

   
 
 
 
     
 
 
 
 
 
   
.
Do
1 1
1 2
2 2
2
2 2
3 3
'( ) '( ) 0
2
2 2
3 3
m m
y x
y x y x
m m
y x

 






    
 





 


  

 





    








 




Suy ra
2
, : 2 2
3 3
m m
A B y x
 



      





 
hay

là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số.
Vậy để hai điểm cực trị cách đều đường thẳng
1
y x
 

thì hoặc

song song hoặc trùng với đường thẳng
1
y x
 
hoặc trung điểm của
AB
thuộc đường thẳng
1
y x
 
.
- Nếu
/ / : 1
d y x
  
, điều này tương đương với:
2 3
2 1
3 2
m
m
 



     






 
.
- Trường hợp trung điểm của
AB
nằm trên
: 1
d y x
 
, điều này tương đương với
 
1 2 1 2 1 2
1 2
1 2
1 2 2 1
2 2 2 3 3 2
y y x x x x
m m
x x
 
  



         






 
.
Theo định lý vi-ét ta có :
1 2
2
2 2 2 0 0
3 3
m m
x x m
 



         





 
.
Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện. Vậy
3
;0
2
m
 
 

 
 
 
 
 
 
là giá trị cần tìm.
f) Cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số
3 2 3
3 4
y x mx m
  
đối xứng nhau qua đường thẳng
y x

.
CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ HÀM SỐ - TÁC GIẢ: ĐẶNG THÀNH NAM
12
Website:
/>
Email:


Mobile: 0976 266 202


Ta có
2
0
' 3 6 ; ' 0

2
x
y x mx y
x m



   




, vậy để hàm số có cực trị khi và chỉ khi
0
m

.
Khi đó gọi tọa độ hai điểm cực trị là






3 3
0; 4 ; 2 ;0 2 ; 4
A m B m AB m m
  

và trung điểm của

AB
là


3
;2
I m m
.
Yêu cầu bài toán tương đương với
3
3
2
2
2 4 0
2
I d m m
m
AB d
m m




 



   
 
 


 
 



, do
0
m

.
Vậy
2
2
m
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
là giá trị cần tìm.
g) Hàm số


3 2 2 3

3 3 1
y x mx m x m m
      có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại đến
gốc tọa độ bằng
2
lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đến gốc tọa độ.
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi pt


2 2
' 3 6 3 1 0
y x mx m
    
có hai nghiệm phân biệt
1 0,
m
    
.
Từ đó suy ra tọa độ các điểm cực trị là điểm cực đại


1;2 2
A m m
 
và điểm cực tiểu


1; 2 2
B m m
  

.
Yêu cầu bài toán tương đương với:
2
OA OB

2
6 1 0 3 2 2
m m m
       
.
h) Hàm số




3 2
1 2 2 2
y x m x m x m
      
có cực trị đồng thời hoành độ cực tiểu nhỏ hơn 1.
Yêu cầu bài toán tương đương với pt


2
' 3 2 1 2 2 0
y x m x m
     
có hai nghiệm phân biệt
1 2
1

x x
 
.
Cách 1. ycbt tương đương với :
2
2
' 4 5 0
5 7
2 1 4 5
4 5
1
3
CT
m m
m
m m m
x


    



  

   

 






Cách 2. Đặt


2
( ) 3 2 1 2 2
g x x m x m
    
. Khi đó yêu cầu bài toán tương đương với :
CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ HÀM SỐ - TÁC GIẢ: ĐẶNG THÀNH NAM
13
Website:
/>
Email:


Mobile: 0976 266 202


2
' 4 5 0
5 7
(1) 5 7 0
4 5
2 1
1
2 3
m m

g m m
S m




    



      






 



.
Vậy
5 7
;
4 5
m
 










 
là giá trị cần tìm.
i) Hàm số




3 2
3 1 3 2 2
y x m x m m x m
      
có cực trị, đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại
đến trục hoành bằng khoảng cách từ điểm cực tiểu đến trục tung.
Ta có
   
2
' 3 6 1 3 2 0
2
x m
y x m x m m
x m




      

 



Suy ra hàm số luôn có cực trị. Khi đó tọa độ điểm cực đại


3 2
; 3 2
A m m m m
  
và điểm cực tiếu


3 2
2; 3 6
B m m m m
   
. Yêu cầu bài toán tương đương với




3 2 2
3 2 2 2 1 2
m m m m m m m m
          

.
2
2
2
2 0
1
1 1
1
1 1
0
m
m
m
m m
m
m m
m

 


 


 


    






   






.
Vậy có 4 giá trị cần tìm của m là


2; 1;0;1
 
.
j) Điểm cực đại, cực tiểu của hàm số
   
3
3 2
1 4
1 1
3 3
y x m x m     nằm khác phía với đường tròn


2 2
: 4 3 0
T x y x

   
.
Ta có
 


2
0
' 2 1 0
2 1
x
y x m x
x m



    

 


. Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi
1
m
 

Khi đó tọa độc hai điểm cực trị là
   
 
3

4
0; 1 ; 2 1 ;0
3
A m B m
 



 





 
.
CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ HÀM SỐ - TÁC GIẢ: ĐẶNG THÀNH NAM
14
Website:
/>
Email:


Mobile: 0976 266 202


Đường tròn


T

có tâm


2;0
I bán kính
1


. Hai điểm
,
A B
nằm khác phía với đường tròn


T
khi và
chỉ khi
  
 
 
6
2 2 2 2 2
16
0 3 1 4 1 0
9
IA R IB R m m
 




       





 
2
1 1
4 1 0
2 2
m m
      
,
thỏa mãn điều kiện.
Vậy
1 1
;
2 2
m
 



 






 
là những giá trị cần tìm.
Dạng 5. Đường thẳng đi qua các điểm cực trị của hàm số.
Với dạng bài toán này chỉ xét với hàm số đa thức bậc ba
3 2 2
' 3 2
y ax bx cx d y ax bx c
       
.
Lấy
y
chia cho
'
y
ta được:
2
1 2
' 2
3 9 3 9 9
b c b bc
y x y x d
a a a
 
 







     










 
 
.
Hàm số đạt cực trị tại
1 2
,
x x
thì khi đó
1 2
'( ) '( ) 0
y x y x
 
nên
2
1 1
2
2 2
2
( ) 2

3 9 9
2
( ) 2
3 9 9
c b bc
y x x d
a a
c b bc
y x x d
a a

 


 

   
 






 


 






   








 


.
Hai điểm cực trị của hàm số nằm trên đường thẳng
2
2
: 2
3 9 9
c b bc
y x d
a a
 



    






 
.
Lưu ý : Với các hoành độ cực trị không phụ thuộc tham số thì ta không cần thiết phải làm theo cách này,
nhưng có chứa tham số thì đây là lựa chọn khôn ngoan.
Dạng 6. Các điểm cực trị thỏa mãn một điều kiện chẳng hạn lập thành tam giác vuông, tam giác đều,…Lúc
này chúng ta dựa vào tính chất của tam giác.
Kiến thức bổ sung
- Cho hai điểm




1 1 2 2
; ; ;
A x y B x y
và đường thẳng
: 0
d Ax By C
  
hoặc đường tròn







2 2
2
:
C x a y b R
   
.
Xét các biểu thức




1 1 2 2
T Ax By C Ax By C
    
và








2 2 2 2
2 2
1 1 2 2
V x a y b R x a y b R
  
 
 

        
 
 
 
  
.
CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ HÀM SỐ - TÁC GIẢ: ĐẶNG THÀNH NAM
15
Website:
/>
Email:


Mobile: 0976 266 202


Khi đó hai điểm
,
A B
nằm cùng phía với d hoặc


C
khi và chỉ khi
0
T

hoặc
0
V


.
Hai điểm
,
A B
nằm khác phía đối với dhoặc


C
khi và chỉ khi
0
T

hoặc
0
V

.
Đặc biệt. Hai điểm cực trị nằm khác phía với trục tung thì pt
' 0
y

có hai nghiệm trái dấu.
Hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục hoành thì
. 0
CD CT
y y

hoặc phương trình
0

y

có ba nghiệm
phân biệt.
Bài tập minh họa
Bài 1. Cho các hàm số sau
a) (TSĐH Khối A 2002) Với mọi giá trị của tham số m chứng minh hàm số luôn có cực trị và viết phương
trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số


3 2 2 3 2
3 3 1
y x mx m x m m
       .
b) Tìm m để điểm


3;5
A nằm trên đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số


3 2
3 3 6 1
y x mx m x
    
.
c) Tìm m để đồ thị hàm số
 
3 2
1 1

1
3 2
y x m x mx
   
có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường
thẳng
: 72 12 35 0
x y
   
.
Bài giải
a) (TSĐH Khối A 2002) Với mọi giá trị của tham số m chứng minh hàm số luôn có cực trị và viết phương
trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số


3 2 2 3 2
3 3 1
y x mx m x m m
       .
Ta có




2
2 2
' 3 6 3 1 3 3
y x mx m x m
       
.

Phương trình
' 0
y

có


2 2
' 9 9 1 9 0
m m
     
nên
' 0
y

có hai nghiệm phân biệt
1 2
x x

với
mọi
m
nên hàm số luôn có cực trị(đpcm).
Khi đó lấy
y
chia cho
'
y
ta được
2

1
' 2
3 3
m
y x y x m m
 



    





 
.
Do
1 2
'( ) '( ) 0
y x y x
 
nên
2
1 1
2
2 2
2
2
y x m m

y x m m


  




  



.
Do đó đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số là
2
: 2
y x m m
   
.
CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ HÀM SỐ - TÁC GIẢ: ĐẶNG THÀNH NAM
16
Website:
/>
Email:


Mobile: 0976 266 202


b) Tìm các giá trị của tham số m để điểm



3;5
A nằm trên đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm
số


3 2
3 3 6 1
y x mx m x
    
.
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi phương trình
' 0
y

có hai nghiệm phân biệt
2
2 6 0
x mx m
    
có hai nghiệm phân biệt
2
3
' 6 0 (*)
2
m
m m
m




      

 



Khi đó tọa độ hai điểm cực trị là




1 1 2 2
; ; ;
M x y N x y

Lấy
y
chia cho
'
y
ta được :
 
2 2
' 2 6 6 1
3 3
x m
y y m m x m m
 




        





 

Do
   




2 2
1 1
1 2
2 2
2 2
2 6 6 1
' ' 0
2 6 6 1
y m m x m m
y x y x
y m m x m m



      


  


      




Suy ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là


2 2
: 2 6 6 1
d y m m x m m
      
, theo đề bài


3; 5
A d

nên
 
2 2
4
5 6 6 6 1
8

5
m
m m m m
m




       

 


đối chiếu với điều kiện (*) suy ra chỉ nhận giá trị
4
m

.
Vậy
4
m

là giá trị cần tìm.
c) Cho hàm số
 
3 2
1 1
1
3 2
y x m x mx

   
. Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau
qua đường thẳng
: 72 12 35 0
x y
   
.
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi pt


2
' 1 0
y x m x m
    
có hai nghiệm phân biệt


2
1 4 0 1
m m m
       
.
Khi đó tọa độ hai điểm cực trị là




1 1 2 2
; ; ;
M x y N x y

CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ HÀM SỐ - TÁC GIẢ: ĐẶNG THÀNH NAM
17
Website:
/>
Email:


Mobile: 0976 266 202


Lấy
y
chia cho
'
y
, ta được :
   
2
1 1 1
' 1 1
3 6 6 6
x m
y y m x m m
 




     






 

Do
   
   
   
2
1 1
1 2
2
2 2
1 1
1 1
6 6
' ' 0
1 1
1 1
6 6
y m x m m
y x y x
y m x m m



    




  



    





Suy ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là
   
2
1 1
: 1 1
6 6
d y m x m m
    

Để
,
M N
đối xứng nhau qua

thì trước tiên phải có
 
2

0
1
1 .6 1
2
6
m
d m
m



       





Với
 
1
0 0; 0 ; 1;
6
m M N
 



   






 
trung điểm của
MN
là
1 1
;
2 12
I
 



  





 
. Nên loại
0
m

.
Với
5 2
2 1; ; 2;

6 3
m M N
   
 
 
 
  
 
 
 
 
 
   
trung điểm của
MN
là
3 9
;
2 12
I
 



 






 
. Nên loại
2
m

.
Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn.


Bài 3. Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m thì đồ thị hàm số


3 2 2 3 2
3 3 1
y x mx m x m m
      
luôn có cực đại, cực tiểu đồng thời gọi


;
x y
là hoành độ, tung
độ các điểm cực trị thì ta luôn có
1
2 0
4
x y
  
.
Bài giải

Ta có


2 2
' 3 6 3 1 0
y x mx m
     
, có
1 m
  
. Nên luôn có hai nghiệm phân biệt hay hàm số
luôn có cực trị với mọi m.
Khi đó gọi tọa độ hai điểm cực trị là




1 1 2 2
; ; ;
A x y B x y

CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ HÀM SỐ - TÁC GIẢ: ĐẶNG THÀNH NAM
18
Website:
/>
Email:


Mobile: 0976 266 202

Lấy
y
chia cho
'
y
, ta được :
2
' 2
3 3
x m
y y x m m
 



    





 

Do
   
2
1 1
2
1 2

2 2
2
' ' 0
2
y x m m
y x y x
y x m m


  


  


  




Nên đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là
2
2
y x m m
  

Từ đó suy ra hoành độ, tung độ các điểm cực trị thỏa mãn
2
2
1 1 1

2 0
4 4 2
x y m m m
 



       





 
. Từ
đó ta có đpcm.
Bài 4. Chứng minh rằng với những giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
   
3 2
3 1
1 3 1
2 2
y x m x mx m m
     
có cực đại, cực tiểu ; đồng thời gọi


;
x y
là tọa độ các điểm cực

đại, cực tiểu thì ta luôn có


3
0
x y x
 
.
Bài giải
Ta có
 
2
' 3 3 1 3 0
1
x m
y x m x m
x



     





Để hàm số có cực trị khi và chỉ khi
1
m


.
Khi đó gọi tọa độ hai điểm cực trị là




1 1 2 2
; ; ;
A x y B x y

Lấy
y
chia cho
'
y
, ta được :
   
2
1 1
1 ' 1
3 6 2
x
y m y m x
 



    






 

Do
   
 
 
2
1 1
1 2
2
2 2
1
1
2
' ' 0
1
1
2
y m x
y x y x
y m x



  




  



  





Nên đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là
 
2
1
1
2
y m x
  

CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ HÀM SỐ - TÁC GIẢ: ĐẶNG THÀNH NAM
19
Website:
/>
Email:


Mobile: 0976 266 202

Từ đó suy ra hoành độ, tung độ các điểm cực trị thỏa mãn


 
2
3 4 2
1
1 0
2
x y x x m x
    
. Từ đó ta có
đpcm.
Bài 5. Với mỗi giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
2
3 2 2
9
m
y x x m x   
có cực đại, cực tiểu ;
đồng thời gọi


;
x y
là tọa độ các điểm cực trị. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
y x
P
x y




.
Bài giải
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi phương trình
2 2
' 3 2 0
y x x m
   
có hai nghiệm phân biệt, khi và chỉ
khi
2 2
1
' 1 3 0 0
3
m m
      

Khi đó gọi tọa độ hai điểm cực trị là




1 1 2 2
; ; ;
A x y B x y

Lấy
y
chia cho

'
y
, ta được :
2
1 2 2
'
3 9 3 9
x
y y m x
   
 
 
 
   
 
 
 
 
 
   

Do
   
2
1 1
1 2
2
2 2
2 2
3 9

' ' 0
2 2
3 9
y m x
y x y x
y m x

 





 
 





 


  

 






 







 




Nên đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là
2
2 2
3 9
y m x
 



 





 

Vậy
2
2
2
2
2 2
2 11
3 9
3 9
2 7
2 2
3 9
3 9
m x x
m
y x
P
x y
m
m x x
 



 

 




  
  
 





 





 

Xét hàm số
2 11
3 9
( )
2 7
3 9
t
f t
t



, với

2
1
0;
3
t m
 



 






CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ HÀM SỐ - TÁC GIẢ: ĐẶNG THÀNH NAM
20
Website:
/>
Email:


Mobile: 0976 266 202


Ta có
( )
f t
là hàm đơn điệu tăng trên

1
0;
3
 








, nên suy ra
11
( ) (0)
7
P f t f   
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của
P
bằng
11
7

khi
0
m

.
Bài 6. Tìm các giá trị thực của m để đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số

3 2
3 1
y x x
  
tiếp xúc với đường tròn






2 2
: 1 5
T x m y m
    

Bài giải
Dễ thấy hai điểm cực trị là




0;1 ; 2; 3
A B

, suy ra phương trình đi qua hai điểm cực trị của hàm số là
: 2 1 0
d x y
  
.

Đường tròn


T
có tâm


; 1
I m m

và bán kính
5


.
Yêu cầu bài toán tương đương với
 
 
2 2
2 1 1
5
; 5 5
3
2 1
m m
d I d m
  
     

.

Nhận xét. Có thể yêu cầu tìm giá trị của tham số đường thẳng đi qua cực trị cắt, tiếp xúc và không có điểm
chung với đường tròn


T
và ta chỉ cần áp dụng mối liên hệ giữa khoảng cách và vị trí tương đối.
Bài 7(TSĐH Khối B 2013) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số


3 2
2 3 1 6
y x m x mx
   
có hai
điểm cực trị
,
A B
sao cho đường thẳng
AB
vuông góc với đường thẳng
2
y x
 
.
Đáp số.


0;2
m


.
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1.1. Tìm m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
3 2
3 2
y x x mx
   
tạo với hai
trục tọa độ một tam giác cân.
Định hướng giải:
Điều kiện
3
m
 
.
CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ HÀM SỐ - TÁC GIẢ: ĐẶNG THÀNH NAM
21
Website:
/>
Email:


Mobile: 0976 266 202


Lấy
: '
y y
ta được
1 2

' 2 2
3 3 3 3
x m m
y y x
   

 
 
 
     
 
 
 
 
 
   
.
Đáp số :
3
2
m
 
.
1.2. Tìm m để hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
3 2 2
3 1
y x x m m
    
tạo với điểm



2;4
C

một
tam giác có diện tích bằng 7.
Đáp số :
3
2
m
m




 


.
1.3. Tìm m để tất cả các điểm cực trị của đồ thị hàm số
4 2
2 4
y x mx
   
đều nằm trên các trục tọa độ.
Đáp số :
2
m


1.4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số
3
3 2
y x mx
  
cắt đường tròn tâm


1;1
I bán kính bằng 1 tại hai điểm phân biệt
,
A B
sao cho diện tích
tam giác
IAB
lớn nhất.
Đáp số :
2 3
2
m

 .
1.5. Tìm m để đồ thị hàm số




3 2
2 3 1 6 1 2
y x m x m m x

    
có cực đại, cực tiểu nằm trên đường
thẳng
4
y x
 
.
1.6. Tìm m để đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
3 2
7 3
y x mx x
   
vuông góc với
đường thẳng
3 4 0
x y
  
.
1.7. Tìm những giá trị của tham số m để đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số






3 2 2
3 1 2 3 2 1
y x m x m m x m m
       
tạo với đường thẳng

4 2 0
x y
  
một góc bằng
0
45
.
Định hướng giải: Ta có


2 2
' 3 6 1 2 3 2
y x m x m m
     
.
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi phương trình
' 0
y

có hai nghiệm phân biệt
1 2
,
x x
. Điều này tương đương
với
 
 
2
2
3 5

2
' 9 1 3 2 3 2 0
3 5
2
m
m m m
m






       






.
CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ HÀM SỐ - TÁC GIẢ: ĐẶNG THÀNH NAM
22
Website:
/>
Email:


Mobile: 0976 266 202

Lấy
y
chia cho
'
y
ta được
 
 
2 2
1 2 2 1
' 2 1 2 3 2
3 3 3 3 3
x m m
y y m m x m m m m
   
  
 
 
 
         
 
 
 
 
 
   
.
Do
1 2

'( ) '( ) 0
y x y x
 
nên
 
 
 
 
2 2
1 1
2 2
2 2
2 2 1
( ) 2 1 2 3 2
3 3 3
2 2 1
( ) 2 1 2 3 2
3 3 3
m
y x m m x m m m m
m
y x m m x m m m m

 

 





       
 





 



 

 




       







 




.
Do đó đường thẳng đi qua hai điểm cực trị hàm số là
 
 
2 2
2 2 1
: 2 1 2 3 2
3 3 3
m
d y m m x m m m m
 
 



       





 
.
Đường thẳng này có véc tơ pháp tuyến
 
2
1
2
3 1 ; 1
3

n m m
 



    





 

và đường thẳng
4 2 0
x y
  
có
véc tơ pháp tuyến


2
1; 4
n 

.
Yêu cầu bài toán tương đương với
 
1 2
0

2
1 2
3
.
4
1
5
os45
5
2
17 1
.
3
n n
u
u
c
u
n n
u





   



 



 
 
, trong đó


2
2
3 1
3
u m m
   
.
1.8. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
3 2 2
3
y x x m x m
   

đối
xứng nhau qua đường thẳng
2 5 0
x y
  
.
1.9. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
3
2
1

3
x
y mx x m
    
là nhỏ nhất.
Đáp số :
0
m

.
1.10. Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m thì đồ thị hàm số


3 2 2 3
3 3 1
y x mx m x m m
     
có cực đại, cực tiểu chạy trên một đường thẳng cố định.
1.11. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
3 2
3 2
y x x mx
   

song song với đường thẳng
4 3
y x
  
.
Dạng 6. Ba điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành một tam giác

CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ HÀM SỐ - TÁC GIẢ: ĐẶNG THÀNH NAM
23
Website:
/>
Email:


Mobile: 0976 266 202


Các bài toán toán dạng này thuộc lớp hàm trùng phương, đề bài có thể yêu cầu
- Ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích cho trước, lớn nhất, nhỏ nhất.
- Tam giác vuông, cân, đều hoặc tạo thành một góc cho trước.
- Liên quan đến bán kính đường tròn nội tiếp(
S
r
p
 )và bán kính đường tròn ngoại tiếp(
4 2 sin
abc a
R
S A
 
).
Bài 1. Tìm m để đồ thị hàm số
4 2 2
2 1
y x m x
  
có ba điểm cực trị là ba điểm của một tam giác vuông

cân.
Bài giải
Ta có
 
3 2 2 2
2 2
0
' 4 4 4 0
x
y x m x x x m
x m



     




, vậy với
0
m

thì đồ thị hàm số có 3 cực trị.
Khi đó tọa độ ba điểm cực trị là







4 4
0;1 ; ;1 ; ;1
A B m m C m m
  
, ta thấy
,
B C
đối xứng với nhau qua
trục tung. Vậy ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân thì sẽ vuông tại
A
.
Ta có




4 4
; ; ;
AB m m AC m m
    
 

Vậy
2 8
. 0 0 1
AB AC m m m
       
 
, do

0
m

.
Vậy
1
m
 
là những giá trị cần tìm.
Bài 2. Tìm m để đồ thị hàm số
4 2
2 1
y x mx
  
có ba điểm cực trị và đường tròn đi qua ba điểm cực trị có
bán kính bằng 1.
Bài giải
Ta có
 
3 2
2
0
' 4 4 4
x
y x mx x x m
x m



    





, vậy đồ thị hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi
0
m

.
Khi đó tọa độ ba điểm cực trị là






2 2
0;1 ; ;1 ; ;1
A B m m C m m
  

Gọi
I
là tâm và
R
là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
.
CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ HÀM SỐ - TÁC GIẢ: ĐẶNG THÀNH NAM
24

Website:
/>
Email:


Mobile: 0976 266 202


Do
,
B C
đối xứng với nhau qua trục tung nên tam giác
ABC
cân tại
A
, do đó tâm
I
nằm trên
Oy
, giả sử :
       
2
1 2
2
0; 1 1 1 0;0 ; 0;2
0
y
I y IA R y I I
y




       





- Với
 
 
2
2
1 1
0
0;0 1 1 1 1
1 5
2
m
I I B R m m m
m






        



 




, do
0
m

nên chỉ nhận
1 5
1;
2
m m
 
  .
- Với




2
2
2 2
0;2 1 1 1
I I B R m m
      
, phương trình này vô nghiệm do



2
2
0 1 1
m m m
    
.
Vậy
1 5
1;
2
m m
 
  là hai giá trị cần tìm.
Bài 3. Cho hàm số
   
4 2
1
3 1 2 1
4
y x m x m
    
. Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành một
tam giác có trọng tâm là
O
.
Bài giải
Ta có
 



3
2
0
' 2 3 1 ' 0
2 3 1
x
y x m x y
x m



     

 



Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi
1
3 1 0 ( )
3
m m i
    

Khi đó tọa độ 3 điểm cực trị là:







2 2
0;2 2 , 6 2; 9 4 1 , 6 2; 9 4 1
A m B m m m C m m m
         

Yêu cầu bài toán tương đương với:
CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ HÀM SỐ - TÁC GIẢ: ĐẶNG THÀNH NAM
25
Website:
/>
Email:


Mobile: 0976 266 202


2
1 2
0 18 6 4 0 ;
3 3
A B C
y y y m m m m
           
. Chỉ giá trị
1
3
m

thỏa mãn điều kiện.

Vậy
1
3
m

là giá trị cần tìm.
Bài 4. Cho hàm số


4 2
2 2
m
y x mx C
  
. Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để


m
C
có 3 điểm cực trị
tạo thành một tam giác có đường tròn ngoại tiếp đi qua điểm
3 9
;
5 5
D
 









 
.
Bài giải
Ta có
3
2
0
' 4 4 ' 0
x
y x mx y
x m



    





Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi
0
m


Khi đó tọa độ 3 điểm cực trị là






2 2
0;2 , ; 2 , ; 2
A B m m C m m
    

Gọi


;
I x y
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
, khi đó


 
 
2 2
2 2
2 2 2
2
2

2 2
3 1 0
0; 1
0
2 2
1
2 2
x y
x y
IA ID
m
IB IC x m x m
m
IA IB
x m y m x y





   

 














    
  

  
  


  


  

      






Do
0
m

nên chỉ có

1
m

thỏa mãn. Vậy
1
m

là giá trị cần tìm.
Bài 5. Tìm m để đồ thị hàm số


4 2 2
2 1 1
y x m x m
    
có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác có
diện tích lớn nhất.
Bài giải
Ta có




3 2 2 2
' 4 4 1 4 1
y x x m x x m
      . Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi phương trình
' 0
y


có 3 nghiệm phân biệt
2
1 0 1 1( )
m m i
      

Khi đó tọa độ 3 điểm cực trị là :