Bài tập Vật lý phần dao động pps

Bài tập 1:
1. Tham khảo bài tập bên dưới
1. Đề xuất mô hình DOF=2, lập hệ phương trình và tính đáp ứng
Khảo sát dao động cưỡng bức của hệ 1 bậc tự do:
Cơ hệ cho trên hình gồm 2 vật 1 và 2, có 1 bậc tự do, chịu tác dụng của lực cưỡng
bức. Trên hình biểu diễn lược đồ cơ hệ ở vị trí cân bằng tĩnh. Đặc trưng giảm chấn của hệ
được cho bởi hệ số suy giảm loga.
Các số liệu về thông số của hệ:
Khối lượng: m
1
= 40 kg, m2 = 30 kg
Hệ số độ cứng của lò xo: c1 = 20 N/cm, c2 = 25 N/cm
P = 35, ω = 2π s
-1
, ϕ = ωt, hệ số suy giảm loga η = 0,62
Hãy xác định:
- Hệ số α đặc trưng độ cản nhớt của bộ phận giảm chấn.
- Phương trình dao động cưỡng bức của hệ tại tần số kích thích ϕ = ωt
Ghi chú: Các đĩa tròn được giả thiết là đặc, đồng chất, các thanh – mảnh đồng chất,
sự lăn của các đĩa là lăn không trượt.
c
cc
B
A
x

y
P
k

1

k

1
ϕ
6
0
°
6
0
°
22
1
k

2
Trả lời:
1. Phân tích cơ hệ:
Hệ 1 bậc tự do, hệ lực tác dụng gồm trọng lực và lực đàn hồi của lò xo và lực cưỡng
bức.
1
Chọn y là tọa độ của vật 1 làm tọa độ suy rộng
Để lập phương trình chuyển động ta dùng phương trình Lagrange dạng 2:
y
.
Q
y
R
y
V
y

T
y
T
dt
d
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−










∂
∂
2. Lập biểu thức động năng T:
T = T
1

+ 2T
2

Vật 1 chuyển động tịnh tiến
T
1
=
2
.
1
ym
2
1
Vật 2 chuyển động tịnh tiến
T
2
=
2
.
2
2
1
xm
với
x = y.tan30°
vậy:
T
2
=
2

.
2
1
y
( tan30°)
2
Biểu thức động năng toàn hệ:
T =
2
.
2
21
])30(tan2[
2
1
ymm
o
+
Ký hiệu:
m
tt
=
])30(tanm2m[
2o
21
+
Biểu thức động năng toàn hệ:
T =
2
.

tt
ym
2
1
3. Lập biểu thức thế năng V:
V = V
1
+ 2V
2

Thế năng của lực trọng trường:
2
Tại vị trí cân bằng như trên hình ta quy ước thế năng của lực trọng trường tác động
lên vật 1 bằng 0. Khối tâm của vật 2 không đổi so với mặt đất nên ta có:
V
2
= 0
V
1
= -G
1
y = -m
1
gy
Thế năng của lực đàn hồi của lò xo:
V
lx1
= 2







λ−λ+λ
2
0A
1
2
A0A
1
2
k
)(
2
k
= 2






λ−+λ
2
0A
1
2
0A
1

2
k
)x(
2
k
V
lx1
= 2
)30tany2)30(tany(
2
k
0A
o2o2
1
λ+
=
0A
o
1
2o2
1
30tanyk2)30(tanyk λ+
V
lx2
=
2
0B
2
2
B0B

2
2
k
)(
2
k
λ−λ+λ
=
2
0B
2
2
0B
2
2
k
)y(
2
k
λ−+λ
V
lx2
=
0B2
2
2
yky
2
k
λ+

Thế năng của toàn bộ lực có thế tác động lên cơ hệ:
V = -m
1
gy +
0A
o
1
2o2
1
30tanyk2)30(tanyk
λ+
+
0B2
2
2
yky
2
k
λ+
Tại vị trí cân bằng (y=0), thế năng của hệ là cực tiếu do đó:
0
y
V
0y
=









∂
∂
=
==> -m
1
g + 2k
1
tan(30°)λ
A0
+k
2
λ
B0
= 0
V =
[ ]
2
2
2o
1
yk)30(tank2
2
1
+
V =
2

tt
yk
2
1
Với k
tt
=
[ ]
2
2o
1
k)30(tank2 +
4. Lập biểu thức hàm hao tán R:
R =
[ ]
2
.
20
2
.
2
.
cy1)30(tan2
2
1
yc
2
1
xc
2

1
2 +=+
=
2
.
tt
yc
2
1
Với
[ ]
1)30(tan2c
20
tt
+=
c
5. Tính Q
y
:
3
Q
y
= Q
p
Công khả dĩ của hệ dưới tác dụng lực ngoài
δA = Pcos(ωt)δ(y)
Vậy Q
y
= Pcos(ωt)
6. Lập phương trình chuyển động

Thế các biểu thức động năng và thế năng vào phương trình Lagrange dạng 2 ta có:
ykycym
tt
.
tt

tt
++
= cos(ωt)
Tính hệ số c đặc trưng độ cản nhớt bộ giảm chấn:
Tính các thông số tay thế
m
tt
=
])30(tan2[
2
21
o
mm +
= 40 + 2 x 30 (tan30°)
2
= 60 kg
k
tt
= 2k
1
( tan30°)
2
+k
2

= 2 x 20( tan30°)
2
+25= 38,33 N/cm = 0,3833 N/m
P
tt
= 35 / cos30° = 40,42 N40,42 N
Tần số riêng:
ω
n
=
60
3833,0
m
k
tt
tt
=
= 0,07993 s
-1

Hệ số suy giảm loga:
η = ζω
n
T
d
=
2
1
2
ς

πς
−
==>
098199,0
62,0)2(
62,0
)2(
2222
=
+
=
+
=
πηπ
η
ς
c
tt
= 2ζω
n
m = (2 x 0,098199 x 0,07993 x 60) = 0,942 kg/s
Hệ số c đặc trưng độ cản nhớt bộ giảm chấn:
c = c
tt
/[2( tan30°)
2
+1] = 0,565 kg/s
Phương trình dao động cưỡng bức của hệ:

y3833,0y946,0y60

++
= cos(2πt)
4
Bài tập 2:
2. Tham khảo bài tập bên dưới
3. Đề xuất mô hình DOF=1, lập phương trình và tính đáp ứng
a. Khảo sát dao động tự do của cơ hệ 2 bậc tự do
Hãy xác định tần số và dạng dao động của cơ hệ 2 bậc tự do. Giả thiết rằng các lực
cản, khối lượng lò xo không đáng kể. Trên hình biểu diễn cơ hệ ở vị trí cân bằng. Các số
liêu cần để tính toán:
m
1
= 4 kg, m
2
= 1 kg
R = 0,2 m, l = 0,3 m
k
1
= 40 N/cm, k
2
= 30 N/cm

2
k
k

1
R
1

2
0,75l
l
A
B
C
D

ϕ

1
ϕ
2
Trả lời:
1. Phân tích cơ hệ:
Hệ 2 bậc tự do, hệ lực tác dụng gồm trọng lực và lực đàn hồi của lò xo
Chọn ϕ
1
và ϕ
2
là các tọa độ suy rộng
Để lập phương trình chuyển động ta dùng phương trình Lagrange dạng 1:
i
ii
i
Q
q
V
q
T

q
T
dt
d
=
∂
∂
+
∂
∂
−










∂
∂
.
2. Lập biểu thức động năng T:
T = T
1
+ T
2

5
Vật 1 chuyển động song phẳng
T
1
= T
1
tt
+ T
1
q
=
2
1
2
1
2
11
2
1A
2
01
Rm
2
1
2
1
)R(m
2
1
J

2
1
vm
2
1
ω






+ω=ω+
T
1
=
2
1
.
2
1
)Rm5,1(
2
1
ϕ
Vật 2 chuyển động quay
T
2
=
2

2
.
2
2
2
.
2
2
2
2
.
2
2
22
2
2
.
B
48
lm49
2
1
3
)l75,1(m
2
1
3
Lm
2
1

J
2
1
ϕ








=ϕ








=ϕ









=ϕ
=
Biểu thức động năng toàn hệ:
T =
2
1
.
2
1
)Rm5,1(
2
1
ϕ
+
2
.
2
2
2
48
lm49
2
1
ϕ









3. Lập biểu thức thế năng V:
V = V
1
+ V
2

Thế năng của lực trọng trường:
Tại vị trí cân bằng như trên hình ta quy ước thế năng của lực trọng trường tác động
lên vật 2 bằng 0.
V
1
= 0
V
2
= -G
2
h = -m
1
g
)cos1(
2
l
2
2
ϕ−
= -m
1
g

2
2
)
2
(sin2
2
l75,1
ϕ
= -m
1
g
4
l75,1
2
2
ϕ

Thế năng của lực đàn hồi của lò xo:
Gọi λ
1
là biến dạng của lò xo 1và λ
t1
là biến dạng tỉnh của lò xo 1 ta có:
λ
1
= λ
A
- λ
C
= Rϕ

1
- lϕ
2

V
lx1
=
( )
2
1t
1
2
1t1
1
2
k
2
k
λ+λ+λ
=
1t211
2
21
1
)lR(k)lR(
2
k
λϕ−ϕ−ϕ−ϕ
Gọi λ
2

là biến dạng của lò xo 2 và λ
t2
là biến dạng tỉnh của lò xo 2 ta có:
λ
2
= λ
D
=
2
l75,1
ϕ
V
lx2
=
( )
2
2t
2
2
2t2
2
2
k
2
k
λ−λ+λ
=
( ) ( )
2t22
2

2
2
l75,1kl75,1
2
k
λϕ−ϕ
6
Thế năng của toàn bộ lực có thế tác động lên cơ hệ:
V=-m
1
g
4
l75,1
2
2
ϕ
+
1t211
2
21
1
)lR(k)lR(
2
k
λϕ−ϕ−ϕ−ϕ
+
( ) ( )
2t22
2
2

2
l75,1kl75,1
2
k
λϕ−ϕ
Tại vị trí cân bằng, thế năng của hệ là cực tiếu do đó:
0
V
02
01
1
=








ϕ∂
∂
=ϕ
=ϕ
=>
0Rk
1t1
=λ−
0
V

02
01
2
=








ϕ∂
∂
=ϕ
=ϕ
=>
( )
0l75,1klk
2t21t1
=λ+λ
V =
( )
2
2
2
2
2
211
2

2
1
l75,1k
2
1
)lR(k
2
1
4
l75,1
gm ϕ+ϕ−ϕ+
ϕ
−

4. Lập phương trình chuyển động
Thế các biểu thức động năng và thế năng vào phương trình Lagrange dạng 2 ta có:
1,5m
1
R
2
1

ϕ
+ k
1
R(Rϕ
1
- lϕ
2
) = 0

2
2
2
48
lm49
ϕ








- 0,875m
1
glϕ
2
- k
1
l(Rϕ
1
- lϕ
2
) +
2
2
2
l

16
49
k
ϕ






= 0
Viết dưới dạng ma trận:






=






ϕ
ϕ











−






+−
−
+










ϕ
ϕ











0
0
glm875,0l
16
49
klkRlk
RlkRk
m
48
49
0
0m
2
3
2
1
1
2
2
2
11

1
2
1
2

1

2
1






=






ϕ
ϕ







−
−
+










ϕ
ϕ








0
0
375,816240
240160
48
49
0

06
2
1
2

1

5. Xác định tần số và dạng dao động riêng
Phương trình đặc trưng của hệ:
0
375,816240
2406160
MC
2
2
=
−
−ω−
=ω−
7
 6.125ω
4
+ 5061,5833ω
2
– 73020 = 0
 ω
1
2
= 811,6936;
 ω

2
2
= 14,6874;
Tần số riêng:
ω
1
= 28,4902 s
-1
ω
2
= 3,8324 s
-1
Tìm véc tơ riêng:
Thế ω
1
vào phương trình [C - ω
2
M] = {0} ta có:
-4710,1616X
1
(1)
– 240 X
2
(1)
= 0
lấy X
1
(1)
= 1 ==> X
2

(1)
= -19,6257
Thế ω
2
vào phương trình [C - ω
2
M] = {0} ta có:
71,8759 X
1
(2)
- 240 X
2
(2)
= 0
lấy X
1
(2)
= 1 ==> X
2
(2)
= 0,2995
Véc tơ riêng






−
=

6257,19
1
X
)1(






=
2995,0
1
X
)2(
Dạng dao động riêng
Dao động chính thứ nhất:
ϕ
(1)
(t) = C
1
cos(28,4902t + φ
1
)
ϕ
(1)
(t) = -19,6257C
1
cos(28,4902t + φ
1

)
Dao động chính thứ hai:
ϕ
(2)
(t) = C
2
cos(3,8324t + φ
2
)
ϕ
(2)
(t) = 0,2995C
2
cos(3,8324t + φ
2
)
8
b. Khảo sát dao động cưỡng bức của hệ 2 bậc tự do
Cơ hệ có 2 bậc tự do được biểu diễn như trên hình vẽ chịu tác dụng của lực cưỡng
bức biến thiên tuần hòan ở dạng lực P = P
0
cos pt. Lực P tác động lên vật 1. Dường tác
dụng của lực P nằm ngang, đi qua khối tâm vật 1 và có phương không đổi trong quá trình
hệ chuyển động. Chuyển vị dài khi tác dụng lực là không đổi tức P = P
0
là 0,001 m. Các
số liêu cần để tính toán:
m
1
= 4 kg, m

2
= 1 kg
R = 0,2 m, l = 0,3 m
c
1
= 40 N/cm, c
2
= 30 N/cm

2
k
k

1
R
1
2
0,75l
l
A
B
C
D

ϕ

1
ϕ
2
P

Trả lời:
2. Lập phương trình chuyển động
Áp dụng kết quả của Bài tập 2a ta có phương trình chuyển động






=






ϕ
ϕ






−
−
+











ϕ
ϕ








0
)t(RP
375,816240
240160
48
49
0
06
2
1
2

1

3. Giải bài toán trị riêng
 ω
1
2
= 821,8267;
 ω
2
2
= 14,84;
9
Tần số riêng:
ω
1
= 28,6675 s
-1
ω
2
= 3,8523 s
-1
Véc tơ riêng






−
=
6257,19

1
X
)1(






=
2995,0
1
X
)2(
4. Chuẩn hóa véc tơ riêng






−
=
9823,0
0501,0
y
)1(







=
1213,0
4052,0
y
)2(
5. Xác định véc tơ lực suy rộng
[ ]






=












=







==
2
)2(
21
)2(
1
2
)1(
21
)1(
1
2
1
)2(
2
)2(
1
)1(
2
)1(
1
)2()1(
,)(
FyFy

FyFy
F
F
yy
yy
FyytFyQ
T
T






=






=
ptcosH
ptcosH
ptcosRP4052,0
ptcosRP0501,0
Q
2
1
0

0
6. Phương trình vi phân chuyển động trong hệ tọa độ chính chuẩn
ptHTT cos
11
2
1
1

=+
ω
ptHTT cos
22
2
2
2

=+
ω
Nghiệm cưỡng bức của phương trình
pt
p
H
T cos
2
2
1
1
1
−
=

ω
pt
p
H
T cos
2
2
2
2
2
−
=
ω
Khi hệ chịu lực tĩnh P = P
0
ta có
10
2
1
1
/001,0
ω
H
R =
==> H
1
= 0,001ω
1
2
/R= 4,109 Nm

P
0
=
2,0.0501,0
109,4
R0494,0
H
1
=
= 410 N
Vậy:
H
1
= 4,109 Nm
H
2
= 0,4052RP
0
= 33,2264 Nm
7. Phương trình chuyển động của hệ trong hệ trục
ϕ
1 và
ϕ
2







=












=






ϕ
ϕ
2
)2(
21
)2(
1
2
)1(
21

)1(
1
2
1
)2(
2
)2(
1
)1(
2
)1(
1
2
1
TyTy
TyTy
T
T
yy
yy
)t(
)t(






=







ϕ
ϕ
ptcosT1213,0ptcosT9823,0
ptcosT4052,0ptcosT0501,0
)t(
)t(
21
21
2
1
11