Ch4_Kgvt ppsx

LOGO
Giảng viên: Bùi Anh Tuấn

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Chöông 4:
Khoâng gian vec-tô
/462
Nội dung
/463
1. Không gian vectơ
2. Kgian con sinh bởi tập hữu hạn
4. Cơ sở và số chiều.
5. Tìm cơ sở một số kgian con .
3. Độc lập - Phụ thuộc tuyến tính.
6. Tọa độ của vec-tơ theo cơ sở.
1. Không gian véc tơ
2. (x + y) + z = x + (y + z)
3. Tồn tại véc tơ không, ký hiệu 0 sao cho x + 0 = x
4. Mọi x thuộc V, tồn tại vectơ, ký hiệu –x sao cho
x + (-x) = 0
1. x + y = y + x;
8. 1x = x
5. Với mọi số và mọi vector x:
, K
α β
∈
( )x x x
α β α β
+ = +
6. Với mọi số , với mọi :
K

α
∈
x , y V∈
( x y ) x y
α α α
+ = +
7.
( )x ( x )
αβ α β
=
Định nghĩa:
1. Không gian véc tơ
Tính chất của không gian véctơ
1) Véctơ không là duy nhất.
2) Phần tử đối xứng của véctơ x là duy nhất.
4)
0 0
α
=
K
α
∈
5) -x = (-1)x
x V∈
3) 0x = 0
x V∈
1. Không gian véc tơ
}{
RxxxxV
i

∈=
),,(
3211
),,(),,(),,(
332211321321
yxyxyxyyyxxxyx +++=+=+
),,(),,(
321321
xxxxxxx
ααααα
==⋅





=
=
=
⇔=
33
22
11
yx
yx
yx
yx
Ví dụ 1
V1-Không gian véctơ trên trường số thực
3

R
Định nghĩa phép cộng hai véctơ như sau:
Định nghĩa phép nhân véctơ với một số thực như
sau:
Định nghĩa sự bằng nhau:
1. Không gian véc tơ
}{
RcbacbxaxV
∈++=
,,
2
2
Ví dụ 2
V2 - Không gian véctơ
][
2
xP
Định nghĩa phép cộng hai véctơ: là phép cộng
hai đa thức thông thường, đã biết ở phổ thông.
Định nghĩa phép nhân véctơ với một số: là phép
nhân đa thức với một số thực thông thường, đã biết
ở phổ thông.
Định nghĩa sự bằng nhau: hai véc tơ bằng nhau
nếu hai đa thức bằng nhau, tức là các hệ số
tương ứng bằng nhau).
1. Không gian véc tơ







∈






=
Rdcba
dc
ba
V ,,,
3
Ví dụ 3
V3 - Không gian véctơ
][
2
RM
Định nghĩa phép cộng hai véctơ: là phép cộng
hai ma trận đã biết trong chương ma trận.
Định nghĩa phép nhân véctơ với một số: là phép
nhân ma trận với một số đã biết.
Định nghĩa sự bằng nhau của hai véctơ: hai véc
tơ bằng nhau hai ma trận bằng nhau.
1. Không gian véc tơ
}
{
4 1 2 3 1 2 3

2 3 0
i
V x x x x R x x x
= ∈ ∧ + + =
( , , )
Phép cộng hai véctơ và nhân véctơ với một số
giống như trong ví dụ 1.
V4 - là KGVT
Ví dụ 4
CHÚ Ý: Có nhiều cách khác nhau để định nghĩa hai
phép toán trên V1, ( hoặc V2, hoặc V3 ) sao cho
V1 ( hoặc V2, hoặc V3 ) là không gian véctơ.
1. Không gian véc tơ
}
{
5 1 2 3 1 2 3
2 1
i
V ( x ,x ,x ) x R x x x
= ∈ ∧ + − =
Phép cộng hai véctơ và nhân véctơ với một số
giống như trong ví dụ 1.
V4 - KHÔNG là KGVT
4 4
(1,2,1) , (2,3,2)= ∈ = ∈x V y V
4
)3,5,3( Vyx ∉=+
Ví dụ 5
2. Độc lập-phụ thuộc tuyến tính
V- KGVT trên K

1 2
{ , , , }
m
M x x x=
Tập con
M–phụ thuộc
tuyến tính
1 2
, , ,
m
K
α α α
∃ ∈L
không đồng thời bằng 0
1 1 2 2
0
m m
x x x
α α α
+ + + =
L
M – độc lập tuyến tính
1 1 2 2
0
m m
x x x
α α α
+ + + =
L
1 2

0
m
α α α
→ = = =L
2. Độc lập-phụ thuộc tuyến tính
V- KGVT trên K
1 2
{ , , , }
m
M x x x=
Tập con
1 2
, , ,
m
K
α α α
∃ ∈L
1 1 2 2 m m
x x x x
α α α
= + + +L
Vector x thuộc V được gọi là Tổ hợp tuyến tính của M, nếu
2. Độc lập-phụ thuộc tuyến tính
{(1,1,1);(2,1,3),(1,2,0)}M
=
Trong không gian R3 cho họ véc tơ
Ví dụ 5
1. Hỏi M độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?
2. Véctơ x = (2,-1,3) có là tổ hợp tuyến tính của họ M?
Giải câu 1. Giả sử

1 1 1 2 1 3 1 2 0 0( , , ) ( , , ) ( , , )
α β γ
+ + =
2 2 3 0 0 0( , , ) ( , , )
α β γ α β γ α β
⇔ + + + + + =
2 0
2 0
3 0
α β γ
α β γ
α β
+ + =


⇔ + + =


+ =

1 2 1
1 1 2
1 3 0
A
 
 ÷
=
 ÷
 ÷
 

2r( A )⇒ =
Hệ có vô số nghiệm, suy ra M phụ thuộc tuyến tính
2. Độc lập-phụ thuộc tuyến tính
Giải câu 2. Giả sử
1 1 1 2 1 3 1 2 0( , , ) ( , , ) ( , , ) x
+ + =
α β γ
2 2 3 2 1 3( , , ) ( , , )⇔ + + + + + = −
α β γ α β γ α β
2 2
2 1
3 3
+ + =


⇔ + + = −


+ =

α β γ
α β γ
α β
1 2 1 2
1 1 2 1
1 3 0 3
(A | b)
 
 ÷
= −

 ÷
 ÷
 
r(A | b) r(A)≠
Vậy véctơ x không là tổ hợp tuyến tính của M.
Hệ pt vô nghiệm, suy ra không tồn tại bộ số
, ,
α β γ
2. Độc lập-phụ thuộc tuyến tính
1 2
{ , , , }
m
M x x x= L
1 1 2 2
0
m m
x x x
α α α
+ + + =
L
Hệ thuần nhất
AX=0
Có duy nhất
nghiệm X = 0
M – phụ thuộc tuyến
tính
Có nghiệm
khác không
M – độc lập tuyến tính
2. Độc lập-phụ thuộc tuyến tính

1 2
{ , , , }
m
M x x x= L
1 1 2 2
α α α
+ + + =L
m m
x x x x
Hệ pt AX= b
Hệ có nghiệm
x không là tổ hợp
tuyến tính
Hệ vô nghiệm
x là tổ hợp tuyến tính
của M
2. Độc lập-phụ thuộc tuyến tính
{ , ,2 3 , }
= +
M x y x y z
Ví dụ
Trong không gian véctơ V cho họ
a. Vécto 2x + 3y có là tổ hợp tuyến tính của x, y, z.
b. M độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính
Trong không gian véctơ V cho độc lập
tuyến tính, z không là tổ hợp tuyến tính của x và
y.
2. Độc lập-phụ thuộc tuyến tính
{ , }x y
Ví dụ

Chứng minh rằng độc lập tuyến tính
{ , , }x y z
2. Độc lập-phụ thuộc tuyến tính
1 2
{ , , , }
m
M x x x= L
- phụ thuộc tt

- là tổ hợp tuyến tính của các véctơ còn
lại trong M
i
x∃

Nếu M chứa véctơ 0, thì M phụ thuộc tuyến tính.

2. Độc lập-phụ thuộc tuyến tính
Thêm một số véctơ vào họ phụ thuộc tuyến
tính ta thu được một họ phụ thuộc tuyến tính.

Bỏ đi một số véctơ của họ độc lập tuyến tính
ta thu được họ độc lập tuyến tính.


Cho họ véctơ M chứa m véctơ
1 2
{ , , , }
m
M x x x=
Cho họ véctơ N chứa n véctơ

1 2
{ , , , }
n
N y y y=
Nếu mỗi véctơ yk của N là tổ hợp tuyến tính
của M và n > m, thì N là tập phụ thuộc tuyến
tính.
2. Độc lập-phụ thuộc tuyến tính
1 2
{ , , , , }
m
M x x x V= ⊂L L
Định nghĩa hạng của họ véctơ
Hạng của họ M là k nếu tồn tại k véctơ độc
lập tuyến tính của M và mọi tập con của M
chứa nhiều hơn k véctơ thì phụ thuộc tuyến
tính.
Hạng của họ M là số tối đại các véctơ độc lập
tuyến tính của M.
2. Độc lập-phụ thuộc tuyến tính
Ví dụ 11
Tìm hạng của họ véctơ sau.
{(1,1,1,0);(1,2,1,1);(2,3,2,1),(1,3,1,2)}M =
2. Độc lập-phụ thuộc tuyến tính
1 2 1 1
3 1 0 5
2 4 1 6
A
−
 

 ÷
=
 ÷
 ÷
−
 
1 2 3
{ (1,2,1, 1); (3,1,0,5); ( 2,4,1,6)}M x x x= = − = = −
Họ véctơ hàng của A
Họ véctơ cột của A
1 2 1 1
3 , 1 , 0 , 5
2 4 1 6
N
−
 
       
 
 ÷  ÷  ÷  ÷
=
 
 ÷  ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷  ÷
 
−
       
 
2. Độc lập-phụ thuộc tuyến tính
Định lý về hạng:
Cho A là ma trận cở mxn trên trường K.

Hạng của ma trận A bằng với hạng của họ
véctơ hàng A.
Hạng của ma trận A bằng với hạng của họ
véctơ cột của A.
2. Độc lập-phụ thuộc tuyến tính
Ví dụ
Tìm hạng của họ véctơ sau
{(1,1,1,0);(1,1, 1,1);(2,3,1,1),(3,4,0,2)}M = −
Lời giải
1 1 1 0
1 1 1 1
2 3 1 1
3 4 0 2
A
 
 ÷
−
 ÷
=
 ÷
 ÷
 
M là họ véctơ hàng của A. Suy ra hạng của M
bằng hạng r(A) của ma trận A.