hệ thống kiến thức và ôn tập bất đẳng thức thi đại học
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (381.69 KB, 49 trang )
BẤT ĐẲNG THỨC
§1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
I. BẤT ĐẲNG THỨC:
1. Khái niệm bất đẳng thức:
Các mệnh đề dạng “A>B”, “A<B”, “A≥B”, “A≤B” được gọi là bất đẳng thức, với
A gọi là vế trái, B gọi là vế phải và A, B là hai biểu thức đại số.
Ta có:
⇔ ⇔
≥ ⇔ ≥ ≤ ⇔ − ≤
2. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức:
!
"#
⇒ >
⇔ ± ±
⇔
⇒ + > +
⇒ >
$
%
%
&'
%
%
+ +
+
∈ ⇒ >
∈ ≥ ⇒ >
∈ ⇔ >
∈ ⇔ >
II. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY:
1.Bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm :
1
()**+,-.&/0123
$ $
4$
56&7894:-*12;-*<
≥ ≥ ≤
÷
÷
÷
Các hệ quả của bất đẳng thức Cauchy hai số là :
= $ =$ 1)* >
1)*
1)*
≥ ≥ ∀ ∈
+ ≥
+
+ ≥
* HÖ qu¶ 1:
* HÖ qu¶ 2 :
* HÖ qu¶ 3 :
2. Bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm :
()*+,-.&/0 = 3
56&7894:
≥
+ + +
≥
⇔ = = =
III. BẤT ĐẲNG THỨC BU-NHIA-CỐPSKI
1. Bất đẳng thức Bu-nhia-cốpski cho hai cặp số:
()**?@+,A= = -BCD3
= $ = =
56&7894:-*12;-*
% =E? <B =E?
≤ + +
=
= = =* :Quy íc
2. Bất đẳng thức Bu-nhia-cốpski cho hai bộ n số:
*
()**F+,A= = -B3
= $ $$ = =
56&7894:
%0F 2EC3G&
≤ + + + + + +
⇔ = = =
* : Quy íc
*
B =*<=
IV. BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
2
()*0H*+,A123
$ 56&7894:-*12;-*
56&7894:-*12;-*
+
+
V. BT NG THC HèNH HC:
C6&7I9 12
@@12@
JC6&7-JK K 12K
< < + < < + < < +
à
L +
VI. CễNG THC TNH DI NG TRUNG TUYN V PHN GIC:
0 0 0
M @=@ M @=@ M @=@
+ + +
= = =
= = =
+ + +
Đ2. MT S PHNG PHAP CHNG MINH BT NG THC
Dng 1: S dng cỏc phộp bin i, ỏnh giỏ thớch hp
Để chứng minh A B, ta sẽ chứng minh A-B 0 (nghĩa là ta sử dụng định
nghĩa, tính chất cơ bản, để biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh đến bất
đẳng thức đúng hay một tính chất đúng hoặc có thể sử dụng bất đẳng thức đúng
biến đổi dẫn đến bất đẳng thức cần chứng minh).
Ví dụ 1: Cho ba số a, b, c bất kì. Chứng minh các bất đẳng thức:
a) a
2
+ b
2
+ c
2
ab + bc + ca (1)
b) (ab + bc + ca)
2
3abc(a + b + c) (2)
3
(ĐHQG TP. HCM -1998)
Lời giải.
=
= = = M.M.CN&
=
= = =
+ + + +
+ +
+ +
+ +
+ + M.M.CN&
Ví dụ 2: Chứng minh rằng a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ e
2
a(b + c + d + e) (1)
với mọi a, b, c, d, e.
(ĐH Y dợc TP. HCM-1999)
Lời giải.
=
*O*PCN&
+ + + + + + +
+ + +
ữ ữ ữ ữ
E+,AQ0R<12$$
7&0*:G&====
7&0*:G&:E&+,3CN&0F
+ +Ví dụ 3 :
+,M)I
(ĐHTH TP.HCM -1993)
Lời giải.
3= $$$
(2)
$$
(B$$ $$
=1B<
(S4=CN&K4:=CN&
+ +
+ + > + +
3===
K4:E?9+,CDM)I
E?:E&+,3CN&0F+,M)I
% 0/T1)*&*9*
(S4:E&+,3CN&0
F+,M)I
7&0*
+ + <
+ + +
Ví dụ 4 :
trong đó a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
4
(T¹p chÝ To¸n häc & Tuæi trÎ 5/2004)
Lêi gi¶i.
3 =
+ ≥ +
(1)
S1/4
= = $
= =
⇔ ≥ + + +
⇔ + − − ≥ ⇔ − − − ≥
== = = ⇔ ≥ ⇔ + ≥
(2)
=CN& =CN&⇒
UI&A =
$ =$
EC3
=
$
02
$ = = =
+ ≥ +
≥
+ + ≤ + +
÷
+ +
+ + +
+ + = + +
+ + + + +
<=
=E$$$
V=12=+4:C@0
+ +
+ + + + + +
Bài tập tự luyện:
8 4 8 4
E84 7&0*
4 8 4 8
≠ + + ≥ +
÷
Bµi 1 :
(Đề thi vào lớp 10 chuyên của trường Trần Đại Nghĩa TP. HCM năm 2004 )
7&0*:G&8 4 WB3
4 =8 W =8 W
8 W 4 8 W
≤ ≤
+ + + ≤ + +
÷ ÷
Bµi 2 :
(Đề 148 - Bộ đề tuyển sinh)
EM2J+,UI&7&0*
+ + + + +
+ + ≤
÷
+ + + + +
Bµi 3 :
(Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ 11/1995)
5
E84WM2J+,UI&7&0*
8 84 4 4 4W W W W8 8 =8 4 W+ + + + + + + + ≥ + +
Bµi 4 :
(Học viện Quan hệ Quốc tế năm 1997)
Bài 5: Cho ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện a
2
+ b
2
+ c
2
= 1. Chứng minh rằng:
abc + 2(1 + a + b + c + ab + ac + bc) ≥ 0.
(Đề 2 - Bộ đề tuyển sinh)
Dạng 2: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy
Trường hợp 1: Các biến không bị ràng buộc
7&0*
+ + ≥ + + ∀ ≠VÝ dô 1 :
(ĐH Y dược Tp. HCM-1999)
Lời giải.
@X&54E+,UI&3
+ ≥ = ≥
¸
(1)
UI&A
+ ≥
(2)
+ + ≥
(3)
Cộng các vế tương ứng của (1), (2) và (3) ta có đpcm.
8 8 8
8 8 8
!
7&0*:G&1)*0H*8 >3 !
!
Y*2EC6&7894:Z
∈ + + ≥ + +
÷ ÷ ÷
VÝ dô 2 :
(Đề thi tuyển sinh ĐH, CĐ-Năm 2005)
Lời giải.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương, ta có:
8 8 8 8
8
! !
! !
+ ≥ =
÷ ÷ ÷ ÷
(1)
Tương tự ta có:
8 8
8
!
!
+ ≥
÷ ÷
(2)
6
8 8
8
!
+ + ≥
÷ ÷
(3)
Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3), chia hai vế của bất đẳng thức nhận được cho 2, ta
có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0.
E84W7&0*:G&
4
8 W
8 4 4 W W 8 8 4 W
+ + ≤ + +
+ + +
VÝ dô 3 :
(ĐH Nông Nghiệp I Khối A - 2001)
Lời giải.
[2&7&0*CU\5+ =+ + ≥ + +
@X&=CU\ =
8 4 W 84 4W W8
@X&54EJ0T+,CU\
4 4
8 W 8 W
$ $ <
8 4 4 W W 8
8 4 4 W W 8
<
84 4W W8 8 4
+ + ≥ + +
+ + ≤
+ + +
+ + ≤ + +
¸
¸
=C@0
W
7&0*:G&1)*M2*+,-.&/0-BM.3
' ]+ ≥
VÝ dô 4 :
(ĐH Kinh tế Quốc dân - Năm 1997)
Lời giải.
@X&C6&74E+,-.&/03
' L ] L ] ] =C@0+ = + + ≥ =
¸
EM2CF2*^_0F0&*J7&0*:G&
$
+ + ≥
+ − + −
VÝ dô 5 :
(ĐH Y Hải Phòng – Năm 2000)
Lời giải.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương:
7
=$=$
+ − + + −
≤ =
(1)
UI&A3 =$=$ ≤
(2)
=$=$ ≤
(3)
Nhân các vế tương ứng của (1), (2) và (3), ta được:
=$=$=$
=$=$=$
@X&C6&74E+,UI&3
$ =$=$=$
≤ ⇒ ≥
+ + ≥ ≥
+ − + −
¸
E7&0*
$ $ $
= $ $ $ $ $ $
≥
÷ ÷
VÝ dô 6 :
(Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ 6/2003)
Lời giải.
()* 3
= = =
= = = =
∀
+ ≥ + + ≥ + + ≥ +
+ + ≥ + + + + +
(1)
@X&C6&74E+,UI&3
+ + ≥ =
¸
(2)
Nhân các vế tương ứng của (1) và (2), ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
E7&0*$
=
≥VÝ dô 7 :
Lời giải.
@X&C6&74E,+,UI&3
$
= = =
− − − −
= + + + ≥ =
¸
! ! ! !
E7&0*
+ + + ≥ + + +
VÝ dô 8 :
(ĐH Thủy lợi – Năm 1997)
Lời giải.
8
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho năm số dương, ta có:
!
! ! ! ! !
! !
!
+ + + + ≥ = ⇒ ≥ −
(1)
!
!
UI&A3
≥
(2)
!
!
≥ −
(3)
!
!
≥ −
(4)
Cộng các vế tương ứng của (1), (2), (3) và (4) ta có đpcm.
EJ+,A84WUI&7&0*
#84W=8$4$W =8$4 =4 W =W 8≤ + +
VÝ dô 9 :
(Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ 1/1996)
Lời giải.
Gọi A = (x + y)(y + z)(z + x)
Ta có: A = xy(x + y + z) + yz(x + y + z) + xz
2
+ zx
2
# #
]
#
@X&54EJ0+,UI&&`0+,1)*0a*+,G& 84=8 4 W +,1)*0a*+,
G& W4=8 4 W 8W W8
=84W =8 4 W
3=8$4=4$W=W$8 ] C@0
56&7894:-*12;-*8
+ +
+ +
+ +
≥ ⇒
¸
<4<W
E % 7&0*
$
∈ ≥
+ + > −
+ + −
VÝ dô 10 :
(Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ 8/1996)
Lời giải.
=+,
=$=
@X&54E+,UI&&`00F+,G&
12=+,1)*0a*+,G&3
=$= =$=
$$$
= = = =
+ ≥
+ + − + −
⇔ ≥
142 43
¸
9
b4
$
≥ −
− + +
(1)
UI&A3
$
≥ −
− + +
(2)
$
≥ −
− + +
(3)
Cộng các vế tương ứng của (1), (2) và (3), ta có đpcm.
==$<
56&7894:-*12;-* ==$< %
==$<
-.&894:
⇒ = ∉
Trường hợp 2: Các biến bị ràng buộc
E84WM2+,UI&1284W<7&0*:G&
8 4 W
4 W 8
+ + ≥
+ + +
VÝ dô 1 :
(§Ò dù bÞ Khèi D-N¨m 2005)
Lêi gi¶i.
@X&54E*+,UI&3
8 4 8 4
8
$4 $4
4 W 4 W
4
$W $W
W 8 W 8
W
$8 $8
F&J1UI&7&_5CU\
8 4
$4
+ +
+ ≥ =
+ +
+ ≥ =
+ +
+ ≥ =
+
+
¸
4 W W 8
=8 4 W
$W $8
+ +
+ + + + ≥ + +
÷ ÷ ÷
8 4 W 8 4 W
=8 4 W
$4 $W $8
+ +
⇔ + + ≥ − − + + +
=8 4 W
84W =E84W<
56&7894:-*12;-*8<4<W<
+ +
≥ −
≥ − = − =
10
EJ+,UI&84WQ0R84W<7&0*:G&
$8 4 4 W
$W 8
84 4W W8
Y*2EC6&7894:Z
+ + +
+
+ +
Ví dụ 2 :
(ĐH, CĐ Khối D-Năm 2005)
Lời giải.
áp dụng BĐT Cauchy cho ba số dơng, ta có:
$8 4 8 4 84+ =
$8 4
84
84
+
(1)
Tơng tự, ta có:
$4 W
4W
4W
+
(2)
$W $8
W8
W8
(3)
Mặt khác, ta có:
84 4W W8 84 4W W8
+ +
84 4W W8
+ +
(4)
Cộng các vế tơng ứng của (1), (2), (3) và (4) ta có đpcm.
56&7894:-*12;-*8<4<W<
8 4 W
E84WM2+,Q0R8 $ 4 $ W < 7&0*:G&
$ #+ + + +
Ví dụ 3 :
(Đề dự bị Khối A - Năm 2005)
Lời giải.
8 8 8
]8 8 8
]4 4
]
W W
@X&C6&743
$
$
UI&A3 $
$
= + + +
=
á
(
)
] ] ] ]
8 4 W 8 4 W 8 4 W 8 4 W
F&J1UI&7&_C6&7:PCU\
$ $ $ # #
+ +
+ + + + =
11
56&7894:-*12;-*8<4<W<
Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi x, y, z dơng và x + y + z = 1 thì
]84W
84$4W$W8
$84W
(H Tõy Nguyờn Khi A, B-Nm 2000)
Li gii.
@X&543á
<8$4$W$8$4$W # 84W
(1)
84$4W$W8 8 4 W
(2)
Nhõn cỏc v tng ng ca (1) v (2), ta c:
2(xy + yz + zx) 18xyz (3)
Mt khỏc, ta cú:
xyz(xy + yz + zx) > 0 (4)
Cng cỏc v tng ng ca (3) v (4), ta c:
=84$4W$W8=$84W]84W
]84W
84 4W W8 =1B$84W
84W
+ + >
+
E84WM2J+,UI&Q0R 7&0*:G&
8 4 W
8$4$W 8 4 W 8 4 W
+ + =
+ +
+ + + +
Ví dụ 5 :
(ĐH, CĐ Khối A - Năm 2005)
Lời giải.
()*3 =$
56&7894:-*12;-*<
@X&-c9:P3
+
+
ữ
+ +
á
Cách 1 :
8$4$W 8 4 W 8 4 W ] 8 4 W
+ + + = + +
ữ ữ ữ
+
(1)
Tơng tự:
8$4$W 4 8 W 4 8 W ] 4 W 8
+ + + = + +
ữ ữ
ữ
+
(2)
8$4$W W 8 4 W 8 4 ] W 8 4
+ + + = + +
ữ ữ ữ
+
(3)
12
(S4
8$4$W 8 4 W 8 4 W 8 4 W
56&7894:-*12;-*8<4<W<
+ + ≤ + + =
÷
+ + + +
@X&5 1)*CU\
]<
8 4 W 8 4 4 W W 8 8 4 4 W W 8
+ ≥
+
+ + = + + + + + ≥ + +
÷ ÷ ÷ ÷
÷
+ + +
C¸ch 2 ¸
(1)
UI&A3
8$4 4 W W 8 8 4 8 W 8 4 4 W 4 W W 8
8 4 W 8 4 W 8 4 W
+ + = + + + + +
÷ ÷ ÷ ÷
+ + + + + + + +
≥ + +
÷
+ + + + + +
(2)
V=12=+4:
] ] C@0
8$4$W 8 4 W 8 4 W
≥ + + ⇒
÷
+ + + +
()*M2*+,-B1284M2*+,UI&3
=
=
8 4 8 4
+
+ ≥
+
:C¸ch 3
4=8$4$ 8=8$4 =$ 84
4 $ 8 84
=48
5+d&*O*PCN&56&7894:-*12;-*
8 4
KeX&5=*Mf3
8$4$W 8 4 W 8 4
⇔ ≥
⇔ ≥
⇔ ≥
=
+
÷ ÷
= ≤ +
+ + +
8 W 8 4 8 W
8 4 8 W # 8 4 W
+ +
÷ ÷ ÷
= +
+ + +
÷ ÷ ÷ ÷
≤ + + + = + +
÷
UI&A3
8$4$W # 8 4 W
8$4$W # 8 4 W
≤ + +
÷
≤ + +
÷
13
F&V&1C6&7:P12Ng)*&*9*TC
8$4$W 8 4 W 8 4 W 8 4 W
56&7894:-*12;-*8<4<W<
+ + ≤ + + =
÷
+ + + +
J@X&54E,+,UI&=E?5*,@8-*
=8$4$W 8 4W #
8 8 4 W 8 4W
K4:
8$4$W # 8 4 W
+ + + ≥ =
÷
≤ + +
÷
: C¸ch 4
UI&A
8$4$W # 8 4 W
8$4$W # 8 4 W
F&V&15:PCU\
8$4$W 8$4$W 8$4$W 8 4 W
≤ + +
÷
≤ + +
÷
+ + ≤ + + =
÷
E84W 128$4$W 7&0*:G&
8 4 W
$8 4 W 8 4 W
≥ ≤
+ + ≤ ≤ + +
+ + + + +
VÝ dô 6 :
(§H Hµng h¶i Tp. HCM - N¨m 1999)
Lời giải.
3
8 8 8 =8 8
$8 = 8 =8 $8
UI&A3
4
$4
W
W
F&J1UI&7&_C6&7:PCU\
8 4 W
=
$8 4 W
=56&7894:-*12
− − − −
− = = ≤ ⇒ ≤
+ +
≤
≤
+
+ + ≤
+ +
;-*8<4<W<
14
h?-JJ@X&54E+,UI&CU\
=E8$4$W
8 4 W
$8 4 W
= 8= 4= W
=
$8 4 W
56&7894:-*12;-*8<4<W<
+ +
+ + + + +
+ +
+ + +
+ +
+ +
Bài tập tự luyện:
()*M2+,UI&-B7&0*:G&
=$ =$ =$ =$ =$ =$
Bài 1 :
(ĐHDL Hải Phòng Khối A - Năm 2000)
7&0*:G&1)*+,AUI&-BM.3 + +Bài 2 :
(ĐHDL Phơng Đông Khối A - Năm 2000)
E 3^M212@M2e1*7&0*:G&
@ @ @
+ + + +
ữ
Bài 3 :
(Học viện Ngân hàng Khối A - Năm 2001)
()*M2+,AUI&-BQ0RC*D-*i$$<7&0*:G&
] ] ] + + + +
Bài 4 :
(ĐHQG Hà Nội Khối A - Năm 2000)
7&0*:G&1)*0H*843
4 L
=$8 $ !#
8
4
56&7894:-*2EZ
+
ữ
ữ
ữ
Bài 5 :
(Đề Dự bị Khối A-Năm 2005)
EM2+,UI&Q0R$$< 7&0*:G&
$
Y*2EC6&7894:Z
+ + + +
Bài 6 :
(Đề Dự bị 1 Khối B-Năm 2005)
7&0*:G& 4 8 B8 4 4 8
56&7894:-*2EZ
Bài 7 :
15
(Đề Dự bị 2 Khối B-Năm 2005)
8 4 W
8 4 W 8 4 W
8 4 W 4 W 8 W 8 4
EJ+,A84WQ0RC*D-*i 7&0*:G&
L L L
+ + +
+ + =
+ +
+ +
+ + +
Bài 8 :
(Đề Dự bị 2 Khối A-Năm 2006)
Dng 3: S dng bt ng thc Bu - nhia - cpski:
Trng hp 1: Cỏc bin khụng b rng buc
E8 jk7&0*
8$ 8$ 8$ 8 $
B08COC6&7894:Z
Ví dụ 1 :
(H An ninh Nm 1999)
Li gii.
@X&5*,@+-*E*F+,=12= 8 8CU\
8 8 8 = 8 + + =
á
(1)
*@XJ@X&5*,@+-*E*F+,=12= 8 8CU\
8 8 = 8 8 + + =
(2)
Cộng các vế tơng ứng của (1) và (2), ta có đpcm.
8 jk
56&7894:-*12;-* 8 8 8
8 8
= =
=
E7&0*
$ =$=$ = = = =
+ +
+ + + + + +
Ví dụ 2 :
(Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ 11/2004)
Lời giải.
@X&5*,@+-*E*F+,= 12= 3
= $ = = = =
= =
+ + + + +
+ + + + +
á
= =
=
+ + + + + + +
(1)
Tơng tự, ta có:
16
$ =$=$
+ +
(2)
$ =$=$
+ +
(3)
Cộng các vế tơng ứng của (1), (2) và (3), ta đợc:
$ =$=$ = = = =
+ +
+ + + + + +
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
7&0*:G&:E&0F0&*J-B3
@ @ @ @
:E&C3M2JCF2*^12@M2e1*_0&*J
+ +
Ví dụ 3 :
Lời giải.
@X&5*,@+-*E*F+,=12= @ @ @CU\
@ @ @ = @ = @ = @
< @ @ @ @
+ + + + + + =
+ + =
á
56&7894:-*12;-*
@ @ @
= = = =
Trng hp 2: Cỏc bin b rng buc
()*M2+,UI&Q0RC6&7$$<7&0*:G&
+ + +
+ +
Ví dụ 1 :
(ĐHQG Hà Nội Khối D - Năm 2000)
Lời giải.
%/*1_51)*CU\
h
+ + + + +
= + + + + +
(1)
Theo BĐT Bu-nhia-cốpski, ta có:
= = = = =
+ = + + + + = +
(2)
Tơng tự, ta có:
17
=
+ +
(3)
=
+ +
(4)
Cộng từng vế của (2), (3) và (4) đi tới:
h = =CN&C@0
+ + =
E84WM2+,UI&128$4$8 7&0*:G&
8 4 W ]
8 4 W
+ + + + +
Ví dụ 2 :
(ĐH, CĐ Khối A - Năm 2003)
Lời giải.
lH*K< 8 4 W
8 4 W
@X&5*,@+-*E*F+,=L12 8 3
8
+ + + + +
ữ
á
L
8$ $] 8 < ] 8
8 8 8
+ +
(1)
Tơng tự, ta có:
L
4$ ] 4
4 4
+
(2)
L
W$ ] W
W W
+
(3)
Cộng (1), (2) và (3) theo vế, ta có:
K ] 8 4 W L
8 4 W
4K ] ]=8 4 W L ]=8 4 W
8 4 W
L =8 4 W ] # ] ]
8 4 W
C@0
+ + + + +
ữ
+ + + + + + +
ữ
+ + + + =
ữ
Chú ý: Bài toán này ta có thể giải bằng phơng pháp tọa độ, sẽ trình bày ở phần sau.
Bất đẳng thức trong tam giác:
18
E 7&0*:G&
=M M =M M =M M
+ + + + +
Ví dụ :
(Học viện Kỹ thuật Quân sự - Năm 1997)
Lời giải.
E+
3M M E+ M E+
+
= = + =
ữ
+
UI&A3 M E+
M E+
F&V&1_C6&7:PCU\
+ =
ữ
+ =
ữ
( )
=M M =M M M M E+ E+ E+
+ + + + + = + +
ữ
(1)
@X&5*,@8-*E*F+,=12 E+ E+ E+ 3
E+ E+ E+ E+ E+ E+
ữ
+ + + +
ữ
á
L
=E+ E+ E+
L
1BE+$E+$E+
V=12=+4: =M M
+ + +
+
ữ
+ +
( )
=M M M M
56&7894:-*12;-* CD
+ + +
(2)
Chú ý: Ta có thể giải bài toán này bằng cách sử dụng BĐT Cauchy hoặc dùng ph-
ơng pháp đạo hàm kết hợp với BĐT Jensen.
Bài tập tự luyện:
19
7&0* = 1)*0H*+,AUI&
E84W7&0*
84W=8$4$W$ 8 4 W
=8 4 W j=8 4 W =8 4 W k ]
E
+ + +
+ +
+
+ + + + + +
Bài 1 :
Bài 2 :
Bài 3 :
12Q0R<7&0*
= = =
E84128 4 8 47&0*
8$4 $ !
+ +
+ + +
+ +
Bài 4 :
Dng 3: Phng phỏp dựng du ca tam thc bc hai:
I+m_@UI&@J@M2*Cn*C6&7m&*9*1D^&7
"=8<8 8 =
5O8o07S*"=8Up&1*3U)*^&
+ +
I+m_@UI&@J@M2*Cn*C6&7m&*9*1D^&7
"=8<8 8 =
5O8o07S*"=8Up&1*3U)*^&
+ +
"=8< 8 8
+ = +
ữ ữ
Dấu của biệt thức
Dấu của f(x)
< 0
"=8 8 >
= 0
"=8 8 "= <
> 0
Phơng trình f(x) = 0 có hai nghiệm x
1
<
x
2
"=8 8 =8 8
"=8 8 = 8 =8 $
Tóm lại, việc sử dụng các định lý thuận và đảo của tam thức bậc hai, xử lý điều
kiện tồn tại nghiệm của biệt thức , tỏ ra tiện lợi khi chứng minh một bất đẳng
thức mà nó đã đợc nhận dạng.
ở đây nhắc lại các tính chất sau để tiện sử dụng:
"=8<8 8 8 >
+ +
"=8<8 8 8 >
+ +
"=8<8 8 +
"=8<8 8
20
7&0*:G&1)*!+, -BE&*pq&3
= + + + + + +
Ví dụ 1 :
(Đề 15/II - Bộ đề tuyển sinh)
(1)
Lời giải.
= = + + + + + + +
(2)
(:J*M207S* E3*i7
<=$$$ =
E5*,@+-*3
=$$$ = =
(S4=CN&1)*
+ + +
+ + + + + +
+4:=CN&
7&0*:G&
!8 !4 !W #84 ]8W ]4W
1)*0H*+,84W-.&C`&p*G&
+ + + >
Ví dụ 2 :
Lời giải.
Xem vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh là một tam thức bậc hai của x, còn y,
z là những tham số, ta đợc một bất phơng trình bậc hai mà x là ẩn số:
f(x, y, z) = 5x
2
+ 2(3y - 4z)x + 5y
2
+ 5z
2
- 8yz > 0 (1)
r
8
r
8
r
4
r r
4 8
=4 W !=!4 !W ]4W<#4 #W4 LW
s 0 M20F07S*_4tWM20+,
#W L#W ]W
%W B EC3 1)*0H*4VC3+4::G
= + +
= =
< <
r
8
r
8
&u=&*i0CN&1)*0H*8
%W<B #4
%4 B E3u=&*i0CN&1)*0H*8
=
<
%4<B1B8 4 W P8
"=84W<!8
(S4C6&7=CN&1)*0H*84W-.&C`&p*G&
+ + >
>
E 7&0*
8
8=E+ E+ +* 8 >
+
Ví dụ 3 :
Lời giải.
8
8
so07"=8< 8=E+ E+ +* 3
=E+ E+ +* E+ E+ +*
+ +
+
= + =
ữ
21
<+* E+
EC3"=8 8 >=C@0
ữ
7&0*:G&+,Q0RJC*D-*i
B
+ + =
+ + =
Ví dụ 4 :
Lời giải.
Xem hai đẳng thức đã cho là một hệ hai phơng trình mà b, c là hai ẩn số, a là
tham số. Hệ phơng trình này có nghiệm. Từ đó ta tìm đợc tập hợp các giá trị của
tham số a.
Từ giả thiết, ta suy ra:
(a + b + c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2(ab + bc + ca)
= 2 + 2 = 4
$$<
$$<
biCREUI&CUI&1)**i
$$< $$<
=v =vv
$$< $$<
soi=vVu7_i+4:$<412Eu7*CU\
$=
< <=
bi=vUI&CUI&1)*i
$<
<=
M2J&*i0_u
8 = 8 =
+ =
u243*&*i0P
<= =
+
=
22
wS@MSUI&AC,*1)*i=vvCU\
=
u,*\@J-c9=12=CU\
(B3OCn*aE:E&*C6&7CREPq&3
12
Bài tập tự luyện:
7&0*=8$4 8 ! !4 4 ! # 84 > + Bài 1 :
7&0*:G&M2JCF2*^_0F0&*JBM.3
=
+ + > + +
Bài 2 :
7&0*:G&1)*0H*8 >CD3
+*8$! E+8$!+*8
Bài 3 :
Dạng 4: Phơng pháp đạo hàm
I. Kiến thức cần nhớ:
1. Định lý Lagrange: Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trên
khoảng (a; b) thì tồn tại một điểm
=
sao cho:
r r
"= "=
"="=<" == 4" =
=
2. Tính đơn điệu của hàm số:
E20+,4<"=88JCx:PY=YM2-E9&=E?CE^jk
"=8&H*M2C`&*=y&:PY
8 8 Y 8 8 "=
a) Khái niệm tính đồng biến và nghịch biến của hàm số :
<
8 "=8
"=8&H*M2&x*=&*90:PY
8 8 Y 8 8 "=8 "=8
C`&*4&x*CU\&H*&M2CIC*i
<
< >
23
z
E20+,4<"=88JCx123C^E20:P-E9&=
%"=8C`&*:P-E9&=B" =8 8 =
%"=8&x*:P-E9&=
b) Điều kiện cần của tính đơn điệu :
z
B" =8 8 =
E20+,4<"=88JCx123C^E20:P-E9&=
c) Điều kiện đủ của tính đơn điệu (dấu hiệu đơn điệu) :
z
z z
z
z z
8 =" =8
" =8 E?" =8 ^*{^C*O08
"=8C`&*:P-E9&=
8 =" =8
" =8 E?" =8 ^*{^C*O08
"=8&x*:P-E9&=
=
=
Chú ý: Trong dấu hiệu đơn điệu, nếu thêm giả thiết f(x) liên tục trên đoạn [a; b]
thì kết luận mạnh hơn: f(x) đồng biến (hay nghịch biến) trên đoạn [a; b].
3. Cực trị của hàm số:
z
z
l*9+e20+,"=88JCx:P-E9&=128 =
5xMg
" =8 :P=8 8
8 M2C*O0AC^*_"=8
" =8 :P=8 8 $
>
<
z
z
z
zz
z
zz
" =8 :P=8 8
8 M2C*O0A*O_"=8
" =8 :P=8 8 $
5xMg
" =8
8 M2C*O0A*O_"=8
" =8
" =8
8 M2C*O0AC^*_"=8
" =8
<
>
=
>
=
<
II. Ví dụ minh họa:
8
8
EM2+,A*P 7&0*:G& 1)*0H*8
> +Ví dụ 1 :
(ĐHSP Quy Nhơn - Năm 1999)
Lời giải.
24
[
)
[
)
8
z 8 8
8
so20+,"=8< :Pe-E9& $ ()*0H*8 3
" =8 =1B 1)*8
h?-J[420+,M*PX:P $ EC3"=8C`&*:Pe-E
= > = >
[
)
8
8
9& $
(S41)*0H*8
8
"=8< "=<
8
5*DC37&Q 8
> +
Chú ý: 1) Với bài toán này, ta cũng có thể xét hàm số
8
8
&=8<
trên nửa khoảng
[
)
$
, với chú ý rằng g(0) = 1.
2) Nếu không sử dụng tính liên tục của hàm số, ta chỉ có thể kết luận hàm số đồng
biến trên khoảng
=$
. Khi đó cha thể có bất đẳng thức f(x) > f(0) với x > 0.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n 3 ta đều có:
n
n+1
> (n+1)
n
.
(H An ninh Khi A - Nm 2000)
Lời giải.
n
n+1
> (n+1)
n
(1)
$
=$MM=$
M=$ M
>
(2)
z
8
so20+,"=8< 1)*8
M8
M 8 8
M 8
8
3" =8 =E8
M 8 M 8
(S4"=8C`&*P"=$"= =C@0
= = >
8
+*8 &8
()*8 7&0*
+
+ >Ví dụ 3 :
(ĐH Y dợc Tp. HCM - Năm 1993)
Lời giải.
25
