cách làm những bài tập tìm lim khó nhằn pot

Để làm những bài tập tìm lim khó nhằn, hay với những bài liên hợp nhiều căn thức
cùng một biến; chúng ta có thể dễ dàng làm và kiểm tra kết quả của mình với máy
tính.
ĐK cần: Máy tính casio fx-570ES (có thể dễ dàng ghi công thức và thay giá trị của
biến để tính hàm) (ở đây mình dùng fx-570ES vì gõ hàm f(x) vào máy rất dễ dàng
mà không cần nhiều ngoặc như fx-570MS)
1. Đối với giá trị hàm số tại một điểm:
- Dạng bình thường
VD: hay
ta gõ đa thức vào máy tính và thay giá trị của điểm x vào là xong, ở hai ví dụ trên, ta
được
(công việc này không khác gì việc tính đa thức tại một điểm)
- Các dạng vô định
VD:
Nếu ta bắt máy tính tính giá trị của hàm f(x) tại x=1, máy sẽ báo lỗi: "Math ERROR"
ngay. Nhưng máy lại có thể tính được giá trị tại điểm 1.000001.
Bạn thử tính xem, giá trị của f(x) lúc này bằng bao nhiêu, f(1.000001)=0 đúng không?
Đây chính là các lim phải tìm đó
> Vậy là tìm lim của hàm số tại một điểm thì ta có thể thay việc đó bằng tìm lim
của hàm số tại một điểm RẤT GẦN điểm đó là ok.
Áp dụng quy tắc này, ta thử tìm lim của một số hàm sau đây nhé
(tính giá trị hàm số tại x=1.000001, ta có lim=0)
(tính giá trị hàm số tại x=2.0000001, ta có f(x)=0.833333329 >
3. Giới hạn một bên
Cái này thì quá đơn giản rồi, quy tắc là thế này:
Đối với giới hạn bên trái ( ) ta thay giá trị xấp xỉ nhỏ hơn x
Đối với giới hạn bên phải ( ) ta thay giá trị xấp xỉ lớn hơn x

Cùng làm một ví dụ
Cho tính
- Cách làm đối với máy tính 570-ES

Tính L1
Gõ biểu thức lên màn hình
- ấn phím CALC (dưới phím shift)
- gõ vào giá trị của x = 0,000001
- ấn phím "="
Ta được giá trị của biểu thức tại x=0,000001 là 1. Vậy L1=1
Bạn đừng làm gì cả, hãy tiếp tục để tính L2 luôn
Màn hình đang hiện biểu thức f(x) với giá trị bằng 1
- Lại ấn CALC
- Bây giờ gõ vào giá trị của x=-0,999999
- Ấn phím "="
Ta được giá trị của biểu thức tại x=-0,999999 là -1. Vậy L2=-1
> Bạn đã tính được giới hạn một bên trên máy tính rồi đó
. Chú ý:
Thứ nhất: các bạn nên sử dụng máy tính và cách làm của mình để thử lại và dự đoán kết
quả. Có nghĩa là làm xong rồi thì đối chiếu với kết quả trên máy tính.
Thứ hai: tuy máy tính có mạnh thật, nhưng nhiều khi đúng là nó nhầm. Đôi khi x quá
gần thì kết quả sẽ thiếu chính xác. Lời khuyên của mình là: Đầu tiên lấy 3 đến 4 chữ số
thập phân, sau đó mới thử đến nhiều số thập phân hơn. Nếu nó ra luôn kết quả thì tốt, còn
không thì dựa vào những kết quả đầu để kiểm tra và dự đoán giới hạn
VD:
Với bài toán tính
Nếu ta thay x=1.0001 thì kết quả là 0.4996376081
Nếu ta thay x=1.000000001 (8 chữ số 0) ta sẽ được ngay kết quả là (vâng, và chắc ai lần
đầu tiên làm được cũng nói hay thật)
Nhưng nếu ta thay x=1.0000000001 (9 chữ số 0) ta lại thu được cái quả
Rõ ràng, mặc dù ra dạng phân số nhưng lại là kết quả không chính xác. Nếu bạn nào tin
thì ngốc thật
Để không ngốc thì các bạn cứ lấy xấp xỉ dần dần, từ 3 - 4 chữ số thập phân, rồi 6, 7 ,8
chữ số (nếu có thời gian)

Đừng bao giờ thử đến 9, 10 chữ số (như ví dụ vừa rồi vì đến mức này thì máy tính cũng
bó tay vì nó không thể tính toán với số xấp xỉ nhỏ như vậy)
Thứ ba: Nếu bạn biết khai thác thì máy tính cũng rất mạnh trong việc tính giới hạn một
bên
Thứ tư: Và nếu các bạn chịu tìm tòi một tẹo, thì máy bài toán tính giới hạn lượng giác
chỉ là muỗi
. Đối với hàm số tại vô cực và dãy số
Vẫn áp dụng quy tắc cơ bản của chúng ta là tính giá trị hàm số (dãy số) tại điểm gần giá
trị cần tính. Nhưng vẫn đề là cái máy tính của chúng ta đào - đâu - ra cái dương vô cùng
và cái âm vô cùng. Đành bó tay sao ?
Không! Sẽ có cách. Chúng ta hãy làm một ví dụ nhé:
Tính (giới hạn của dãy số khi x dần đến dương vô cùng)
chia cả tử và mẫu cho n, dễ dàng tính được
Còn đối với máy tính thì sao, chúng ta thử tính giá trị của dãy số tại điểm xem, ta
được
phải không nào ? Bây giờ ta thay tiếp , ta được . Đến đây
thì hẳn ai cũng đoán được rồi.
Chúng ta rút ra một quy tắc nữa với "anh bạn" máy tính, khi tìm giới hạn tại âm vô
cùng hay dương vô cùng, ta chỉ cần tính giá trị của hàm số tại những giá trị x rất
lớn (trong phạm vi máy cho phép), thường là khoảng hay