Chuyên đề cực trị đại số

www.VIETMATHS.com
Chuyên đề 1: Phơng pháp cơ bản tìm cực trị đại
số
Chơng I: cơ sở lý thuyết
I. Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu
thức
1.Định nghĩa1:
Cho biểu thức f(x,y) xác định trên miền D. Ta nói M là giá trị lớn nhất của
f(x,y) trên D nếu hai điều kiện sau đợc thoả mãn:
- Với mọi (x, y) thuộc D thì f(x,y)

M với M là hằng số
- Tồn tại (x
0
, y
0
) thuộc D sao cho f(x
0
, y
0
) = M
2. Định nghĩa 2:
Cho biểu thức f(x,y) xác định trên miền D. Ta nói m là giá trị nhỏ nhất
của f(x,y) trên D nếu hai điều kiện sau đợc thoả mãn:
- Với mọi (x, y) thuộc D thì f(x,y)

m với m là hằng số
- Tồn tại (x
0
, y
0

) thuộc D sao cho f(x
0
, y
0
) = m
II. Các kiến thức thờng dùng
Xét biểu thức chứa biến P(x), P(x,y). Ta ký hiệu giá trị lớn nhất của biểu
thức P trên tập xác định D của biến là GTLN(P) hay maxP, còn giá trị nhỏ
nhất của P là GTNN(P) hay minP.
1)
Cho P = A + B thì maxP = maxA + maxB và min P = min A + minB
Trong đó A và B là các biểu thức chứa các biến độc lập với nhau, hoặc
nếu A và B chứa cùng một biến thì cùng đạt GTLN (GTNN) tại một giá trị
xác định x = x
0
, tức là maxA = A(x
0
), maxB = B(x
0
) thì maxP = P(x
0
).
2)
Cho P =
1
A
với A

0 thì maxP =
1

min A
3)
a) P(x,y) = [Q(x,y)]
2n
+ a

a với a là hằng số, n

N
*
Nếu có (x
0
, y
0
) sao cho Q(x
0
, y
0
) = 0 thì min P(x,y) = a với mọi x, y thuộc
D
b) P(x,y) = - [Q(x,y)]
2n
+ b

b với b là hằng số, n

N
*
Nếu có (x
0

, y
0
) sao cho Q(x
0
, y
0
) = 0 thì maxP(x,y) = b với mọi x, y thuộc
D
4) A

0 thì max(A
2
) = (maxA)
2
và
min(A
2
) = (minA)
2
5) Các dạng của bất đẳng thức Cô-si:
a) a + b

2
ab
( a

0, b

0)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b

b)
a
b
+
b
a


2 (ab

0)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
6) Bất đẳng thức Bunhiacopsky
(ax + by)
2

(a
2
+ b
2
) (x
2
+ y
2
)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ay = bx
7) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối
www.VIETMATHS.com
a
+

b



a b+
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab

0
8) Định lý về dấu của tam thức bậc hai.
Cho tam thức bậc hai

2
( )f x ax bx c
= + +

( 0)a

Khi đó:
Nếu
0
<
thì f(x) luôn luôn cùng dấu với a,
x R

Nếu
0
=
thì f(x) luôn luôn cùng dấu với a,
x R

,
2
b
x
a


Nếu
0
>
thì f(x) cùng dấu với a nếu x nằm ngoài khoảng 2 nghiệm và trái
dấu với a nếu x nằm trong khoảng 2 nghiệm.
Chơng II: Phơng pháp giải toán cực trị
Các bài toán về cực trị luôn là những bài toán khó .Do đó đối với nhiều học
sinh việc giải toán cực trị là không hề đơn giản nếu không biết phơng pháp
giải và kinh nghiệm. Nó đòi hỏi ngời làm toán phải nhìn bài toán theo những
góc độ khác nhau, biết vận dụng các kiến thức phù hợp với từng tình huống.
Sau đây, tác giả xin đợc đa ra một số phơng pháp giải toán cực trị đợc đúc
rút từ kinh nghiệm giải toán :
1. Phơng pháp dùng bất đẳng thức
2. Phơng pháp xét biểu thức phụ
3. Phơng pháp đổi biến và tìm cực trị đối với biến mới
4. Phơng pháp chia khoảng để tìm cực trị
5. Phơng pháp dùng tam thức bậc hai
6. Phơng pháp tham biến
7. Phơng pháp giải toán cực trị với biểu thức chứa dấu căn
8. Phơng pháp giải toán cực trị với các biến có điều kiện
I.Phơng pháp dùng bất đẳng thức để giải toán cực trị
VD1:
Tìm GTNN của A =

2
1 4 4x x +
+
2
4 12 9x x +
Giải:
A =
2
(1 2 )x
+
2
(2 3)x
=
1 2x
+
2 3x



1 2 2 3x x +
= 2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (1 2x)(2x 3)

0
Lập bảng xét dấu:
x
1
2
3
2

1 2x + 0 - -
2x - 3 - - 0 +
www.VIETMATHS.com
(1 2x)(2x
3)
- 0 + 0 -
Từ đó ta có (1 2x)(2x 3)

0



1
2


x


3
2
Vậy GTNN của A bằng 2 với
1
2


x


3

2
VD2:
Tìm GTNN của hàm số
f(x) =
1x
+
2 4x
+
3 9x
+
4 16x
+
5 25x
Giải:
Ta có:
f(x) = (
1x
+
2 4x
+
3 9x
+
4 x
+
25 5x
) + 3
4x


( 1) (2 4) (3 9) (4 ) (25 5 )x x x x x + + + +

+ 3
4x
= 15 + 3
4x


15
Mặt khác ta có f(4) = 15 suy ra minf(x) = 15
VD3:
Tìm GTNN của S = x
2
+ y
2
+ z
2
với P = ax + by + cz không đổi (với a
2
+ b
2
+
c
2

0).Giá trị đó đạt đợc khi nào?
Giải:
Theo bất đẳng thức Côsi Bunhiacôpski ta có:
( x
2
+ y
2

+ z
2
) ( a
2
+ b
2
+ c
2
)

(ax + by + cz)
2
.
Do đó
S = x
2
+ y
2
+ z
2


222
cba
P
++
.
S sẽ có giá trị bé nhất khi xảy ra dấu = tức là khi
c
z

b
y
a
x
==
, hay nói cách
khác S
min
=
222
cba
P
++
.
Khi x=
222
cba
aP
++
; y =
222
cba
bP
++
; z =
222
cba
cP
++
.

VD4:
Tìm GTLN của:
a) A =
1x
+
2y
biết x + y = 4
b) B =
1x
x

+
2y
x

Giải:
Điều kiện x

1, y

2
Ta có
1x
=
1.( 1)x
www.VIETMATHS.com

2y
=
1.( 1)

1 1 1 1
2 2
x
x x
x x x

+
= =
2.( 2)
2
y
Theo bất đẳng thức Côsi ta có:
1.( 1)
1 1 1 1
2 2
x
x x
x x x

+
= =

2 2.( 2)
2 2 1 2
4
2 2 2 2 2
y y
y
y
y y

+
= = =
Max B =
1 2 2 2
2 4 4
+
+ =



1 1 2
2 2 4
x x
y y
= =



= =

VD5:
Tìm GTLN, GTNN của
A = 2x + 3y biết 2x
2
+ 3y
2


5

Giải:
Ta xét biểu thức A
2
= (2x + 3y)
2
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có:
A
2
=
( )
2
2. 2 3. 3x y+



2
1
2 3 x
( )
(
)
(
)
( )
2 2
2 2
2 3 2 3x y

+ +

= (2 + 3) (2x
2
+ 3y
2
)

5.5 = 25
A
2
= 25
1
2 3 5
x y
x y
x y
=

= =

+ =



2 3
2 3
x y
x y= =
Do A

2


25 nên -5

A

5
MinA = -5
1
2 3 5
x y
x y
x y
=

= =

+ =

MaxA = 5
1
2 3 5
x y
x y
x y
=

= =

+ =

VD6:
Nếu x > 0, a > o, b > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

x
xbxa ))(( ++
.
Khi nào đạt giá trị đó?
Giải: Biểu thức có dạng:

xba
x
ab
x
xxbaab
x
xbxa
+++=
++
=
++
2
)())((
Đối với hai số dơng
x
ab
và x, ta có bất đẳng thức Cô-si:

abx

x
ab
x
x
ab
22 =+
www.VIETMATHS.com
Khi đó:
2
)(2
))((
baabba
x
xbxa
+=++
++
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là (
2
)ba +
đạt đợc khi
abx =
VD7:
Tìm giá trị lớn nhất của:
a)
)53)(12()( xxxf =
;
b)
)1()1()(
3
xxxf +=

;
c)
2
)(
2
+
=
x
x
xf
;
d)
32
2
)3(
)(
+
=
x
x
xf
.
Giải:
a) Do
2
)(
4
1
baab +
, nên ta có:

40
1
4
1
.
4
1
.
5
2
)53(
2
5
5
4
1
.
5
2
)53)(
2
5
5(
5
2
)53)(12()(
2
==

+






== xxxxxxxf
Vậy f(x) lớn nhất là
40
1
khi
20
1
=x
.
b)
)1()1()(
3
xxxf +=
*) Nêú
x
< -1 hoặc x > 1 thì f(x)
0

*) Nếu -1 < x < 1 thì

3
1
.
2
3
4
11133
3
1
)1)(1)(1)(33(
3
1
)(
44






=






++++++
+++=
xxxx

xxxxxf
Vậy f(x) lớn nhất là
16
27
khi
2
1
=x
c)
2
)(
2
+
=
x
x
xf
Ta có:
xxx 22222
22
+
suy ra
22
1
2
2

+x
x
Vậy f(x) lớn nhất là

22
1
khi
2=x
d) f(x) =
32
2
)2( +x
x
. Ta có:
27
1
)(27)2(311
232
3
22
+++
xfxxxx
.
Vậy f(x) đạt giá trị lớn nhất là
27
1
, khi
1=x
.
VD8:
Tìm giá trị dơng nhỏ nhất của

x
x

xf
32
)(
2
+
=
.
Giải:
www.VIETMATHS.com
Do f(x) > 0 nên x > 0. ta có:
62
3
.22
3
2)(
=+=
x
x
x
xxf
Vậy f(x) dơng bé nhất là
62
khi
2
6
=x
VD9:
Cho các số x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức

444
),,( zyxzyxf ++=
.
Giải:
áp dụng bất đẳng thức Côsi- Bunhiacôpski với n = 3, ta có:

( )
2
222444222
))(111( zyxzyx ++++++

( )( )
2222222222
)( zxyzxyxzyzyx
++++++
Từ đó suy ra
( )
( )
2
444
3 zxyzxyzyx
++++

Suy ra
( ) ( )
3
16
,,16,,3

zyxfzyxf

Vậy
( )
zyxf ,,
bé nhất bằng
3
16
, khi
3
2
=== zyx
Bài tập đề nghị:
Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của:
2 1A x y= +
trong đó
5x y+ =
Bài 2. Tìm GTNN của:
2 2
1 2 5A x x x= + + +
Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của:
2
2 5A x x= +
Bài 4. Tìm GTNN của:
A = x + y biết x , y là các số dơng thoả mãn
1
a b
x y
+ =
(a và b là hằng số d-
ơng)
Bài 5. Tìm GTLN của:

A x y=
biết rằng
2 2
4 1x y+ =
II.phơng pháp xét biểu thức phụ
VD1:
Tìm GTLN, GTNN của
A =
2
1
2 3 x
Giải:
www.VIETMATHS.com
Điều kiện:
3x
Dễ thấy A

0
Ta xét biểu thức:
B =
1
A
=
2
2 3 x
Ta có:
2
0 3 3x

2

2
3 3 0
2 3 2 3 2
x
x


MinB =
2
2 3 3 3 0x x = =
MaxA =
1
2 3
2 3
= +

MaxB = 2
2
3 0 3x x = =

Khi đó minA =
1
2
Nhận xét:
Trong ví dụ trên, để tìm cực trị của A, do A

0 nên ta có thể xét biểu thức
phụ
1
A

. Các biểu thức phụ thờng xét có thể là -A, A
2
,
A
.Trong ví dụ dới đây,
ta xét biểu thức phụ B sai khác với A một hằng số.
VD2:
Tìm GTNN của:
A =
2 1
1 x x
+

với 0 < x <1
Giải:
Để áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta xét biểu thức:
B =
2 1
1
x
x x

+

áp dụng bất đẳng thức Côsi với hai số dơng
2
1
x
x
và

1 x
x

, ta có:
B
2 1
2. 2 2
1
x x
x x

=

B = 2
2
2 1
(1)
1
0 1(2)
x x
x x
x


=

< <

www.VIETMATHS.com
Giải (1):
2x
2
= (1 x)
2

2 1x x =
Do 0 < x < 1 nên x
2
= 1 x
1 1 x
x
+
+
1
2 1
2 1
x = =
+
Vậy minB = 2
2

2 1x =
Bây giờ ta xét hiệu A- B
A B =
2 1 2 1 2 2
1 1 1

x x x
x x x x x


+ + =
ữ ữ ữ


1 1 x
x
+
+
= 2 + 1 =3
Do đó minA = 2
2
+ 3 khi và chỉ khi x =
2
- 1
VD 3:
TìmGTLN, GTNN của:

1 1A x x= + +
Giải:
Xét
2 2
2 2 1A x= +
Do
2 2 2
0 1 1 2 2 1 4 2 4x x A +
Suy ra minA =

2
với x =
1
MaxA = 2 với x = 0
VD4:
Tìm GTNN của:
2 2
4 12 2 3x x x x + + + +
Giải:
TXĐ:
2
2
4 12 0 ( 2)(6 ) 0
1 3
( 1)(3 ) 0
2 3 0
x x x x
x
x x
x x

+ + +




+
+ +

(1)
Xét hiệu
2 2
( 4 12) ( 2 3) 2 9x x x x x + + + + = +
Do (1) nên 2x + 9 > 0 nên A > 0
Xét
2 2 2 2
( 4 12 2 3)A x x x x= + + + +
Hiển nhiên
2
0A
nhng dấu = không xảy ra ( vì A > 0 )
Ta biến đổi
2
A
dới dạng khác:
2
( 2)(6 ) ( 1)(3 ) 2 ( 2)(6 )( 1)(3 )A x x x x x x x x= + + + + +
( 1)(6 ) (6 ) ( 2)(3 ) (3 ) 2 ( 2)(6 )( 1)(3 )x x x x x x x x x x= + + + + + +
( 1)(6 ) ( 2)(3 ) 2 ( 2)(6 )( 1)(3 ) 3x x x x x x x x= + + + + + +
2
3A

Do A > 0 nên minA =
3
với x = 0
Bài tập đề nghị:
Bài 1. TìmGTLN, GTNN của:
www.VIETMATHS.com

(
)
2
99 101A x x= +
Bài 2. TìmGTLN, GTNN của:

2
2 5A x x= +
Bài 3. Tìm GTNN của:
2 2
1 1A x x x x= + + + +
III. Phơng pháp đổi biến và tìm cực trị đối với biến mới
VD1:
Tìm GTLN, GTNN của
A= (x
4
+ 1) (y
4
+ 1) biết x, y > 0, x + y =
10
Giải:
A= (x
4
+ 1) (y
4
+ 1)
= x
4
+ y
4

+ x
4
y
4
+ 1
Ta có x + y =
10

x
2
+ y
2
= 10 2xy

x
4
+ y
4
+ 2 x
2
y
2
= 100 40xy + 4x
2
y
2

x
4
+ y

4
= 100 40xy + 2x
2
y
2
Đặt xy = t thì x
4
+ y
4
= 100 40t + 2t
2
Do đó A = 100 40t + 2t
2
+ t
4
+ 1
= t
4
+ 2t
2
40t + 101
a) Tìm GTNN
A = t
4
8t
2
+ 16 + 10t
2
40t + 40 +45
= (t

2
4)
2
+ 10(t - 2)
2
+ 45
9 1 1 7
2
4 2 4 4
y x x = = =

45
MinA = 45

t = 2
Khi đó xy = 2 , x + y =
10
nên x và y là nghiệm của phơng trình
X
2
-
10
X + 2 =0
Tức là x =
10 2
2
+
, y =
10 2
2

Hoặc x =
10 2
2

, y =
10 2
2
+
b) Tìm GTLN
Ta có
2
2
10 5 5
0 0
2 2 2 2
x y
xy t

+

= =
ữ
ữ
ữ


(1)
Viết A dới dạng:
A = t(t

3
+ 2t 40 ) + 101
Do (1) nên t
3

125
8

, 2t

5

t
3
+ 2t 40
125
8

+ 5 40 < 0
www.VIETMATHS.com
t > 0 nên A

101
Max A = 101 khi và chỉ khi t = 0 tức là x = 0 , y=
10
hoặc x =
10
, y = 0
VD2:
Tìm GTNN của:

2 1 2 1A x x x x= + +
Giải:
Đặt
1 0x y =
1 1 1 1 2A y y y y= + + =
Suy ra minA = 2
0 1 1 2y x
VD 3:
Tìm GTLN, GTNN của:
A =
x x y y+
biết
1x y+ =
Giải:
Đặt
,x a y b= =
, ta có
, 0, 1a b a b + =
( )
( )
( )
2
3 3 2 2 2 2
3 1 3A a b a b a ab b a ab b a b ab ab= + = + + = + = + =
Do
0ab

nên
1A
MaxA = 1

0a =
hoặc
0 0, 1b x y= = =
hoặc
1, 0x y= =
Ta có:
( )
2
1 1 1
1 3
4 4 4 4
a b
ab ab ab
+
=
1 1 1
min
4 2 4
A a b x y= = = = =
Bài tập đề nghị:
Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của:
2 2
2 2
3 8 10
x y x y
M
y x y x


= + + +

ữ
ữ


với
, 0x y
Bài 2. Tìm GTNN của:
2
5 3
1
x
A
x

=

Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của:
2 2
2 2
x xy y
A
x xy y
+
=
+ +
IV. phơng pháp chia khoảng để tìm cực trị
VD1
Tìm GTLN của
A = x
2

(3 x) với x

0
Giải:
www.VIETMATHS.com
a) Xét 0

x

3
Viết A dới dạng:
A = 4
2
x
2
x
(3 x)
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm
2
x
,
2
x
, 3 x ta đợc:
3
3
2 2
(3 ) 1
2 2 3
x x

x
x x
x

+ +
ữ
=
ữ
ữ

Do đó A

4 (1)
b) Xét x > 3, khi đó A

0 (2)
So sánh (1) và (2) ta đi đến kết luận:
3
4 2
2
0
x
x
MaxA x
x

=

= =

VD2:
Tìm GTNN của:
( )
2
2A x x=
biết
4x

Giải:
Với x < 2 thì
0A
(1)
Với
2 4x

xét
( )
2
2A x x =
áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
( )
3
2
2
2 2
2 2

. . 2 8
4 2 2 3 3
x x
x
A x x x
x

+ +
ữ


= =
ữ
ữ

ữ

32 32A A
Suy ra minA = - 32 với x = 4
Bài tập đề nghị:
Bài 1. Tìm GTLN của:
2
1A x x=
Bài 2. Tìm GTLN của:

2 2
9A x x=
Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của:

( )

2
6A x x=
biết
0 3x

V. Phơng pháp dùng tam thức bậc hai
1. Đổi biến để đa về tam thức bậc hai đối với biến mới
www.VIETMATHS.com
VD:
Tìm GTLN của:
A = x +
2 x
Giải:
Điều kiện: x

2
Đặt
2 x
= y

0
Ta có y
2
= 2 x
A = 2 - y
2
+ y = - (y-
1
2
)

2
+
9 9
4 4

MaxA =
9 1 1 7
2
4 2 4 4
y x x = = =
2. Đổi biến để đa về bất phơng trình bậc hai đối với biến mới
VD:
Tìm GTLN, GTNN của
A = x
2
+ y
2

Biết rằng x
2
(x
2
+ 2y
2
3) + (y
2
2)
2
= 1 (1)
Giải:

Từ (1) suy ra
(x
2
+ y
2
)
2
4 (x
2
+ y
2
) + 3 = - x
2

0
Do đó A
2
4A + 3

0

(A 1)(A 3)

0


1

A

3
Min A = 1

x = 0, khi đó y =

1
MaxA = 3

x = 0, khi đó y =

3
3. Đa về phơng trình bậc hai và sử dụng điều kiện

0
VD1:
Tìm GTLN, GTNN của:
A =
2
2
1
1
x x
x x
+
+ +
Giải:
Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phơng trình sau đây có nghiệm
a =
2
2

1
1
x x
x x
+
+ +
(1)
Do x
2
+ x + 1

0 nên
(1)

ax
2
+ ax + a = x
2
x 1


(a 1)x
2
+ (a + 1)x + (a 1) = 0 (2)
Trờng hợp 1:
Nếu a = 1 thì (2) có nghiệm x = 0
Trờng hợp 2:
Nếu a

1 thì điều kiện cần và đủ để (2) có nghiệm là

0, tức là:


(a +1)
2
4(a 1)
2


0


(a + 1 + 2a 2) (a + 1 2a +2)

0
www.VIETMATHS.com


(3a 1) (a 3)

0



1
3
3
a
(a

1)
Với a =
1
3
hoặc a = 3 thì nghiệm của (2) là :
( 1) 1
2( 1) 2(1 )
a a
x
a a
+ +
= =

Với a =
1
3
thì x = 1
Với a = 3 thì x = -1
Gộp cả hai trờng hợp (1) và (2), ta có:
MinA =
1
3
khi và chỉ khi x = 1
MaxA = 3 khi và chỉ khi x = -1
Nhận xét:
a) Phơng pháp giải nh trên còn gọi là phơng pháp miền giá trị của hàm số.
Đoạn
1
;3

3



là tập giá trị của hàm số A =
2
2
1
1
x x
x x
+
+ +
b) Cách khác tìm GTLN của A:
A =
2 2 2
2 2
3 3 3 2 4 2 2( 1)
3 3
1 1
x x x x x
x x x x
+ +
=
+ + + +
MaxA = 3 khi và chỉ khi x = -1
c) Cách khác tìm GTNN của A:
A =
2 2 2 2
2 2 2 2

3 3 3 1 2( 2 1) 1 2( 1) 1
3 3 3 3( 1) 3( 1) 3 1 3
x x x x x x x
x x x x x x x x
+ + + +
= + = +
+ + + + + + + +
MinA =
1
3
khi và chỉ khi x = 1
VD2:
Tìm GTLN và GTNN của:
A =
2
2
2 4 5
1
x x
x
+ +
+
Giải:
Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phơg trình sau đây có nghiệm
a =
2
2
2 4 5
1
x x

x
+ +
+
(1)
Do x
2
+ 1 > 0 nên
(1)

x
2
(a 2) 4x + a 5 = 0 (2)
Trờng hợp 1:
Nếu a = 2 thì (2) có nghiệm x = -
3
4
Trờng hợp 2:
www.VIETMATHS.com
Nếu a

2 thì phơng trình (2) có nghiệm



'

= 4 (a 2)(a 5)

0

( )
2
7 6 0 1 6 2a a a a +
Với a = 1 thì x = -2
Với a = 6 thì x =
1
2
Kết hợp cả hai trờng hợp (1) và (2), ta có:
MinA = 1 khi và chỉ khi x = -2
MaxA = 6 khi và chỉ khi x =
1
2
VD3:
Tìm GTLN và GTNN của:
B = 2x
2
+ 4xy + 5y
2
biết rằng x
2
+ y
2
= a ( a là hằng số, a

1)
Giải:
Vì a

1 nên ta có:

B
a
=
2 2 2 2
2 2
2 4 5 2 4 5x xy y x xy y
a x y
+ + + +
=
+
Trờng hợp 1:
Nếu y = 0 thì
B
a
= 2
Trờng hợp 2:
Nếu y

0 ta đặt t =
x
y
thì
B
a
=
2
2
2 4 5

1
t t
t
+ +
+
Theo VD2 điều kiện để phơng trình ẩn t trên có nghiệm là
1 6
b
a

nên
6a b a

( vì a

1)
Từ đó suy ra
MaxB = 6a khi và chỉ khi
1
2
2
x
y x
y
= =
Hay khi và chỉ khi (x, y) nhận giá trị
5 2 5 5 2 5
, ; ,
5 5 5 5
a a a a

ữ ữ
ữ ữ

MinB = a khi và chỉ khi
2
2
2 4
x mx n
x x
+ +
+ +
2 2
x
x y
y
= =
Hay khi và chỉ khi (x, y) nhận giá trị
2 5 5 2 5 5
, ; ,
5 5 5 5
a a a a


ữ ữ
ữ ữ

VD4:
Tìm GTLN và GTNN của:

c =
3 7
2 1
2 2
x x+ +
Giải:
www.VIETMATHS.com
Điều kiện:
0 1x
Đặt z =
x
thì z
2
+ y
2
= 1 (1)
Ta cần tìm GTLN và GTNN của d = 4z + 3y với 2c = d + 7
Điều kiện:
0 1,0 1,0 7z y d
Thay 9y
2
= (d 4z)
2
vào (1), ta đợc:
25z
2
8dz + d
2
9 = 0
Để phơng trình này có nghiệm z thì

0

d
2

25

d

5
Maxd = 5

Maxc = 6 và đạt đợc khi
z =
4
25
d
=
2
4 16
5 25
x z = =
(thoả mãn
0 1x
)
d =
4 3 2 12z y yz+
Đẳng thức xảy ra khi 4z = 3y. Thay vào (1) ta tính đợc z =
3 1 9

, ,
20 5 400
y x= =
(thoả mãn
0 1x
)
Lúc đó Mind =
9 6
2
25 5
=
Minc =
41
4,1
10
=
VD5:
Cho biểu thức A =
2
2
2 4
x mx n
x x
+ +
+ +
Tìm các giá trị của m, n để biểu thức A có GTNN bằng
1
3
, GTLN bằng 3
Giải:

Gọi a là giá trị tuỳ ý của biểu thức A. Ta có:
a =
2
2
2 4
x mx n
x x
+ +
+ +


x
2
+ mx + n = ax
2
+ 2ax + 4a


(a 1)x
2
+ (2a m) + (4a n) = 0 (1)
Theo điều kiện của bài toán, giá trị a = 1 không là GTLN, không là GTNN
của A nên ta chỉ xét a

1.
Điều kiện để (1) có nghiệm là:

( ) ( ) ( )
2
( , ) 0 , 0 2 0 2 0f x y g x y y x y x= = + = =

( )
( )
2 2
12 4 4 4 0a m n a n m = + +
(2)
Nghiệm của bất phơng trình (2) là a
1

a

a
2
Trong đó a
1
, a
2
là các nghiệm của phơng trình:
( )
( )
2 2
12 4 4 4 0a m n a n m+ + =
(3)
Theo đề bài, ta phải có
1 2
1
, 3
3
a a= =

Theo hệ thức Vi- et đối với phơng trình (3) :
www.VIETMATHS.com
( )
1 2
2 2
2
1 2
1 4
4 4
3
4 10
3 3
12
1 4 4 12
4
.3
3 12
12
n m
m n
a a
n m
n m n m
n m
a a

+


+ =

+ =


+ =




=



=
=



Thay n = 6 + m vào 4n m
2
= 12 ta đợc:
4n m
2
12 = 0 nên m = 6 hoặc m = -2
Với m = 6 thì n = 12, khi đó
2
2
6 12
2 4
x x
A

x x
+ +
=
+ +
có GTNN là
1
3
và GTLN là 3
Với m = -2 thì n = 4, khi đó
2
2
6 12
2 4
x x
A
x x
+ +
=
+ +
có GTNN là
1
3
và GTLN là 3
Bài tập đề nghị:
Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của:
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 4M x x x x=
Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của:
2
1

x
A
x
=
+
Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của:
2
2
2 4 5
1
x x
B
x
+ +
=
+
Bài 4. Tìm GTLN, GTNN của:
2
2
2 2 2
2 2 2
x x
C
x x
+
=
+ +
Bài 5. Tìm GTLN, GTNN của:
2
2

2 2 2
1
x x
D
x
+ +
=
+
Bài 6. Tìm GTNN của:
2
5 3
1
x
E
x

=

Bài 7. Tìm GTNN của:
2
1
F x x
x
= + +
với x > 0
VI. Phơng pháp tham biến để tìm cực trị của một biểu thức
Giả sử cần tìm cực trị một biểu thức Q(x). Để đơn giản ta chỉ cần xét biểu
thức Q(x) luôn xác định trên tập số thực. Ta đa thêm tham biến t để xét biểu
thức
( ) ( )

f x Q x t=
. Nếu
( )
0f x
hoặc
( )
0f x
với mọi x thuộc tập xác
www.VIETMATHS.com
định của Q(x) và tồn tại giá trị t
0
để
( )
0f x =
thì t
0
chính là GTLN hoặc
GTNN của biểu thức Q(x)
VD1:
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
Q =
2
2
8 7
1
x x
x
+ +
+
Giải:

Xét f(x) = Q(x) - t
( )
2 2
2
8 7 1
1
x x t x
x
+ + +
=
+
Vì
2
1x +
0
với mọi số thực x nên dấu của f(x) chính là dấu của tử thức g(x)
=
( )
2 2
8 7 1x x t x+ + +
hay g(x) =
( )
2
1 8 7t x x t + +
(1)
Xét tam thức g(x) =
2
ax bx c+ +
=
( )

2
2 4
b
a x
a a

+ +
với
2
4b ac =
(*)
Nếu a = 0 thì g(x) = bx + c luôn cùng dấu khi b = 0 (g(x) = c) và khi
c = 0 (g(x) = 0)
Nếu a > 0 thì
( ) 0g x
với mọi x khi
0

và g(x) = 0 khi và chỉ khi
0
=
Nếu a < 0 thì
( )
0g x
với mọi x khi
0
và g(x) = 0 khi và chỉ khi
0 =
áp dụng vào (1) ta có:
( ) ( )

2
16 1 7 8 9t t t t = = + +
0
=
khi t = -1 hoặc t = 9
Với t = -1 thì a = 1 t = 2 > 0 nên g(x)

0
( ) 0f x
Suy ra f(x) = 0
( )
2
( ) 0 2 2 0 2g x x x = + = =
Với t = 9 thì a = 1 t = -8 < 0 nên
( ) 0 ( ) 0g x f x
Suy ra Q(x) có GTLN là 9 và xảy ra khi f(x) = 0
( )
2
1
( ) 0 2 2 1 0
2
g x x x = = =
Nh vậy phơng pháp tham biến cho phép ta chuyển việc xét cực trị một
biểu thức Q(x), tức là xét một bất phơng trình Q(x)

t hoặc Q(x)

t về việc
xét một phơng trình
( )

0t =
, nên có thể nói phơng pháp tham biến là chiếc
cầu nối giữa bất phơng trình và phơng trình.
Ta có thể mở rộng việc xét cực trị của biểu thúc một biến Q(x) sang biểu
thức hai biến Q(x,y) bằng phơng pháp tham biến, lúc đó f(x,y) = Q(x,y) t
Và xét tử thức của f(x,y) theo một biến nào đó sao cho tử thức luôn cùng dấu
và tồn tại giá trị bằng 0
VD2:
www.VIETMATHS.com
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
Q =
2
2 2
3 4y xy
x y

+
Với ( x,y ) khác ( 0, 0 )
Giải:
Vì x
2
+ y
2
luôn luôn dơng trừ giá trị x = y = 0 nên dấu của f( x,y) chính là dấu
của tử thức g(x,y) =
( )
2 2 2
3 4y xy t x y +
Hay g(x,y) =
2 2

(3 ) 4t y xy tx
(1)
Nếu t = 3 thì g(x,y) =
2
3 4x yx
Vì
2
4 0y =
nên g(x,y) = 0 khi và chỉ khi y = 0, (x = 0 đã bị loại trừ)
Xét (1) theo biến y ta có:
( )
( )
2 2 2 2
4 3 4 3
y
x t t x t t x = + = +
0
y
=
với mọi x khi t = -1 hoặc t = 4
Với t = -1 thì a = 3 t = 4 > 0 nên
( ) 0 ( , ) 0g x f x y
Suy ra Q(x,y) có GTNN là -1 và xảy ra khi
( ) ( )
2
( , ) 0 , 0 2 0 2 ( 0)f x y g x y y x x y= = = =
Với t = 4 thì a = 3 t = -1 < 0 nên
( )
( , ) 0 , 0g x y f x y
Suy ra

( ) ( ) ( )
2
( , ) 0 , 0 2 0 2 0f x y g x y y x y x= = + = =
u thế của phơng pháp tham biến càng đợc thể hiện qua ví dụ sau:
VD3:
Tìm u, v để biểu thức Q =
2
1
ux v
x
+
+
đạt GTLN bằng 4 và GTNN bằng -1
Giải:
Đặt f(x) = Q(x) t =
( )
2
2
1
1
ux v t x
x
+ +
+
Vì x
2
+ 1 > 0 với mọi x nên dấu của f(x) chính là dấu của tử thức g(x) =
( ) ( )
2 2
2 1 2 5Q x y x ay= + + + +

( )
2
1ux v t x+ +
hay g(x) =
2
tx ux v t + +
Để GTLN của Q(x) là 4 và GTNN của Q(x) là -1 xảy ra đồng thời thì dựa
vào (*) ta phải có:
1
2
1
0
=


=

Hay
( )
( )
2
2
2
16 4 0
3
16
4 1 0
u v
v
u

u v

+ =
=




=
+ =



nghĩa là (u,v) = (4,3) hoặc (4,-3)
Bài tập đề nghị:
Bài 1.Tìm GTLN, GTNN của biểu thức Q sau đây:
1)
2
2
4 2 3
1
x x
Q
x
+ +
=
+
www.VIETMATHS.com
2)
4

2 2
1
(1 )
x
Q
x
+
=
+
3)
2 2
2 2
x xy y
Q
x xy y
+
=
+ +
4)
2 2
2 1
7
x y
Q
x y
+ +
=
+ +
5)
2

2 1
4
x
Q
x x

=
+ +
6)
2
2 3
1
x
Q
x x
+
=
+ +
7)
( ) ( )
2 2
2 1 2 5Q x y x ay= + + + +
Bài 2.Tìm m để biểu thức Q =
2
1
x m
x x
+
+ +
chỉ nhận giá trị thuộc

[ ]
1;1
VII.phơng pháp giải toán cực trị của biểu thức chứa dấu căn
Các bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa dấu căn thờng gặp
trong các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 và các kỳ thi học sinh giỏi. Với cơ sở
lý thuyết đã đợc cung cấp ở chơng I, tác giả xin đa ra một số ví dụ minh
hoạ
VD1:
Tìm GTNN của biểu thức sau với x
R
1)
( ) ( )
2 2
1996 1997D x x=
2)
1
1
F
x x
=
+ +
Giải:
1)
1996 1997D x x= +
Cách 1: Xét các khoảng giá trị của x
Với x < 1996 thì D = 1996 - x + 1997 x = 3993 2x > 1
Với
1996 1997x
thì D = 1
Với x > 1997 thì D = 2x 3993 > 1

Do đó minD = 1 xảy ra khi
1996 1997x
Cách 2: áp dụng bất đẳng thức
a
+
b



a b+
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab

0
1996 1997D x x= +
1996 1997 1x x + =
MinD = 1 xảy ra khi
( ) ( )
1996 1997 0 1996 1997x x x
2)
1
1
F
x x
=
+ +
www.VIETMATHS.com
§iÒu kiÖn :
0x ≥
C¸ch 1:
V× F < 0 nªn x¶y ra

0
min
x
F
≥
( ) ( )
2 2
( ) 0 ( )x a y a xy a x y a xy as a a s a− − ≤ ⇔ ≤ + − ⇔ ≤ − = −

V×
0x
≥
nªn
{ }
0
min
x
x
≥
= 0
VËy minF = -1 x¶y ra khi x = 0
C¸ch 2:
1
1
1 1x
≤
+ +
v×
0x ≥
Do ®ã

1
1
1 1x
− ≥ −
+ +
VËy minF = -1 x¶y ra khi x = 0
VD2:
T×m GTLN cña biÓu thøc
1 2 3yz x xz y xy z
K
xyz
− + − + −
=
Gi¶i:
1 2 3x y z
K
x y z
− − −
= + +
víi ®iÒu kiÖn
1, 2, 3x y z≥ ≥ ≥
¸p dông bÊt d¼ng thøc C«-si ta cã:
( )
1 1
1 1 1
2 2
x x
x x
+ −
− = − ≤ =

( )
( )
1 1 2 2
2 2 2 .
2
2 2 2 2
1 1 3 3
3 3 3 .
2
3 3 2 3
y y
y y
y z
z z
+ −
− = − ≤ =
+ −
− = − ≤ =
Do ®ã
2
2 2 2 3
x y z
K
x
y z
≤ + +
1 1 1 1 1 1
1
2 2
2 2 2 3 2 3

 
= + + = + +
 ÷
 
VËy maxK =
1 1 1
1
2
2 3
 
+ +
 ÷
 
X¶y ra khi x = 2, y = 4, z = 6
VD3:
T×m GTNN cña biÓu thøc sau
2
5 3
1
x
H
x
−
=
−
Gi¶i:
www.VIETMATHS.com
2
5 3
1

x
H
x

=

xác định khi -1 < x < 1
0H
>
Ta có
( )
2
2
2 22
2
2 2 2
2
3 5
9 30 25 16 165 3 25 30 9
16 16
1 1 1
1
x
x x xx x x
H
x x x
x


+ + +

ữ
= = = = +
ữ



Vậy minH = 4 khi x =
3
5
VD4:
Tìm GTNN của biểu thức sau
K =
( ) ( )
2 1 1 2 1 1x x x x+ + + + + +
Giải:
Điều kiện :
1x

K =
( ) ( )
2 1 1 2 1 1x x x x+ + + + + +
K =
( ) ( )
2 2
1 1 1 1x x+ + + +
=
1 1 1 1x x+ + + +

1 1 1 1 2x x + + + + =

minK = 2
( ) ( )
1 1 1 1 0x x + + +
Vì
1 1 0x + + >
nên
1 1 0 0x x +
Vậy minK = 2 xảy ra khi
1 0x

Bài tập đề nghị:
Bài 1. Tìm GTLN của biểu thức:
A =
2
6 13x x +
Bài 2. Tìm GTLN của biểu thức:
B =
( )
2 37
2 1
x x
x
+ +
+
Bài 3. Tìm GTNN của biểu thức:
C =
2
3
3 2
2

x
x x +
2
3
3 2
2
x
x x +
Bài 4. Tìm GTLN của biểu thức:
1 2 2
4
2 2
x
D
x
x x
= + +

+
www.VIETMATHS.com
VIII.phơng pháp giải toán cực trị đại số với các biến có
điều kiện
Chúng ta đã quen biết bài toán tìm cực trị của hai biến có một điều kiện
ràng buộc, chẳng hạn nh bài toán sau:
VD1:
Tìm GTLN của tích xy với x, y là các số dơng thoả mãn điều kiện x + y =
s, trong đó s là số dơng cho trớc
Giải:
Cách 1: áp dung trực tiếp bất đẳng thức Cô-si
2 2

2
2 2 4
x y s s
xy
+

= =
ữ ữ

Vậy GTLN (xy) =
2
4
s
khi và chỉ khi
2
s
x y= =
Cách 2:
Đa về xét cực trị của hàm một biến
( )
2
2 2 2 2
2 2
4 4 4 2 4
s s s s s
xy x s x sx x x sx x


= = = + =
ữ

ữ


Vậy GTLN (xy) =
2
4
s
khi và chỉ khi
2
s
x y= =
Cách 3:
Sắp thứ tự giá trị các biến (theo điều kiện hoặc khi vai trò của chúng nh
nhau) và so sánh với giá trị không đổi xen giữa chúng.
Giả sử
x y
. Từ x + y = s ta có:
2
s
x y
nên
2
0 0
2 2 2 2 4
s s s s s
x y xy x y xy

+
ữ ữ ữ

Vậy GTLN (xy) =
2
4
s
khi và chỉ khi
2
s
x y= =
Việc giải bài toán trên sẽ khó khăn hơn khi các biến bị ràng buộc thêm một
điều kiện nữa
VD2:
Tìm GTLN của tích xy với x, y là các số dơng thoả mãn hai điều kiện
(1) x + y = s
(2) y

a
trong đó s, a là những số dơng cho trớc và a < s
Giải:
Nếu
4
s
a
thì theo cách giải ở VD1 ta có GTLN (xy) =
2
4
s
khi và chỉ khi
2
s
x y= =

a
www.VIETMATHS.com
Xét trờng hợp a >
2
s
Theo cách 2 ở VD1, đặt y = a + t với t

0
Từ đó
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2xy s y y s a t a t t t a s a s a a s a= = + = + +

(vì
0, 2 0t t a s +
)
Đẳng thức xảy ra khi t = 0, y = a và GTLN (xy) = a (s a)
Theo cách 3 ta thấy
2
s
x a y< <
nên
( ) ( )
2 2
( ) 0 ( )x a y a xy a x y a xy as a a s a + =
Đẳng thức xảy ra khi y = a và x = s a
Vậy GTLN (xy) = a (s a)
VD3:
Tìm GTLN của tích xyz với x, y, z là các số dơng thoả mãn hai điều kiện
(1) x + y +z = s

(2) z

a
trong đó s, a là những số dơng cho trớc và a < s
Giải:
Nếu
3
s
a
thì áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
3 3
3 3
x y z s
xyz
+ +

=
ữ ữ

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
3
s
x y z= = =
Lúc đó, GTLN(xyz) =
3
3
s

ữ

Xét trờng hợp
2
2
s a
a


ữ

3
s
a >
Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có:
2
2
x y
xy
+


ữ

(*)
Ta có:
3 2
2
x y
x y a x y z s a x y a a
+
+ + + + = < + < <

áp dụng cách giải 3, từ
2
x y
a z
+
<
ta có
( )
0
2
x y
a z a
+


ữ

2 2
x y x y
z a z a
+ +

+
ữ ữ

(**)
Từ (*),(**) và áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
www.VIETMATHS.com
2
2

2 2
2 2 2 2 2 2
x y x y
z a
x y x y x y x y s a
xyz z a z a a

+ +

+ +
ữ ữ
ữ
+ + + +


ữ
+ =
ữ ữ ữ ữ ữ
ữ

ữ

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi z = a và
2
s
x y= =
Lúc đó, GTLN(xyz) =
2
2
s a

a


ữ

VD4:
Tìm GTLN của tích xyz với x, y, z là các số dơng thoả mãn các điều kiện
(1) x + y +z = s
(2) z

a
(3) y

b với b là số dơng cho trớc,
x b y<
b a s <
trong đó s, a là những số dơng cho trớc và a < s
Giải:
Nếu
2
s a
b


thì giải nh VD3
Xét trờng hợp
2
2
s a
b s a b

> < +

Lúc đó:
x= s (y + z) < s (a + b) < a + 2b (a + b) = b
áp dụng cách giải 3 với
x b y<
ta có

( ) ( ) ( )
0x b y b xy b x y b +
(***)
Lại có
( ) ( )
2x y b s z b s a b a b a b b a+ = < < + + =
Từ
x y b a z+ <
ta có
( ) ( )
( ) 0 ( ) ( )x y b a z a x y b z a x y b z a a s a b+ + + + =
Từ đó và (***) ta suy ra
( )
( )xyz b x y b z ba s a b +
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi z = a, y = b, x = s a b
Lúc đó: GTLN(xyz) = ab(s a b)
Nh vậy, từ một bài toán cực trị đại số với các biến có một điều kiện ta đã đề
xuất và giải các bài toán cực trị đại số với các biến bị ràng buộc bởi nhiều
điều kiện hơn
Bài tập đề nghị:
Bài 1. Tìm GTLN của xy + yz + xz với x, y, z là các số dơng thoả mãn các

điều kiện
(1) x + y +z = s
(2) z

a
www.VIETMATHS.com
(3) y

b với b là số dơng cho trớc,
x b y<
b a s
<
trong đó s, a là những số dơng cho trớc và a < s
Bài 2. Tìm GTLN của tích xyzt với x, y, z, t là các số dơng thoả mãn các
điều kiện :
(1) x + y +z + t = s
(2) t

a
(3) z

b
(4) y

c
trong đó s, a, b, c là những số dơng cho trớc và c < b < a < s
Bài 3. Tìm GTNN của biểu thức x + y thoả mãn điều kiện

2 10x y+ =
Bài 4. Tìm GTNN của biểu thức A =

2 2 2
x y z+ +
thoả mãn điều kiện x + y + z = 3
chơng III. Một số sai lầm khi giải toán cực trị
Một trong những phơng pháp giải toán cực trị hiệu quả là dùng các bất đẳng
thức quen thuộc. Nhng cũng chính phơng pháp này lại dễ gây ra những sai
lầm nếu không nắm vững bản chất của nó.
Bài toán 1. Biết rằng x + y + z = 1 và x, y, z dơng
Tìm GTLN của
S =
( ) ( ) ( )
xyz x y y z z x+ + +
Có bạn đã giải nh sau:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
z x y z x y
x y z x y z
y z x y z x
+ + +
+ + +
+ + +
(1)
Nhân từng vế của (1) ta có:
( ) ( ) ( )
1 8 xyz x y y z z x + + +
(2)

Từ đó S
1 1
64 64
ma x
S =
Nhận xét: Cách giải trên cho đáp số sai vì điều kiện xảy ra dấu bằng của các
bất đẳng thức đã dùng không đạt đợc đồng thời. Cụ thể:
1
64
S =
đạt đợc khi và chỉ khi
0
1
1 , , 0
, , 0
z x y
y x z x y z
x z y x y z
x y z x y z
x y z
= +


= + = = =



= + + + =

+ + = >


>