Báo cáo nghiên cứu khoa học đề tài " MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TẠO ẢNH FRACTA " pdf

31

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TẠO ẢNH FRACTAL
Phạm Anh Phương, Trần Thanh Lương
Trường Đại học Khoa học, Đại học Huế

1. GIỚI THIỆU
Hình học Fractal được chính thức biết đến vào năm 1975 qua bài báo nổi
tiếng “Lý thuyết về các tập Fractal”, tiếp đó là cuốn chuyên khảo “Hình học
Fractal của tự nhiên” của nhà toán học người Pháp Benoit B. Mandelbrot làm
việc tại trung tâm nghiên cứu Thomas B. Waston của công ty IBM. Tuy chỉ mới
ra đời nhưng hình học Fractal được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực: tạo ảnh,
nén ảnh Ngoài ra nó còn được ứng dụng trong các ngành khoa học khác như: y
học, sinh học, hoá học, vật lý, dự báo thời tiết, thiên văn học, kinh tế, Trong bài
báo này chúng tôi sẽ trình bày một số nội dung chính như sau: Cơ sở toán học
cho việc tạo ảnh Fractal; giới thiệu 4 thuật toán tạo ảnh Fractal: thuật toán thời
gian thoát, thuật toán tất định, thuật toán lặp ngẫu nhiên và thuật toán L-System;
cuối cùng là một số kết quả được cài đặt và hướng nghiên cứu tiếp theo trong
tương lai.
2. CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA HÌNH HỌC FRACTAL

32

Định nghĩa 1. Ánh xạ f : X  X trên không gian mêtric (X,d) được gọi là
ánh xạ co nếu tồn tại hằng số s, 0  s < 1 sao cho với mọi x, y  X thì:
d(f(x),f(y))  s.d(x,y)
lúc đó s được gọi là hệ số co của f (hay độ co của f).
Định lý 1. [1] (Nguyên lý ánh xạ co hay nguyên lý điểm bất động)
Cho f : X  X là ánh xạ co trên không gian mêtric đầy đủ (X,d), khi đó tồn
tại duy nhất điểm x

f
 X (gọi là điểm bất động) sao cho:
Xx),(xflim)f(xx
00
on
n
ff


.
Định lý 2. [1] (Định lý cắt dán - Collage).
Giả sử f là ánh xạ co trên không gian mêtric đầy đủ (X,d) với hệ số co s và
x
f
là điểm bất động của f, lúc đó ta có:
Xxf(x)),d(x,
s
1
1
)xd(x,
f


 .
Định nghĩa 2. Cho w
n
: X  X, n = 1, 2, , N là các ánh xạ co trên không
gian mêtric đầy đủ (X,d) với các hệ số co tương ứng s
n
, n = 1, 2, , N. Một IFS

trên (X,d) là tập các ánh xạ co w
n
, n = 1, 2, , N và ký hiệu:

33

IFS = {X; w
1
, w
2
, , w
N
}.
Khi đó ánh xạ W: H(X)  H(X) được định nghĩa bởi:
(A)wW(A)
n
N
1n
 
được gọi là toán tử Hutchinson.
Định lý 3. [1] Cho w
n
: X  X, n = 1, 2, , N là các ánh xạ co với hệ số co
tương ứng s
n
, n = 1, 2, , N. Khi đó toán tử Hutchinson W : H(X)  H(X) là ánh
xạ co với hệ số co }{smaxs
n
Nn1 
 , ánh xạ này có điểm bất động duy nhất A

= (A)wW(A)
n
N
1n
  . A được gọi là điểm hút (attractor) của IFS.
Định nghĩa 3. Cho không gian compact (X,d), w
n
, n = 1, 2, , N là các các
ánh xạ co trên (X,d) với hệ số co tương ứng s
n
, n = 1, 2, , N. p
n
, 0 < p
n
< 1,
1p
N
1n
n



, là xác suất gắn với w
n
, n = 1, 2, N. Một FIFS trên (X,d) là tập các
ánh xạ co w
n
, n = 1, 2, , N liên kết với các xác suất p
n
, n = 1, 2, , N và ký

hiệu:
FIFS = {X; w
1
, w
2
, , w
N
; p
1
, p
2
, , p
N
}.
Định nghĩa 4. Cho (X,d) là không gian mêtric đầy đủ. Các tập D
n
 X thoả
mãn XD
n
N
0n


 , D
i
 D
j
= , với i  j, n = 1, 2, ,N, i, j = 1, 2, , N. Tập các

34

{D
n
: n = 1, 2, ,N} được gọi là một phân hoạch của X. Một PIFS là tập các ánh
xạ co w
n
: D
n
 X, n = 1, 2, , N với hệ số co tương ứng là s
n
, n = 1, 2, ,N và
ký hiệu:
PIFS = {X; D
1
, D
2
, , D
N
; w
1
, w
2
, , w
n
}
3. CÁC THUẬT TOÁN TẠO ẢNH FRACTAL
3.1 Thuật toán thời gian thoát (Escape Time Algorithm)
Giả sử hệ động lực {R
2
, f}, f : R

2
 R
2
liên kết với hệ hàm lặp IFS {X;
w
1
,w
2
, ,w
N
} có điểm hút là A (A được xem như một tập Fractal).
Tập U  R
2
là hình chữ nhật đóng chứa A. (a,b), (c,d) tương ứng là các
đỉnh dưới-trái và đỉnh trên-phải của hình chữ nhật U.
Gọi M là số điểm chia trong hình chữ nhật, số dương r được gọi là bán kính
thoát của hình cầu có tâm là gốc toạ độ.
V = {(x,y)  R
2
, x
2
+ y
2
> r
2
}, U  V, A  U.
Ta khảo sát quỹ đạo

0nji,
on

)}(x{f , trong đó:

35

2,1,0,ji,,
M
b)j(d
b,
M
a)i(c
ax
ji,











Tập điểm A
i,j
= {f
o1
(x
i,j
), f

o2
(x
i,j
), f
o3
(x
i,j
), ,
f
oN
(x
i,j
)} thuộc quỹ đạo của điểm x
i,j
 U, i, j = 0, 1,
2, , M.
Tổng số điểm trên quỹ đạo của x
i,j
được quy định tối đa là N (đây cũng
chính là số lần lặp quy định).
Nếu A
i,j
 V =  khi n = N thì ta chuyển sang tính toán điểm i,j kế tiếp.
Nếu A
i,j
 V   thì tại vị trí (i,j) được tô màu với chỉ số p
i,j
= min{n :
f
on

(x
i,j
)  V}
Sau đó chuyển sang tính toán điểm (i,j) tiếp theo.
Thuật toán thời gian thoát tìm các Fractal dựa trên sự rời rạc hoá điểm hút.
Trong miền này ta chỉ vẽ những điểm có quỹ đạo không dần ra vô cùng bằng
cách chọn một miền rộng hơn chứa miền ảnh Fractal. Thuật toán này có thể được
áp dụng cho các hệ động lực dạng {R
2
;f}, {C;f} và {
C
ˆ
;f}. (Các kết quả xem
thêm trong [1], [5], [7], [10]).
Ví dụ: tập Mandelbrot bao gồm những số phức c sao cho z
2
+ c hữu hạn với
mọi lần lặp.
Hình 1: Tập MandelBrot


36

3.2. Thuật toán tất định (Deterministic Algorithm)
Giả sử trong không gian Hausdorff (H(X),d) ta có hệ hàm lặp IFS = {X; w
1
,
w
2
, , w

N
}.
Chọn tập compact A
0
bất kỳ con của X, sau đó tính các tập A
n
= W
on
(A)
theo công thức lặp sau:
3, 2, 1,n ),(AwA
nj
N
1j
1n




Bằng cách này chúng ta sẽ thu được một dãy các tập {A
n
, n = 0, 1, 2, } 
H(X). Lúc đó dãy

0nn
}{A sẽ hội tụ về một điểm hút A (tập Fractal) của IFS trong
không gian Hausdorff: )(AWlimA
0
on
n 

 là ảnh Fractal cần tìm do hệ hàm lặp
IFS sinh ra.
Gọi MxN là kích thước hình chữ nhật khởi tạo ban đầu (tập A
0
).
Khởi gán các giá trị của mảng t[i,j] chứa ảnh là biên của một hình chữ nhật
MxN mà ảnh Fractal của nó sẽ nằm trong hình chữ nhật này. Mảng s[i,j] làm
nhiệm vụ lưu trữ tạm thời các kết quả trung gian, sau đó nó sẽ chuyển các kết quả
này cho mảng t[i,j].
Gán các giá trị dữ liệu của hệ hàm lặp tương ứng vào các tham số a, b, c, d,
e, f,

37

Thực hiện lặp với các ánh xạ co của IFS. Sau mỗi lần lặp ta thu được một
tập A
i
mới, quá trình này tiếp tục cho đến khi thu được một hình Fractal đủ mịn
đáp ứng được yêu cầu bài toán.
Các ánh xạ IFS có thể được viết một cách đơn giản như sau:
ii
i
i
2
1
ii
ii
2
1
i

txA
f
e
x
x
dc
ba
x
x
w 




































trong đó:









ii
ii
i
dc
ba

A
và









i
i
i
f
e
t

Ví dụ: Lá dương xỉ được sinh bởi 4 ánh xạ co.
Bảng 1: Bốn ánh xạ co sinh ra lá dương xỉ
w a b c d e F p
1 0 0 0 0.16 0 0 0.01
2 0.2 -0.26 0.23 0.22 0 1.6 0.07
3 -0.15 0.28 0.26 0.24 0 0.44 0.07

38

4 0.85 0.04 -0.04 0.85 0 1.6 0.85

Các ánh xạ IFS là rất phong phú, các kết quả có thể xem trong [1], [5].

3.3. Thuật toán lặp ngẫu nhiên (Random Iterated Algorithm)
Giả sử trong không gian Hausdorff (H(X),d) ta có hệ hàm lặp có gắn xác
suất FIFS = {X; w
1
, w
2
, , w
N
; p
1
, p
2
, ,p
N
}, x
0
 X và lấy x
n
một cách độc lập:
x
n
 {w
1
(x
n-1
), w
2
(x
n-1
), , w

N
(x
n-1
)}, n = 1, 2, 3,
trong đó xác suất của biến cố x
n
= w
i
(x
n-1
) là p
i
. Ta thu được một dãy

0nn
}{x  X và dãy này hội tụ đến điểm bất động của FIFS.

H
ì
nh 2:
L
á
d
ươ
ng x
ỉ


39

Ta thấy rằng với thuật toán tiền định thì không cần phải xét đến các xác
suất p
i
gắn với w
i
, nhưng ở thuật toán lặp ngẫu nhiên này thì ta phải cần đến các
xác suất p
i
đó. Các xác suất này đóng vai trò quan trọng trong việc tính ảnh trong
điểm hút của FIFS. Chúng ta có thể lấy các giá trị p
i
xấp xỉ theo công thức sau:
N , 2, 1,i,
cbda
cbda
detA
detA
p
N
1j
jjjj
iiii
N
1j
j
i
i







.
Nếu tại một giá trị i nào đó mà detA
i
= 0 (suy ra p
i
= 0) thì ta sẽ gán cho p
i

một giá trị dương rất nhỏ, chẳng hạn p
i
= 0.00001.
Gọi MxN là hình chữ nhật mà trong đó nó chứa ảnh Fractal được sinh ra.
Khởi gán các giá trị dữ liệu của hệ hàm lặp FIFS và các mảng tương ứng a,
b, c, d, e, f, p,
Khởi tạo số lần lặp cần thiết để tạo sinh ảnh.
Trong thuật toán này có một điều lưu ý là cách tạo ra xác suất và lấy xác
suất. Có nhiều cách tạo và lấy xác suất, chẳng hạn như dùng hàm random, dùng
xác suất Gauss,
Thực hiện lặp với các ánh xạ co của FIFS theo xác suất được chọn bằng
cách lấy x
n
độc lập qua w
i
(x
n-1
).

40

Sau đây là giải thuật cài đặt thuật toán IFS:
* Input: Tập ánh xạ co và xác suất {w
1
,w
2
, ,w
n
, p
1
, p
2
, ,p
n
},
Số lần lặp: N,
Điểm xuất phát (x
0
,y
0
).
* Output: Ảnh Fractal.
* Method:
Procedure IFS(N);
Begin
Khởi tạo {w
i
, p
i

};
(x,y) := (x
0
,y
0
);
For i:=1 To N Do
Begin
Chọn ánh xạ w
k
tương ứng với xác suất p
k
;
H
ì
nh 3:
Cây Fractal được tạo
ra bằng thuật toán lặp ngẫu
nhi
ê
n


41

(x,y) := w
k
(x,y);
Draw(x,y);
End;

End;
3.4. Thuật toán tạo ảnh bằng L-System
Cho xâu ban đầu: Axiom , tập luật: Rule và góc quay: Angle.
Sau n lần lặp thì ta có xâu kết quả: Result.
Ví dụ:
Axiom: F+F+F+F
Rule: F > F+F-F-FF+F+F-F

42

sau một lần lặp ta có:

Result: F+F-F-FF+F+F-F + F+F-F-FF+F+F-F + F+F-F-FF+F+F-F + F+F-
F-FF+F+F-F .
Từ xâu kết quả Result, ta xây dựng qui tắc vẽ dựa trên tập các ký tự sau:

Ký tự ý nghĩa
F Vẽ một đoạn thẳng
+ Quay trái một góc angle
- Quay phải một góc angle

Axiom

Sau 1 lần lặp

43

| Đổi hướng (quay 180
0
)

[ Đưa trạng thái vẽ hiện thời vào STACK
] Lấy trạng thái vẽ từ STACK ra










44










Hình 4: Một số ảnh được tạo ra bằng phương pháp L-System
4. KẾT LUẬN
Qua bài báo này, chúng tôi đã trình bày cơ sở toán học cũng như giới thiệu
một số thuật toán tạo ảnh Fractal thông qua lý thuyết hệ hàm lặp. Bên cạnh đó
chúng tôi cũng đã cài đặt chương trình tạo ảnh Fractal bằng ngôn ngữ Delphi 5.0

4

5

chạy trên môi trường Windows. Chương trình tạo ra các hình ảnh tự nhiên khá
đẹp (Xem hình 1, 2, 3, 4).
Trong thời gian tới, chúng tôi sẽ chú trọng đến việc cải tiến tốc độ tính toán,
ước lượng các công thức để nâng cao tốc độ của các thuật toán. Đồng thời, chúng
tôi cũng phát triển một chương trình hệ sinh ảnh Fractal trực quan ([3], [5]) phục
vụ cho việc tạo sinh các ảnh Fractal được dễ dàng hơn. Tiếp tục nghiên cứu, tìm
hiểu về lý thuyết cũng như các kỹ thuật tạo ảnh Fractal trong không gian ba
chiều.


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Barnsley M. F., Fractals Everywhere, Academic Press, Inc, 1988.
2. Falconer K. J., Fractal Geometry: Mathematical Foundations and
Applications, John Wiley & Sons, Inc, 1990.
3. Nguyễn Xuân Huy, Nguyễn Xuân Hoài, Xây dựng chương trình thiết kế
ảnh Fractal trực quan, Tạp chí tin học và điều khiển học, T.15, S.3,
1999, Tr 66-72.

46

4. Nguyễn Xuân Liêm, Giải tích hàm, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội
1994.
5. Trần Thanh Lương, Tìm hiểu một số phương pháp sinh ảnh Fractal,
Luận văn Tốt nghiệp Đại học, chuyên ngành Công Nghệ Thông Tin,
Trường Đại học Khoa học Huế, Hà Nội, 2001.
6. Massopust P. R., Fractal Functions, Fractal Surfaces, and Wavelets,
Academic Press, Orlando, 1994.
7. Peitgen H. O., and Richter P. H., The Beauty of Fractals, Springer-

Verlag, Inc, 1986.
8. Peitgen H. O., Jỹrgens H., Saupe D., Maletsky E., Perciante T., Fractals
for Classroom: Strategic Activities Volume Three, Springer-Verlag,
New York, Inc, 1999.
9. Rériaux J., Miettlinen K., Mäkëlä M. M., Taannaki P. N., Evolutionary
Algorithms in Engineering and Computer Science, John Wiley & Sons,
Ltd, 1999, Chaper 15.
10. Ngô Quốc Tạo, Cơ sở hình học Fractal và chương trình thử nghiệm
Fractal, Viện Công Nghệ Thông Tin, Mã số: CS97-12, Hà Nội, 1997.

47

11. Z. Baharav, D. Malah, E. Karnin, Hierachical Interpretation of Fractal
Image Coding and Its Application to Fast Decoding, In Intl, Conf, on
Digital Signal Processing, Cyprus, July 1993.
TÓM TẮT
Hình học Fractal là một môn hình học được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh
vực, đặc biệt là ứng dụng trong việc tạo ảnh trên máy tính. Trong bài báo này,
chúng tôi sẽ giới thiệu một số phương pháp tạo ảnh Fractal. Các kết quả đạt
được cho những hình ảnh khá đẹp.

SOME METHODS CREATE FRATAL IMAGES
Phan Anh Phuong, Tran Thanh Luong
College of Sciences, Hue University
SUMMARY
Fractal geometry is applied in many domains of science, especially in
creating images on computer. In this paper, we introduce some methods that
create Fractal images. The practical results gave us rather beautiful images.

48