chuyên đề nguyên hàm -tích phân

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
TRẦN ĐỨC NGỌC – GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I
I-Nguyên hàm các hàm hữu tỷ

- NGHỆ AN

1/Nguyên hàm các hàm số Đa thức : Dựa vào định nghĩa,tính chất và cơng thức ngun hàm
các hàm số thường gặp để tính
Ví dụ : Tính I =
=
2/Nguyên hàm các hàm số phân thức :Ta tìm cách tính các nguyên hàm dạng
Trong đó h(x) , g(x) là các đa thức biến số x .

I=

*1.Nếu bậc của tử thức cao hơn hay bằng bậc mẫu thức thì chia đa thức ,tách hàm số thành
tổng hai hàm số : một hàm số đa thức và một hàm phân thức có bậc của tử thức nhỏ hơn bậc mẫu
thức ,hoặc tử thức là hằng số.
.Trong đó q(x) , r(x) là các đa thức .Bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x) hoặc r(x)

= q(x) +

là hằng số.
Như vậy ta chỉ cần phải nghiên cứu cách tính các nguyên hàm I =

.Bậc r(x) nhỏ

hơn bậc g(x) hoặc r(x) là hằng số.
.Bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x) hoặc r(x) là hằng số.

*2. Tính các nguyên hàm I =

+ Dạng I: với a
I1 =
+ Dạng II: với a
I2 =
+ Dạng III: với a

.(Đổi biến số - đặt U = ax+b)
=

= ln

.(Đổi biến số - đặt U = ax+b )
=

=

+C

, h(x) là nhị thức bậc nhất hoặc là hằng số
.Tùy vào sự có nghiệm hay vơ nghiệm của g(x) = ax2+bx+c .Ta chỉ

I3 =
cần xét với a = 1 .Vì nếu a
phân.Có I3 =

+C

=

thì ở mẫu thức lấy a làm nhân tử ,đưa hằng số ra ngoài dấu tích

Với b1 = , c1 =

Xét I3 =
a -Nếu x2+bx+c = (x- x1)(x- x2) Thì dùng phương pháp “hệ số bất định” tìm 2 số A , B sao

TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (1)


NGUN HÀM – TÍCH PHÂN
cho :

=

+

Do đó : I3 =

=A

.
+

= Aln(x-x1)+Bln(x-x2) + C

b -Nếu x2+bx+c = (x- x0)2 .(x0 là nghiệm kép của mẫu thức )
Hai trường hợp : * Trường hợp h(x) là hằng số a,ta có : I3 =
(Dạng I2 khi = 2 Dạng đặc biệt,hay gặp ,nên nhớ)
*Trường hợp h(x) = px+ q là nhị thức bậc nhất (Với p
Biến đổi:
I3 =

=
=

=
+ (q -

)

=

=-

+C

0) .
. Do đó ta có:

+

=

+(

- q).

+C

c -Nếu x2+bx+c = 0 vơ nghiệm .
Ta biến đổi:

=

Do đó:

=

+ (q -

=

I=
+ Dạng IV : I4 =

dạng I =

+

)

+ C + (q -

Nguyên hàm : J =

Nguyên hàm I =

=

)

, với u = x +

.

và a =

. Đặt u = atant ,Thì du = a(1 + tan2t)dt và u2+a2 = a2(1 + tan2t) Ta có:
=

=

= +C

.Trong đó h(x) là đa thức có bậc nhỏ hơn 3 hoặc h(x) là hằng số

a-Nếu g(x) = x3+ax2+bx+c có 3 nghiệm phân biệt x3+ax2+bx+c = (x – x1)(x – x2)(x – x3)
Bằng phương pháp hệ số bất định,tìm 3 số A , B , C sao cho :

=

+

+

Do đó :

TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (2)


NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

I4 =

=A

+B

+C

= A.ln

+B.ln

+ C.ln

+D

b-Nếu g(x) = x3+ax2+bx+c = (x- x1)(x- x0)2 với x1 x0 (1 nghiệm kép và 1 nghiệm đơn)
Thì Bằng phương pháp hệ số bất định,tìm 3 số A , B , C sao cho :
Do đó : I4 =

=A

=A

+

=A

+

=

+

+

.dx

+

= A.ln

+ . ln

+ (Bx0-C).

+ D (Đổi dấu rồi,yên tâm)

c-Nếu g(x) = x3+ax2+bx+c = (x- x1)(x2+px + q) trong đó x2+px+q = 0 vơ nghiệm
Thì Bằng phương pháp hệ số bất định,tìm 3 số A , B , C sao cho :

=

+

Do đó : I4 =

=
=A

+

= A.ln(x-x1) +
Trong đó: J =

.

+

+

+

+
.

.ln(x2+px+q) + (C -

).

+D

(Đã nói rõ ở Dạng III: c -Nếu mẫu thức vô nghiệm)

=

Trường hợp tử thức là bậc 2 thì có thể biến đổi
Do đó: I4 =

=

=

=

+

.Với p1= p-

; q1 = q -

Bài tập: Tính nguyên hàm
1. I =
2. I =

; I=
; I=

; I=

; I=
;I=

; I=
;I=

;I=
;I=

;I=

;I=

TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (3)


NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
3. I =

;I=

;I=

;I=

I=

;I=

; I=

;I=

4. a/

I=

Chú ý:
2

b/

I=
1

dx
x

3

x

;

;I=

;I=

; I=

; I=

=(x-1)(x-2)(x-3)

Chú ý:

c/ I =

Chú ý:

= (2x-1)(x2+4x+4)

d/ I =

Chú ý:

= (3x-2)(x2+2x+3)

e/ I =

=

g/ I=

+

+
= (x-2)(x2+4x+4)

Chú ý:

5. a/ I =

Chú ý:

= (2x-1)(x2+4x+4)

b/ I =

Chú ý:

= (2x-1)(x2+4x+4)

c/ I =

Chú ý:

d/ I =

Chú ý :

=(x-1)(x-2)(x-3)
= (x+1)(x2-x+1)

6. I =
Hướng dẫn :

7. I =

Tìm các số A,B,C,D,E để

=

=

+

+
, đặt x = tant )

.dx (

8. I =

9. I =

I=

I=

I=

TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (4)


NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
II.Nguyên hàm các hàm số Lượng giác
1.Nguyên hàm hàm hợp
1/ I =

=

2/ I =

= sin(ax+b) +C

=

=-

3/ I =

=

=

4/ I =

=

cos(ax+b) +C

tan(ax+b) + C

= - cot(ax+b) + C

2. Nguyên hàm của hàm số f(x) = cosmx.sinnx .Hoặc f(x) =

, f(x) =

(Với m,n

N)

-Đổi biến số ,đưa về nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
1/ Nếu số mũ của cosx lẻ (m là số lẻ) thì đặt sinx = t .Ngược lại nếu số mũ của sinx lẻ
(n là số lẻ) thì đặt cosx = t.(Nếu m và n đều là số lẻ thì đặt cosx = t hoặc sinx = t đều được)
Ví dụ 1 : I =

.

- Đặt sinx = t Ta có I =

=

=

-

+C

- Chú ý :Có thể hạ bậc biến đổi tích thành tổng đưa nguyên hàm của f(x) = cosmx.sinnx về
nguyên hàm hàm hợp.Chẳng hạn ví dụ 1 ở trên ta giải cách 2:
I=

= I=

=

=-

Ví dụ 2 :

cos3x - cosx + C
I=

- Đặt sinx = t Ta có I =
Ví dụ 3 : I =

=

=I=

=

=

(Mặc dù đặt sinx = t cũng được nhưng cosx ở mẫu thức ,đặt cosx = t)

-Đặt cosx = t.Ta viết I =
=

=I=
= t2 - ln

=I=
+C

TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (5)


NGUN HÀM – TÍCH PHÂN
Ví dụ 4 : I =

=

= -

+ C (Đã đặt cosx = t)

= - ln

2/Nếu số mũ của cả cosx và sinx đều là số chẵn (m và n đều chẵn)
*Nếu f(x) = cosmx.sinnx Trong đó m và n đều là số tự nhiên chẵn thì hạ bậc biến đổi tổng
thành tích đưa về nguyên hàm hàm hợp.
Ví dụ 5: I =

=I=

.2cos2xdx

=

=

dx =

=

dx

-

=

x+

sin2x -

sin4x -

sin6x -

=

x+

sin2x -

sin4x -

sin6x + C

, đặt tanx = t ;Nếu f(x) =

*Nếu f(x) =
Ví dụ 5 :

sin2x + C

, đặt cotx=t (với m và n đều là sỗ chẵn )

I=

-Ta có : I =

=

=

-

=
= tanx – x + C

-

(Đã đặt tanx = t)

(Vì mẫu thức là sin2 x,chính là mẫu thức của cot2x nên ta đặt cotx = t)

Ví dụ 6 : I =
-Ta có : I =

=I=

.d(cotx) = - . cot3x + C

=-

(Thực chất đã đặt cotx = t nhưng viết tắt cho gọn thơi)
(Vì mẫu thức là cos2x,chính là mẫu thức của tan2x nên ta đặt tanx = t)

Ví dụ 7 : I =
-Ta có : I =
=

=I=
-

=

=

+

= tanx +

sin2x -

x+C

TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (6)


NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
3.Nguyên hàm của hàm số f(x) =

Với h(x) và g(x) là các biểu thức bậc nhất của sinx,cosx

*Nếu thay cosx bởi (-cosx) mà hàm số đổi dấu thì đặt sinx = t
*Nếu thay sinx bởi (-sinx) mà hàm số đổi dấu thì đặt cosx = t
*Nếu thay cosx bởi (-cosx) và sinx bởi (-sinx) mà hàm số khơng đổi thì đặt tanx = t hoặc cotx = t
-Có những bài dùng phương pháp liên kết.
1/ Nếu thay cosx bởi (-cosx) mà hàm số đổi dấu thì đặt sinx = t
Ví dụ 8 : I =

=

=

=

=

= … (Nguyên hàm Hàm số hữu tỷ)

-

2/ Nếu thay sinx bởi (-sinx) mà hàm số đổi dấu thì đặt cosx = t
Ví dụ 8 : I =

= -2

= -2

=…

= -2

3/Nếu thay cosx bởi (-cosx) và sinx bởi(-sinx) mà hàm số không đổi thì đặt tanx = t hoặc cotx = t
Ví dụ 9 : I =

(Đặt tanx = t thì dx =

-Ta có I =
(Dạng

=

, sinx =

cosx =

=

=

.Với u = 1 + tanx)

4/Nếu không thỏa mãn một trong 3 dấu hiệu trên thì đặt t = tan .Ta có dt = (1+ tan2 ).dx
Nên dx =

, và có sinx =

Ví dụ 10 :

, cosx =
Tính nguyên hàm I =

Đặt t = tan .Ta có : dt = (1+ tan2 ).dx Nên dx =
Do đó :
I=

=I=

.
, và có sinx =

,cosx =

.

=

=-

+C

5/Tính ngun hàm : I =
-Tách tử thức thành một tổng, có một số hạng là đạo hàm của mẫu thức :

TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (7)

)


NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
I=

=I=

=

+

=

. dx

+

= ln

.dx

+

.dx .

.dx . xét các dấu hiệu như đã trình bày ở trên .Nếu khơng thỏa mãn

Tính : J =

dấu hiệu nào(trong 1/ , 2/ , 3/) thì đặt t = tan
Ví dụ 11 : I =

J=

k=

4. Nguyên hàm của f(x) = cosax.cosbx , f(x) = cosax.sinbx , f(x) = sinax.sinbx :
-Biến đổi tích thành tổng , đưa về nguyên hàm của hàm hợp
Ví dụ 12 : Tính I =

=

.sin8x + .sin2x) +C

Ví dụ 13 : Tính I =
=
=

=-

=
.cos9x +

cos7x -

cos3x + cosx + C

******************************************************************************
2

2

Bài tập : 1/ sin 2 x cos4 xdx
0
2

2

sin 2 x cos3 xdx
0

2

sin 4 x cos5 xdx
0

2

2/ cos 2 x(sin 4 x cos4 x)dx ; (2 sin 2 x sin x cos x cos2 x)dx ;
0

0

(sin 3 x cos3 )dx
0

2

1
dx ;
2 sin x
0

2

1
dx
sin x

3

TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (8)


NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
4

3/

2

dx
2
2 sin x cos x cos2 x
0 sin x

cos x
dx
1 cos x
0

2

2

4/ (sin10 x cos10 x cos4 x sin 4 x)dx

;

0

0

2

2

cos x

dx ;
2 cos x

;
0

sin x
dx
2 sin x
0
3

sin 3 x
dx
1 cos2 x
0
2

dx
2 cos x

;

dx
sin x. cos x
4

6

cos3 x

dx
1 cos x
0
2

5/

2

2

1
dx
sin x cos x 1
0

cot g 3 xdx

tg 3 xdx

4

4

1
dx
1 tgx
0

0

4

1 sin x dx

cos x cos(x

4

2
dx
sin 3x
dx
sin 2 x sin x
1 cos x
0

2

7/

6

2

dx
)

tg 4 xdx

0

3

6/

3

4

4

cos xdx
(1 cos x) 2

0

0

4

4 sin 3 x
dx
4
13 0 1 cos x
4

dx
2 sin x 3 cos x

2

sin 2 x(1 sin 2 x) 3 dx
0

4

2
sin 3 x sin x
dx
dx
3
1 sin x cos x
sin xtgx
0

3 3

8/ cos x sin x dx
0

sin 3 x
dx
2
a 2 sin 2 x b 2 cos x 0 cos x

4

4

sin 2 xdx

0

4
2

9/

dx
2 sin x 1
0

2

0

cos xdx
1 cos2 x

4

0

sin x cos x
3 sin 2 x

2

4

sin 4 xdx
2
0 1 cos x

dx cos3 x sin 5 xdx

2

dx
5 sin x 3
0

4
6

10/

3

dx
4
sin x cos x

6

3

4 sin xdx
11/

cos x) 3
0 (sin x

6
0

3

dx
sin x sin( x
sin 2 x
(2 sin x) 2

6

)

4

3

dx
sin x cos(x

4

)

2

2

6

) dx

6

2

0

0

4

x 2 cos xdx

sin 3 x dx

sin 2 xdx 3
tgxtg ( x
cos6 x
2

sin 2 x.e 2 x 1 dx
0

xdx
2 2

0 cos x

2
2

12/

1 sin x x
e dx
1 cos x
0

4

sin 3x sin 4 x
dx
tgx cot g 2 x

2

sin 2 xdx
2
5 sin x 6
0 sin x

2

3

cos(ln x)dx

1

6

2

6
3

13/ cos x 1 sin x dx
0

cos x
dx
1 2 sin x

6

ln(sin x)
dx
cos2 x

2

4

0

4

x sin x cos2 xdx xtg 2 xdx tg 5 xdx

(2 x 1) cos2 xdx
0

0

0

TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (9)


NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
2

4

2

14/ e 2 x sin 2 xdx e sin x sin x cos3 xdx
0

0

2

15/

(1 sin x) cos x
dx

cos2 x)
0 (1 sin x )(2

dx
2 cos x) 2
0 (sin x

4

ln(1 tgx)dx I=
0

2

4

cos8 x cos7 x
dx
1 2 cos5 x
0

cos x sin 2 x cos3 xdx
0

III.Nguyên hàm của hàm số Vơ tỷ (Hàm số có chứa căn thức)
Bằng cách đổi biến số, đưa nguyên hàm của hàm số vô tỷ về nguyên hàm hàm số hữu tỷ hoặc
hàm số lượng giác.Ta tiến hành với một số dạng sau đây

1.Nguyên hàm của hàm số chỉ chứa x và một căn thức :
-Thơng thường : Đặt căn đó là t hoặc biểu thức trong căn là t

Ví dụ 1 : I =

.dx
= t Ta có x + 2 = t2 nên dx = 2t.dt và

- Đặt
Do đó : I =

.dx = I =

=2

Cách 2 : Đặt (x+2) = t thì dx = dt , (x + 1)
Do đó : I =

–

= (t2 – 1).t

= (t – 1)

=

=

-

+C

Ví dụ 2 : I =

-Đặt
-Do đó : I = 2.
Ví dụ 3 : I =

= t , x + 1 = t2 nên dx = 2t.dt và
= 2.
. Đặt

=

.

= …(Đây là nguyên hàm của hàm hữu tỷ)
=t

2.Nguyên hàm của hàm số phân thức chứa nhiều căn,bậc khác nhau :bậc m, n
…mà biểu thức trong căn giống nhau : Đặt căn bậc r là t với r là BSCNN của m,n …
Ví dụ 4 : I =

TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (10)


NGUN HÀM – TÍCH PHÂN
= t ,ta có x + 1 = t 6 nên dx = 6 t5dt,

Đặt
Do đó : I =

= t 3,

= t2

(đây là nguyên hàm hàm hàm số hữu tỷ)

=6

3.Nguyên hàm của hàm số phân thức chỉ chứa x và
a,b,c

0:Đổi biến số đưa về nguyên hàm của hàm số Lượng giác (Đã nói trên)

R,a

-Ta có

=

. Gọi (x +

) = u và

=

=

Hai trường hợp :
1/Nếu

0 : Thì

=

= .
(a > 0 , vì < 0 nên a > 0 căn thức mới có nghĩa )
Như vậy , bao giờ cũng đưa được về một trong 3 trường hợp sau :
*1 Hàm số chứa u và
, đặt u = .tant

2/Nếu

<0:

, đặt u =

*2 Hàm số chứa u và

, đặt u = .sint
Đưa về nguyên hàm các hàm số Lượng giác đã nói ở trên.

*3 Hàm số chứa u và

Một số trường hợp riêng :
1/ Tính

.Đặt t = x + +

I1 =

=

-Ta sẽ có : I =

. Đặt t = x + 1 +

Ví dụ 5 : I =
Cách 2 : Tính :

dương ,âm )

(khơng quan tâm

Ta có I =

=

.

I=

Đặt x +1 = 2.tant .Ta có : dx = 2.(1 + tan2t).dt =

và

=

Do đó ta có :
I=
Chú ý :
Và : -

(Mở dấu gttđ rồi đổi biến số , đặt u= sint )

=
=

=

=

=

du = .ln

+C

=-

=-

=

=

du = .ln

+C

TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (11)

NGUN HÀM – TÍCH PHÂN
2/Tính

=

I2 =

=A

+ (B -

(Trong đó: I1 =

=A

-

=

(Tính

.

Tính :

Đặt x-2 =

thì dx = -

Do đó : I =

-

đưa về dạng I1 nói trên .

I=
= .

dz , (x -2)

=

= -

=

(Giả sử z > 0,Nếu z <0 thì?)

Ví dụ 5 ở phía trên)

Trong đó Pn(x) là đa thức biến số x , có bậc n.

Cách giải : Đưa về dạng I = Qn-1(x).
Giả sử : I4 =

=

.ln

Đặt (x – d ) =

(Tính
4/ Tính I4 =

-

Ví dụ 5 ngay phía trên)

I3 =

Ví dụ 7 :

)I1

nói ở trên )

.dx =

=

3/Tính

+(B -

.Đặt t = x + +

=

Ví dụ 6 : I =

)

+ .I1
= Qn-1(x).

Với Qn-1(x) là đa thức biến số x ,bậc (n-1) và

+ .

(*)

là số thực.

TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (12)


NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
Lấy vi phân hai vế của (*) và đồng nhất các hệ số của những đa thức do vi phân có được, ta sẽ
tìm được các hệ số của đa thức Qn-1(x) và hệ số . Cuối cùng chỉ cần phải tính I1 =
như đã nói rõ ở trên )

(đặt t = t = x + +
Ví dụ 8 :

(Ở đây P2(x) = x2-1 Vì n = 2, Q1(x) = ax + b )

Tính tích phân I =
Lời giải:

= (ax+b).

Gỉa sử :

.

+ .

- Ta phải tìm các hệ số: a, b,
-

Lấy vi phân hai vế ……. (Đã nói ở trên)

Ví dụ :

Tính :

I=

.dx

Ta viết :
I=

.dx =

.dx =

(*)

+ .

Vì Pn(x) = x2 + 2x + 4 (n = 2) nên Qn-1(x) = ax + b (Bậc của nó là 1).
-Ta tìm các số thực a, b,

sao cho :

.dx = (ax+b).

+ .

Lấy đạo hàm hai vế .Chú ý đến: đạo hàm của nguyên hàm thì bằng hàm số dưới dấu tích phân,
nhớ các cơng thức :đạo hàm của một tích và đạo hàm của
.Tìm được a, b, để thay vào
, đặt t = x + 1+

(*).Cuối cùng là tính

Hoặc đặt (x+1) =

Xem phần trên đã trình bày.
BÀI TẬP :
1/ I =

I=

2/ I =

I=

3/ I =

4/

I=

I=

.dx I =

.dx

,

I=

I=

.dx với a > 0

I=

.dx ,

I=

.dx =

.dx

******************************************************************************

Chúc các bạn thành công trong sự nghiệp
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (13)