Chuyên đề Nguyên Hàm - Tích Phân

Chuyên đề Nguyên hàm Tích phân: Một số dạng tích phân thờng gặp
1
I - Tích phân các hàm đa thức, hàm số luỹ thừa
Chú ý :
1
1
b
b
a
a
u
u du



+
=
+

với


0 và -1,
1
ln ; 0.
b
b
a
a
du u ab
u

= >


*
; 0,
m
n m
n
u u u n N
= >
,
1
n
n
u
u

=
, du = u(x)dx
I
1
=
5
4
0
(3 )
5
x
dx

I
2
=
1
5 3 6
0
(1 )x x dx

I
3
=
1
11
0
(1 )x x dx


I
4
=
1
2
0
(1 )
n
x x dx


I
5

=
5
2
3x dx


I
6
=
2
2
1
2 3x x dx

+


I
7
=
8
3
1
1
( )x x dx
x



I

8
=
4
2
3
1
1 2 x x
dx
x
+


I
9
=
3
1
1
1 1
dx
x x+ +

I
10
=
3
1
1 2
2
3 3

0.125
1x x dx



ữ



I
11
=
{ }
2
2
0
max 3 2;x x dx


II- Tích phân các hàm hữu tỉ
I
12
=
2
4
1
4
(3 2 )
dx
x

I
13
=
1
1
2 1
2
x
dx
x


+


I
14
=
1
0
2 2
3
1
x
dx
x

ữ
+



I
15
=

+
++
1
0
3
1
1
dx
x
xx
I
16
=

+
1
0
3
2
)13(

dx
x
x
I
17
=

++
b
a
dx
bxax ))((
1
I
18
=
dx
xx

+
2
0
2
22
1
I
19
=
1
2

0
4 11
5 6
x
dx
x x
+
+ +

I
20
=

+
4
2
23
2
1
dx
xxx
I
21
=
1
2
1
( 2)
x
dx

x

+


I
22
=
1
2
2
2
7 3
5 4
x x
dx
x x
+
+


I
23
=
2
4
2
1
2
x

dx
x


ữ
+


I
24
=
1
2
2
2 5
4 7
x
dx
x x

+
+ +


I
25
=
3
2
1

3
dx
dx
x+


I
26
=
( )
1
3
2
2
0
1
x
dx
x+


I
27
=
( )
1
2
3
2
0

1
x
dx
x+


I
28
=
1
3
0
3
1
dx
x
+

I
29
=
2009
1
2
1
2
1 1
1 dx
x x

+
ữ


I
30
=
3
3
1
1
dx
x x
+


I
31
=
1
3
3
3
4
1
( )x x
dx
x

I
32
=
1
2
0
4 2
( 2)( 1)
x
dx
x x

+ +

I
33
=
2
2 2
0
( )
b
a x
dx
a x

+

I
34
=

+
1
0
32
)1(
dx
x
x
I
35
=

+

2
1
4
2
1
1
dx
x
x
I

36
=

+
+
1
0
6
4
1
1
dx
x
x
I
37
=
1 5
2
2
4 2
1
1
1
x
dx
x x
+
+
+ +

I
38
=
5
2
2 2
3
1
( 5 1)( 3 1)
x
dx
x x x x

+ + +


III- Tích phân hàm chứa căn thức
Chú ý:

b
a
dxxfxR ))(,(
Trong đó R(x, f(x)) có các dạng:
+) R(x,
xa
xa
+

) Đặt x = a cos2t, t
]
2
;0[


+) R(x,
22
xa

) Đặt x =
ta sin
hoặc x =
ta cos
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Nguyễn Trung Kiên THPT Minh Khai Hà Nội. Mail:

Chuyªn ®Ò Nguyªn hµm TÝch ph©n: Mét sè d¹ng tÝch ph©n thêng gÆp
2
+) R(x,
n
dcx
bax
+
+
) §Æt t =
n
dcx
bax
+

+
+) R(x, f(x)) =
γβα
+++
xxbax
2
)(
1
Víi (
γβα
++
xx
2
)’ = k(ax+b)
Khi ®ã ®Æt t =
γβα
++
xx
2
, hoÆc ®Æt t =
bax
+
1
+) R(x,
22
xa
+
) §Æt x =
tgta
, t

]
2
;
2
[
ππ
−∈
+) R(x,
22
ax
−
) §Æt x =
x
a
cos
, t
}
2
{\];0[
π
π
∈
+) R
( )
1 2 i
n n n
x x x; ;...;
Gäi k = BCNH(n
1
; n

2
; ...; n
i
), §Æt x = t
k

I
39
=
1
3
3 2xdx
−
−
∫

I
40
=
1
0
1x xdx−
∫

I
41
=
1
3 2
1

1x x dx
−
+
∫

I
42
=
2
2 3
4
0
3 1x x dx+
∫

I
43

=
2
1
1
1 2
dx
x
−
+ +
∫

I

44
=
4
0
2 1
x
dx
x +
∫
I
45
=
2
1
1 1
x
dx
x+ −
∫

I
46
=
7
3
0
2
1
x
dx

x
+
+
∫

I
47

=
3
2
0
1
1
x
dx
x
+
+
∫

I
48
=
2
3
3 2
0
1
x

dx
x+
∫

I
49
=
2
2
2
3
1
1
dx
x x −
∫

I
50
=
∫
+
32
5
2
4xx
dx
I
51
=

dxxxx
∫
+−
4
0
23
2
I
52
=
∫
+
+
3
0
2
35
1
dx
x
xx
I
53
=
1
2
0
1
x
dx

x x+ +
∫
I
54
=
∫
++
1
0
2
3
1xx
dxx
I
55
=
∫
−
3
0
23
10 dxxx
I
56
=
∫
+
2
1
3

1xx
dx
I
57
=
2
2
0
4 x dx−
∫

I
58
=
1
2
2
0
2
x
dx
x
−
∫

I
59
=
1
2 2

0
1x x dx−
∫

I
60
=
∫
−
2
2
0
32
)1( x
dx
I
61
=
3
2
0
1
1
dx
x+
∫

I
62
=

7
2
2
1
3
dx
x −
∫
I
63
=
3
2
2
1x dx−
∫

I
64
=
1
2
0
2 3x x dx− + +
∫

I
65
=
1

1
2
2
x
dx
x
−
−
+
∫

I
66
=
1
1 3ln
ln
e
x
xdx
x
+
∫

I
67
=
ln3
0
1

1
x
dx
e+
∫

I
68
=
ln 2
2
0
1
x
x
e
dx
e+
∫

I
69
=
ln 2
2
1
ln
1 ln
x
dx

x x+
∫

I
70
=
∫
+
2
0
2cos7
cos
π
x
xdx
I
71
=
∫
−
2
0
2
coscossin
π
dxxxx
I
72
=
∫

+
3
0
2cos2
cos
π
x
xdx
I
73
=
∫
−
2
0
56 3
cossincos1
π
xdxxx
I
74
=
∫
+
+
2
0
cos31
sin2sin
π

dx
x
xx
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
NguyÔn Trung Kiªn – THPT Minh Khai Hµ Néi. Mail:

Chuyên đề Nguyên hàm Tích phân: Một số dạng tích phân thờng gặp
3
I
75
=

+
3
0
2
2
cos
32
cos
2cos

dx
x
tgx
x
x
IV- Tích phân hàm số lợng giác
Chú ý: Các công thức lợng giác
Tích thành tổng : 2sinax.cosbx = sin(a+b)x + cos(a-b)x

2cosax.cosbx = cos(a+b)x + cos(a-b)x
2sinax.sinbx = cos(a-b)x cos(a+b)x
Hạ bậc: 2sinax.cosax = sin2ax; 2sin
2
ax =1- cos2ax; 2cos
2
ax = 1+ cos2ax.
Biểu diễn theo t = tan
2
x
; sinx =
2
2
1
t
t+
; cosx =
2
2
1
1
t
t

+
; tanx =
2
2
1
t

t
Các vi phân: d(sinx) = cosxdx; d(cosx) = -sinxdx; d(tanx) =
2
dx
cos x
=(1+tan
2
x)dx.
I
76
=
xdxx
4
2
0
2
cossin


I
77
=

2
0
32
cossin

xdxx
I

78
=
4
4
0
1
dx
cos x


I
79
=
2
5
0
sin xdx


I
80
=

+
2
0
44
)cos(sin2cos

dxxxx

I
81
=

2
3
sin
1


dx
x
I
82
=

+
2
0
2
3
cos1
sin

dx
x
x
I
83
=

3
6
4
cos.sin


xx
dx
I
84
=

+
4
0
22
coscossin2sin

xxxx
dx
I
85
=

+
2
0
3
cos1

cos

dx
x
x
I
86
=
46
0
tan
2
x
dx
cos x


I
87
=


2
3
2
)cos1(
cos


x

xdx
I
88
=


++
+
2
2
3cos2sin
1cossin


dx
xx
xx
I
89
=

4
0
3

xdxtg
I
90
=
dxxg

4
6
3
cot


I
91
=

+
4
0
1
1

dx
tgx
I
92
=

+
4
0
)
4
cos(cos

xx
dx
I
93
=

++
++
2
0
5cos5sin4
6cos7sin

dx
xx
xx
I
94
=

+
4
0
4
3
cos1
sin4

dx

x
x
I
95
=

+
++
2
0
cossin
2sin2cos1

dx
xx
xx
I
96
=

+
2
0
cos1
3sin

dx
x
x
I

97
=


2
4
sin2sin


xx
dx
I
98
=

4
0
2
3
cos
sin

dx
x
x
I
99
=

+

2
0
32
)sin1(2sin

dxxx
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Nguyễn Trung Kiên THPT Minh Khai Hà Nội. Mail:

Chuyên đề Nguyên hàm Tích phân: Một số dạng tích phân thờng gặp
4
I
100
=


3
4
3
3 3
sin
sinsin


dx
xtgx
xx
I
101
=

+
3
6
)
6
sin(sin



xx
dx
I
102
=
dxxtgxtg )
6
(
3
6




+
I
103
=

+

3
0
3
)cos(sin
sin4

xx
xdx
I
104
=

+
4
6
2cot
4sin3sin


dx
xgtgx
xx
I
105
=

+
2
0
2

6sin5sin
2sin

xx
xdx
I
106
=

+
4
0
2
)cos2(sin

xx
dx
I
107
=
2
6
1
3 sin cos
dx
x x


+

I
108
=
4
6 6
0
sin 4
sin cos
xdx
x x

+

I
109
=
3
2 2
6
tan cot 2x x dx


+


I
110
=
3

2
0
sin tanx xdx



V- Tích phân tổng hợp các hàm số
Chú ý : Công thức tích phân từng phần:
b b
b
a
a a
udv uv vdu
=


I
111
=
1
2
0
x
xe dx


I
112
=
2

0
(2 ) sx inxdx




I
113
=
2
0
sin xdx


I
114
=
1
2
1
( 1)
x
x e dx


+


I
115

=
2
1
ln
e
x xdx


I
116
=
3
2
2
ln( )x x dx


I
117
=
2
2
1
ln(1 )x
dx
x
+


I

118
=
3
3
1
1
ln
e
x
xdx
x
+

I
119
=
4
0
ln(1 tan )x dx

+


I
120
=
1
(ln )
e
cos x dx

I
121
=
0
1
( 1)
x
x e x dx


+ +


I
122
=
ln8
2
ln3
1
x x
e e dx+


I
123
=

3
6
2
cos
)ln(sin


dx
x
x
I
124
=
2
4
ln(1 cot )x dx


+

VI Một số tích phân đặc biệt
I
125
.


++
1
1
2

)1ln( dxxx
I
126


+
+
1
1
2
4
1
sin
dx
x
xx
I
127.
2
2
2
cos
4 sin

+


x x
dx
x

I
128
.


+
+
3
3
2
21
1
dx
x
x
I
129
.


+
2
2
1
5cos3sinsin


dx

e
xxx
x
I
130
.

+
2
0
cossin
sin

dx
xx
x
I
131
.

+

0
cos2
sin
dx
x
xx
I
132

.

+

0
2
cos1
sin
dx
x
xx
I
133
.

+
4
0
)1ln(4sin

dxtgxx
I
134
.


++
1
1
2

)1)(1( xe
dx
x
I
135
.


+
2
2
5
cos1
sin


dx
x
x
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Nguyễn Trung Kiên THPT Minh Khai Hà Nội. Mail:

Chuyên đề Nguyên hàm Tích phân: Một số dạng tích phân thờng gặp
5
CMR Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], thì

+=

aa
a

dxxfxfdxxf
0
)]()([)(
áp dụng cho
f(x) liên tục trên [-
2
3
;
2
3

] thỏa mãn f(x) + f(-x) =
x2cos22

, Tính: I
136
=


2
3
2
3
)(


dxxf
.
VII Bài tập bổ sung
--------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nguyễn Trung Kiên THPT Minh Khai Hà Nội. Mail: