chuyên đề tỉ số thể tích và vận dụng

Chuyờn TH TCH KHI A DIN


Luy
n thi i hc 201
3

1
H'
H
B'
A'
B
A
O

H'
H
C'
B'
A'
C
B
A
S

Ch


:
T

S TH TCH V NG DNG

I-
CC K
T QU QUAN TRNG:

K
t

qu


1:
Cho tam giác , trên cạnh chọn ' , trên c
ạnh chọn ' . OAB OA A O OB B Oạ ạ

Lúc đó:

' '
' '
.
OA B
OAB
S
OA OB
S OA OB
=

Chứng minh:

= =
' '
Gọi H, H' lần lợt là hình chiếu vuông g
óc của A và A' lên OB.
1 1
Lúc đó: ' '. ' và .
2 2
OA B OAB
S A H OB S AH OB


(
)
= =
' '
Suy ra:
' ' ' ' '
. . Định lý thales
OA B
OAB
S
A H OB OA OB
S AH OB OA OB

Kt

qu
2:

Cho hình chóp . , trên cạnh chọn ' , trên cạnh chọn ' trên cạnh S

chọn ' .
S ABC SA A O SB B O C
C O
ạ ạ
ạ

Lúc đó:

. ' ' '
.
' ' '
. .
S A B C
S ABC
V
SA SB SC
V SA SB SC
=

Chứng minh:

Gọi H, H' lần lợt là hình chiếu vuông g
óc của A và A' lên mp( ).
Lúc đó:
SBC

(
)
. ' ' ' ' ' .
. ' ' ' ' '

.
1 1
' '. và V .
3 3
Suy ra:
' ' ' ' '
. . . Định lý thales
V
S A B C SB C S ABC SBC
S A B C SB C
S ABC SBC
V A H S AH S
V S
A H SA SB SC
AH S SA SB SC
= =
= =

II-
CC K THUT C BN
:

K
thut 1:

K NG PH

Bi tp 1: Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú cnh ỏy
AB a
=

, c
nh bờn SA hp vi
mt ỏy (ABCD) mt gúc bng 60
0
.
a.
Tớnh th
tớch khi chúp S.ABCD.

b.
Gi M, N ln lt l trung im ca SB, SD. Mt phng (AMN) ct SC ti E.

Tớnh th tớch ca khi chúp S.AMEN.

Gi ý:

1
2
SM SN SI
SB SD SO
= = =

ắ ắđ
Qua O d
ng OK // AE.

Xột tam giỏc AEC:
1
2
//

OK AE
OK AE
ỡ
ù
ớ
=
ù
ợ

Suy ra: K l trung im EC.

K
I
60
0
O
E
M
N
S
D
C
B
A
Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN


Luy
ện thi Đại học 201
3

2
Xét tam giác SOK:
1
2
//
IE OK
IE OK
ì
ï
í
=
ï
î

Suy ra: E là trung đi
ểm SK.

Vậy
1
3
SE
SC
=

Ta có:
2
1 1 1 1
2 2 3 6 6
. .

. .
. .
. . .
S AMEN S AME
S AMEN S ABCD
S ABCD S ABC
V V
SA SM SE
V V
V V SA SB SC
= = = = Þ =

Bài tập 2:
Cho hình chó
p tam giác đ
ều S.ABC có cạnh bên

SA a=
, cạnh bên SA hợp với
m
ặt đáy (ABC) một góc bằng 60
0
.
a.
Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo
a
.
b.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, SM. Mặt phẳng (ABN) cắt SC tại E.

Tính thể tích của khối chóp S.ABE theo
a
.

Gợi ý:

¾ ¾®
Q
ua
M dựng MK // BE
.
Xét tam giác BEC:
1
2
//MK BE
MK BE
ì
ï
í
=
ï
î

Suy ra: K là trung điểm EC.

Xét tam giác SMK:
1
2
//
NE MK

NE MK
ì
ï
í
=
ï
î

Suy ra: E là trung đi
ểm SK.


Vậy
1
3
SE
SC
=

Ta có:
1 1
3 3
= = Þ =
.
. .
.
. .
S ABE
S ABE S ABC
S ABC

V
SA SB SE
V V
V SA SB SC

K
ết quả:
3
3
32
=
.S ABE
a
V
(đ.v.t.t)

Cách
khác:

Chọn B là đỉnh thì mặt đáy của chóp S.ABC và S.ABE tương ứng là (ABC), (ABE).


Để ý:
(
)
.
1
d ,( .
3
S ABC ABC

V B ABC S
D
=
và
(
)
.
1
d ,( .
3
S ABE ABE
V B ABE S
D
=

Suy ra:
(
)
(
)
1 1
3 3
D
D
D D
= = = = Þ =
.
. .
.
d ,( .

.
d ,( .
ABE
S ABE
ABE
S ABE S ABC
S ABC ABC ABC
B ABE S
V
S
AB AE
V V
V B ABC S S AB AC

và đưa ra đư
ợc kết quả như trên.

Bài
tập
3:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trên các cạnh SB,
SC ta lấy lần lượt các điểm M, N sao cho
SM 2
SB 3
=
và
SN 1
SC 2
=

.
a
) Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SD tại điểm P. Tính tỷ số
SP
SD
.
b
) Mặt phẳng (AMN) chia hình chóp S.ABCD thành hai phần. Tìm tỉ số thể tích


của hai phần đó.

K
E
N
M
60
0
C
B
A
S

Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN


Luy
ện thi Đại học 201
3

3
Gợi ý:

a)
G
ọi
O AC BD= Ç
. Trong tam giác SAC, các trung tuyến SO và AN cắt nhau ở I là trọng tâm
của tam
giác nên có
2
3
SI
SO
=
. Suy ra
2
//
3
SM SI
IM BD
SB SO
= = Þ
.
Trong tam giác SBD, IM cắt SD tại P chính là giao điểm của (AMN) với SD.

Suy ra
2 2
3 3
SP SM SP

SD SB SD
= = Þ =
.
b)
O là trung đi
ểm của BD và IM // BD nên

I là trung điểm của PM, suy r
a:
;
ABC ACD AMN APN
S s S S= =

Do đó
:


. .
. .
2
2 1 1
. . 1
2 3 2 3
S AMPN S AMN
S ABCD S ABC
V V
SA SM SN
V V SA SB SC
= = = ´ ´ =

.
. . .
1 2 1
3 3 2
S AMNP
S AMNP S ABCD ABCDMNP S ABCD
ABCDMNP
V
V V V V
V
Þ = Þ = Þ =

Kỹ thuật 2:


TÍNH TR
ỰC TIẾP CÁC TỈ SỐ

Bài t
ập 1:

Cho hình chóp S.ABC có
ABC
D
vuông t
ại B có
3 4
cm, cmAB BC= =
, c
ạnh

bên
(
)
SA ABC^

và
4
cmSA =
. Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC;

m
ặt phẳng (P) cắt SC và SB lần lượt tại D và E.

a
. Chứng minh
:
(
)
AE SBC^
.

b
. Tính thể tích khối chóp S.ADE.

Gợi
ý:
a)
Chứng minh
:
(

)
AE SBC
^
.

Ta có

(
)
^
ì
Þ ^
í
^
î
BC AB
BC SAB
BC SA

Suy ra:
^
BC AE
(1)

(
)
^ Þ ^ (2)SC ADE SC AE

Từ (1) và (2) suy ra:
(

)
AE SBC^
(đ.p.c.m)

b)
Tính thể tích khối chóp S.ADE.

Xét
SAB
D
vuông t
ại A.

Ta có:
2
.SE SB SA=

æ ö
Þ = = =
ç ÷
è ø
2
2
. 16
25
SE SE SB SA
SB SB
SB

Tương tự

, trong
SAC
D
vuông t
ại A.


æ ö
Þ = = =
ç ÷
è ø
2
2
. 16
41
SD SD SC SA
SC SC
SC

D
E
C
B
A
S

B
E
S
A

I
P
N
M
S
A
B
C
D
O

Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN


Luy
ện thi Đại học 201
3

4
Suy ra:
= =
.
.
256
. .
1025
S ADE
S ABC
V

SA SD SE
V SA SB SC

Nên:
= = »
3
. .
256 256
. .8 2 cm
1025 1025
S ADE S ABC
V V

Bà
i t
ập 2
:

Cho hình chóp S.ABCD có
đáy là hình vuông cạnh a; SA
^
(ABCD), SA = 2
a
.
Gọi B’, D’ là hình chiếu của A trên SB,
SD.
Mặt phẳng
(AB’D’)
cắt SC tại C’.

Tính thể tích
khối chóp
S.AB’C’D’.
Gợi ý:








* Tính th
ể tích khối chóp
S.AB’C’D’:
Nh
ận xét rằng:


. .
. ' ' ' . ' ' . ' '
. ' ' ' . ' '
. . .
2
2
' ' ' '
. . . (*)
2
2
S ABCD S ABD

S AB C D S AB D S AB D
S AB C D S AB D
S ABCD S ABD S ABD
V V
V V V
SA SB SD SB SD
V V
V V V SA SB SD SB SD
=
ì
Þ = = = =
í
=
î

Tính
'SB
SB
: Xét
SAB
D
vuông tại A.

Ta có:
2
'.SB SB SA=

æ ö
æ ö
Þ = = = =

ç ÷
ç ÷
ç ÷
è ø
+
è ø
2
2
2
2 2
' '. 4
5
SB SB SB SA SA
SB SB
SB
SA AB

Tương t
ự, trong
SAD
D
vuông tại A.


æ ö
Þ = = =
ç ÷
è ø
2
2

' '. 4
5
SD SD SD SA
SD SD
SD

Suy ra, (*) trở thành:

3
. ' ' '
. ' ' ' .
.
16 16 16 1 32
. . .
25 25 25 3 75
S AB C D
S AB C D S ABCD ABCD
S ABCD
V
a
V V SA S
V
= Û = = =
(đ.v.t.t)

O
I
D'
B'
C'
D
S
A
B
C

A
S
B'
B

Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN


Luy
ện thi Đại học 201
3

5
III-
ĐỊNH HƯỚNG CÁC ỨNG DỤNG CỦA TỈ SỐ THỂ TÍCH:

DẠNG
TOÁN 1:
TÍNH TỈ SỐ THỂ TÍCH CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN


Bài tập 1:
Cho k
hối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm
của CD và I là giao điểm của AC và BM. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.ICM và
S.ABCD.
Bài giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Ta có I là trọng tâm của tam giác BCD.

Do đó:


. .
1 1 1 1 1 1
. . .
3 3 2 3 2 2
ISCM B SCM DSBC S ABCD
V V V V= = =

Vậy
.
1
12
ISCM
S ABCD
V
V
=
.
Bài tập 2:
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi B’, D’ lần lượt là
trung điểm SB và SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính tỉ số thể tích của hai khối
chóp đư
ợc chia bởi mp(AB’D
’).
Bài giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD và gọi I là giao điểm của SO và B’D’. Khi đó AI cắt SC
tại C’.

Ta có:

. ' '
.
' ' 1 '
. .
2
S AB C
S ABC

V
SB SC SC
V SB SC SC
= =
và
. ' '
.
' ' 1 '
. .
2
S AC D
S ACD
V
SC SD SC
V SC SD SC
= =

Suy ra:

(
)
. ' ' . ' ' . . .
1 ' 1 '
. .
2 2
S AB C S AC D S ABC S ACD S ABCD
SC SC
V V V V V
SC SC
+ = + =

.
Kẻ OO’ // AC’
(
)
'O SCÎ
.
Do tính chất các đường thẳng

song song cách đ
ều nên ta có
' ' ' 'SC C O O C= =
.
Do đó
. ' ' ' .
1 1
.
2 3
S AB C D S ABCD
V V=
hay
. ' ' '
.
1
6
S AB C D
S ABCD
V
V
=
.

Bài tập tự luyện:

Bài t
ập 1:
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, H là trực tâm của đ
áy.
Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của SI, SJ, SK. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp
H.MNP và S.ABC. T
ừ đó tính thể tích khối chóp H.MNP.



Đáp s
ố:
.
.
1
32
H MNP
S ABC
V
V
=

Bài tập 2:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng

(
)
a

qua
AB, cắt SC, SD lần lượt tại M và N. Tính
SM
SC
để mặt phẳng
(
)
a
chia hình chóp thành hai
phần có thể tích bằng nhau.


Đáp số:

3 1
2
SM
SC
-
=



I
M
O
D
C
B
S

A

C'
D'
B'
O'
A
S
B
C
D
O
I

Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN


Luy
ện thi Đại học 201
3

6
DẠNG
TOÁN 2:
ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH CỦA CÁC KHỐI ĐA
DIỆN


Bài t
ập 1:

(
ĐH B
-
2008
) Cho hình chóp S.ABCD có
đáy ABCD là hình thang vuông tại A
và
B,
(
)
, 2 , AB BC a AD a SA ABCD= = = ^
và
2 .SA a=
Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của SA và SD. Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo
.a

Bài giải:

Ta có:
.
.
1
2
S BCM
S BCA
V
SM
V SA
= =

và
.
.
1
.
4
S CMN
S CAD
V
SM SN
V SA SD
= =

Suy ra:
. . . . .
1 1
2 4
S BCNM S BCM S CNM S BCA S CAD
V V V V V= + = +



3 3 3
6 6 3
a a a
= + =
(đ.v.t.t)

Bài t
ập 2:
(
ĐH A
- 2007) Cho hình ch
óp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
a
,
mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là
trung đi
ểm của các cạnh SB, BC, CD. Tính thể tích khối tứ diện CMNP theo
a
.
Bài gi
ải:

Ta có:
1
. (1)
4
CMNP
CMBD
V
CN CP
V CB CD
= =

.
.
1

(2)
2
CMBD M BCD
CSBD S BCD
V V
MB
V V SB
= = =

Lấy (1) nhân (2) vế theo vế ta có:

.
.
1 1
8 8
CMNP
CMNP S BCD
S BCD
V
V V
V
= Þ =
.

G
ọi H là trung điểm của AD,

ta có
SH AD
^

, mà
(
)
(
)
SAD ABCD^
nên
(
)
SH ABCD^
.

Do đó:
3
2
.
1 1 3 1 3
. . .
3 3 2 2 12
S BCD BCD
a a
V SH S a
D
= = =
.

Vậy
3
3
.

96
CMNP
a
V =

Bài tập
3:
(
ĐH
D- 2006
) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh
a
,
2
SA a=
và SA vuông góc v
ới đáy. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SC.
Tính th
ể tích khối tứ diện A.BCMN theo
a
.

Bài gi
ải:

Ta có:
.
.
.
S AMN

S ABC
V
SM SN
V SB SC
=

AM và AN l
ần lượt là đường cao của các tam giác SAB và SAC. Do
SAB SAC
D = D
, nên ta
có:

2 2
2 2
4 4
4
5
SM SA a SM
MB AB a SB
= = = Þ =
.

N
M
S
B
A
C
D

H
P
N
A
S
B
CD
M

S
A
C
N
M
B

Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN


Luy
ện thi Đại học 201
3

7
Tương tự:
4
5
SN
SC

=

Do đó:
. . . .
4 4 16 9
. .
5 5 25 25
S AMN S ABC A BCNM S ABC
V V V V= = Þ =

Mà
3
.
1 3
.
3 6
S ABC ABC
a
V SA S
D
= =
suy ra:
3
.
3 3
50
A BCNM
a
V =
(đ.v.t.t)

Bài tập
4:
(
ĐH
B- 2006
) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với
,AB SA a= =
2AD a=
và SA vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD
và SC, gọi I là giao điểm của BM và AC. Tính thể tích khối tứ diện ANIM theo
a
.
Bài gi
ải:

G
ọi O là giao điểm của tam giác ABC, do đó:
2 1
3 3
AI AI
AO AC
= Þ =

nên
1 1 1
. .
3 2 6
AIMN
ACDN

V
AI AM
V AC AD
= = =
(1)
M
ặt khác
1
2
ACDN
ACDS
V
NC
V SC
= =
(2)
T
ừ (1) và (2) suy ra:
1
12
AIMN
ACDS
V
V
=
.
Mà
3
1 2
.

3 6
SACD ACD
a
V SA S
D
= =
. V
ậy
3
1 2
.
12 72
AIMN ACDS
a
V V= =
(đ.v.t.t)

Bài
tập
5:
(
ĐH
D- 2010
) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
a
,
c
ạnh bên
SA a
=

, hình chi
ếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H
thu
ộc đoạn AC sao cho
4
AC
AH =
. Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh
r
ằng M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo
a
.
Bài giải:

T
ừ giả thiết, ta tính được

2 14 3 2
, , , 2
4 4 4
a a a
AH SH CH SC a SC AC= = = = Þ =
.

Do đó, tam giác SAC cân tại C nên M là trung điểm của SA.

Ta có:
.
. .
.

1 1
.
2 2
S MBC
S MBC S ABC
S ABC
V
SM
V V
V SA
= = Û =
.
Ta có:
3
.
1 14
.
3 24
S ABC ABC
a
V SH S
D
= =

Do đó:
3
. .
1 14
.
2 48

S MBC S ABC
a
V V= =
(đ.v.t.t).

Bài tập tự luyện:

Bài tập 1: Cho khối tứ diện ABCD có
0
90ABC BAD= =
,
0
120CAD =
,
, 2 ,
AB a AC a= =

3 .AD a=
Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo
a
.


Đáp số:
3
2
2
ABCD
a
V

=

N
A
S
B
C
D
O
M
I

A
S
B
C
D
O
M
H

Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN


Luy
ện thi Đại học 201
3

8
Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh

a
, cạnh bên SA
vu
ông góc với đáy và
2SA a=
. Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SD. Mặt
phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S.A’B’C’D’ theo
a
.


Đáp số:
3
. ' ' ' '
16
45
S A B C D
a
V =

Bài tập 3:
Cho
hình chóp t
ứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng
a
. G
ọi M, P lần
lư
ợt là trung điểm của SA và SC. Mặt phẳng (DMP) cắt SB tại N. Tính theo
a

th
ể tích khối
chóp S.DMNP.

Đáp số:
3
.
2
36
S DMNP
a
V
=

Bài t
ập 4:
(
ĐH B
- 2010
) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có
,AB a=
góc giữa
hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng
0
60
. Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể
tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo
a .

Đáp số:

3
. ' ' '
3 3
8
ABC A B C
a
V =
và
7
.
12
a
R =


D
ẠNG
TOÁN 1:

TÍNH TỈ SỐ THỂ TÍCH ĐỂ TÍNH KHOẢNG CÁCH


Bài t
ập 1:

(ĐH D
-
2002) Cho
t

ứ diện
ABCD
có AD vuông
góc v
ới mặt phẳng (ABC),
4 cm,
AD AC= = 3 cm, 5 cmAB BC= =
. Tính kho
ảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).

Bài gi
ải:

Ta có:
2 2 2
AB AC BC ABC+ = Û D
vuông t
ại A.

Do đó:
3
1
. . 8 cm
6
ABCD
V AB AC AD
= =
.

M

ặt khác
4 2 cm, 5 cm.
CD BD BC= = =

Nên
BCDD
cân tại B, gọi I là trung điểm của CD.

2
1
. 2 34 cm
2
BCD
S DC BI
D
Þ = =

Ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
3
1 6 34
d , . d , cm
3 17

ABCD
ABCD BCD
BCD
V
V A BCD S A BCD
S
D
D
= Û = =

Bài tập
2:

(ĐH D
- 2007) Cho
hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang,
0
90 ,ABC BAD= =
2 , AD a BA BC a= = =
, cạnh bên SA vuông góc với đáy và
2
SA a=
.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. CMR: Tam giác SCD vuông và tính theo
a

kho
ảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD).

Bài giải:

Ta có:
.
.
S HCD
S BCD
V
SH
V SB
=
.
Tam giác SAB vuông tại A và AH là đường cao

nên
2 2
2 2
2 2
2 .
3
SH SA a SH
HB AB a SB
= = = Þ =

Vậy
2 3
. .
2 2 1 2
. . 2.
3 3 3 2 9
S HCD S BCD

a a
V V a
= = =

I
A
B
C
D

D
C
A
B
S
H

Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN


Luy
ện thi Đại học 201
3

9
Mặt khác
(
)
(
)

.
1
d , .
3
S HCD SCD
V H SCD S
D
=

(
)
(
)
.
d ,
S HCD
SCD
V
H SCD
S
D
Û =
(*)
Ta có
SCD
D
vuông tại C do
2 2 2
AC CD AD+ =

2
1 1
. . 2.2 2
2 2
SCD
S CD SC a a a
D
Þ = = =
.

Thay vào (*) ta đư
ợc:
(
)
(
)
3
.
2
3 2
d ,
3
9 2
S HCD
SCD
V
a a
H SCD
S
a

D
= = =
.
Bài t
ập
3
:

(ĐH D
-
2008) Cho
lăng tr
ụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông,
, AB BC a= =
' 2
AA a=
. Gọi M là trung điểm của BC. Tín
h theo
a
khoảng cách giữa hai
đường thẳng AM và B’C.

Bài giải:

Gọi M là trung điểm của BB’, ta có EM // CB’.

Suy ra: B’C // (AME) nên
(
)
(

)
(
)
(
)
(
)
d ' , d ' , d ,B C AM B C AME C AME= =
.
Ta có
2 3
.
. .
.
1 1 1 1 2 2
. . .
2 2 2 3 2 2 24
C AEM
C AEM C AEB
C AEB
V
MC a a a
V V
V CB
= = Þ = = =
.
suy ra
(
)
(

)
(
)
(
)
.
.
3
1
d , . d ,
3
C EAM
C EAM EAM
EAM
V
V C EAM S C EAM
S
D
D
= Û =
(*)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên AE, ta có
.AE HM^

Hơn nữa
(
)
BM ABE BM AE
^ Þ ^
, nên ta được

.
AE HM^

Mặt khác
6
,
2
a
AE ABE= D
vuông t
ại B

nên
2 2 2 2
1 1 1 3 3
3
a
BH
BH AB EB a
= + = Û =
.
Tam giác
BHM vuông tại B nên
2 2
21
4 3 6
a a a
MH = + =
.
Do đó

2
1 1 6 21 14
. . .
2 2 2 6 8
AEM
a a a
S AE HM
D
= = =
.

Thay vào (*) ta được:
(
)
(
)
.
7
d ,
7
C EAM
EAM
V
a
C EAM
S
D
= =
.

V
ậy
(
)
7
d ' , .
7
a
B C AM =

Bài tập
4
:
Cho
lăng tr
ụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng
2
a
,
đáy ABC là tam giác
vuông t
ại A,
, 3
AB a AC a= =
và hình chi
ếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC)
trùng v
ới trung điểm của BC. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC’B’) theo
.
a

Bài giải:

Theo gi
ả thiết ta có
(
)
'
A H ABC^
.
Tam giác ABC vuông t
ại A và AH là trung tuyến nên
1
2
AH BC a= =
.

H
E
M
C'
B'
A'
B
A
C

Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Luy
ện thi Đại học 201
3

10
Tam giác A’AH vuông tại H nên
ta có
2 2
' ' 3
A H A A AH a= - =
.

Do đó
3
'.
1 . 3
. 3.
3 2 2
A ABC
a a a
V a= =
.
M
ặt khác

3
3
'.
'. ' ' . ' ' '
. ' ' '

1 2 2
.3.
3 3 3 2
A ABC
A BCC B ABC A B C
ABC A B C
V
a
V V a
V
= Þ = = =
.

Ta có
(
)
(
)
'. ' ' ' '
1
d ', ' ' .
3
A BCC B BCC B
V A BCC B S=

(
)
(
)
'. ' '

' '
3
d ', ' '
A BCC B
BCC B
V
A BCC B
S
Û =
(*)
Vì
' ' ' ' ' '
AB A H A B A H A B H^ Þ ^ Þ D
vuông tại A’.

Suy ra
2 2
' 3 2 ' 'B H a a a BB BB H= + = = Þ D
cân t
ại B’. Gọi K là trung điểm của BH, ta
có
'B K BH^
suy ra
2 2
14
' '
2
a
B K BB BK
= - =

.

Ta có:
2
' '
14
' '. 2 . 14
2
BCC B
a
S B C BK a a= = =
.

Thay vào (*) ta được:
(
)
(
)
3
'. ' '
2
' '
3
3 3 14
d ', ' '
14
14
A BCC B
BCC B
V

a a
A BCC B
S
a
= = =
.
Bài t
ập tự luyện:

Bài tập 1:
(
ĐH D
- 2009
) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông
tại B,
,AB a= ' 2 , ' 3AA a A C a= =
. Gọi M là trung điểm của A’C’, I là giao điểm của AM
và A’C. Tính theo
a
th
ể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A đến mp(IBC).


Đáp số:
3
4
9
IABC
a
V =

và
(
)
(
)
2 5
d ,
5
a
A IBC =

Bài t
ập 2:
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có

' , 2
AA AB a BC a= = =
, đi
ểm M
thuộc cạnh AD sao cho
3
AM MD=
. Tính kho
ảng cách từ M đến mp(AB’C).


Đáp số:
(
)
(

)
d , '
2
a
M AB C =

Bài tập 3:
Cho tứ diện ABCD có DA vuông góc với mp(ABC), góc
0
90 .ABC =
Tính
k
hoảng cách từ A đến mp(BCD) nếu
, .
AD a AB BC b= = =


Đáp s
ố:
(
)
(
)
2 2
d ,
ab
A BCD
a b
=
+

Bài tập 4:
Cho tứ diện đều ABCD, biết
AB a
=
, M là 1 đi
ểm thuộc miền trong của tứ diện.
Tính tổng khoảng cách từ M đến các mặt của tứ diện
.

Đáp số:
1 2 3 4
3
6
3
ABCD
ACD
V
a
h h h h
S
D
+ + + = =

Bài tập 5:
Cho tứ diện ABCD và điểm M là 1 điểm thuộc miền trong của tứ diện. Gọi
1 2 3 4
, , , r r r r
l
ần lượt là khoảng cách từ M đến các mặt (BCD), (CDA), (DAB), (ABC). Gọi

1 2 3 4
, , ,
h h h h
lần lượt là khoảng cách từ các đỉnh A, B, C, D đến các mặt đối diện.

Ch
ứng minh:
1 2 3 4
1 2 3 4
1
r r r r
h h h h
+ + + =
.

K
H
A'
B'
C'
A
B
C

Chun đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN


Luy
ện thi Đại học 201
3

11
IV-
BÀI TẬP ƠN TẬP
:
1
1. Trên cạnh CD của tứ diện ABCD lấy điểm M sao cho CM = CD . Tính tỉ số thể tích
3
của hai tứ diện ABMD và ABMC .
¢ ¢ ¢
¢ ¢ ¢ ¢ ¢
2. Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC.A B C . Tính tỉ số thể tích của khối chóp
A.BB C C và khối lăng trụ ABC.A B C

3. Cho tứ diện ABCD có các điểm M, N, P lần lượt thuộc BC, BD, AC sao cho BC=4BM,
AC=3AP, BD=2BN.
Mặt phẳng
(MNP) cắt AD tại Q. Tính tỷ số
AQ
AD
và tỷ số thể tích 2
phần của khối tứ diện ABCD được phân chia bởi mp(MNP).
4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a; SA
^
(ABCD), SA = 2
a
. Gọi B’,
D’ là hình chiếu của A trên SB,

SD.

M
ặt phẳng
(
AB’D’)
c
ắt SC tại C’.

Tính th
ể tích khối
chóp
S.AB’C’D’.
5. Cho hình chóp t
ứ giác đều S.ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, A
D,
SC. Tính t
ỉ số thể tích của hai phần hình chóp được phân chia bởi mp (MNP).

6) Cho h×nh chãp S.ABC. Gäi M lµ mét ®iĨ
m trªn c¹nh SA sao cho MS=2MA. TÝnh tû sè
thĨ tÝch cđa M.SBC vµ M.ABC.
7) Cho h×nh chãp tam gi¸c ®Ịu S.ABC c¹nh ®¸y a, c¹nh bªn 2a. Gäi I lµ trung ®iĨm BC.

S.ABI
a. Chøng minh r»ng: SA BC.
b. TÝnh V
8) Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Ịu S.ABCD. MỈt
ph¼ng (P) qua A vµ vu«ng gãc víi SC c¾t SB,
SB' 2
SC, SD lÇn lỵt t¹i B', C', D'. BiÕt r»ng AB=a, = .
SB 3

a.
^
TÝnh tû sè thĨ tÝch cđa hai khèi chãp S.AB'C'D' vµ S.ABCD.
b. TÝnh thĨ tÝch khèi chãp S.AB'C'D'.
9) Cho h×nh l¨ng trơ tam gi¸c ABC.A'B'C'
. MỈt ph¼ng qua A'B' vµ trung ®iĨm I cđa AC chia
l¨ng trơ thµnh 2 phÇn. TÝnh tû sè thĨ tÝ
ch gi÷a 2 phÇn ®ã.

SM 1 SN
10) Trªn c¸c c¹nh SA, SB cđa tø diƯn SAB
C lÊy c¸c ®iĨm M,N sao cho = , =2.
MA 2 NB
MỈt ph¼ng ®i qua MN vµ song song víi SC chia tø diƯn thµnh 2 phÇn. TÝnh tû sè thĨ tÝch cđa
hai phÇn nµy.
V-
MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA MẪU
:

Đề

1:
Cho hình chóp t
ứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy
AB a=
, cạnh bên SA hợp với mặt
đáy (ABCD) m
ột góc bằng 60
0
.

a)

Tính th
ể tích khối chóp S.ABCD.

b)

Tính góc h
ợp bởi mặt bên (SBC) và mặt đáy (ABCD) của hình chóp S.ABCD.

c)
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SD. Mặt phẳng (AMN) cắt SC tại E.
Tính thể tích của khối chóp S.AMEN.

Đ
ề
2:
Cho hình chó
p tam giác đều S.ABC có cạnh
bên
SA a=
, cạnh bên SA hợp với mặt
đáy (ABC) một góc bằng 60
0
.
a)

Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo
a

.

b)

Tính góc hợp bởi mặt bên (SAC) và mặt đáy (ABC) của hình chóp S.ABC.

Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN


Luy
ện thi Đại học 201
3

12
c)
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, SM. Mặt phẳng (ABN) cắt SC tại E.
Tính thể tích của khối chóp S.ABE theo
a
.

Đ
ề
3:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy
AB a=
, m
ặt bên (SAD) hợp với mặt
đáy (ABCD) m
ột góc bằng 60
0

.
a)
Tính th
ể tích khối chóp S.ABCD theo
a
.
b)
Tính góc hợp bởi cạnh bên SA và mặt đáy (ABCD) của hình chóp S.ABCD.

c)
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SC. Mặt phẳng (BMN) cắt SD tại E.
Tính thể tích của khối chóp S.BMEN.

Đề

4:
Cho hình chóp tam giác
đều S.ABC có cạnh đáy
AB a=
, mặt bên (SAB) hợp với mặt
đáy (ABC) m
ột góc bằng 60
0
.
a)
Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo
a
.
b)

Tính góc h
ợp bởi cạnh bên SA và mặt đáy (ABC) của hình chóp S.ABC.

c)
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, SM. Mặt phẳng (ABN) cắt SC tại E.
Tính thể tích của khối chóp S.ABE theo
a
.