Luận văn thạc sĩ phương trình nghiệm nguyên và giả thiết catala

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
LƯƠNG THỊ HẰNG
PHƯƠNG TRÌNH
NGHIỆM NGUYÊN VÀ GIẢ
THIẾT CATALA
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - 2013
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
LƯƠNG THỊ HẰNG
PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM
NGUYÊN
VÀ GIẢ THIẾT CATALA
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số : 60 46 36
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS. TSKH HÀ HUY KHOÁI
THÁI NGUYÊN - 2013
1
Mục lục
0.1 Tóm tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1 GIẢ THUYẾT CATALAN: MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH
DIOPHANTINE ĐƯỢC GIẢI 6
1.1 Lịch sử nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Cassels và trường hợp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Bài toán có thể giải bằng máy tính? . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Cặp Wieferich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Các "cái triệt tiêu"(Annihilator)- Nhân tố quan trọng . . . 12
1.6 Các cái triệt tiêu đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.7 Phác thảo chứng minh giả thuyết Catalan . . . . . . . . . . 16
1.8 Định lý của Mihăilescu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.9 Xét lại các cái triệt tiêu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.10 Mâu thuẫn cuối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.11 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 LŨY THỪA HOÀN THIỆN - CÁC CÔNG TRÌNH CỦA
PILLAI VÀ NHỮNG PHÁT TRIỂN CỦA NÓ 22
2.1 Những đóng góp của Pillai cho các vấn đề Diophantine . . . 22
2.1.1 Các kết quả của Pillai trên các vấn đề Diophantine . 23
2.1.2 Giả thuyết của Pillai trên dãy các lũy thừa hoàn thiện 25
2.2 Giả thuyết Pillai và các bài toán mở hơn . . . . . . . . . . 27
2.2.1 Phương trình Catalan . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.2 Các lũy thừa hoàn thiện (tiếp theo) . . . . . . . . . 30
2.3 Sự làm mịn định lượng (Quantitative refinement) của giả
thuyết Pillai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.1 Giả thuyết abc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.2 Kết nối với bài toán Waring . . . . . . . . . . . . . 40
2
Kết luận 43
Tài liệu tham khảo 44
3
MỞ ĐẦU
0.1 Tóm tắt
Giả thuyết Catalan trong lý thuyết số một trong những vấn đề toán
học rất dễ xây dựng, nhưng rất khó để giải. Dự đoán rằng 8 và 9 là các
lũy thừa hoàn thiện liên tiếp. Nói cách khác, phương trình Diophantine
x
u
− y
v

= 1 (x > 0, y > 0, u > 1, v > 1) (1)
không có nghiệm nào khác ngoài x
u
= 3
2
, y
v
= 2
3
.
Giả thuyết này được công bố trên tạp trí Journal fur die Reine und
Ange- wandte Mathematik bởi nhà toán học Bỉ Eugène Catalan (18141894).
Bài báo được xuất bản năm 1944 ([4]. Trong thời gian Catalan giảng dạy
tại trường đại học Pari ông thành công trong việc giải một số bài toán tổ
hợp. Thuật ngữ số Catalan vẫn được sử dụng và trính dẫn trong các vấn
đề đó. Đối với phương trình (1) Catalan đã viết Cho đến nay không thể
chứng minh hoàn thiện. Ông cũng chưa bào giờ công bố bất kì kết quả
riêng quan trọng nào về vấn đề này.
Giả thuyết trở thành thách thức của toán học và sớm thu được một số
trường hợp riêng, tuy nhiên trong suốt 100 năm tất các các kết quả thu
được đều không mang tính bản chất và quan trọng.
Tiếp đó vào cuối những năm 1950 đồng thời xuất hiện một số ý tưởng
đáng kể. Sau đó đến năm 1970, việc nghiên cứu được điện tử hóa bằng một
kết quả đưa bài toán tới việc tính toán hữu hạn. Tuy nhiên, khối lượng
tính toán là rất lớn để có tính khả thi. Từ đó, hướng chính của việc nghiên
cứu là các nỗ lực để giảm bới khối lượng tính toán.
4
Năm 2002, nhà toán học Preda Mihăilescu,người chưa được biết đến
trong lĩnh vực này đã chứng minh hoàn thiện Giả thuyết. Điều ngạc nhiên
là trong chứng minh của ông sử dụng rất ít đến máy tính, ông sử dụng các

lý thuyết sâu sắc, đặc biệt các lý thuyết trong lĩnh vực chia đường tròn.
Preda Mihăilescu sinh năm 1955 tại Romani, ông học toán tại ETH
Zuric. Ông đã từng làm việc trong ngành công nghệ máy tính và tài chính,
nhưng hiện tại ông đang nghiên cứu toán tại đại học Paderborn - Đức.
Bài báo này mô tả một cách ngắn gọn những điểm mốc quan trọng
trong lịch sử của bài toán Catalan và giải pháp tuyệt vời của Mihăilescu.
Dù đã rất cố gắng, nhưng chắc chắn nội dung được trình bày trong luận
văn không tránh khỏi thiếu sót nhất định, em rất mong nhận được sự góp
ý của các thầy cô giáo và các bạn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, ngày 20 tháng 3 năm 2013
Người thực hiện
Lương Thị Hằng
5
Chương 1
GIẢ THUYẾT CATALAN: MỘT
DẠNG PHƯƠNG TRÌNH
DIOPHANTINE ĐƯỢC GIẢI
1.1 Lịch sử nghiên cứu
Khoảng 100 năm trước khi Catalan gửi thư cho Crelle, Euler đã chứng
minh rằng chỉ có 8 và 9 là các số nguyên liên tiếp giữa các lũy thừa bậc
hai và bậc ba, đó là nghiệm duy nhất của phương trình
x
3
− y
2
= ±1 (x > 0, y > 0) (1.1)
Phương trình (1) là nền tảng để xét các trường hợp đặc biệt (1.1) được
giải bằng phương pháp số đại số. Cho (x, y) là một nghiệm, trước hết ta
xét phương trình x

3
− y
2
= 1. Ta viết phương trình trong vành các số
nguyên Gause Z[i].
x
3
= (y + 1)(y − 1) (1.2)
Do Z[i] là vành nhân tử duy nhất nên ta có thể xét ước chung lớn nhất
của các phần tử của nó. Gọi d là ước chung lớn nhất của y + i và y −i, từ
các phương trình y + i = dλ, y −y = dµ ta có d|2. Từ (2.6) suy ra d chia
hết x và x phải là số lẻ. Từ đó y ≡ 0 hoặc 1( mod 4). Suy ra d là đơn vị.
Do đó d = ±1; ±i.
Ta có y + i = d(a + bi)
3
, a, b ∈ Z. Tuy nhiên d là lũy thừa bậc ba
trong Z[i] nên có thể bỏ đi. Từ phần thực và phần ảo của phương trình
y + i = (a + bi)
3
ta tìm được y = 0 và (x = 1). Điều này mâu thuẫn. Do
đó phương trình không có nghiệm.
6
Đối với phương trình x
3
− y
2
= 1, ta viết phương trình dưới dạng
x
3
= (y + 1)(y − 1)

Ước chung lớn nhất của (y +1 và (y −1) là 1 hoặc 2. Trong trường hợp thứ
nhất, ta thấy rằng 2 sẽ là hiệu của hai lũy thừa bậc ba, điều này không
thể xảy ra. Trong trường hợp thứ hai, sẽ dẫn đến phương trình
a
3
− 2b
3
= ±1
Do đó a − bα với α =
3
√
2 là đơn vị trong Z[α] vành các số nguyên trong
trường các số thực Q(α). Các đơn vị của vành này là các lũy thừa của
đơn vị 1 + α + α
2
. Từ đó, ta tìm được |a − bα| là lũy thừa bậc 0 nên
α = ±1, b = 0. Do đó phương trình ban đầu có nghiệm x = 2, y = 3.
Để chứng minh giả thuyết Catalan ta xét phương trình
x
p
− y
q
= 1 (x > 0, y > 0) (1.3)
với p, q là các số nguyên tố.
Năm 1985, V.A. Lebesgue [?] giải được trường hợp q = 2. Sử dụng đại
số các số nguyên Gause, ta viết phương trình dưới dạng tương tự phương
trình (2.6). Ước chung lớn nhất của y + i và y −i là đơn vị. Do đó ta có
hai phương trình
y + i = i
s

(a + bi)
p
, y + i = (−i)
s
(a −bi)
p
trong đó s ∈ {0, 1, 2, 3}. Từ đó y được loại bỏ và các phương trình này
dẫn đến mâu thuẫn, do đó phương trình x
p
− y
2
= 1 không có nghiệm.
Đối với trường hợp p = 2 trong phương trình (2.7), năm 1961 có một
kết quả chứng minh phương trình x
2
− y
q
= 1 có nghiệm với x > 10
3.10
9
.
Nhà toán học Chaoko người Trung Quốc cho rằng phương trình này không
giải được trong công đồng Toán học. Chứng minh được công bố trên tạp
chí Scientia Simica [15].
Năm 1976, E.Z Chein [5] công bố một chứng minh rất khéo léo dựa
trên kết quả của T.Nagell [22] cho rằng nghiệm (x, y) phải thỏa mãn 2|y
và q|x. Xét phương trình có dạng
(x + 1)(x − 1) = y
q
7

Chein kết luận rằng ước chung lớn nhất của (x + 1) và (x −1) là 2. Do đó
có các số nguyên tố cùng nhau a và b, với a lẻ thỏa mãn phương trình
(x + 1) = 2a
q
, x −1 = 2
q−1
b
q
(1.4)
hay nói cách khác, các phương trình tương tự với x + 1 và x −1 hoán vị
được. Nếu q > 3 thì (2.8) dẫn đến điều kiện
(ha)
2
+ b
2
= (a
2
− b)
2
trong đó h
2
= a − 2b và các phương trình thay thế mang lại điều kiện
tương tự. Đây là hai phương trình kiểu Pitago và do đó giải được. Từ đó
suy ra x và y không tồn tại với q > 3.
Chi tiết về cách giải trên có thể xem trong cuốn chuyên khảo của Paulo
Ribenboim. Trong cuốn sách trình bày toàn diện lịch sử của giả thuyết
Catalan cho đến năm 1994.
1.2 Cassels và trường hợp 1
Từ mục này để thuận tiện chúng ta xét phương trình Catalan đưới dạng
x

p
− y
q
= 1(xy = 0, p, q là các số nguyên tố lẻ khác nhau.) (1.5)
Ta viết lại phương trình dưới dạng
(x −1)
x
p
− 1
x −1
= y
q
Bằng cách đồng nhất x
p
= ((x − 1) + 1)
p
ta dễ thấy ước chung lớn nhất
của (x −1) và
x
p
−1
x−1
là 1 hoặc p.
Một tình huống tương tự xảy ra khi nghiên cứu phương trình Fermat
x
p
+ y
p
= z
p

, trong đó vế trái được phân tích thành tích của x + y và
x
p
+y
p
x+y
, ở đây ước chung lớn nhất của các thừa số là 1 hoặc p. Điều này dẫn
đến trường hợp 1 và 2 của bài toán. Trong lịch sử, trường hợp 1 dễ ràng
hơn và nhiều người tin rằng cách tiếp cận này sẽ chứng minh hoàn thiện
bài toán. Tuy nhiên, trong chứng minh của Andrew Wiles không sử dụng
sự phân loại này. Đối với phương trình (1.5) ta có thể phát biểu lại tương
tự các trường hợp 1 và 2 theo giá trị của các ước chung lớn nhất ở trên.
Trong trường hợp 1, khi gcd bằng 1 chúng ta thu được các phương trình
x −1 = a
q
,
x
p
− 1
x −1
= b
q
, y = ab
8
trong đó a và b là các số nguyên tố cùng nhau và không chia hết cho p.
Năm 1960, J.W.S. Cassels[3] đã chỉ ra rằng các phương trình này dẫn
đến mâu thuẫn. Ông sử dụng các phương pháp sơ cấp các mối liên hệ về
tính chia hết và các bất đẳng thức. Sau đó, S. Hyyro [10] có một chứng
minh khác.
Điều này có nghĩa là chúng ta chỉ còn trường hợp 2. Đặc biệt, một trong

hai số x −1 và (x
p
− 1)\(x −1) chứa lũy thừa bậc nhất của p. Nhưng số
này không thể là x −1. Từ đó, ta có x
p
−1 chia hết cho p
2
. Vì vậy chúng
ta có các phương trình
(x −1) = p
q−1
a
q
,
x
p
− 1
x −1
= pb
q
, y = pab (1.6)
trong đó a và b là các số nguyên tố cùng nhau và p chia hết cho b( p có
thể chia hết cho a). Các phương trình tương tự theo thừa số của x
p
trong
tích của y + 1 và (y
p
− 1)\(y + 1). Đặc biệt y chia hết cho p và x chia
hết cho q. Định lý Cassell là một trong những kết quả tổng quát đầu tiên
về phương trình Catalan (1.5), nó là động lực quan trọng để nghiên cứu

phương trình này.
1.3 Bài toán có thể giải bằng máy tính?
Khoảng giữa thế kỷ trước, giả thuyết Catalan bắt đầu được quan tâm
của những người làm việc trong giải tích Diophantine. Ban đầu họ quan
tâm tới số nghiệm (x, y) của phương trình với số mũ p, q hữu hạn, cố định.
Đây là một dãy các định lý tổng quát về điểm nguyên trên đường cong
được công bố năm 1929 của C.L. Siegel. Năm 1955, H. Davenport và K.F.
Roth công bố một kết quả về chặn trên của số đó (mặc dù rất lớn) [9](các
kết quả khác về số nghiệm có thể tham khảo trong phần giới thiệu [?]).
Bước ngoặt trong hướng này là vào những năm 1970. Alan Baker thu
được các ước lượng cơ bản dưới dạng tuyến tính các logarit. Đặt
Λ = b
1
log r
1
+ + b
n
log r
n
trong đó b
j
là các số nguyên, r
j
là các số hữu tỷ dương. Ta định nghĩa
chiều cao của một số hữu tỷ r =
s
t
là log max(|s|, |t|) và đặt B =
max(|b
1

|, , |b
n
|}. Giả sử Λ = 0, Baker chứng minh bất đẳng thức sau:
|Λ| > exp(−A log B),
9
trong đó A là số dương được xác định bằng máy tính và phụ thuộc vào n
và các chiều cao của r
1
, , r
n
.
Kết quả này, trong thực tế là sự làm mịn ràng buộc của nghiệm (x, y, p, q)
của phương trình Catalan ở trên được Robert Tijdeman [28] sử dụng.
Phương pháp này để tìm dạng tuyến tính của Λ và phụ thuộc vào nghiệm
đó một cách đặc biệt: Một chặn trên cho |Λ| của (1.5) đủ gần với chặn
dưới của Baker.
Robert Tijdeman chọn
Λ
1
= q log q −p log p + pq log
pa
pa

= log
(x −1)
p
(y + 1)
q
Λ
2

= q log q +
p log p
q−1
a
q
+ 1
q
q
a

q
= log
y
q
+ 1
(y + 1)
q
trong đó a được xác định từ phương trình x − 1 = p
p−1
a

p
. Từ
(x −1)
p
< x
p
= y
q
+ 1 < (y + 1)

q
suy ra Λ
1
, Λ
2
khác không. So sánh chặn dưới và chặn trên của |Λ
1
| dẫn
đến bất đẳng thức giữa p và q, tương tự với |Λ
2
|, các bất đẳng thức này
thu được kết quả để loại bỏ q là
p < c
1
(log p)
c
2
trong đó c
1
, c
2
là các hằng số. Điều này yêu cầu q < p, nhưng trong trường
hợp q > p ta có các điều kiện tương tự cho q. Từ đó suy ra các số mũ
p, q bị chặn trên và chặn trên phụ thuộc vào x và y. Do đó bài toán có
thể phát biểu như sau: Chỉ có hữu hạn nghiệm (x, y, p, q). Thật vậy các
hằng số c
1
, c
2
ở trên là hiệu dụng. Những kết quả tính toán chi tiết đầu

tiên về chặn trên của p và q là vô cùng lớn, nhưng với những cải tiến đem
lại những ước lượng vừa phải hơn. Kết quả lớn nhất cho chặn trên của
max(p, q) là 8.10
16
.
Lưu ý rằng việc giả thiết x, y dương ở trên không làm mất tính tổng
quát, từ (1.5) ta luôn viết được phương trình dưới dạng
(−y)
q
− (−x)
p
= 1. (1.7)
Điều gì xảy ra khi ta thay bằng phương trình x
p
−y
q
= c, trong đó c > 1
là số nguyên? Cố định p và q, định lý Siegle suy ra số nghiệm (x, y) là hữu
hạn. Tuy nhiên, khi các số mũ biến thiên tình hình trở lên phức tạp: Ta
không biết số nghiệm (x, y, p, q) có hữu hạn không?
10
1.4 Cặp Wieferich
Các kết quả trên thúc đẩy việc tìm thêm các chặn trên cho các nghiệm
giả định.
Chúng ta biến đổi phương trình x
p
− y
q
= 1 trong (1.6) về dạng
x

p
− 1
x −1
= pb
q
(p không chia hếtb)
Điều này cho thấy phương pháp tiếp cận truyền thống của sự phân tích vế
trái trong Z[ζ] vành các số nguyên trong trường chia đường tròn Q(ζ)(ζ =
e
2πi\p
). Kết hợp điều này với việc quan sát
p =

x
p
− 1
x −1

x=1
=
p−1

k=1
(1 −ζ
k
)
Ta thu được phương trình
p−1

k=1

x −ζ
k
1 −ζ
k
= b
q
Ta viết x − ζ
k
= (x −1) + (1 −ζ
k
) và nhận thấy rằng x − 1 chia hết cho
p (xem (1.6)). Suy ra thương (x − ζ
k
)(1 − ζ
k
) ∈ Z[ζ]. Tuy nhiên vành
này là không UFD trong trường hợp tổng quát.
Để khôi phục lại các tính chất về nhân tử, chúng ta thay các số bằng các
idean mà chúng tạo ra. Ta nhận thấy các idean chính < (x−ζ
k
)(1−ζ
k
) >
là cặp nguyên tố cùng nhau. Do đó mỗi số là một lũy thừa bậc q của một
số idean. Đặc biệt

x −ζ
1 −ζ

= J

q
(1.8)
trong đó J là idean khác không của Z[ζ].
Tất cả điều này là tương tự như công trình kinh điển của Kummer trong
phương trình Fermat và được K. Inkeri [12] công bố năm 1990. Trong bài
viết của mình Inkeri giả thiết số lớp của Q(ζ) là nguyên tố với q. Khi đó
cùng với J
q
, idean J là idean chính. Đặt J =< γ > và (1.8) thu được
phương trình
x −ζ
1 −ζ
= eγ
q
(1.9)
11
trong đó e là đơn vị trong Z[ζ]. Vành này có vô hạn đơn vị, nhưng ta có
thể khắc phục được điều này. Thật vậy, xét (1.9) với số phức liên hợp của
nó, do e và ¯e là khác nhau một nhân tử là căn của đơn vị. Bằng cách này
Inkeri thu được kết quả q
2
|x. Theo Cassels, ta có q|x, việc làm mạnh ở đây
dựa vào quy tắc nâng lên của số mũ: Nếu a
q
≡ b
q
( mod q) thì a
q
≡ b
q

(
mod q
2
).
Ta viết lại phương trình thứ nhất trong (1.6) dưới dạng
x = (p
q−1
− 1)a
q
+ a
q
+ 1
Inkeri thu được kết quả q
2
chi hết p
q−1
− 1, trong (1.7) vai trò của p và q
có thể hoán vị và do đó ta thu được cặp đồng dư thức mới
p
q−1
≡ 1( mod q
2
), q
p−1
≡ 1( mod p
2
) (1.10)
với điều kiện số các lớp của trường chí đường tròn thành q phần có dáng
điệu tốt, có nghĩa là số các lớp là nguyên tố với q và sau đó là nguyên
tố với p. Cặp các số nguyên tố lẻ p, q thỏa mãn các đồng dư thức này

gọi là một cặp Wieferich. Tên này bắt nguồn trong lịch sử của bài toán
Fermat: Năm 1909, A. Weiferich cho thấy tính giải được của phương trình
x
p
+y
p
= z
p
trong trường hợp thứ nhất: 2
p−1
≡ 1( mod p
2
). Số nguyên tố
p như trên gọi là số nguyên tố Weiferich và rất ít gặp. Thực tế, Weiferich
tìm được 2 số là 1093 và 3511. Số tiếp theo nếu tồn tại phải lớn hơn
1, 25.10
15
[7],[14]. Các cặp số Weiferich rất đặc biệt, cặp số đầu tiên được
tìm thấy là (83; 4871) và là cặp số duy nhất được biết đến.[19],[13].
Các điều kiện (1.10) cùng với bảng số lớp hiện có được sử dụng để
loại bỏ một lớp các số p và q trong các nghiệm có thể của phương trình
Catalan. Phương pháp này tăng hiệu quả khi tìm cách thay đổi và lới lỏng
hơn các điều kiện về ố lớp [18],[25],[26],[11].
Năm 1999, có sự tiến bộ đáng kể theo hướng này khi Preda Mihăilescu
[20]đã chứng minh các đồng dư thức (1.10) không giữ bất kì điều kiện về
số lớp nào.
1.5 Các "cái triệt tiêu"(Annihilator)- Nhân tố quan
trọng
Điểm quan trong trong điều kiện về số lớp ở trên được bỏ qua ở phương
trình idean (1.8) quay trở lại trong một phương trình giữa các số. ý tưởng

12
của Mihăilescu để làm việc này bằng cách sử dụng các cái triệt tiêu của
những idean.
Cái triệt tiêu của một phần tử của một nhóm là ánh xạ từ nó tới phần
tử trung lập e; cái triệt tiêu của của một nhóm là ánh xạ của tất cả các
phần tử tới e. Trong trường hợp nhóm lớp (idean) của một trường số, e
là lớp các idean nguyên tố nên cái triệt tiêu của một idean (khác không)
là sự lới lỏng sự biểu diễn cho ánh xạ tới idean này. Nếu θ là cái triệt tiêu
của vành Z[ζ], phương trình (1.8) viết dưới dạng

x −ζ
1 −ζ

θ
= eγ
q
, (1.11)
trong đó e ∈ Z[ζ]
×
và γ ∈ Q(ζ) được xác định bởi J
θ
=< γ >.
Trong bài báo thứ nhất Mihăilescu[20] đã chọn một cái triệt tiêu được
gọi là mối quan hệ Stic Kelberger. Tính toán tương tự Inkeri ta thu được
các đồng dư thức
x ≡ 0, p
q−1
≡ 1( mod q
2
) (1.12)

do tính đối xứng ta cũng có
y ≡ 0, q
p−1
≡ 1( mod p
2
), (1.13)
trong đó (1.12), (1.13) thỏa mãn với mọi nghiệm (x, y, p, q) của phương
trình Catalan (1.5). Đặc biệt số mũ p, q là cặp Wieferich.
Đây là những điều kiện rất hiệu quả để loại nghiệm của phương trình
(1.5). Kết hợp chúng với các bất đẳng thức phù hợp của p và q thu được
bằng phương pháp kiểu Tijdeman, Migrotte và những người khác ta tính
được min(p, q) > 10
7
. Chặn dưới này vẫn còn rất xa so với chặn trên trong
mục 4.
Trong phần cuối chứng minh giả thuyết Mihăilescu [21] đã xét phương
trình (1.11) dưới góc độ hoàn toàn mới, thay vì đẩy đơn vị e ra ngoài thì
ông chỉ tập trung vào đơn vị này hoặc cho cả nhóm các đơn vị. Từ (1.11)
ông phát hiện ra các thông tin cho nhóm này thông qua các cái triệt tiêu
khác nhau và tìm được một tính chất bất ngờ của nhóm đó. Điều đó cho
thấy tính chất như thế là vô lý nên ông đi đến kết luận mâu thuẫn trong
chứng minh giả thuyết.
Biện pháp phù hợp cho chương trình này được xậy dựng trên một kết
quả sâu sắc về các cái triệt tiêu được gọi là định lý Thaine. Các kết quả
này và dạng tổng quát của nó có liên quan đến các trường giao hoán thực.
13
1.6 Các cái triệt tiêu đặc biệt
Các thiết lập được xét sau đây cho trường chia đường tròn thực K =
Q(ζ) ∩R, đây là sử mở rộng cấp m = (p − 1)/2 trên các số hữu tỷ, ví dụ
ρ = ζ + ζ

−1
là vành các số nguyên Z[ρ], nhóm các đơn vị của vành này
E = Z[ρ]
×
là nhóm Abel vô hạn sinh bởi −1 và m − 1 đơn vị xoắn tự do
các đơn vị cơ bản của K. Trong trường hợp tổng quát rất khó tìm được
chúng nhưng ta có thể thay thế chúng bằng cách xét các đơn vị
sin(lπ/p)
Sin(π/p)
=
ζ
l/2
− ζ
−l/2
ζ
1/2
− ζ
−1/2
(l = 2, , m))
(chú ý rằng ζ
1/2
= −ζ
(p−1)/2
). Cùng với −1, các đơn vị này sinh ra một
nóm con của E có chỉ số hữu hạn, ta gọi là C. Các phần tử của C gọi là
các điểm chia đường tròn hay đơn vị đường tròn.
Kummer đã phát hiện ra một sự liên hệ giữa nhóm các đơn vị đó và lớp
H(K) của K. Đó là chỉ số [E : C] bằng số lớp h
k
= |H(K)|. Kết quả này

đã được mở rộng và làm sâu sắc theo nhiều cách. Bước cuối cùng trong sự
phát triển này là định lý Thaine [27] liên hệ các cái triệt tiêu của các đơn
vị với các idean đó. Trước khi đi vào chi tiết chúng ta sẽ giới thiệu các cái
triệt tiêu một cách chính xác hơn.
Cho trường K là một mở rộng Galoa của Q, nó là nhóm G chứa các tự
đẳng cấu τ
1
, τ
2
, , τ
m
xác định bởi (ζ + ζ
−1
)
τ
C
= ζ
C
+ ζ
−C
. Ta giới thiệu
một tập lớn hơn các ánh xạ, nhóm vành
Z[G] = {
m

i=0
n
C
τ
C

|n
C
∈ Z, i = 1, , m}
. tác động Galoa của G trong trường K ta thu được cấu trúc modun Z[G]
trên K
×
nhóm nhân của K bởi công thức
γ
n1τ
1
+ +n
m
τ
m
= (γ
n
1
)
τ
1
(γ
n
n
)
τ
m
, ∀γ ∈ K
×
.
Đặc biệt, các nhóm E và C trở thành các modun con của K

×
. Vành Z[G]
luôn tác động lên nhóm các idean của K trên nhóm lớp H(K). Do đó
H(K) là một Z[G]- modun. Miền xác định của các cái triệt tiêu là Z[G].
Cho một nhóm Abel A, kí hiệu [A]
q
với q là số nguyên tố là một nhóm
con của A, đó là nhóm con gồm các phần tử có cấp là lũy thừa bậc q. Nếu
A là Z[G]- modun thì [A]
q
là một modun con.
14
Định lý Thaine cho trường K và số nguyên tố q lẻ được phát biểu như
sau: Nếu bậc m = [K; Q] là số nguyên tố cùng nhau với q thì với mọi cái
triệt tiêu θ ∈ Z[G] của nhóm [E/C]
q
luôn triệt tiêu nhóm [H(K)]
q
.
Để chính xác nhóm các đơn vị chia được sử dụng bởi Thaine không
hoàn toàn chính xác như nhóm C ở trên mà được thay bằng một nhóm
con của C có cấp 2
m−1
[16]. Sự khác biệt này không quan trọng và sẽ được
bỏ qua trong phần tiếp theo.
Nhận xét: Bài báo của Thaine được công bố năm 1988 nhưng định
lý đã được biết đến trước đó. Thực tế, R. Greeberg [8] đã chỉ ra rằng
"giả thuyết chính" của lý thuyết Iwasawa bao gồm một giả thuyết được
G. Gras phát biểu: Các nhóm [E/C]
q

và [H(K)]
q
là các Z
q
[G]- modun,
có một chuỗi các đẳng cấu Jordan - Holder (ở đây Z
q
là các số q- adic
nguyên). Giả thuyết chính được chứng minh bởi B.Mazur và A. Wiles [17]
năm 1984.
Hơn nữa, phương pháp chứng minh của Thaine là trực tiếp hơn. Các
trình bày trong chứng minh này có thể tìm trong các tài liệu chuyên khảo
của LC Washington [29]. Chứng minh này cho thấy ẩn sau định lý này, dù
là trường hợp đặc biệt có rất nhiều lý thuyết bao gồm cả lý thuyết trường.
Vấn đề đầu tiên là đảm bảo điều kiện q không chia hết m là đúng. Ta
dùng phương pháp phản chứng, nếu q|m thì p ≡ 1( mod q), theo luật
nâng lên của số mũ ta có p
q
≡ 1( mod q
2
). Mặt khác p
q
≡ p( mod q
2
)
(theo (1.12)). Do đó p ≡ 1( mod q
2
). Do q
2
+ 1, 2q

2
+ 1 và 3q
2
+ 1 không
nguyên tố nên p > 4q
2
. Hơn nữa theo dạng tuyến tính của logarit (mục
4), suy ra p < 4q
2
với mọi q > 28000. Do đó ta thu được mâu thuẫn trừ
khi số mũ của p, q thỏa mãn các bất đẳng thức q < 28000, p > 4q
2
. Nhưng
các số mũ như vậy đã được loại trừ ở mục 6. Bilu [1] đã thực hiện một số
sửa đổi trên các tham số p, q và yêu cầu này chỉ mất 1 phút chạy trên máy
tính.
Trong toàn bộ chứng minh đây là bước duy nhất sử dụng máy tính.
Đây là nơi ta sử dụng phương pháp có nguồn gốc trong công việc đánh
dấu của Tijdeman. Mặc dù kết quả thu được bằng cách của Tijdeman là
không cần thiết.
Gần đây có tin cho rằng Mihăilescu đã tìm được một cách tiếp cận hoàn
toàn khác để kiểm tra điều kiện q không chia hết m. Điều này sẽ được áp
dụng trong "phần âm" được nêu ở trên và không phải tính bằng máy tính.
Liên hệ quan trọng đến việc này là bài báo của Y. Bugeaud và G. Hanrot
15
[2].
1.7 Phác thảo chứng minh giả thuyết Catalan
Trong mục này chúng ta sẽ phác thảo chứng minh của Mihăilescu cho
mệnh đề về lũy thừa bậc q trên trường K. Mệnh đề này gọi là định lý
quan trọng của Mihăilescu sẽ được chứng minh trong mục 9. Mục 10 và

11 sẽ làm rõ thêm một số chi tiết sẽ được bỏ qua dưới đây.
Cho (x, y) là một nghiệm của phương trình Catalan (1.5). Như đã nêu
trong (1.8) idean nguyên tố Z[ζ] sinh bởi (x − ζ)/(1 − ζ) là lũy thừa bậc
q của một idean khác không. Điều này cũng đúng cho các idean liên hợp
phức và tích của hai idean. Ta có

(x −ζ)(x − ζ
−1
)
(1 −ζ)(1 − ζ
−1
)

= (J
¯
J)
q
là phương trình giữa các idean thực. Đặc biệt lớp idean của J
¯
J có cấp q
hoặc 1 trong nhóm H(K) và như vậy thuộc nhóm q - nguyên tố [H(K)]
q
.
Cho θ ∈ Z[G] triệt tiêu nhóm thương E/C nên E
θ
⊆ C. Theo định lý
Thaine suy ra θ triệt tiêu nhóm [H(K)]
q
. Theo mục 6 ta có


(x −ζ)(x − ζ
−1
)
(1 −ζ)(1 − ζ
−1
)

θ
= eγ
q
(1.14)
trong đó e ∈ E và γ ∈ K
×
. Do γ chưa biết nên ta chỉ cần xét e và các
đơn vị liên quan tới một thừa số là lũy thừa bậc q trong K
×
Do e ∈ C và đơn vị e trong (1.14) được giả thiết trong C. Bước này
cần một tính chất tinh vi của các cái triệt tiêu sẽ được trình bày trong
mục 10. Một sự liên hệ đơn giản nhưng quan trọng cho θ là ánh xạ dạng
N =

C
τ
C
hoặc một bội số nguyên của nó. Thật vậy, dạng chuẩn của
đơn vị là ±1, với mỗi r ∈ Z phù hợp, phần tử ((1 + ζ)/(1 − ζ
−1
))
θ−rN
là

đơn vị chia đường tròn và (1.14) có dạng
((x −ζ)(x − ζ
−1
)
θ−rN
∈ η(K
×
)
q
, η ∈ C (1.15)
Do x ≡ 0( mod q
2
) và từ (1.12) ta tìm được η ≡ 1( mod q
2
) (η là lũy
thừa bậc q). Các đơn vị chia đường tròn thỏa mãn các điều kiện này gọi
là các q- nguyên tố. Chúng tạo thành một nhóm con của C, được ký hiệu
là C
q
.
16
Cho θ

∈ Z[G]là cái triệt tiêu C
q
, theo (1.15) ta có
((x −ζ)(x − ζ
−1
))
θθ


−rN
∈ (K
×
)
q
(1.16)
Từ liên hệ này Mihăilescu suy ra θθ

− rN chi hết cho q. Ta đặt
e
θθ

= e
rN+qω
= e
rN
= 1 (1.17)
nhắc lại rằng e
θ
∈ C, điều này cho thấy θ

trên thực tế các cái triệt tiêu
của C là nhóm con C
q
, do đó C
q
bằng C. Lập luận này được thực hiện một
cách chặt chẽ. Do đó tất cả các đơn vị chia đường tròn phải là q - nguyên
tố. Dễ thấy điều này không thể xảy ra. Do đó ta có điều phải chứng minh.

1.8 Định lý của Mihăilescu
Kết quả quan trọng của Mihăilescu (1.16) suy ra (1.17) được sử dụng
một cách chính xác. Chúng ta nhắc lại x và y là nghiệm của phương trình
Catalan x
p
− y
q
= 1.
Định lý 1.8.1. Giả sử θ =
m

i=1
n
C
τ
C
∈ Z[G] và
((x −ζ)(x − ζ
−1
))
θ
∈ (K
×
)
q
(1.18)
Nếu
m

C=1

n
C
≡ 0( mod q) thì n
C
chia hết cho q sao cho θ = qω với
ω ∈ Z[G].
Các yêu cầu trong định lý này là khá hợp lý nhưng kết quả là lạ lùng.
Điều này cũng đã xảy ra trong suy nghĩ của nhiều người nghiên cứu phương
trình Fermat, nhưng không suy ra được các điều tương tự [21].
Điều quan trọng trong chứng minh là |x| lớn. Năm 1964 Hyyro [9] chứng
minh ước lượng |x| > q
p
. Tuy kết quả này không khả dụng, nhưng những
ước lượng khác yếu hơn đã được trích dẫn trong [21], [1].
Chúng ta sẽ trình bày các ý chính trong chứng minh của định lý. Các
thiết lập tổng quát của chứng minh thể hiện các ý tưởng của Bugeaud và
Hanrot [2]. Để đơn giản, các tự đẳng cấu σ
1
, , σ
p−1
với ζ
σ
k
= ζ
k
. Do đó
τ
C
có các mở rộng σ
C

và σ
p−C
. Đặt
ψ =
m

C=1
n
C
(γ
C
+ γ
p−C
) =
p−1

k=1
b
k
γ
k
∈ Z[G
0
]
17
trong đó b
C
= n
C
= b

p−C
(C = 1, , m). Ta có
((x −ζ)(x − ζ
−1
))
θ
= (x − ζ)
θ
(x −θ
−1
)
θ
= (x − ζ)
ψ
Thêm vào ψ một phần tử thích hợp có dạng qψ
1
, chúng ta giả sử các hệ số
b
k
nằm trong khoảng 0, , q −1. Ta phải chỉ ra mỗi hệ số b
k
bị triệt tiêu.
Theo giả thiết của định lý
p−1

k=1
b
k
= tq với t ∈ {1, , p − 1} (không
xét trường hợp tầm thường t = 0), do x được cố định bởi σ

k
, ta có
(1 −
ζ
x
)
ψ
= x
−tq
(x −ζ)
ψ
. Theo (1.18) ta có
p−1

k=1

1 −
ζ
x

b
k
σ
k
=

1 +
ζ
x


ψ
= γ
q
(γ ∈ K
×
)
Do tính đối xứng ta thấy số thực γ được biểu thị bằng một chuỗi các tổ
hợp sau
γ =
p−1

k=1

1 −
ζ
k
x

b
k
/q
=
p−1

k=1
∞

µ=1

b

k
µ

−ζ
x

µ
=
∞

µ=0
α
µ
(ψ)

1
x

µ
Các hệ số α
µ
= α
µ
(ψ) có dạng α
µ
= a
µ
/(µ!qµ), trong đó a
µ
∈ Z[ζ]. Đặt

q
E(µ)
là lũy thừa của q chia hết µ!q
µ
.
Xét các số hạng còn lại Ω =
∞

µ=t+1
α
µ
x
−µ
, trong đó t là số nguyên được
xác định ở trên. Số
β = q
E(t)
x
t
Ω
là một số nguyên của trường Q(ζ) thuộc Z[ζ]. Ta có thể ước lượng |β|
bằng các số hạng còn lại của chuỗi Taylor chuẩn tắc. Áp dụng chặn dưới
của Hyyro |x| > q
p
thu được kết quả |β| < 1. Điều kiện cần thiết là t
bị chặn t ≤ m, điều này thực hiện được bằng cách thay

k
b
k

σ
k
bằng

k
(q −b
k
)σ
k
nếu cần thiết.
Các thiết lập được mở rộng tới các liên hợp β
σ
k
, chúng có giá trị tuyệt
đối nhỏ hơn 1. Tuy nhiên trong hoàn cảnh đó không thể là một số nguyên
đại số khác không. Do đó β = 0. Suy ra chuỗi Taylor cho γ rút gọn tới
tổng hữu hạn. Mặt khác đánh giá tử số của α
t
ta có
a
t
≡

−
p−1

k=1
b
k
ζ

k

t
( mod q)
18
Kết hợp với β = 0 ta thu được đồng dư thức

k
b
k
ζ
k
≡ 0( mod q). Suy
ra b
k
triệt tiêu với mọi k. Định lý được chứng minh.
1.9 Xét lại các cái triệt tiêu
Trong chứng minh ở mục 8 yêu cầu phải nghiên cứu sâu sắc các cái triệt
tiêu, điều này mạng lại những khía cạnh đại số của chứng minh.
Như đã nêu trong mục 8, chúng ta chỉ cần xét các đơn vị của E đồng
dư modun lũy thừa bậc q hoặc ta có thể thay e bằng eE
q
trong nhóm
E/E
q
. Khi đó θ =

C
n
C

τ
C
∈ Z[G] tác động lên nhóm thứ hai, các hệ
số n
C
cũng đồng dư modun q. Do đó ta có thể coi các hệ số n
C
là các số
nguyên hoặc các lớp đồng dư moden q. Trong trường hợp thứ hai, ta có
θ =
m

C=1
n
C
τ
C
∈ F
q
[G], F
q
= Z/qZ
và nhóm E/E
q
trở thành một modun trên vành R = F
q
[G]. Để các nhóm
[E/C]
q
trong định lý Thaine tham gia vào chứng minh, chúng ta giới thiệu

nhóm E/CE
q
là R- modun. Hơn nữa khi đánh giá sự khác biệt giữa các
nhóm C và C
q
ta sẽ sử dụng R-modun CE
q
/C
q
E
q
. Bằng cách này chúng
ta nghiên cứu ba cái triệu tiêu:
A
1
= Ann(E/CE
q
), A
2
= Ann(CE
q
/C
q
E
q
), A
3
= Ann(CE
q
/E

q
)
Các cái triệu tiêu trên R-modun là các idean của R. Do F
q
là một trường
và cấp của G là số nguyên tố q nen suy ra R và idean của nó có cấu trúc rõ
ràng. Ngoài ra, các R - modun trên đều là giao hoán (ta chỉ cần kiểm tra
modun E/E
q
do các modun khác thu được từ các modun con và modun
thương). Tính giao hoán của E/E
q
là khá hiển nhiên và không khó để
chứng minh.
Mọi R-modun giao hoán M là đẳng cấu với R/Ann(M), đẳng cấu này
cùng với một số thông tin về các idean của R suy ra các idean A
1
, A
2
, A
3
là các cặp nguyên tố cùng nhau và
A
1
A
2
A
3
= Ann(E/E
q

) = RN
là idean chính , đẳng thức thứ 2 là do tính giao hoán của E/E
q
.
Mọi idean I của R là lũy đẳng, nói cách khác nó trùng với bình phương
của nó. Do đó mỗi phần tử của I có thể viết như là tích các phần tử của
19
I. Đây là một tính chất tiện dụng của các cái triệt tiêu và đuwocj sử dụng
nhiều lần trong chứng minh này.
Minh họa đầu tiên, chúng ta chỉ ra trong phần đầu của chứng minh,
đó là θ ∈ A
1
triệt tiêu [H(K)]
q
. Dễ thấy ta viết θ = θ
1
θ
z
, trong đó θ
j
thuộc A
1
và z được xác định bởi |[E/C]| = q
z
. Theo định nghĩa của A
1
ta có E
θ
j
⊆ CE

q
, do đó E
θ
⊆ CE
q
z
. Cho eC ∈ [E/C]
q
thì e
θ
= ηe
q
z
1
với
η ∈ C và e
1
∈ E, e
1
C ∈ [E/C]
q
. Từ đó kéo theo e
θ
C = (e
1
C)
q
z
= C. Do
đó θ triệt tiêu nhóm [E/C]

q
. Đây là hệ quả của định lý Thaine
Tiếp theo ta xét phương trình (1.14) với θ ∈ A
1
, ta viết θ = θ
1
θ
2
với
θ
1
, θ
2
∈ A
1
. Khi đó phương trình (1.14) có dạng
(e
1
γ
q
1
)
θ
2
= e
θ
2
1
(γ
θ

2
1
)
q
= hγ
q
2
trong đó e
1
∈ E, e
2
∈ C và γ
1
, γ
2
∈ K
×
. Do đó đơn vị e trong (1.14) được
chọn từ C như yêu cầu. Các lập luận phác thảo trong mục 8 được thực
hiện một cách chính xác, từ liên hệ (1.16) suy ra
((x −ζ)(x − ζ
−1
)
θ
1
θ
3
−rN
∈ (K
×

)
q
(1.19)
với mọi θ
1
∈ A
1
, θ
3
∈ A
3
và r ∈ F
q
đuwocj lựa chọn sao cho ánh xạ
θ
1
θ
3
− rN =

C
n
C
τ
C
thỏa mãn điều kiện

C
n
C

= 0.
Từ định lý Mihăilescu suy ra θ
1
θ
3
− rN = 0. Do đó A
1
A
3
⊆ RN. Lưu
ý rằng RN = A
1
A
2
A
3
và A
1
, A
2
, A
3
là các cặp nguyên tố cùng nhau nên
suy ra A
2
=< 1 >. Theo định nghĩa của A
2
ta có C = C
q
1.10 Mâu thuẫn cuối

Đẳng thức C = C
q
nghĩa là mọi đơn vị chia đường tròn trên K đồng
dư modun q
2
là lũy thừa bậc q
2
của một số nguyên khác không của K.
Chúng ta cần khái niệm đơn vị chia đường tròn trong toàn trường Q(ζ).
Trong trường này các đơn vị tạo thành nhóm con C
0
của Z[ζ]
×
sinh bởi
C và ζ. Do ζ = ζ
dq
, trong đó d là nghịch đảo đồng dư modun p của q.
Khi đó ta có mọi đơn vị trong C
0
là lũy thừa bậc q đồng dư modun q
2
.
Đặc biệt dơn vị 1 + ζ = (1 − ζ
2q
)/(1 − ζ
q
). Điều này cho ta đồng dư
dạng 1 + ζ
q
≡ η

q
( mod q). Từ tính chất của các hệ số của tổ hợp suy ra
1 + ζ
q
≡ η
q
( mod q) Theo công thức nâng lên số mũ ta có
(1 + ζ
q
) ≡ 1 + ζ
q
( mod q
2
)
20
Do đó đa thức
f(T ) =
1
q
((1 + T)
q
− 1 −T
q
) ∈ Z[T ]
có ζ đồng dư với 0 modun q, và cả các liên hợp ζ
k
, k = 1, , p − 1. Xét
f(T ) là đa thức trên trường Z[ζ]/Q, trong đó Q là idean thương nguyên
tố của < q >. Do đa thức có p − 1 số không khác nhau nên bậc q − 1
của nó nhỏ nhất là p −1. Các số nguyên tố p và q là khác nhau nên ta có

q > p. Do p và q có thể hoán vị như trong (1.7). Từ đó bất đẳng thức là
không thể xảy ra.
1.11 Kết luận
Câu hỏi tự nhiên đặt ra là phương trình Catalan (1) có nghiệm trong
miền khác Z không? Đây là vấn đề khó được Ribenboim đề cập trong [24].
Đầu tiên là tìm các số nguyên trong trường đại số F bắt đầu trong [24].
Sau đó, Tijdeman có một mở rộng trong trường hợp này. Thật vậy với điều
kiện nhẹ hơn các nghiệm của phương trình
x
u
− y
v
= 1(u > 1, v > 1) (1.20)
trong đó x, y là các nghiệm trong F bị chặn bởi một hằng số. Tính bị chặn
của x, y có nghĩa là giá trị tuyệt đối của tất cả các liên hợp của chúng bị
chặn.
Một bài toán quan trọng của phương trình (1.20) với u = p là số nguyên
tố lẻ, trong trường F = Q(ζ), trong đó ζ là căn bậc p- nguyên tố của 1
như trên. Theo định lý Thaine suy ra có thể xây dựng và phát triển các ý
tưởng như của Mihăilescu - bắt đầu cới phương trình tổng quát hơn dạng
x
p
− y
q
= ζ.
Tuy nhiên chứng minh của Mihăilescu trong mục 9 là rất nhạy với các
hiệu chỉnh, do đó nó khó tổng quát hóa. Một câu hỏi cũng được dặt ra
là liệu phương trình (1.20) có thể giải được trong trường hàm hay không?
M.B Nathason [23] thu được kết quả: Cho F là một trường không có tính
chất chia hết v, nếu u > 2, v > 2 thì (1.20) với x, y ∈ F (X) suy ra x và y

là các hằng số.
21
Chương 2
LŨY THỪA HOÀN THIỆN - CÁC
CÔNG TRÌNH CỦA PILLAI VÀ
NHỮNG PHÁT TRIỂN CỦA NÓ
Tóm tắt
Một lũy thừa hoàn thiện là một số nguyên dương có dạng a
x
, trong đó
a ≥ 1 và x ≥ 2 là các số nguyên. Subbayya Sivasankaranarayana Pillai
đã viết một số bài báo về các số này. Năm 1936 và 1945 ông đã cho rằng
"Cho số k ≥ 1 là một số tùy ý, khi đó số nghiệm nguyên dương a, b, x, y
với x ≥ 2, y ≥ 2 của phương trình Diophantine a
x
− b
y
= k là hữu hạn".
Giả thuyết này nói rằng "Khoảng cánh giữa hai số hạng liên tiếp trong dãy
các lũy thừa hoàn hảo là tiến tới vô cùng". Sau đây, bài báo sẽ giới thiệu
về công trình của Pillai trên các vấn đề Diophantine. Chúng tôi trính dẫn
một số phát triển sau này và thảo luận về các bài toán mở có liên quan.
2.1 Những đóng góp của Pillai cho các vấn đề Dio-
phantine
Phần lớn công việc của Pillai là dành cho các vấn đề Diophantine.
Chẳng hạn, một liên hệ sâu sắc với bài toán Diophantine trong công việc
của ông trong bài toán Waring (xem 3.2) Năm 1930, ông bắt đầu quan tâm
đến các vấn đề Diophantine [114]. Tiếp đó, năm 1940 [119] ông nghiên cứu
phương trình Diophantine tuyến tính. Ông cũng nghiên cứu các số vô tỷ
[121]. Bài báo [120] viết về các vấn đề xấp xỉ Diophantine, vấn đề đã được

22
Hary và LiHelwood nghiên cứu bằng các phân số liên tục và các phương
pháp siêu việt, trong khi đó những đóng góp của Pillai chỉ bao gồm các
lập luận sơ cấp.
Trong nghiên cứu ngắn gọn này, chúng tôi chỉ chủ yếu đề cập đến các
vấn đề liên quan đến các lũy thừa hoàn thiện.
2.1.1 Các kết quả của Pillai trên các vấn đề Diophantine
Năm 1931, S.S.Pillai đã chứng minh rằng: Với bất kì số nguyên dương
cố định a và b đều lớn hơn hoặc bằng 2. Số các nghiệm (x, y) của bất đẳng
thức Diophantine 0 < a
x
− b
y
≤ c tiệm cận tới
(log c)
2
2(log a)(log b)
(2.1)
khi c → ∞. Trong 6.2 của bài báo này viết nằng
"Việc nghiên cứu là kết quả chứng minh phương trình
m
x
− n
y
= a (2.2)
chỉ có hữu hạn số các nghiệm nguyên". Đây là một phỏng đoán trước đó.
Trong phương trình này m, n và a là các số cố định, x, y là các ẩn. Sẽ mất
nhiều thời gian để xem xét phương trình tương tự với m, n, x và y là các
ẩn số, chỉ có a là cố định. Trong [109] ông chỉ ra tính hữu hạn của tập hợp
các nghiệm (x, y) với phương trình mũ (2.2) từ kết quả của G.Polya [127].

Tuy nhiên phương pháp tiếp cận của S.S. Pillai dựa trên định lý Siegel
cung cấp nhiều thông tin hơn.
Trình tự thời gian nghiên cứu các vấn đề như trên, tham khảo trong
các công trình của C. Strmer(1908) A. Thue (1908), G. Polya (1918), T.
Nagell (1925 and 1945), S.S. Pillai (1945)được đưa ra bởi P. Ribenboim
trong p. 271 of [128].
Trong năm 1932 [116] Pillai chứng minh rằng khi a → ∞ số N(a) của
(x, y) với x, y nguyên dương và lớn hơn 1 với 0 < x
y
− y
x
≤ a thỏa mãn
N(a) ∼
1
2
(log a)
2
(log(log a))
2
Ông suy luận rằng, với bất kì ε > 0 và với số a đủ lớn so với ε, số các
nghiệm của phương trình x
y
− y
x
= a là nhỏ hơn hoặc bằng
(1 + ε
log a
log(log a)
23
Công việc được bắt đầu vào năm 1930 bởi S.S.Pillai và được A. Herschfeld

tiếp tực nhiên cứu [69],[70]. Ông chỉ ra rằng nếu c là một số nguyên với |c|
đủ lớn thì phương trình
2
x
− 3
y
= c (2.3)
có nhiều nhất một nghiệm (x, y) với x, y là các số nguyên dương. Khi |c|
nhỏ điều này không đúng. A. Herschfeld dùng các phương pháp sơ cấp đã
chỉ ra các bộ ba số (x, y, c) với x, y dương sao cho 2
x
−3
y
= c với |c| ≤ 10
là
(2, 1, 1), (1, 1, −1), (3, 2, −1), (3, 1, 5), (5, 3, 5), (2, 2, −5), (4, 2, 7), (1, 2, −7)
Do đó nếu x > 5 hoặc y > 3 thì |2
x
− 3
y
| > 10. Tương tự A. Herschfeld
cũng chỉ ra nếu x > 8, hoặc y > 5 thì |2
x
− 3
y
| > 100[128]. S.S.Pillai
[117],[118] đã mở rộng kết quả của Herschfeld trong(2.3) cho các số mũ
tổng quát hơn của phương trình Diophantine
a
x

− b
y
= c (2.4)
trong đó a, b và c là các số nguyên cố định, gcd(c, d) = 1 và a > b ≥ 1.
Ông đã chỉ ra tồn tại số c
0
(a, b) sao cho |c| > c
0
(a, b) để phương trình đó
có nhiều nhất một nghiệm. Công trình của Pillai phụ thuộc vào sự làm
mạnh bất đẳng thức Thue của Siegel trên xấp xỉ hữu tỷ của các số đại số
[?]. Trong chứng minh không đưa ra bất kì giá trị cụ thể nào cho c
0
(a, b).
Kết hợp kết quả này với ước lượng (2.1), S.S.Pillai đã suy ra số các số
nguyên trong khoảng [1; n] được biểu diễn dưới dạng a
x
−b
y
tiệm cận với
(log n)
2
2(log a)(log b)
khi n → ∞. Trong trường hợp đặc biệt phương trình Herschfeld (2.3) với
(a, b) = (3, 2), S.S.Pillai dự doán c
0
(3, 2) = 13. Lưu ý các phương trình
3 −2 = 3
2
− 2

3
= 1, 3 − 2
3
= 3
3
− 2
5
= −5, 3 − 2
4
= 3
5
− 2
8
= −13
Dự đoán này trong [128] đã được giải bởi R. J. Stroeker and R. Tijdeman
năm 1982 [151]. Bằng tiêu chuẩn độc lập tuyến tính cho logarit của các
số đại số: "Nếu c > 13 là một số nguyên dương cố định thì phương trình
Diophantine
|3
x
− 2
y
| = c
24