Luận văn thạc sĩ khung gabor
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (472.75 KB, 70 trang )
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
VŨ THỊ THU HÀ
KHUNG GABOR
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - Năm 2012
1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
VŨ THỊ THU HÀ
KHUNG GABOR
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số : 60.46.01.12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. NGUYỄN QUỲNH NGA
Thái Nguyên - Năm 2012
2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
i
Mục lục
LỜI CẢM ƠN 1
MỞ ĐẦU 2
1 Các khái niệm và kiến thức chuẩn bị 4
1.1 Phép biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Phép biến đổi Fourier thời gian ngắn . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Khung trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Định lý Balian-Low . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Khung Gabor trong L
2
(R) 16
2.1 Khung Gabor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Điều kiện cần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Điều kiện đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Không gian Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5 Các hệ dời chỗ bất biến tổng quát . . . . . . . . . . . . . . 36
2.6 Các biểu diễn của toán tử khung Gabor . . . . . . . . . . . 44
2.7 Các đối ngẫu của khung Gabor . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.8 Biến đổi Zak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.9 Khung Gabor chặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
KẾT LUẬN 66
TÀI LIỆU THAM KHẢO 67
3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc
của TS Nguyễn Quỳnh Nga. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc
đến cô giáo.
Tôi cũng xin kính gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy giáo, cô giáo
trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên cũng như các thầy cô
giáo tham gia giảng dạy khóa học cao học 2010 - 2012, những người đã
đem hết tâm huyết và sự nhiệt tình để giảng dạy và trang bị cho chúng
tôi nhiều kiến thức cơ sở.
Tôi xin cảm ơn tập thể giáo viên trường Đại học Hải Phòng nơi tôi
công tác đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt khóa học
cũng như quá trình làm luận văn. Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn
gia đình, bạn bè, những người luôn động viên chia sẻ, giúp tôi trong quá
trình học tập và làm luận văn.
Thái Nguyên, tháng 10 năm 2012.
Tác giả
Vũ Thị Thu Hà
4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài
Trong khi nghiên cứu các không gian véctơ, một trong những khái niệm
quan trọng nhất là khái niệm cơ sở, nhờ đó mỗi véctơ trong không gian
có thể viết như tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong cơ sở. Tuy nhiên,
điều kiện để trở thành cơ sở là khá chặt: không có sự phụ thuộc tuyến tính
giữa các phần tử trong cơ sở. Điều này làm cho khó tìm hoặc thậm chí là
không tìm được các cơ sở thỏa mãn một số điều kiện bổ sung. Đây là lý do
để chúng ta đi tìm một công cụ khác linh hoạt hơn và khung chính là một
công cụ như vậy. Khung cho một không gian Hilbert cho phép ta biểu diễn
mỗi phần tử trong không gian như một tổ hợp tuyến tính của các phần tử
trong khung nhưng không đòi hỏi tính độc lập tuyến tính giữa các phần
tử khung.
Khung được giới thiệu vào năm 1952 bởi Duffin và Schaeffer [3] trong
khi nghiên cứu chuỗi Fourier không điều hòa. Cộng đồng toán học đã không
nhận ra tầm quan trọng của các khái niệm này, phải mất gần 30 năm trước
khi công trình tiếp theo xuất hiện. Vào năm 1980, Young đã viết cuốn sách
có những kết quả cơ bản về khung, lại trong ngữ cảnh của chuỗi Fourier
không điều hòa. Năm 1986, khi bài báo của Daubechies, Grossmann và
Meyer [2] ra đời, lý thuyết khung mới bắt đầu được quan tâm rộng rãi.
Khung có nhiều ứng dụng trong xử lý tín hiệu, lý thuyết mật mã, nén dữ
liệu [4] .
Lý thuyết toán học của giải tích Gabor trong L
2
(R) dựa trên hai lớp
toán tử trên L
2
(R) là:
5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
Phép tịnh tiến với a ∈ R, T
a
: L
2
(R) → L
2
(R) , (T
a
f) (x) = f (x − a) ,
Phép biến điệu với b ∈ R, E
b
: L
2
(R) → L
2
(R) , (E
b
f) (x) = e
2πibx
f (x) .
Giải tích Gabor nhằm biểu diễn các hàm f ∈ L
2
(R) như một chồng
chất của các tịnh tiến và biến điệu của một hàm cố định g ∈ L
2
(R). Bài
báo năm 1986 của Daubechies, Grossmann và Meyer lần đầu tiên đã kết
hợp giải tích Gabor với lý thuyết khung. Các tác giả đã xây dựng khung
trong L
2
(R) có dạng {E
mb
T
na
g}
m,n∈Z
. Từ sau bài báo đó có rất nhiều
công trình nghiên cứu ra đời.
Với mong muốn hiểu biết nhiều hơn về lý thuyết khung nói chung và
khung Gabor nói riêng, tôi quyết định chọn " Khung Gabor " làm đề
tài luận văn cao học.
6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
Chương 1
Các khái niệm và kiến thức chuẩn
bị
1.1 Phép biến đổi Fourier
Cho f ∈ L
1
(R), biến đổi Fourier
ˆ
f được định nghĩa bởi
ˆ
f (γ) :=
∞
−∞
f (x) e
−2πixγ
dx, γ ∈ R
Ta cũng thường ký hiệu biến đổi Fourier của f là Ff.
Nếu
L
1
∩ L
2
(R) được trang bị chuẩn L
2
(R), biến đổi Fourier là một
phép đẳng cự từ
L
1
∩ L
2
(R) đến L
2
(R). Nếu f ∈ L
2
(R) và {f
k
}
∞
k=1
là
một dãy của các hàm trong
L
1
∩ L
2
(R) và hội tụ đến f trong không
gian L
2
, thì dãy
ˆ
f
k
∞
k=1
cũng hội tụ trong L
2
(R), với một giới hạn độc
lập với lựa chọn của {f
k
}
∞
k=1
. Định nghĩa
ˆ
f := lim
k→∞
ˆ
f
k
Ta có thể mở rộng biến đổi Fourier thành một ánh xạ unita từ L
2
(R)
lên L
2
(R). Ta sẽ dùng ký hiệu tương tự để ký hiệu mở rộng này. Đặc biệt
ta có đẳng thức Plancherel
ˆ
f, ˆg
= f, g, ∀f, g ∈ L
2
(R) , và
ˆ
f
= f. (1.1)
Nếu f ∈ L
1
(R), thì
ˆ
f liên tục. Nếu hàm f cũng như
ˆ
f thuộc vào L
1
(R),
công thức nghịch đảo mô tả cách có được hàm f từ các giá trị
ˆ
f (γ) :
7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
Định lý 1.1.1: Giả sử rằng f,
ˆ
f ∈ L
1
(R), khi đó
f (x) =
∞
−∞
ˆ
f (γ) e
2πixγ
dγ, hầu khắp x ∈ R. (1.2)
Công thức từng điểm (1.2) đúng ít nhất với mọi điểm Lebesgue của f.
1.2 Phép biến đổi Fourier thời gian ngắn
Ta hãy bắt đầu bằng cách đưa ra động cơ thúc đẩy sự xuất hiện phép
biến đổi Fourier thời gian ngắn. Cho tín hiệu f (x) , biến số x thường được
giải thích như thời gian, và biến đổi Fourier
ˆ
f (γ) cung cấp thông tin về
độ dao động với tần số γ. Trong thực tế xuất hiện vấn đề là thông tin thời
gian bị mất trong biến đổi Fourier, nghĩa là, không có thông tin về tần
số nào xuất hiện ở thời gian nào. Một cách để vượt qua khó khăn này là
“xem xét tín hiệu ở khoảng thời gian ngắn và lấy biến đổi Fourier ở đây”.
Phát biểu này có nghĩa toán học là ta nhân tín hiệu f với hàm cửa sổ g, là
hằng số trên khoảng bé, và giảm nhanh, trơn và bằng 0 ngoài khoảng nhỏ
này; bằng cách lấy biến đổi Fourier của tích số này, ta có được ý tưởng về
tần số của f trong khoảng thời gian nhỏ. Để có thông tin về f trên toàn
bộ trục thời gian ta lặp quá trình với phép tịnh tiến của hàm cửa sổ.
Thảo luận này dẫn đến định nghĩa của biến đổi Fourier thời gian ngắn,
cũng được gọi là biến đổi Gabor liên tục.
Định nghĩa 1.2.1 ([1], [4]) Cố định hàm g ∈ L
2
(R) \{0}. Phép biến đổi
Fourier thời gian ngắn của một hàm f ∈ L
2
(R) tương ứng với hàm cửa
sổ g được tính bằng cách lấy
Ψ
g
(f) (y, γ) =
∞
−∞
f (x) g (x −y)e
−2πixγ
dx, y, γ ∈ R.
Chú ý nếu viết theo toán tử biến điệu và toán tử tịnh tiến thì
8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
Ψ
g
(f) (y, γ) = f, E
γ
T
y
g.
Biến đổi Fourier thời gian ngắn là chìa khoá để có được phép biểu diễn
kiểu :
f (x) =
∞
−∞
∞
−∞
c
f
(a, b) e
2πibx
g (x −a) dbda.
1.3 Khung trong không gian Hilbert
Đặc trưng chủ yếu của một cơ sở trong không gian Hilbert H là f ∈ H
có thể được biểu diễn như là một tổ hợp tuyến tính (vô hạn) các phần tử
f
k
trong cơ sở:
f =
∞
k=1
c
k
(f)f
k
(1.3)
Hệ số c
k
(f) là duy nhất. Bây giờ chúng tôi giới thiệu khái niệm khung
[1]. Khung là một dãy các phần tử {f
k
}
∞
k=1
trong H, mà cho phép mỗi
f ∈ H được viết như công thức ở (1.3). Tuy nhiên, hệ số tương ứng không
nhất thiết duy nhất. Vì vậy một khung có thể không phải là cơ sở.
Sự xuất hiện của khung là một ví dụ về sự phát triển toán học. Khung
được giới thiệu vào năm 1952 bởi Duffin và Schaeffer trong bài báo quan
trọng của họ [3]; họ đã sử dụng khung như một công cụ trong việc nghiên
cứu chuỗi Fourier không điều hòa, tức là, chuỗi thiết lập từ
e
iλ
n
x
n∈Z
,
ở đây {λ
n
}
n∈Z
là một họ của các số thực hoặc số phức. Rõ ràng là, cộng
đồng toán học đã không nhận ra tầm quan trọng của khái niệm này; phải
mất gần 30 năm trước khi công trình tiếp theo xuất hiện. Vào năm 1980,
Young đã viết cuốn sách có những kết quả cơ bản về khung. Khung được
giới thiệu một cách trừu tượng, và lại sử dụng trong ngữ cảnh của chuỗi
Fourier không điều hòa. Sau đó vào năm 1986 khi bắt đầu kỷ nguyên sóng
nhỏ, Daubechies, Grossmann, Meyer [2] đã quan sát thấy rằng các khung
9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
có thể được sử dụng để tìm ra khai triển chuỗi của các hàm trong L
2
(R)
tương tự như việc khai triển sử dụng cơ sở trực chuẩn. Đây là thời điểm
khi nhiều nhà toán học đã bắt đầu nhận thấy tiềm năng của khung. Điều
này trở nên rõ ràng hơn qua bài báo quan trọng của Daubechies, cuốn sách
của bà và bài báo trình bày tổng quan và nghiên cứu của Heil và Walnut
[5]. Kể từ đó, số lượng bài báo liên quan tới khung đã gia tăng đáng kể.
Định nghĩa 1.3.1 Một dãy {f
k
}
∞
k=1
của các phần tử trong H là một khung
cho H nếu tồn tại các hằng số A, B > 0 sao cho:
Af
2
∞
k=1
|f, f
k
|
2
Bf
2
, ∀f ∈ H. (1.4)
Các số A, B là các cận khung. Chúng không phải là duy nhất. Cận
khung trên tối ưu là cận dưới đúng trên tất cả các cận khung trên, và cận
khung dưới tối ưu là cận trên đúng trên tất cả các cận khung dưới, lưu
ý rằng các cận tối ưu là các cận khung. Chúng ta tập trung vào một vài
định nghĩa nữa như sau:
Định nghĩa 1.3.2
(i) Một khung là chặt nếu chúng ta có thể chọn A = B như các cận
khung.
(ii) Nếu một khung sẽ không còn là một khung nữa khi một phần tử tùy
ý bị lấy đi thì nó được gọi là khung đúng.
Khi chúng ta nói về cận khung cho một khung chặt thì điều đó có nghĩa
là giá trị đúng A vừa là cận trên vừa là cận dưới. Lưu ý rằng điều này hơi
khác với thuật ngữ khung tổng quát, ví dụ, cận trên chỉ là một số thỏa
mãn điều kiện Bessel.
Trong trường hợp không gian Hilbert H là hữu hạn chiều thì dãy
{f
k
}
m
k=1
là khung cho H khi và chỉ khi span {f
k
}
m
k=1
= H.
Thật vậy, giả sử {f
k
}
m
k=1
là khung cho H, tức là tồn tại các hằng số
A, B > 0 sao cho:
10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
Af
2
∞
k=1
|f, f
k
|
2
Bf
2
, ∀f ∈ H.
Giả sử phản chứng rằng span {f
k
}
m
k=1
⊂ H. Khi đó tồn tại f khác
không trong H sao cho f, f
k
= 0, ∀k = 1, m. Từ bất đẳng thức vế trái
bên trên ta suy ra Af
2
= 0. Do đó A = 0 và mâu thuẫn này chứng tỏ
span {f
k
}
m
k=1
= H.
Bây giờ ta giả sử span {f
k
}
m
k=1
= H. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy –
Schwarz ta được:
m
k=1
|f, f
k
|
2
m
k=1
f
2
.f
k
2
=
m
k=1
f
k
2
.f
2
.
Do đó ta có thể chọn B =
m
k=1
f
k
2
làm cận khung trên.
Bây giờ ta giả sử không phải tất cả các f
k
đều bằng không.
Đặt W := span {f
k
}
m
k=1
và xét ánh xạ liên tục
φ : W → R, φ (f) :=
m
k=1
|f, f
k
|
2
.
Hình cầu đơn vị trong W là compact nên ta có thể tìm g ∈ W với
g = 1 sao cho
A :=
m
k=1
|g, f
k
|
2
= inf
m
k=1
|f, f
k
|
2
: f ∈ W, f = 1
.
Rõ ràng là A > 0. Với f ∈ W , f = 0, ta có:
m
k=1
|f, f
k
|
2
=
m
k=1
f
f
, f
k
2
f
2
Af
2
.
Vậy {f
k
}
m
k=1
là một khung cho H.
Trong trường hợp không gian Hilbert H là vô hạn chiều thì ta chỉ có
một chiều nếu {f
k
}
∞
k=1
là một khung trong H thì :
span {f
k
}
∞
k=1
= H.
11Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
Một dãy {f
k
}
k
được gọi là đầy đủ trong H nếu span {f
k
}
k
= H .
Chúng ta thường phải xem xét các dãy không đầy đủ nằm trong H;
chúng không thể hình thành khung trong H, nhưng chúng có thể hình
thành khung cho bao tuyến tính đóng của các phần tử:
Định nghĩa 1.3.3 Cho {f
k
}
∞
k=1
là một dãy trong H. Chúng ta nói rằng
{f
k
}
∞
k=1
là một dãy khung nếu nó là khung cho span {f
k
}
∞
k=1
.
Sau đây là một vài ví dụ về khung. Chúng có thể xuất hiện khá là “thô
sơ”, nhưng chúng có ích cho việc tìm hiểu lý thuyết khung.
Ví dụ 1.3.4 Cho {e
k
}
∞
k=1
là một cơ sở trực chuẩn trong H
(i) Bằng việc lặp lại 2 lần mỗi phần tử trong {e
k
}
∞
k=1
chúng ta có:
{f
k
}
∞
k=1
= {e
1
, e
1
, e
2
, e
2
, },
khung chặt với cận khung A = 2.
Nếu chỉ có e
1
được lặp lại thì chúng ta có
{f
k
}
∞
k=1
= {e
1
, e
1
, e
2
, e
3
, }
là một khung với các cận A = 1, B = 2 .
(ii) Cho
{f
k
}
∞
k=1
:=
e
1
,
1
√
2
e
2
,
1
√
2
e
2
,
1
√
3
e
3
,
1
√
3
e
3
,
1
√
3
e
3
,
;
tức là, {f
k
}
∞
k=1
là dãy mà mỗi véc tơ
1
√
k
e
k
được lặp lại k lần.
Khi đó, cho mỗi f ∈ H,
∞
k=1
|f, f
k
|
2
=
∞
k=1
k
f,
1
√
k
e
k
2
= f
2
Do đó {f
k
}
∞
k=1
là khung chặt trong H với cận khung A = 1.
(iii) Nếu I ⊂ N là tập hợp con thực sự, thì {e
k
}
k∈I
là không đầy đủ trong
H, và không thể là một khung trong H. Tuy nhiên, {e
k
}
k∈I
là một khung
trong span{e
k
}
k∈I
, nghĩa là nó là một dãy khung.
Định nghĩa 1.3.5 Nếu một dãy {f
k
} vừa là cơ sở vừa là khung cho H thì
12Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
{f
k
} được gọi là một cơ sở Riesz.
Một dãy {f
k
}
∞
k=1
trong H được gọi là một dãy Bessel nếu tồn tại một
hằng số B > 0 sao cho
∞
k=1
|f, f
k
|
2
Bf
2
, ∀f ∈ H.
Do một khung {f
k
}
∞
k=1
là dãy Bessel, toán tử
T :
2
(N) → H, T {c
k
}
∞
k=1
=
∞
k=1
c
k
f
k
(1.5)
là bị chặn; T được gọi là toán tử tổng hợp.
Toán tử liên hợp được đưa ra bởi công thức:
T
∗
: H →
2
(N), T
∗
f = {f, f
k
}
∞
k=1
. (1.6)
T
∗
được gọi là toán tử phân tích.
Bằng việc kết hợp T và T
∗
chúng ta có toán tử khung
S : H → H, Sf = T T
∗
f =
∞
k=1
f, f
k
f
k
. (1.7)
Lưu ý rằng {f
k
}
∞
k=1
là dãy Bessel, chuỗi xác định S hội tụ vô điều kiện
cho tất cả f ∈ H. Chúng ta xem xét một vài tính chất quan trọng của S:
Bổ đề 1.3.6 Cho {f
k
}
∞
k=1
là một khung với toán tử khung S và các cận
khung A, B. Khi đó ta có :
(i) S là bị chặn, khả nghịch, tự liên hợp, và dương.
(ii)
S
−1
f
k
∞
k=1
là một khung với các cận B
−1
, A
−1
; nếu A, B là các
cận tối ưu của {f
k
}
∞
k=1
, khi đó các cận B
−1
, A
−1
là tối ưu của
S
−1
f
k
∞
k=1
.
Toán tử khung của
S
−1
f
k
∞
k=1
là S
−1
.
Chứng minh:
(i) S là bị chặn do là hợp của 2 toán tử bị chặn,
S = T T
∗
= T T
∗
= T
2
B.
Từ S
∗
= (T T
∗
)
∗
= T T
∗
= S, toán tử S là tự liên hợp. Bất đẳng
thức (1.4) có nghĩa là Af
2
Sf, f Bf
2
với mọi f ∈ H, hoặc,
13Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
nói một cách tương đương, AI S BI vì vậy S là dương. Hơn nữa,
0 I − B
−1
S
B−A
B
I và hệ thức
I − B
−1
S
= sup
f=1
I − B
−1
S
f, f
B−A
B
< 1,
Do đó S là khả nghịch.
( ii ) Lưu ý rằng với f ∈ H,
∞
k=1
f, S
−1
f
k
2
=
∞
k=1
S
−1
f, f
k
2
B
S
−1
f
2
B
S
−1
2
f
2
.
Nghĩa là,
S
−1
f
k
∞
k=1
là một dãy Bessel. Từ đó suy ra rằng toán tử
khung của
S
−1
f
k
∞
k=1
là được xác định tốt. Theo định nghĩa, nó tác động
lên f ∈ H bằng công thức:
∞
k=1
f, S
−1
f
k
S
−1
f
k
= S
−1
∞
k=1
S
−1
f, f
k
f
k
= S
−1
SS
−1
f
= S
−1
f. (1.8)
Điều này chỉ ra rằng toán tử khung cho
S
−1
f
k
∞
k=1
bằng S
−1
. Toán tử
S
−1
giao hoán với cả S và I, vì vậy chúng ta có thể “nhân các bất đẳng
thức” AI S BI với S
−1
; sẽ tạo thành B
−1
I S
−1
A
−1
I , tức là
B
−1
f
2
S
−1
f, f
A
−1
f
2
, ∀f ∈ H.
Thông qua (1.8),
B
−1
f
2
∞
k=1
f, S
−1
f
k
2
A
−1
f
2
, ∀f ∈ H;
Do đó
S
−1
f
k
∞
k=1
là một khung với các cận khung B
−1
, A
−1
. Để chứng
minh tính cực trị của các cận khung, giả sử A là cận dưới tối ưu cho {f
k
}
∞
k=1
và giả sử cận trên tối ưu cho
S
−1
f
k
∞
k=1
là C <
1
A
. Bằng việc áp dụng
14Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
những điều chúng ta đã chứng minh cho khung S
−1
{f
k
}
∞
k=1
có toán tử
khung S
−1
, chúng ta thấy rằng {f
k
}
∞
k=1
=
S
−1
−1
S
−1
f
k
∞
k=1
có cận
dưới
1
C
> A, nhưng điều này là mâu thuẫn. Vì vậy
S
−1
f
k
∞
k=1
có cận trên
tối ưu
1
A
. Các lập luận về cận dưới tối ưu là tương tự.
Khung
S
−1
f
k
∞
k=1
được gọi là đối ngẫu chính tắc của {f
k
}
∞
k=1
vì nó
đóng cùng vai trò trong lý thuyết khung như đối ngẫu của một cơ sở;
Chúng ta thường xuyên bỏ qua từ “chính tắc” và chỉ nói về “khung đối
ngẫu”.
Sự khai triển khung được phát biểu ở bên dưới, là kết quả khung quan
trọng nhất. Nó chỉ ra rằng nếu {f
k
}
∞
k=1
là một khung trong H, thì mỗi
phần tử trong H có một biểu diễn như là một tổ hợp tuyến tính vô hạn
của các phần tử khung. Do đó một cách tự nhiên ta có thể coi khung như
là một dạng “cơ sở suy rộng”.
Định lý 1.3.7 Cho {f
k
}
∞
k=1
là một khung với toán tử khung S. Khi đó:
f =
∞
k=1
f, S
−1
f
k
f
k
, ∀f ∈ H. (1.9)
Chuỗi hội tụ không điều kiện với mọi f ∈ H .
Chứng minh: Cho f ∈ H, sử dụng các tính chất của toán tử khung trong
bổ đề 1.3.6,
f = SS
−1
f =
∞
k=1
S
−1
f, f
k
f
k
=
∞
k=1
f, S
−1
f
k
f
k
.
Do {f
k
}
∞
k=1
là một dãy Bessel và
f, S
−1
f
k
∞
k=1
∈
2
(N), chuỗi hội tụ
không điều kiện.
Tương tự, chúng ta có biểu diễn sau:
f = S
−1
Sf =
∞
k=1
f, f
k
S
−1
f
k
, ∀f ∈ H. (1.10)
Định lý 1.3.7 chỉ ra rằng mọi thông tin về f ∈ H nằm trong dãy
f, S
−1
f
k
∞
k=1
. Các số
f, S
−1
f
k
được gọi là các hệ số khung.
15Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
Bổ đề sau chỉ ra rằng ta chỉ cần kiểm tra điều kiện khung trong một
tập trù mật.
Bổ đề 1.3.8 Giả sử rằng {f
k
}
∞
k=1
là dãy các phần tử trong H và tồn tại
các hằng số A, B > 0 sao cho
Af
2
∞
k=1
|f, f
k
|
2
Bf
2
(1.11)
với mọi f trong tập con trù mật V của H. Khi đó {f
k
}
∞
k=1
là một khung
trong H với các cận A, B.
Chứng minh: Ta cần chứng minh rằng điều kiện Bessel thỏa mãn với mọi
f ∈ H.
Giả sử g ∈ H và
∞
k=1
|g, f
k
|
2
> Bg
2
. Khi đó tồn tại một tập hữu
hạn F ⊂ N sao cho
k∈F
|g, f
k
|
2
> Bg
2
.
Do V là trù mật trong H, điều này suy ra rằng tồn tại h ∈ V sao cho
k∈F
|h, f
k
|
2
> Bh
2
.
Từ mâu thuẫn trên suy ra
∞
k=1
|g, f
k
|
2
Bg
2
, ∀g ∈ H.
Bây giờ ta chứng minh rằng (1.11) suy ra điều kiện khung dưới được
thỏa mãn trên H. Biểu thị qua toán tử tổng hợp T , giả thiết của ta có
nghĩa là
Af
2
T
∗
f
2
, ∀f ∈ V. (1.12)
Do T
∗
là bị chặn và V là trù mật trong H, suy ra (1.12) đúng với mọi
f ∈ H.
1.4 Định lý Balian-Low
Trong không gian Hilbert L
2
(R) ta có cơ sở trực chuẩn Gabor
16Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
e
2πimx
χ
[0,1]
(x −n)
m,n∈Z
=
E
m
T
n
χ
[0,1]
(x)
m,n∈Z
trong đó χ
[0,1]
là hàm đặc trưng trên [0, 1] và
T
a
: L
2
(R) → L
2
(R) , (T
a
f) (x) = f (x − a) ,
E
b
: L
2
(R) → L
2
(R) , (E
b
f) (x) = e
2πibx
f (x) ; a, b ∈ R.
Tuy nhiên, ví dụ này cho ta thấy một hạn chế như sau. Quan sát:
ˆχ
[0,1]
(γ) =
1
0
e
−2πixγ
dx =
e
−πiγ
i
sin πγ
πγ
.
Do χ
[0,1]
không liên tục, và sự dao động và phân rã chậm của ˆχ
[0,1]
, nên
hàm đặc trưng ít hấp dẫn theo cách nhìn của giải tích thời gian - tần số.
Người ta hy vọng các kết quả tốt hơn có thể đạt được bằng cách thay thế
hàm χ
[0,1]
bởi một hàm trơn g; không may, định lý Balian – Low chứng tỏ
có hạn chế trên các tính chất của g nếu ta muốn {E
m
T
n
g}
m,n∈Z
trở thành
một cơ sở Riesz.
Định lý 1.4.1 Cho g ∈ L
2
(R). Nếu {E
m
T
n
g}
m,n∈Z
là một cơ sở Riesz
trong L
2
(R) thì
∞
−∞
|xg (x)|
2
dx
∞
−∞
|γˆg (γ)|
2
dγ
= ∞. (1.13)
Định lý Balian – Low có nghĩa là một hàm g tạo ra một cơ sở Riesz
Gabor không thể địa phương hóa tốt trong cả thời gian và tấn số. Ví dụ,
g và ˆg không thể có ước lượng như
|g (x)|
C
1 + x
2
, |ˆg (γ)|
C
1 + γ
2
đồng thời xảy ra.
Nếu sự giảm nhanh hơn của g và ˆg là cần thiết, ta hỏi liệu có cần tất
cả các tính chất đặc trưng của cơ sở Riesz hoặc liệu có thể giảm nhẹ một
số tính chất. Tính chất chúng ta muốn giữ là với mọi f ∈ L
2
(R) có khai
triển hội tụ không điều kiện theo các phép biến điệu và tịnh tiến của hàm
17Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
g. Tuy nhiên, tính chất khai triển (hội tụ không điều kiện) thực sự có thể
kết hợp với g và ˆg giảm rất nhanh: phần trong định nghĩa của một cơ sở
phải bỏ đi là tính duy nhất của khai triển đó. Điều này đưa ta từ cơ sở
đến khung.
18Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
Chương 2
Khung Gabor trong L
2
(
R)
2.1 Khung Gabor
Lý thuyết toán học của giải tích Gabor trong L
2
(R) được dựa trên 2
lớp toán tử trên L
2
(R), đó là:
Phép tịnh tiến với a ∈ R , T
a
: L
2
(R) → L
2
(R) , (T
a
f) (x) = f (x − a) ,
Phép biến điệu với b ∈ R , E
b
: L
2
(R) → L
2
(R) , (E
b
f) (x) = e
2πibx
f (x).
Giải tích Gabor nhằm biểu diễn các hàm f ∈ L
2
(R) như một chồng
chất của các tịnh tiến và biến điệu của một hàm cố định g ∈ L
2
(R). Có
hai cách để tiếp cận vấn đề này. Thứ nhất là tìm biểu diễn tích phân chứa
toàn bộ các tịnh tiến và biến điệu có thể, nghĩa là, biểu diễn như:
f (x) =
∞
−∞
∞
−∞
c
f
(a, b) e
2πibx
g (x − a) dbda. (2.1)
Ở đây chúng ta phải tìm một hàm c
f
của hai biến số làm điều này xảy
ra. Phương pháp thứ hai là để hạn chế các tham số tịnh tiến và biến điệu
trên một tập hợp con rời rạc Λ ⊂ R
2
và yêu cầu biểu diễn chuỗi của f
theo các hàm
e
2πibx
g (x − a)
(a,b)∈Λ
. (2.2)
Chìa khoá cho phương pháp thứ nhất là phép biến đổi Fourier thời gian
ngắn, mà ta định nghĩa trong mục (1.2). Liên quan đến phương pháp thứ
19Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
hai, câu hỏi tự nhiên là làm cách nào ta có thể lựa chọn g ∈ L
2
(R) và tập
hợp Λ sao cho các hàm trong (2.2) tạo thành một khung trong L
2
(R). Với
cách đặt vấn đề tổng quát như vậy thì câu hỏi là rất khó, và ta sẽ chủ yếu
thảo luận trường hợp trong đó Λ là một dàn trong R
2
.
Ý tưởng cơ bản thuộc về Gabor, người xét dãy các hàm có dạng
{E
mb
T
na
g}
m,n∈Z
, trong đó ab = 1 và g là hàm Gauss, g (x) = e
−x
2
/2
.
Khá lâu sau này David và Heller quan sát rằng hệ Gabor đặc biệt này dẫn
đến khai triển không ổn định và không phù hợp cho hầu hết các ứng dụng
về sau. David và Heller đề nghị khắc phục khó khăn này bằng cách lựa
chọn a, b sao cho ab < 1.
Giải tích Gabor đi theo hướng mới hoàn toàn với bài báo cơ sở của
Daubechies, Grossmann và Meyer từ năm 1986. Đây là lần đầu tiên ý
tưởng kết hợp giải tích Gabor với lý thuyết khung. Các tác giả xây dựng
các khung chặt trong L
2
(R) có dạng {E
mb
T
na
g}
m,n∈Z
. Từ sau bài báo đó
có rất nhiều công trình nghiên cứu ra đời.
Chương này chứa các cơ sở thiết yếu, như các điều kiện tương đương
(điều kiện cần và điều kiện đủ) cho {E
mb
T
na
g}
m,n∈Z
là khung. Để cung
cấp bức tranh đầy đủ ta cũng nói đến hệ Gabor là trường hợp đặc biệt
của lớp lớn hơn, là hệ bất biến với các phép tịnh tiến. Các kết quả khái
quát về khung Gabor có thể tham khảo ở tài liệu tham khảo [1], [4], [5].
Các toán tử E
b
và T
a
sẽ đóng vai trò quan trọng trong chương này. Chú
ý rằng, mặc dù E
b
được định nghĩa là toán tử tác động trên L
2
(R) , ta sẽ
thường xuyên dùng cùng ký hiệu khi toán tử tác động lên các không gian
hàm khác. Chẳng hạn như, ký hiệu E
b
một mình sẽ có nghĩa đơn giản là
hàm x → e
2πibx
.
Bây giờ ta sẵn sàng định nghĩa đối tượng chính của chương này.
Định nghĩa 2.1.1 Một khung Gabor là khung trong L
2
(R) có dạng
{E
mb
T
na
g}
m,n∈Z
, khi a, b > 0 và g ∈ L
2
(R) là một hàm cố định.
Khung có dạng này còn được gọi là khung Weyl-Heisenberg. Hàm g được
20Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
gọi là hàm cửa sổ hay là phần tử sinh. Ta có thể viết lại như sau:
E
mb
T
na
g (x) = e
2πimbx
g (x − na) . (2.3)
Chú ý khi nói về khung Gabor, nghĩa là khung cho toàn bộ L
2
(R),
nghĩa là, ta sẽ không làm việc với các khung cho các không gian con.
Hệ Gabor {E
mb
T
na
g}
m,n∈Z
chỉ bao gồm các tịnh tiến với các tham số
na, n ∈ Z và các biến điệu với tham số mb, m ∈ Z . Điểm {(na, mb)}
m,n∈Z
tạo thành một dàn trong L
2
(R) , và vì lý do này thường gọi {E
mb
T
na
g}
m,n∈Z
là khung Gabor đều.
Người ta đã chứng minh được rằng chọn a, b > 0 , ab < 1 và g (x) =
e
−x
2
/2
thì {E
mb
T
na
g}
m,n∈Z
là khung Gabor.
Ron và Shen đã đặc trưng tất cả khung Gabor có dạng {E
mb
T
na
g}
m,n∈Z
.
Ta cần một bổ đề trước khi phát biểu kết quả của họ.
Bổ đề 2.1.2 Giả sử f, g ∈ L
2
(R) và a, b > 0 , k ∈ Z cho trước. Khi đó
chuỗi
n∈Z
f (x − na)
g (x − na − k/b), x ∈ R (2.4)
hội tụ một cách tuyệt đối với hầu khắp x ∈ R ; nó định nghĩa một hàm với
chu kỳ a, có hạn chế trên [0, a] thuộc về L
1
(0, a). Nghĩa là,
x →
n∈Z
f (x − na) g (x − na − k/b)
∈ L
1
(0, a) .
Chứng minh: Từ f, T
k/b
g ∈ L
2
(R) , ta có fT
k/b
g ∈ L
1
(R) . Do đó,
a
0
n∈Z
f (x − na) g (x − na − k/b)
dx =
∞
−∞
f (x) g (x −k/b)
dx < ∞
Do đó
n∈Z
f (x − na) g (x − na − k/b)
< ∞ với hầu khắp x ∈ [0, a].
Bây giờ khi ta biết rằng chuỗi trong (2.4) hội tụ với hầu khắp x ∈ [0, a],
ta cũng có thể kết luận rằng nó định nghĩa một hàm với chu kỳ a.
Cho g ∈ L
2
(R) , xét hàm giá trị ma trận
M (x) := (g (x − na − m/b))
m,n∈Z
, x ∈ R (2.5)
21Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
để chính xác hơn, M (x) là định nghĩa tốt với hầu khắp x ∈ R như một
ma trận vô hạn, có phần tử hàng thứ m và cột thứ n là
M
m,,n
(x) = g (x − na − m/b) .
Giả sử M(x)
∗
là liên hợp chuyển vị của M (x), về mặt hình thức ta xét
tích số ma trận
M (x) M(x)
∗
có phần tử ở hàng thứ m và cột thứ n là
G
m,k
(x) =
n∈Z
g (x − na − m/b) g (x − na − k/b). (2.6)
Chú ý rằng chuỗi định nghĩa G
m,k
(x) là hội tụ với hầu khắp x ∈ R do
bổ đề 2.1.2. Hàm G
m,k
cũng sẽ đóng vai trò trong các phần sau.
Khi {c
k
}
k∈Z
là một dãy hữu hạn, chúng ta có thể định nghĩa một cách
hình thức tích số ma trận M (x) M(x)
∗
{c
k
}
k∈Z
; kết quả là một dãy, mà
phần tử thứ m là
n∈Z
k∈Z
g (x − na − m/b) g (x − na − k/b)c
k
.
Hóa ra điều kiện cần để {E
mb
T
na
g}
m,n∈Z
là khung Gabor là M (x) M(x)
∗
định nghĩa toán tử bị chặn ánh xạ
2
(Z) vào
2
(Z) . Giả sử rằng điều này
xảy ra, ta xét lại dãy hữu hạn {c
k
}
k∈Z
và đạt được
M (x) M(x)
∗
{c
k
}, {c
k
}
=
n∈Z
k∈Z
m∈Z
g (x − na − m/b) g (x − na − k/b)c
k
c
m
=
n∈Z
k∈Z
g (x − na − k/b)c
k
2
0.
Do đó, M (x) M(x)
∗
là toán tử dương trên
2
(Z) ; nghĩa là
22Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
M (x) M(x)
∗
0 trên
2
(Z).
Đặc trưng của khung Gabor được phát hiện bởi Ron và Shen như sau:
Định lý 2.1.3 Giả sử A, B > 0 và cho hệ Gabor {E
mb
T
na
g}
m,n∈Z
. Khi
đó {E
mb
T
na
g}
m,n∈Z
là một khung trong L
2
(R) với các cận A, B nếu và chỉ
nếu
bAI M (x) M(x)
∗
bBI hầu khắp x, (2.7)
trong đó I là toán tử đồng nhất trên
2
(Z) .
Một cách tự nhiên để sử dụng định lý 2.1.3 là đầu tiên chứng minh
rằng ma trận M (x) đã cho trong (2.5) định nghĩa toán tử bị chặn trên
2
(Z), với một cận đều trên các chuẩn. Khi đó toán tử M (x) M(x)
∗
bị
chặn, và điều kiện trên trong (2.7) xảy ra. Để chứng minh điều kiện dưới
trong (2.7) bây giờ ta chỉ cần xét các dãy hữu hạn.
Ta sẽ suy ra định lý 2.1.3 như trường hợp đặc biệt của đặc trưng của
hệ bất biến đối với các phép dịch chuyển.
Trong nhiều trường hợp, ta sẽ giả thiết rằng hoặc tham số tịnh tiến hay
là tham số biến điệu trong khung Gabor bằng 1. Cho khung Gabor tuỳ
ý {E
mb
T
na
g}
m,n∈Z
điều này có thể được đạt được bằng cách thay g bằng
hàm có dạng
D
c
g (x) =
1
c
1/2
g (x/c) .
Mệnh đề 2.1.4 Giả sử g ∈ L
2
(R) và cho a, b, c > 0 ; cho {E
mb
T
na
g}
m,n∈Z
là khung Gabor. Khi đó, với g
c
:= D
c
g, họ Gabor
E
mb/c
T
nac
g
c
m,n∈Z
là
khung với các cận khung giống như các cận khung của {E
mb
T
na
g}
m,n∈Z
.
Chứng minh: Các toán tử có dạng D
c
là unita. {D
c
E
mb
T
na
g}
m,n∈Z
là
một khung với các cận khung giống như của {E
mb
T
na
g}
m,n∈Z
. Dùng quan
hệ hoán tử,
D
c
E
mb
T
na
= E
mb/c
D
c
T
na
= E
mb/c
T
nac
D
c
và mệnh đề được chứng minh.
23Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
21
2.2 Điều kiện cần
Bây giờ ta chuyển sang câu hỏi rằng làm thế nào để có được khung
Gabor {E
mb
T
na
g}
m,n∈Z
trong L
2
(R) . Một trong những kết quả cơ bản
nhất nói rằng tích số ab quyết định liệu {E
mb
T
na
g}
m,n∈Z
có thể là một
khung trong L
2
(R) không.
Định lý 2.2.1 Giả sử g ∈ L
2
(R) và cho a, b > 0. Khi đó, ta có:
(i) Nếu ab > 1 thì {E
mb
T
na
g}
m,n∈Z
không là khung trong L
2
(R) .
(ii) Nếu {E
mb
T
na
g}
m,n∈Z
là khung, thì ab = 1 ⇔ {E
mb
T
na
g}
m,n∈Z
là cơ
sở Riesz .
Do đó, {E
mb
T
na
g}
m,n∈Z
chỉ có thể là khung nếu ab 1, và khung là
thừa nếu ab < 1. Ta lưu ý là có thể chứng minh kết quả mạnh hơn (i) :
Khi ab > 1, họ {E
mb
T
na
g}
m,n∈Z
không thể đầy đủ trong L
2
(R) .
Giả thiết ab 1 không đủ để {E
mb
T
na
g}
m,n∈Z
là một khung, cho dù
g = 0. Ví dụ, nếu a ∈
1
2
, 1
, các hàm
E
m
T
na
χ
[
0,
1
2
]
m,n∈Z
không đầy đủ
trong L
2
(R) và không thể tạo thành khung.
Mệnh đề sau cho một điều kiện cần để {E
mb
T
na
g}
m,n∈Z
là một khung
trong L
2
(R) . Điều này phụ thuộc vào ảnh hưởng lẫn nhau giữa hàm g và
tham số tịnh tiến a, và được mô tả qua hàm G
0,0
định nghĩa trong (2.6) ;
do hàm này sẽ được dùng thường xuyên, ta viết một cách đơn giản là
G (x) =
n∈Z
|g (x − na)|
2
. (2.8)
Mệnh đề 2.2.2 Giả sử g ∈ L
2
(R) và cho a, b > 0. Giả sử rằng
{E
mb
T
na
g}
m,n∈Z
là khung với các cận khung A, B. Khi đó,
bA
n∈Z
|g (x − na)|
2
bB hầu khắp. (2.9)
chính xác hơn, nếu cận trên trong (2.9) không xảy ra thì {E
mb
T
na
g}
m,n∈Z
không phải là dãy Bessel ; nếu cận dưới không xảy ra thì {E
mb
T
na
g}
m,n∈Z
không thoả mãn điều kiện khung dưới.
24Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
22
Chứng minh: Chứng minh bằng phản chứng. Giả sử rằng điều kiện trên
trong (2.9) bị vi phạm. Khi đó tồn tại một tập đo được ∆ ∈ R với độ đo
dương sao cho G (x) =
n∈Z
|g (x − na)|
2
> bB trên ∆ . Ta có thể giả thiết
rằng ∆ nằm trong một khoảng có độ dài
1
b
. Bằng cách đặt
∆
0
= {x ∈ ∆ |G (x) 1 + bB }
∆
k
=
x ∈ ∆
1
k+1
+ bB G (x) <
1
k
+ bB
, k ∈ N,
ta nhận được một phân hoạch của ∆ thành các tập đo được tách rời
nhau. Ít nhất một trong số chúng, chẳng hạn như ∆
k
, có độ đo dương.
Bây giờ xét hàm f = χ
∆
k
và lưu ý là f
2
= |∆
k
| .Cho n ∈ Z, hàm
f
T
na
g có giá trong ∆
k
. Từ ∆
k
nằm trong một khoảng có độ dài
1
b
và các
hàm
√
bE
mb
m∈Z
tạo thành một cơ sở trực chuẩn trong L
2
(I) với mỗi
khoảng I có độ dài
1
b
, ta có
m∈Z
|f, E
mb
T
na
g|
2
=
m∈Z
fT
na
g, E
mb
2
=
1
b
∞
−∞
|f (x)|
2
|g (x − na)|
2
dx
Do đó,
m,n∈Z
|f, E
mb
T
na
g|
2
=
1
b
n∈Z
∞
−∞
|f (x)|
2
|g (x − na)|
2
dx
=
1
b
∆
k
G (x) dx
1
b
1
k
+ 1
+ bB
f
2
=
B +
1
b (k
+ 1)
f
2
.
Nhưng khi đó B không thể là cận khung trên của {E
mb
T
na
g}
m,n∈Z
.
Chứng minh tương tự thấy rằng nếu điều kiện dưới trong (2.9) bị vi phạm,
thì A không là cận khung dưới của {E
mb
T
na
g}
m,n∈Z
.
25Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
