Luận văn thạc sĩ bài toán tìm bao lồi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN KIỀU LINH
BÀI TOÁN TÌM BAO LỒI
LUẬN VĂN THẠC SỸ
Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số : 00 00 00
Giáo viên hướng dẫn:
TS. HOÀNG NAM DŨNG
THÁI NGUYÊN, 2012
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Lời cảm ơn
Sau một thời gian cố gắng, nỗ lực học tập và nghiên cứu, đến nay tôi đã hoàn
thành luận văn tốt nghiệp thạc sỹ của mình. Để có được kết quả này, tôi xin
bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và lời cảm ơn chân thành nhất đến thầy tôi, TS.
Hoàng Nam Dũng, người đã định hướng nghiên cứu cho tôi trong suốt thời gian
thực hiện luận văn của mình. Cám ơn thầy đã mang đến cho tôi những bài học
quý báu về phương pháp nghiên cứu khoa học. Đó chính là nền tảng cơ bản,
là những hành trang vô cùng quý giá để tôi có thể tiếp cận được với khoa học
thật sự. Thầy đã dạy cho tôi không chỉ những kiến thức khoa học mà còn cả
những bài học về cuộc sống, về tình người. Xin cảm ơn về tất cả những gì thầy
đã mang đến cho tôi.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô ở trường Đại học Khoa học,
Đại học Thái Nguyên và các thầy cô ở Viện Toán học đã luôn tận tình giúp đỡ,
theo dõi và động viên cho tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn này.
Xin cám ơn những người thân trong gia đình đã hết sức thông cảm, chia sẻ và
tạo điều kiện tốt nhất cho tôi để tôi có thể học tập, nghiên cứu và hoàn thành
những công việc của mình.
Xin cám ơn tất cả những người bạn thân yêu, những người đã yêu mến, chia
sẻ với tôi những khó khăn vui buồn trong khi tôi thực hiện luận văn này.
2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Mục lục
1 Bài toán tìm bao lồi và ứng dụng 7
1.1 Bài toán tìm bao lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Bao lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3 Bài toán tìm bao lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Ứng dụng của bài toán tìm bao lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Nhận dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Tìm đường đi ngắn nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.3 Hệ thống thông tin địa lý (GIS) . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.4 Thống kê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.5 Tìm đường kính của một tập hợp điểm . . . . . . . . . . . 15
2 Các thuật toán tìm bao lồi 19
2.1 Một số khái niệm và thuật toán cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Thuật toán gói quà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Thuật toán quét Graham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.1 So sánh hai góc trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.2 Sắp xếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.3 Thuật toán quét Graham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4 Thuật toán Quickhull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5 Thuật toán Chan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 Cải tiến các thuật toán 39
3.1 Xóa điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Cải tiến thuật toán Quickhull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4 Kết quả tính toán 45
4.1 Tạo tập hợp điểm ngẫu nhiên và thuật toán xóa điểm . . . . . . . 45
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4.2 Các kết quả tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Mở đầu
Bài toán tìm bao lồi là một trong những bài toán đặc biệt quan trọng trong
lĩnh vực hình học tính toán bởi các ứng dụng đa dạng của nó. Chẳng hạn như
nhận dạng mẫu, xử lý hình ảnh, tìm đường đi cho robot, số liệu thống kê, . . . .
Hơn nữa bài toán tìm bao lồi còn được áp dụng để tìm ra các bài toán tính toán
hình học khác như tìm tam giác phân Delaunay, tìm đường kính của một tập
hợp, tìm các lớp lồi của một tập hợp, . . . . Vì các ứng dụng quan trọng của nó
nên nhiều nhà khoa học đã bắt tay vào việc nghiên cứu và đưa ra các thuật toán
tìm bao lồi của một tập hợp. Điển hình như sự phát hiện của Chand và Kapur
vào năm 1970 và Jarvis vào năm 1973 với thuật toán gói quà, Ronald Graham
vào năm 1972 với thuật toán quét Graham, W. Eddy năm 1977 và A.Bykat
năm 1978 với thuật toán Quickhull, Timothy Chan vào năm 1993 với thuật toán
Chan, . . . . Hiện nay có rất nhiều nhà khoa học dựa vào các thuật toán này để
cải tiến và tăng tốc cho chúng nhằm đáp ứng các yêu cầu của cuộc sống hiện
đại như xử lí các vấn đề ở tốc độ cao với số lượng lớn. Xuất phát từ lí do trên
luận văn này đưa ra một một số cải tiến nhằm tăng tốc cho việc tính toán khi
tìm bao lồi của một tập hợp điểm trên mặt phẳng.
Luận văn này gồm bốn chương. Chương 1 phát biểu bài toán tìm bao lồi
và trình bày một số ứng dụng quan trọng của bài toán này trong thực tiễn.
Chương 2 trình bày các thuật toán tìm bao lồi trong không gian hai chiều như
thuật toán gói quà, thuật toán quét Graham, thuật toán Quickhull và thuật
toán Chan. Chương 3 đưa ra thuật toán xóa điểm, là thuật toán dựa vào tính
chất của những điểm cực nằm trong tập các đỉnh của bao lồi, để xóa bớt những
điểm nằm trong đa giác tạo bởi các điểm cực, nhằm mục đích giảm bớt số lượng
các điểm đầu vào cho các thuật toán tìm bao lồi. Đồng thời chương này cũng
trình bày một cải tiến cho thuật toán Quickhull. Chương 4 nêu các kết quả tính
toán của các thuật toán đã được trình bày ở chương 3 như thuật toán xóa điểm,
thuật toán Quickhull và Quickhull cải tiến.

Trong quá trình nghiên cứu và tìm tòi để hoàn thành luận văn này, mặc dù
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
tác giả đã có nhiều nỗ lực cố gắng, nhưng chắc chắn luận văn sẽ không tránh
khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và
các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.
6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1
Bài toán tìm bao lồi và ứng dụng
Như đã biết, bài toán tìm bao lồi là một trong những bài toán đặc biệt quan
trọng trong lĩnh vực hình học tính toán. Chương này phát biểu bài toán tìm bao
lồi và đưa ra một số ứng dụng quan trọng của bài toán trong thực tế.
1.1 Bài toán tìm bao lồi
Trước khi trình bày định nghĩa bài toán tìm bao lồi ta trình bày các khái
niệm tập lồi, tổ hợp lồi, . . . [19].
1.1.1 Tập lồi
Định nghĩa 1.1. Cho hai điểm p, q ∈ R
n
. Tập hợp tất cả các điểm x có dạng
x = (1 −λ)p + λq
với 0 ≤ λ ≤ 1 gọi là đoạn thẳng nối p với q và được kí hiệu là pq.
Định nghĩa 1.2. Cho p
1
, p
2
, , p
k
∈ R
n

. Những điểm x ∈ R
n
có dạng x =
k

i=1
λ
i
p
i
trong đó p
i
∈ R
n
và 0 ≤ λ
i
≤ 1 với
k

i=1
λ
i
= 1 được gọi là một tổ hợp lồi của
p
1
, p
2
, , p
k
∈ R

n
.
Định nghĩa 1.3. Một tập S được gọi là một tập lồi nếu cho hai điểm p, q tùy ý
thuộc S thì bất kì tổ hợp lồi nào của p và q cũng nằm trong S hay đoạn thẳng
pq phải nằm hoàn toàn trong S (hình 1.1).
1.1.2 Bao lồi
Sau đây ta trình bày định nghĩa bao lồi và phát biểu bài toán tìm bao lồi
trong không gian R
n
bất kỳ.
7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(a) Tập lồi (b) Tập không lồi
Hình 1.1
Định nghĩa 1.4. Bao lồi của một tập S hữu hạn điểm là giao của tất cả các
tập lồi chứa S. Ta kí hiệu bao lồi của S là conv(S) (hình 1.2).
Nhận xét 1.1. Bao lồi của tập S là tập lồi nhỏ nhất chứa S. Bao lồi của một
tập hữu hạn điểm P ⊂ R
n
là một đa diện lồi trong R
n
(hình 1.3).
Định nghĩa 1.5. Mỗi p ∈ P thỏa mãn p /∈ conv(P \{p}) được gọi là một đỉnh
của conv(P ).
Hình 1.2 Bao lồi của một tập hữu hạn
Hình 1.3 Bao lồi của một tập hữu hạn
8
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Nhận xét 1.2. Nếu gọi tập hợp các đỉnh của conv(P ) là H thì ta có
conv(P ) = conv(H).

Định nghĩa 1.6. Trong mặt phẳng, đa giác tạo bởi các đỉnh của một bao lồi
được gọi là biên của bao lồi đó.
1.1.3 Bài toán tìm bao lồi
Cho một tập hợp P hữu hạn điểm, bài toán tìm bao lồi của P là bài toán tìm
tập hợp H các đỉnh của bao lồi conv(P) của P .
Input: Tập hợp P hữu hạn n điểm p
1
, p
2
, , p
n
.
Output: Tập đỉnh của bao lồi conv(P ), H = {h
1
, h
2
, , h
m
}(hình 1.4).
(a) Input (b) Output
Hình 1.4
1.2 Ứng dụng của bài toán tìm bao lồi
Bài toán tìm bao lồi của một tập hợp hữu hạn điểm có ứng dụng đa dạng
trong nhiều lĩnh vực chẳng hạn như nhận dạng mẫu, xử lý hình ảnh, tìm đường
đi cho robot, số liệu thống kê, . . . . Bài toán tìm bao lồi còn được áp dụng rộng
rãi để tìm ra các bài toán tính toán hình học khác và các bài toán này có rất
nhiều ứng dụng trong thực tế như bài toán tìm tam giác phân Delaunay, bài
toán tìm đường kính của một tập hợp, bài toán tìm các lớp lồi của một tập hợp,
. . . . Sau đây ta sẽ trình bày một số ứng dụng quan trọng của bài toán tìm bao
lồi.

9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1.2.1 Nhận dạng
Bài toán tìm bao lồi có ứng dụng rất quan trọng trong lĩnh vực nhận dạng.
Nhận dạng nhằm mục đích phân loại dữ liệu (là các mẫu) dựa vào thông tin
thống kê được khai thác từ các mẫu có sẵn. Các mẫu cần phân loại thường được
biểu diễn thành các nhóm của các dữ liệu đo đạc hay quan sát được.
Các ứng dụng phổ biến trong thực tế là nhận dạng tiếng nói tự động, phân
loại văn bản thành nhiều loại khác nhau (ví dụ những thư điện tử spam/non-
spam), nhận dạng tự động các mã bưu điện viết tay trên các bao thư, hay hệ
thống nhận dạng mặt người, nhận dạng biển số xe, . . . . Sau đây ta xét một ứng
dụng cụ thể của bài toán tìm bao lồi trong nhận dạng biển số xe. Nội dung và
hình vẽ được trích trong [14].
Hình 1.5
Quy trình của quá trình xử lý nhận diện biển số xe thường thông qua các
bước như hình 1.5 và bài toán tìm bao lồi được ứng dụng trong bước 4 của quá
trình nhận dạng. Trong bước này ta cô lập từng kí tự trong biển số xe được trích
ra ở bước 3. Tiếp theo sử dụng thuật toán tìm bao lồi tìm vùng tối thiểu chứa
mỗi kí tự đó để chuẩn bị tiến hành nhận dạng ở bước 5. Hình 1.6 biểu diễn các
10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
bước của quá trình xử lý nhận diện biển số xe.
(a) Chụp ảnh từ camera (b) Tiền xử lý ảnh
(c) Trích vùng biển số xe (d) Tìm bao lồi cho mỗi kí tự
Hình 1.6 Các bước của quá trình nhận dạng
1.2.2 Tìm đường đi ngắn nhất
Bài toán đặt ra là tìm một đường đi ngắn nhất cho một robot đi từ điểm s
đến điểm t với các chướng ngại vật nằm giữa hai điểm đó. Giả sử để tránh các
chướng ngại vật thì robot không thể đi xuyên qua chúng được. Vì vậy nếu ta
tìm được bao lồi của tập P ∪{s, t}, với P là tập các chướng ngại vật, thì đi theo

đường ngắn hơn trong hai đường biên trên và biên dưới của bao lồi sẽ không
gặp các chướng ngại vật và đường đi ấy là ngắn nhất (hình 1.7).
Hình 1.7 Đường đi ngắn nhất
11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1.2.3 Hệ thống thông tin địa lý (GIS)
Bài toán tìm bao lồi được ứng dụng trong các mô hình biểu diễn dữ liệu của
hệ thống thông tin địa lý GIS. GIS được thiết kế như một hệ thống chung để
quản lý dữ liệu không gian, nó có rất nhiều ứng dụng trong việc phát triển đô
thị và môi trường tự nhiên như là quy hoạch đô thị, quản lý nhân lực, nông
nghiệp, điều hành hệ thống công ích, lộ trình, nhân khẩu, bản đồ, giám sát vùng
biển, cứu hoả, bệnh tật, . . Các ứng dụng này của GIS được trình bày cụ thể
trong [2].
Trong các mô hình biểu diễn dữ liệu của GIS, chúng ta thường nhắc đến một
khái niệm là feature. Feature là một đối tượng trên bản đồ có hình dạng, vị trí
và các thuộc tính xác định cụ thể. Có ba mô hình dữ liệu trong GIS như mô
hình dữ liệu vector, mô hình dữ liệu raster và mô hình TIN. Bài toán tìm bao
lồi được áp dụng một cách gián tiếp trong các mô hình dữ liệu vector và mô
hình dữ liệu TIN. Dưới đây ta trình bày ứng dụng cụ thể của bài toán tìm bao
lồi trong mô hình dữ liệu vector. Nội dung và các hình vẽ trong phần này trích
từ [10].
Mô hình dữ liệu vector xem các sự vật và hiện tượng là tập các thực thể không
gian cơ sở và tổ hợp của chúng (hình 1.8a). Trong mô hình 2D thì các thực thể
cơ sở bao gồm: điểm (points), đường (lines) và vùng (polygons). Đối tượng điểm
biểu diễn các feature không có miền bao hay độ dài, nhiều khi nó biểu diễn các
feature có kích thước quá nhỏ so với tỷ lệ của bản đồ (hình 1.8b). Đối tượng
đường dùng để biểu diễn các feature có chiều dài xác định nhưng không có miền
bao hay những feature rất hẹp so với tỷ lệ bản đồ (hình 1.8c). Đối tượng vùng
được dùng để biểu diễn các feature có miền bao xác định như ruộng đất, ao, hồ
hay các đơn vị hành chính, . . . (hình 1.8d). Sau đó dựa vào các thuật toán phân

tích trên mô hình dữ liệu vector để đưa tập thực thể cơ sở thành một tập đối
tượng có thể đưa vào bản đồ. Một trong các thuật toán này là thuật toán tìm
bao lồi. Khi các thực thể cơ sở nhận được dưới dạng điểm thì ta dùng thuật
toán tìm bao lồi của một tập hợp điểm để đưa ra một một đối tượng là một đa
giác lồi nhỏ nhất chứa các điểm đó (hình 1.9a). Khi các thực thể cho dưới dạng
đường thì thuật toán tìm bao lồi của đường cong trong mặt phẳng, thuật toán
này được trình bày cụ thể ở [12], cũng cho ta một đối tượng mới là một đa giác
lồi nhỏ nhất chứa các thực thể đó (hình 1.9b). Cuối cùng nếu đối tượng được
cho dưới dạng vùng thì ta phải áp dụng thuật toán tìm bao lồi cho miền đa giác
đơn, thuật toán này đươc trình bày trong [9], để tạo ra một đối tượng mới là
12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
một vùng nhỏ nhất bao kín đối tượng. Những đối tượng mới này có tính chất,
hình dạng và kích thước gần với các tập thực thể cơ sở nhất. Do vậy những đối
tượng này phù hợp để đưa vào bản đồ (hình 1.9).
(a) Bản đồ với mô hình dữ liệu vector. (b) Đối tượng điểm trên bản đồ.
(c) Đối tượng đường trên bản đồ. (d) Đối tượng vùng trên bản đồ.
Hình 1.8
(a) Thuật toán tìm bao lồi cho đối tượng điểm.
(b) Thuật toán tìm bao lồi cho đối tượng đường.
(c) Thuật toán tìm bao lồi cho đối tượng vùng.
Hình 1.9
13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1.2.4 Thống kê
Như ta biết, một bài toán trọng tâm trong thống kê là ước lượng đánh giá
thông số dân số (population parameter) từ một mẫu dữ liệu ngẫu nhiên được
rút ra. Tuy nhiên một số thông số đó lại cực kỳ nhạy cảm với giá trị ngoại lai
(outliers), đó là những điểm có số liệu cách xa một cách bất thường với trung
tâm của các quan sát. Các giá trị ngoại lai có thể có ảnh hưởng lớn đến việc tính

toán các ước lượng thông số trong phân tích hồi quy (regression analysis) hoặc
các số thống kê tóm tắt (brief statistics) chẳng hạn như trung bình và phương
sai mẫu mà kết quả là có thể lấy cả những giá trị không tiêu biểu. Do đó các
giá trị ngoại lai thường hay bị bỏ qua để không gây ra lỗi trong dự đoán. Một
ứng dụng của bao lồi có thể giải quyết được vấn đề này, đó là thuật toán tìm
các lớp lồi của một tập hợp bất kỳ. Với đầu vào là các điểm của một mẫu dữ
liệu ngẫu nhiên, ta có thể sử dụng thuật toán này cho vấn đề xóa lớp lồi đến
khi loại bỏ được các giá trị ngoại lai và giữ lại phần gần với trung tâm của các
quan sát hơn. Sau đây chúng ta đi trình bày thuật toán tìm các lớp lồi của một
tập hợp điểm. Nội dung của phần này tham khảo trong [3].
Giả sử ta có tập P , biên của conv(P ) được gọi là lớp lồi đầu tiên của P, kí
hiệu là cl(1). Nếu chúng ta xóa những điểm nằm trên cl(1) và tìm một bao lồi
mới của những điểm còn lại ta sẽ nhận được lớp lồi thứ hai của P , kí hiệu là
cl(2). Như vậy chúng ta sẽ tìm được lớp lồi thứ i + 1 sau khi loại bỏ những điểm
của lớp lồi thứ i. Đây chính là nội dung của bài toán tìm các lớp lồi của một tập
hợp. Từ đó ta có định nghĩa độ sâu của một điểm trong một tập P như sau.
Định nghĩa 1.7. Độ sâu của một điểm p trong một tập P bằng số lớp lồi được
bỏ đi từ tập P trước khi p bị loại bỏ. Độ sâu của một tập P là độ sâu của điểm
sâu nhất của nó, tức là độ sâu của điểm cuối cùng bị loại bỏ. Độ sâu của tập P
kí hiệu là depth(P ) (hình 1.10).
Trong hình 1.10, p
i
có độ sâu là i với i = 0, 1, 2, 3, 4.
Phương pháp tốt nhất để tìm bao lồi của một tập P gồm n điểm có độ phức
tạp tính toán của thuật toán là O(n log n). Định nghĩa độ phức tạp tính toán
của thuật toán được trình bày cụ thể ở chương 2. Đầu tiên ta loại bỏ các đỉnh
của lớp lồi thứ nhất, sau đó tiếp tục tìm bao lồi của các tập điểm còn lại. Do
đó để tìm được độ sâu depth(P ) của P thì độ phức tạp tính toán của thuật toán
là O(n
2

log n). Tuy nhiên áp dụng thuật toán gói quà tại mỗi lớp lồi cho ta một
thuật toán có độ phức tạp tính toán tốt hơn. Giả sử h
i
là số đỉnh của lớp lồi
thứ i. Tại lớp lồi thứ i thì thuật toán gói quà có độ phức tạp là O(nh
i
) và do đó
14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
độ phức tạp của thuật toán tìm các lớp lồi là O(nh
0
+ nh
1
+ nh
2
+ + nh
k
) với
k là độ sâu của tập điểm đầu vào. Vì h
0
+ h
1
+ h
2
+ + h
k
= n nên độ phức tạp
của thuật toán này là O(n
2
).

1.2.5 Tìm đường kính của một tập hợp điểm
Bài toán tìm đường kính của một tập hợp điểm là một bài toán rất quan
trọng trong hình học tính toán và có ứng dụng trong những bài toán phân cụm
(clustering), đây là bài toán làm việc với các nhóm đối tượng tương tự nhau
được trình bày cụ thể ở [17], trang 170. Trước khi trình bày thuật toán của bài
toán tìm đường kính của một tập hợp điểm ta có định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.8. Cho một tập S có n điểm, tìm trong tập S một cặp điểm sao
cho khoảng cách (khoảng cách Euclid) giữa chúng là lớn nhất. Nếu có nhiều cặp
điểm như vậy thì ta chọn một cặp trong số đó. Độ dài cạnh nối cặp điểm xa
nhất được gọi là đường kính của tập hợp S và cặp điểm xa nhất đó được gọi là
hai đỉnh của đường kính.
Như vậy bài toán tìm đường kính của một tập hợp là bài toán tìm cặp điểm
xa nhất của tập hợp đó. Phương pháp có thể áp dụng giải bài toán này là ta đi
tìm tất cả các khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ của tập S và đường thẳng nối
một trong những cặp điểm có khoảng cách lớn nhất là đường kính của một tập
hợp điểm. Cách làm này có độ phức tạp tính toán là O(n
2
). Tuy nhiên dưới đây
ta sẽ trình bày một phương pháp là ứng dụng của bao lồi với độ phức tạp tính
toán là O(n log n).
Mệnh đề 1.1. Cho tập S gồm n điểm trong mặt phẳng. Hai đỉnh đường kính
của tập S là hai điểm cực biên của S, tức là hai điểm đó phải là hai đỉnh của
Hình 1.10 Độ sâu của một điểm và các lớp lồi của một tập hợp.
15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Hình 1.11
bao lồi conv(S).
Chứng minh. Bây giờ ta giả sử rằng một đỉnh của đường kính không phải là
điểm cực biên của S. Gọi (d, a) là cặp điểm xa nhất và giả sử rằng a không phải
là điểm cực biên của S. Khi đó a phải nằm trong tam giác dcb nào đó (tính cả

biên) với c, b ∈ S. Từ hình 1.11 ta thấy rõ ràng rằng độ dài đoạn thẳng da, kí
hiệu |da|, nhỏ hơn độ dài đoạn thẳng da

, kí hiệu |da

|. Và vì
|da

| < max{|db|, |dc|}
nên
|da| < max{|db|, |dc|}.
Điều này mâu thuẫn với giả sử da là đường kính của tập hợp S.
Định nghĩa 1.9. Cho tập S gồm n điểm, nếu đường thẳng l đi qua một hay
nhiều điểm của tập S sao cho tập hợp S nằm hoàn toàn trong một nửa mặt
phẳng xác định bởi đường thẳng l thì l được gọi là đường thẳng tựa trên tập S.
Định nghĩa 1.10. Nếu l
1
và l
2
là hai đường thẳng tựa trên tập S tương ứng đi
qua p
1
và p
2
(p
1
, p
2
∈ S) và l
1

song song với l
2
thì cặp điểm (p
1
, p
2
) được gọi là
cặp điểm đối cực của S.
Dưới đây ta đưa ra một định lí đã được trình bày và chứng minh ở [17]. Định
lý này đưa ra một ý tưởng quan trọng cho thuật toán tìm cặp điểm xa nhất của
một tập điểm trong mặt phẳng.
Định lý 1.1. ([17], định lý 4.18, trang 17) Cặp điểm xa nhất của một tập S là
một cặp đối cực của S mà có khoảng cách lớn nhất.
16
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Như vậy để tìm cặp điểm xa nhất thì ta phải tìm tất cả các cặp đối cực và
chọn một cặp có khoảng cách lớn nhất. Từ mệnh đề 1.1 và định lý 1.1 thì tất cả
các cặp điểm đối cực phải nằm trên bao lồi của tập S. Do đó đầu tiên ta phải
tìm bao lồi của của tập S, sau đó xác định các cặp đối cực từ các đỉnh của bao
lồi và tìm ra cặp có khoảng cách xa nhất. Thuật toán tìm cặp điểm xa nhất có
thể được trình bày như Algorthm 1.
(a) (b)
Hình 1.12
Ta có sự phân tích độ phức tạp tính toán của Algorithm 1 như sau. Bước
(1) có độ phức tạp là O(n log n). Xét đến bước (2), (a) có độ phức tạp là O(h),
(b) - (d) lặp lại như bước (a) cho mỗi cặp đối cực nên cũng có độ phức tạp là
O(h). Cuối cùng (e) cũng có độ phức tạp là O(h). Vì tập S có n điểm nên bao
lồi conv(S) có nhiều nhất n đỉnh, khi đó trong trường hợp xấu nhất thì bước (2)
có độ phức tạp là O(n). Do đó bài toán tìm đường kính của một tập hợp điểm
có độ phức tạp tính toán là O(n log n).

17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Algorithm 1 Thuật toán tìm cặp điểm xa nhất của một tập hợp
1. Tìm bao lồi của tập S.
2. Cho H = {p
0
, p
1
, , p
h
} là các đỉnh của bao lồi conv(S).
Giả sử bước 1 cho các đỉnh của bao lồi sắp xếp theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ. Ta tìm
tất cả các cặp đối cực bằng cách quét tròn một đường thẳng quanh các đỉnh của bao lồi, cụ thể
như sau.
(a) Cho l
1
là đường thẳng tựa của S xác định bởi hai điểm p
0
và p
1
thuộc H. Với mọi điểm
p
j
∈ H, trong đó 2 ≤ j ≤ h ta xác định khoảng cách giữa các điểm p
j
và l
1
. Vì tất cả các
điểm này là tập đỉnh của bao lồi conv(S) nên khi ta lần lượt xét tới các điểm theo thứ tự
ngược chiều kim đồng hồ thì các khoảng cách này sẽ tăng dần tới khi gặp một điểm mà

có khoảng cách lớn nhất và sau đó khi xét tiếp đến các đỉnh tiếp theo thì các khoảng cách
này lại giảm dần. Gọi p
i
là điểm có khoảng cách lớn nhất và l
2
là đường thẳng đi qua p
i
sao cho l
2
song song với l
1
(Nếu có hai điểm giống p
i
thì l
2
đi qua cả hai điểm đó). Rõ ràng
là l
1
và l
2
là các đường thẳng tựa trên cặp điểm đối cực của S (hình 1.12a).
(b) Gán θ

1
bằng góc nhọn tạo bởi l
1
và p
1
p
2

.
Gán θ

1
bằng góc nhọn tạo bởi l
2
và p
i
p
i+1
.
(Nếu có hai điểm p
i
thì ta chọn điểm p
i
ở bên trái để xác định θ

1
).
Gán θ
1
:= min{θ

1
, θ

1
}, d

1

:= p
0
p
i
và d

1
:= p
1
p
i
.
If (d

1
≥ d

1
) then
d
1
:= d

1
và e
1
:= p
0
p
i

,
else
d
1
:= d

1
và e
1
:= p
1
p
i
.
Sau đó đánh dấu các điểm p
0
, p
1
và p
i
là những điểm đã được xét tới. (Nếu có hai điểm
như p
i
thì ta tính khoảng cách từ p
0
và p
1
đến mỗi điểm p
i
đó, giá trị lớn nhất sẽ chọn là

d
1
, cạnh tương ứng đặt là e
1
và đánh dấu các điểm p
i
đó).
(c) If (θ

1
≤ θ

1
) then
l
1
:=
p
1
p
2
và l
2
:= đường thẳng qua p
i+1
và song song với l
1
,
else
l

2
:= p
i
p
i+1
và l
1
:= đường thẳng qua p
1
và song song với l
2
.
Không mất tính tổng quát, giả sử l
2
là đường thẳng chứa cạnh p
i
p
i+1
của bao lồi conve(S).
θ

2
, θ

2
, d

2
và d


2
được tính tương tự như ở bước trên (hình 1.12b). Gán d
2
:= max{d

2
, d

2
}
và e
2
là cạnh tương ứng với d
2
và ta đánh dấu các đỉnh giống như bước trên.
(d) Tiếp tục gán l
1
, l
2
và thực hiện giống bước (c) tới khi mọi đỉnh của bao lồi được đánh dấu.
Khi đó ta có nhiều nhất h khoảng cách d
1
, d
2
, , d
h
và tương ứng có nhiều nhất h cạnh
e
1
, e

2
, , e
h
.
(e) Đường kính của S là max{d
1
, d
2
, , d
h
} và cạnh tương ứng sẽ cho ta cặp điểm xa nhất của
S.
18
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 2
Các thuật toán tìm bao lồi
Trong chương này ta xét các thuật toán tìm bao lồi trong không gian hai
chiều như thuật toán gói quà, thuật toán quét Graham, thuật toán Quickhull và
thật toán Chan. Trong rất nhiều tài liệu viết về bài toán tìm bao lồi đòi hỏi giả
thiết không có ba điểm bất kỳ nào thẳng hàng nhưng điều kiện này là không
cần thiết và làm mất tính tổng quát của bài toán. Một số thuật toán cần có điều
kiện không thẳng hàng nhưng không phải là ba điểm bất kỳ mà những bộ ba
điểm đặc biệt tùy thuộc vào thuật toán cụ thể nào đó. Những điều kiện này có
thể vượt qua bằng cách đơn giản và hiệu quả như chúng ta sẽ thấy chương này.
Trước khi trình bày các thuật toán này ta đưa ra một số khái niệm và thuật
toán cơ bản sau.
2.1 Một số khái niệm và thuật toán cơ bản
Đầu tiên ta trình bày định nghĩa sự định hướng của các điểm bất kỳ. Định
nghĩa này là cơ sở của những định nghĩa ta sẽ trình bày dưới đây.
Định nghĩa 2.1. Cho một bộ ba điểm đã sắp thứ tự (p, q, r) trong mặt phẳng,

ta nói rằng chúng có định hướng dương nếu theo thứ tự đã sắp xếp chúng tạo
thành hình ngược chiều kim đồng hồ, có định hướng âm nếu chúng tạo thành
hình thuận chiều kim đồng hồ và hướng không nếu chúng thẳng hàng (trong đó
bao gồm cả trường hợp có hai hay nhiều hơn các điểm trùng nhau) (hình 2.1).
Lưu ý rằng sự định hướng phụ thuộc vào thứ tự các điểm được đưa ra. Để xét
hướng của các điểm sắp thứ tự (p, q, r) với p = (p
x
, p
y
), q = (q
x
, q
y
) và r = (r
x
, r
y
)
thì ta có thể sử dụng công thức tính định thức cấp ba như dưới đây. Ta định
nghĩa
Orient(p, q, r) := det

1 p
x
p
y
1 q
x
q
y

1 r
x
r
y

.
19
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(a) Định hướng dương (b) Định hướng âm
(c) Hướng không
Hình 2.1 Sự định hướng
Khi đó bộ ba điểm sắp thứ tự (p, q, r) có định hướng dương nếu
Orient(p, q, r) > 0,
có định hướng âm nếu
Orient(p, q, r) < 0
và có hướng không nếu
Orient(p, q, r) = 0.
Định hướng của bộ ba điểm, tức là dấu của Orient(p, q, r), là không thay đổi nếu
những điểm này bị xoay đi một góc bất kì.
Nhận xét 2.1. Ta cũng có thể dùng định thức cấp hai để tính Orient(p, q, r)
như sau. Trước tiên ta chọn một trong ba điểm và tính hai vec tơ xuất phát từ
điểm đó. Giả sử ta chọn điểm p và tính hai véc tơ
−→
pq = (q
x
− p
x
, q
y
− p

y
)
và
−→
pr = (r
x
− p
x
, r
y
− p
y
).
Khi đó ta có
Orient(p, q, r) = det

q
x
− p
x
q
y
− p
y
r
x
− p
x
r
y

− p
y

.
20
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Nhận xét 2.2. Công thức tính Orient cũng được dùng để tính diện tích tam
giác. Chẳng hạn để tính diện tích S
pqr
của tam giác pqr ta có công thức
S
pqr
=
1
2
|Orient(p, q, r)|.
Sau đây ta định nghĩa một điểm bên trái hoặc bên phải một đoạn thẳng.
Định nghĩa của các điểm này được sử dụng trong các thuật toán tìm bao lồi như
thuật toán gói quà, thuật toán quét Graham, thuật toán Quickhull, . . . .
Định nghĩa 2.2. Trong không gian 2 chiều, cho ba điểm phân biệt p
1
, p
2
và p
3
,
điểm p
3
được gọi là bên trái đoạn thẳng p
1

p
2
nếu Orient(p
1
, p
2
, p
3
) > 0. Điểm p
3
được gọi là bên phải đoạn thẳng p
1
p
2
nếu Orient(p
1
, p
2
, p
3
) < 0 và điểm p
3
được
gọi là nằm trên đoạn thẳng p
1
p
2
nếu Orient(p
1
, p

2
, p
3
) = 0.
Tiếp theo ta đưa ra định nghĩa các điểm tận cùng bên trái dưới, bên phải
dưới, bên trái trên, bên phải trên, bên dưới trái, bên dưới phải, bên trên trái và
bên trên phải. Những điểm này thuộc bao lồi và thường được dùng làm điểm
xuất phát cho các thuật toán tìm bao lồi sẽ được trình bày trong chương này.
Định nghĩa 2.3. Cho tập P = {p
1
, p
2
, . . . , p
n
}. Điểm tận cùng bên phải dưới là
điểm có tung độ bé nhất trong những điểm có hoành độ lớn nhất. Điểm tận cùng
bên phải trên là điểm có tung độ lớn nhất trong những điểm có hoành độ lớn
nhất. Điểm tận cùng bên trên phải là điểm có hoành độ lớn nhất trong những
điểm có tung độ lớn nhất. Điểm tận cùng bên trên trái là điểm có hoành độ nhỏ
nhất trong những điểm có tung độ lớn nhất. Điểm tận cùng bên trái trên là điểm
có tung độ lớn nhất trong những điểm có hoành độ nhỏ nhất. Điểm tận cùng
bên trái dưới là điểm có tung độ nhỏ nhất trong những điểm có hoành độ nhỏ
nhất. Điểm tận cùng bên dưới trái là điểm có hoành độ nhỏ nhất trong những
điểm có tung độ nhỏ nhất. Điểm tận cùng bên dưới phải là điểm có hoành độ
lớn nhất trong những điểm có tung độ nhỏ nhất (hình 2.2).
Trong hình 2.2, q
1
là điểm tận cùng bên trái trên, q
2
là điểm tận cùng bên

trên trái, q
3
là điểm tận cùng bên trên phải, q
4
là điểm tận cùng bên phải trên,
q
5
là điểm tận cùng bên phải dưới, q
6
là điểm tận cùng bên dưới phải, q
7
là điểm
tận cùng bên dưới trái, q
8
là điểm tận cùng bên trái dưới.
Một khái niệm mà ta cũng cần phải làm rõ đó là độ phức tạp tính toán của
thuật toán.
Định nghĩa 2.4. Độ phức tạp tính toán của thuật toán được đo trên số lượng
các phép toán cơ bản như phép cộng, phép trừ, phép nhân, phép chia và phép
21
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Hình 2.2
so sánh mà nó thực hiện. Với mỗi thuật toán cụ thể số lượng này phụ thuộc vào
cỡ (size) của dữ liệu nhập. Như thế ta có thể xem độ phức tạp tính toán của
một thuật toán là một hàm phụ thuộc vào cỡ của dữ liệu nhập. Nếu cỡ mã hóa
của dữ liệu nhập là n thì độ phức tạp có thể được xem là một hàm theo n.
2.2 Thuật toán gói quà
Một trong những thuật toán đơn giản nhất trong các thuật toán hình học
phẳng là thuật toán gói quà. Thuật toán này phát hiện độc lập bởi Chand và
Kapur vào năm 1970 và Jarvis vào năm 1973 [11]. Cho tập P hữu hạn n điểm,

thuật toán bắt đầu với i = 1, ta xác định một điểm thuộc bao lồi, chẳng hạn ta
chọn điểm v
1
là điểm tận cùng bên phải dưới (hình 2.3b) và gán H := v
1
. Sau
đó giả sử t là chỉ số cao nhất trong H mà ta tìm được tới nay thì nếu tìm được
điểm v
i
sao cho tất các điểm còn lại của P đều nằm bên trái đoạn thẳng v
t
v
i
thì ta gán H := H ∪ {v
i
}. Nếu tìm được điểm v
j
sao cho tất cả các điểm còn lại
của P đều nằm bên trái hoặc nằm trên v
t
v
j
thì trong các điểm nằm trên v
t
v
j
ta
tìm điểm xa v
t
nhất, giả sử là v

i
và gán H := H ∪ {v
i
}. Ta có thể lặp lại điều
này để tìm ra các điểm tiếp theo (hình 2.3e), đến khi nào tìm được điểm trùng
với v
1
thì dừng lại (hình 2.3f). Như vậy để tìm mỗi điểm mới của bao lồi ta mất
thời gian là O(n). Do vậy thuật toán này có độ phức tạp tính toán là O(nh),
trong đó n là số điểm trong tập hợp ban đầu cần tìm bao lồi và h là số đỉnh của
bao lồi. Trong trường hợp xấu nhất, độ phức tạp của thuật toán là O(n
2
) khi
h = n. Thuật toán gói quà có thể được trình bày như thuật toán 2, thuật toán
này được tham khảo từ [13]. Tuy nhiên thuật toán trong [13] giả thiết không có
ba điểm nào thẳng hàng còn ở đây ta sẽ xét trong trường hợp tổng quát.
22
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
Hình 2.3 Thuật toán gói quà
Algorithm 2 Thuật toán gói quà
Input: Tập P gồm n điểm p
1
, p
2
, , p
n
, giả sử n ≥ 2.
Output: Tập H gồm các điểm là đỉnh của conv(P ).

1. Gán v là điểm bên phải dưới.
2. Gán i := 1, H := ∅.
Repeat
v
i
:= v, H := H ∪v
i
, p := p
1
.
For j = 2 to n do
If (p = v
i
) or (p
j
nằm bên phải v
i
p) or ((p
j
nằm trên v
i
p) and (v
i
p
j
> v
i
p)) then
p := p
j

.
i := i + 1, v := p.
Until p = v
1
.
2.3 Thuật toán quét Graham
Thuật toán quét Graham là một thuật toán phức tạp hơn thuật toán gói quà
được phát hiện bởi Ronald Graham vào năm 1972 [7]. Giả sử cho tập hợp P bất
kỳ, đầu tiên thuật toán sắp xếp lại các điểm của tập hợp này theo một thứ tự
23
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
xác định. Việc sắp xếp hoàn thành có độ phức tạp tính toán là O(n log n) và cho
ta một đa giác khép kín. Đa giác này có thể không lồi nhưng ta có thể dựa vào
nó để tìm tập H các đỉnh của bao lồi conv(P ). Sau khi các điểm của tập hợp P
được sắp xếp thì việc tìm bao lồi của nó có độ phức tạp tính toán là O(n). Vì
vậy thuật toán quét Graham có độ phức tạp tính toán là O(n log n). Trước tiên
ta trình bày việc so sánh hai góc trong mặt phẳng. Việc so sánh này cần cho
việc sắp xếp các điểm trong thuật toán quét Graham ở mục sau.
2.3.1 So sánh hai góc trong mặt phẳng
Sự so sánh hai góc trong mặt phẳng mà ta nói đến ở đây là sự so sánh hai
góc có hướng. Sau đây ta trình bày định nghĩa và nhận xét về góc có hướng.
Góc có hướng được định nghĩa dựa vào việc quay một tia hay một đoạn thẳng
quanh một điểm trong mặt phẳng. Để khảo sát việc quay này ta cần chọn một
chiều quay, gọi là chiều dương, ngược chiều quay của kim đồng hồ. Khi đó ta có
thể định nghĩa góc có hướng như dưới đây.
Định nghĩa 2.5. Cho hai đoạn thẳng IA và IB. Nếu IC quay theo chiều dương
xuất phát từ IA đến trùng với IB thì ta nói đoạn thẳng IC quay một góc AIB,
ta gọi góc AIB là góc có hướng, kí hiệu là

AIB với cạnh đầu là IA và cạnh cuối

là IB (hình 2.4).
Hình 2.4 Góc có hướng

AIB
Trong thuật toán quét Graham ta chỉ cần so sánh hai góc có độ lớn nằm trong
nửa đoạn (0, π] và có tính chất như sau. Chẳng hạn cho ba điểm p
1
, p
2
và p
3
đôi
một khác nhau thỏa mãn tung độ của p
1
nhỏ hơn hoặc bằng tung độ của p
2
và
tung độ của p
3
, nếu xảy ra dấu bằng thì hoành độ của p
1
phải lớn hơn hoành
độ của điểm có tung độ bằng tung độ của p
1
. Ta phải so sánh góc tạo bởi p
1
p
2
với trục hoành và góc tạo bởi p
1

p
3
với trục hoành (hình 2.5).
24
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(a) xp
1
p
3
> xp
1
p
2
(b) xp
1
p
3
= xp
1
p
2
Hình 2.5 So sánh góc
Nhận xét 2.3. Nếu điểm p
3
nằm bên trái đoạn thẳng nối hai điểm p
1
và p
2
,
tức là Orient(p

1
, p
2
, p
3
) > 0, thì
xp
1
p
3
> xp
1
p
2
,
nếu p
1
, p
2
, p
3
thẳng hàng, tức là Orient(p
1
, p
2
, p
3
) = 0, thì
xp
1

p
3
= xp
1
p
2
.
2.3.2 Sắp xếp
Việc sắp xếp các điểm bắt đầu bằng việc tìm điểm tận cùng bên dưới phải,
gọi điểm này là p
1
. Sau khi tìm được p
1
ta sắp xếp các điểm còn lại theo thứ
tự tăng dần của các góc tạo bởi chiều dương của trục hoành và đoạn thẳng nối
p
1
với mỗi điểm đó. Rõ ràng độ lớn của các góc này đều nằm trong nửa đoạn
(o, π] và cách so sánh chúng ta đã nêu ở nhận xét 2.3. Tiếp theo ta xét trường
hợp có hai điểm p
i
, p
j
khác nhau nào đó trong P tạo với p
1
ba điểm thẳng hàng,
tức là Orient(p
1
, p
i

, p
j
) = 0 hay p
i
p
1
x = p
j
p
1
x với p
1
x song song và cùng chiều
dương với trục hoành. Ta ký hiệu góc p
i
p
1
x là góc(p
i
). Trong trường hợp này
nếu |p
1
p
i
| < |p
1
p
j
| thì rõ ràng p
i

không thuộc bao lồi conv(P ) nên ta sẽ xóa điểm
này đi. Ở hình 2.6 những điểm màu trắng là những điểm bị xóa còn những điểm
màu đen không bị xóa. Các thuật toán 3, 4, 5 và 6 ở dưới đây được chỉnh sửa
từ những thuật toán trong [15].
25
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên