đề thi học sinh giỏi lớp 11chuyên hà tĩnh 2013 Môn Toán có đáp án

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT
NĂM HỌC 2012-2013
MÔN TOÁN LỚP 11
Thời gian làm bài: 180 phút
Ngày thi:4/4/2013
Câu 1. a) Giải phương trình:
( )
2
2 3sin . 1 cos 4cos .sin 3
2
0
2sin 1
x
x x x
x
+ − −
=
−
b)Tính giới hạn sau
3 2013
4
0
2 1. 2.3 1. 3.4 1 2012.2013 1
lim
x
x x x x
L
x

→
+ + + −
=
Câu 2. a) Cho khai triển:
( )
11
2 3 10 2 3 110
0 1 2 3 110
1 x x x x a a x a x a x a x+ + + + + = + + + + +
Chứng minh đẳng thức sau:
0 1 2 3 10 11
11 0 11 1 11 2 11 3 11 10 11 11
11C a C a C a C a C a C a− + − + + − =
b) Tính tổng:
( )
( ) ( )
1 2 3
1
2 3

2.3 3.4 4.5 1 2
n
n
n
n n n
nC
C C C
S
n n
−

−
= + − + +
+ +
Câu 3. a) Cho tam giác ABC có độ dài các đường cao
' 5; ' 2BB CC= =
và
2
cos '
5
CBB∠ =
.
Tính diện tích tam giác ABC.
b) Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn
2
A B C
π
≤ ≤ ≤
. Tính các góc của tam giác
đó khi biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất
2cos 4 4cos2 cos 2 cos 2P C C A B
= + + +
Câu 4. Cho hình chóp SABC có
( )
SC ABC⊥
và tam giác ABC vuông tại B. Biết
; 3AB a AC a= =
và góc giữa hai mặt phẳng (SAB), (SAC) bằng
α
với
13

sin
19
α
=
.
Tính độ dài SC theo a.
Câu 5. Cho dãy số
( )
n
a
thỏa mãn:
( ) ( )
1
2
2
1 1
4
3
1,
2 1
n n n n
a
n n
n a n a n a a
+ +

=

∀ ≥ ∈



+ = − +

¥
Tìm
lim
n
a
.
HẾT
- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay,
- Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: …………………………………………………Số báo danh: ………………