Chuyên đề 13 giới hạn khóa luyện thi đảm bảo

Bài 1: Giới hạn dạng 0/0 - Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1


BTVN BÀI GIỚI HẠN DẠNG 0/0

Tính các giới hạn sau ñây:

(
)
(
)
(
)
( )
( )
x 0
m
n
x 1
100
50
x 1
20
2
10
x 2
3
x 0
3
x 0

3
2
x 0
3
x 0
1 x 1 2x 1 3x 1
*Bµi1 : lim
x
x 1
*Bµi 2 : lim
x 1
x 2x 1
*Bµi 3 : lim
x 2x 1
x x 2
* Bµi 4 : lim
x 12x 16
x 9 x 16 7
* Bµi 5 : lim
x
2 1 x 8 x
* Bµi 6 : lim
x
2x 1 1 3x
* Bµi 7 : lim
x
1 4x. 1 6x. 1
* Bµi 8 : lim
→
→

→
→
→
→
→
→
+ + + −
−
−
− +
− +
− −
− +
+ + + −
+ − −
+ − +
+ + +
4 5
3
2
x 0
3
4
x 7
3
2
x 0
8x. 1 10x 1
x
2x 1 x 1

* Bµi 9 : lim
sin x
x 2 x 20
* Bµi10 : lim
x 9 2
1 4x 1 6x
* Bµi11: lim
x
→
→
→
+ −
+ − +
+ − +
+ −
+ − +


………………….Hết…………………
Nguồn
:
Hocmai.vn



Bài 1: Giới hạn dạng 0/0 - Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1


BTVN BÀI GIỚI HẠN DẠNG 0/0

Tính các giới hạn sau ñây:

(
)
(
)
(
)
( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
x 0
x 0
x 0
x 0 x 0
m
n
x 1
m 1 m 2
x 1
1 x 1 2x 1 3x 1
*Bµi1: lim
x
1 x 1 2x 1 3x 1 x 1 2x 1 x 1 2x 1 x 1 x 1
lim

x
1 x 1 2x 1 3x 1 1 x 1 2x 1 x
lim
x
3x 1 x 1 2x 2x 1 x x 3 1 x 1 2x 2 1 x 1
lim lim 1 2 3 6
x 1
x 1
*Bµi 2 : lim
x 1
x 1 x x
lim
→
→
→
→ →
→
− −
→
+ + + −
+ + + − + + + + + − + + + −
=
+ + + − + + + − +
=
+ + + + + + + + + +
= = = + + =
−
−
− + +
=

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
m 1 m 2
n 1 n 2 n 1 n 2
x 1
100
50
x 1
100 99 98
50 49 48
x 1 x 1
x 1 x x x 1
m
lim
n
x 1 x x x 1 x x x 1
x 2x 1
*Bµi3 : lim
x 2x 1
x 1 2(x 1) x 1 x x x 1 2
98 49

lim lim
48 24
x 1 2(x 1) x 1 x x x 1 2
− −
− − − −
→
→
→ →
+ + + + + +
= =
− + + + + + + + +
− +
− +
− − − − + + + + −
= = = =
− − − − + + + + −


(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
20
2
10

x 2
3
20 20 20
10
20 20 20
10 10 20 10
x 2 x 2 x 2
2 2
x 0
x 0 x 0
x x 2
*Bµi 4 : lim
x 12x 16
x 2 (x 1) x 2 (x 1) x 2 (x 1)
3
lim lim lim
(x 2) (x 4) 2
(x 2) (x 4) (x 2) (x 4)
x 9 x 16 7
*Bµi 5 : lim
x
x 9 3 x 16 4 x
lim lim lim
x
x x 9 3
→
→ → →
→
→ →
− −

− +
− + − + − +
 
= = = =
 
− +
 
− + − +
+ + + −
+ − + + −
= = +
+ +
( )
( ) ( )
x 0
x 0 x 0
x
x x 16 4
1 1 1 1 7
lim lim
6 8 24
x 9 3 x 16 4
→
→ →
+ +
= + = + =
+ + + +

Bài 1: Giới hạn dạng 0/0 - Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan huy Khải
Page 2 of 3

( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
3
x 0
3 3
x 0 x 0 x 0
x 0 x 0
2
3
3
3
2
x 0
3
2
2
x 0 x 0
2 1 x 8 x
*Bµi 6 : lim
x
2 1 x 1 8 x 2 2 1 x 1 8 x 2
lim lim lim

x x x
2x x 1 13
lim lim 1
12 12
x 1 x 1
x 8 x 2 8 x 4
2x 1 1 3x
*Bµi 7 : lim
x
2x 1 (x 1) 1 3x (x 1)
2x 1 (x 1)
lim lim
x
x
→
→ → →
→ →
→
→ →
+ − −
+ − − − − + − − −
= = −
−
= − = + =
 
+ +
− + − +
 
 
+ − +

+ − + − + − +
+ − +
= =
( )
( )
( )
( )
( )
2
3
2
2
x 0 x 0
2
2 2
3
3
2
x 0
2
2 2
3
3
3 4 5
x 0
3
x 0
2x 1 (x 1)
1 3x (x 1)
x

lim lim
x 2x 1 (x 1)
x 1 3x (x 1) 1 3x (x 1)
x (x 3) 1 3
lim 1
2 2
x 1 3x (x 1) 1 3x (x 1)
1 4x. 1 6x. 1 8x. 1 10x 1
*Bµi 8 : lim
x
1 4x. 1 6x. 1 8x
lim
→ →
→
→
→
+ + +
+ − +
−
− =
 
+ + +
+ + + + + +
 
 
− +
− = − − = −
 
+ + + + + +
 

 
=
+ + + + −
+ + +
( ) ( )
( )
4 5 3 4
3 4 3 3
x 0
3 4 5 3 4
x 0 x 0
3
x 0 x 0
2
x 0
. 1 10x 1 4x. 1 6x. 1 8x
x
1 4x. 1 6x. 1 8x 1 4x. 1 6x. 1 4x. 1 6x 1 4x 1 4x 1
lim
x
1 4x. 1 6x. 1 8x. 1 10x 1 1 4x. 1 6x. 1 8x 1
lim lim
x x
1 4x 1 6x 1
1 4x 1
lim lim
x x
1 4x 1
XÐt : I lim li
x

→
→ →
→ →
→
+ − + + +
+ + + − + + + + + − + + + −
+
+ + + + − + + + −
= +
+ + −
+ −
+ +
+ −
= =
( )
x 0
n
n 5 4 3 2
x 0
4x 4
m 2
2
x 1 4x 1
1 2nx 1
Còng nh− vËy ta cã : I lim 2 I I I I I 8
x
→
→
= =
+ +

+ −
= = ⇒ = + + + =




Bài 1: Giới hạn dạng 0/0 - Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan huy Khải
Page 3 of 3

( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
3
2
x 0
3 3
2 2
x 0 x 0 x 0
x 0 x 0
2 2
2 2
3 3
3
4
x 7
4
4

4
t 2
2x 1 x 1
*Bµi 9 : lim
sin x
2x 1 1 x 1 1 x 1 1
2x 1 1
lim lim lim
sin x sin x sin x
2 x
lim lim 2 0 2
sin x
sin x
2x 1 1
x 1 x 1 1
x
x
x 2 x 20
*Bµi10 : lim
x 9 2
t
§ Æt t x 9 x t 9 I lim
→
→ → →
→ →
→
→
+ − +
+ − − + − + −
+ −

= = −
= − = − =
 
+ +
+ + + +
 
 
+ − +
+ −
= + ⇒ = − ⇒ =
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
3
4
3
4 4 4
t 2 t 2 t 2
4
2
4
t 2 t 2

4
2
3
4 4
3
2
t 2
2
3
4 4
3
3
x 0
7 t 11
t 2
t 7 3 t 11 3 t 16
lim lim lim
t 2 t 2
t 2 t 7 3
t 4 t 2
t 16
lim lim
t 7 3
t 2 t 11 3 t 11 9
t 4 t 2
16 32 176
lim
3 27 27
t 11 3 t 11 9
1 4x 1 6x

*Bµi11: lim
→ → →
→ →
→
→
− − +
−
− − + − −
= − =
− −
− − +
+ +
−
− =
 
− +
− + + + +
 
 
+ +
− = + =
 
+ + + +
 
 
+ − +
(
)
( )
(

)
( )
2
2
3
2 2
2
x 0 x 0 x 0
3 2
2
x 0 x 0
2
2 2
3
3
2
x 0
2
2 2
3
3
x
1 4x (1 2x) 1 6x (1 2x) 1 4x (1 2x)
lim lim lim
x x
x 1 4x (1 2x)
1 6x (1 2x) x
lim lim
x 1 4x (1 2x)
x 1 6x (1 2x) 1 6x (1 2x)

4x (3 2x)
lim
x 1 6x (1 2x) 1 6x (1 2x)
→ → →
→ →
→
+ − + + − + + − +
= − =
+ + +
+ − + −
− =
 
+ + +
+ + + + + +
 
 
− +
−
 
+ + + + + +


1 12 7
2 3 2
= − + =



………………….Hết…………………
Nguồn
:
Hocmai.vn



Bài 2: Giới hạn dạn 0/0 với hàm lượng giác và các giới hạn khác - Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

BTVN BÀI GIỚI HẠN DẠNG 0/0 VỚI HÀM LƯỢNG GIÁC VÀ
CÁC GIỚI HẠN KHÁC
Tính các giới hạn sau ñây.

( )
2
x 2
x 0
2
x 0
2
x 0
x 0
cosx cos3x
2
x 0
x
x
4 x
1 Bµi1: lim

x
cos
4
sin sin sinx
2 Bµi 2 : lim
x
1 cosx cos 2x
3 Bµi 3 : lim
x
1 cos x cos2x cos 2010x
4 Bµi 4 : lim
x
ln sin x cos x
5 Bµi 5 : lim
x
e cos 2x
6 Bµi 6 : lim
x
x 3
7 Bµi 7 : lim
x 1
8 Bµi 8
→
→
→
→
→
−
→
→+∞

−
−
π
−
−
−
−
−
+
−
−
−
+
 
−
 
+
 
−
(
)
3
3 2 2
x
3
x 0
2
2
x 0
3

x 0
3 2
x 1
: lim x 3x x x 1
tan x sin x
9 Bµi 9 : lim
x
1 x cosx
10 Bµi10 : lim
x
1 tan x 1 sin x
11 Bµi11 : lim
x
x x 2
12 Bµi12 : lim
sin(x 1)
→+∞
→
→
→
→
+ − − +
−
−
+ −
−
+ − +
−
+ −
−

−


………………….Hết…………………


Nguồn:

Hocmai.vn


Bài 2: Giới hạn dạn 0/0 với hàm lượng giác và các giới hạn khác - Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

BTVN BÀI GIỚI HẠN DẠNG 0/0 VỚI HÀM LƯỢNG GIÁC VÀ
CÁC GIỚI HẠN KHÁC
Tính các giới hạn sau ñây.

( )
2
x 2
t 0 t 0
t 0 t 0 t 0
x 0
x 0
4 x
1 Bµi1: lim
x
cos
4

t(t 4) t(t 4)
§ Æt : t x 2 x t 2 I lim lim
t
t 1
sin
cos
4
4 2
t(t 4) t(t 4) (t 4) 16
lim lim lim
t t
sin . .
t
4 4 4
.
t
4
4
sin sin sinx
2 Bµi 2 : lim
x
sin sin sinx
lim
sin si
→
→ →
→ → →
→
→
−

−
π
+ +
= − ⇒ = + ⇒ = = −
π
π
 
+
 
 
+ + +
= − = − = − = −
π π π
π
π
π
−
=
(
)
( )
( ) ( )
2
x 0
2 2 2
x 0 x 0 x 0
2
2
2
2

x 0 x 0 x 0
sin sinx sinx
. . 1
nx sin x x
1 cos x cos 2x
3 Bµi 3: lim
x
cos x 1 cos 2x
1 cos x cos x cosx cos 2x 1 cosx
lim lim lim
x x x
x
2sin
cos x 1 cos2x
1 2 cos x.sin x
2
lim lim lim
2
x
x 1 cos 2x 1 cos 2x x
4.
2
→
→ → →
→ → →
 
=
 
 
−

−
−
− + − −
= = +
−
= + = +
+ +
 
 
 
2
1 3
1
2 2
= + =


( )
2
x 0
2
x 0
2010
2 2
x 0 x 0
2
2
n 1 2 2010
2
2

2
1 cos x cos2x cos 2010x
4 Bµi 4 : lim
x
1 cos x cos x cos xcos 2x cosx cos2x cos2010x
lim
x
cos x. 1 cos 2x
1 cos x
lim lim I
x x
nx
2 sin
1 cos nx n 1
2
XÐt I I I I I
x 2
4 nx
.
n 2
→
→
→ →
−
−
− + − + +
=
−
−
= + + +

−
= = = ⇒ = + + + =
 
 
 
(
)
2 2 2
1 2 3 2010
2
+ + + +


2010(2010 1)(2.2010 1)
12
+ +
=


Bài 2: Giới hạn dạn 0/0 với hàm lượng giác và các giới hạn khác - Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Page 2 of 3

(
)
( ) ( )
( ) ( )
x
2
x 0 x 0
x 0 t 0 x 0

ln sin x cos x
5 Bµi 5: lim
x
ln sin x cos x ln sin x cos x
sin 2x
lim lim .
2x sin 2x 2x
ln sin x cos x ln 1 t
sin 2x
Mµ : lim lim 1 Víi t sin 2x vµ lim 1
sin 2x t 2x
I 1.1 1
→∞
→ →
→ → →
+
−
+ +
= =
+ +
= = = =
⇒ = =


cosx cos3x
2
x 0
cosx cos3x
2 2
x 0

cosx cos3x cosx cos3x
2 2
x 0 x 0
cosx cos3x
2 2
x 0
e cos2x
6 Bµi 6 : lim
x
e 1 1 cos2x
lim
x x
e 1 e 1 cos x cos3x
*)Ta c ã : lim lim .
x cos x cos 3x x
e 1 1 cos3x 1 cos x
lim
cos x cos 3x x x
−
→
−
→
− −
→ →
−
→
−
−
 
− −

= +
 
 
 
− − −
=
 
−
 
− − −
 
= −

−
 
cosx cos3x t
x 0 t 0
2 2
2 2
x 0
2
x 0
x
x
x
x
e 1 e 1
. Do lim lim 1
cos x cos3x t
1 cos3x 1 cos x 3 1

lim 4
x x 2 2
1 cos2x
*)MÆt kh¸c : lim 2 I 4 2 6
x
x 3
7 Bµi 7 : lim
x 1
2 2 1
lim 1 . § Æt : x 2t 1;x t
x 1 x 1 t
−
→ →
→
→
→+∞
→+∞
− −
= =

−
− −
 
− = − =
 
 
−
= ⇒ = + =
+
 

−
 
+
 
 
= + = ⇒ = − → +∞ ⇒ → +∞
 
+ +
 
⇒
2t 1 2t 1
2
t t t
1 1 1
I lim 1 lim 1 . lim 1 e
t t t
− −
→+∞ →+∞ →+∞
     
= + = + + =
     
     


(
)
(
)
(
)

(
)
(
)
( )
( )
(
)
3
3 2 2
x
3
3 2 2
x
2
3
3 2
2
x x
3
3 2 3 2 2
3
2
x
3
3
2
x x x
2
2

8 Bµi 8 : lim x 3x x x 1
lim x 3x x x x 1 x A B
3x
*)A lim x 3x x lim
x 3x x x 3x x
3
lim 1
3 3
1 1 1
x x
1
1
x 1
x
B lim x x 1 x lim lim
1 1
x x 1 x
1 1
x x
→+∞
→+∞
→+∞ →+∞
→+∞
→+∞ →+∞ →+∞
− + − − +
= + − − − + − = −
= + − =
+ + + +
= =
 

+ + + +
 
 
− +
− +
= − + − = =
− + +
− + +
1
2
= −
 
 
 
 

Bài 2: Giới hạn dạn 0/0 với hàm lượng giác và các giới hạn khác - Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Page 3 of 3

3
x 0
2
2
3 2
x 0 x 0 x 0
tan x sin x
9 Bµi 9 : lim
x
1
s inx x

s inx 1
(1 cos x) 2sin
1
cos x
x 2
lim lim lim
x x .cosx 2
x
4. .cos x
2
→
→ → →
−
−
 
−
−
 
 
= = = =
 
 
 


2
2
x 0
2
2

2
2 2
2
x 0 x 0 x 0
1 x cos x
10 Bµi10 : lim
x
x
2sin
1 x 1 cos x 1 1 1 1
2
lim lim lim 1
x x 2 2
x
1 x 1
4.
2
→
→ → →
+ −
−
 
 
−
 
 
+ − −
 
= − = − = + =
 

 
 
 
+ +
 
 
 
 
 
 
 


( ) ( )
( )
3
x 0
3 3
x 0 x 0
2
2
x 0
3 2
x 1
3 2
x 1
1 tan x 1 sin x
11 Bµi11: lim
x
tan x sin x sinx(1 cosx)

lim lim
x 1 tan x 1 sin x x 1 tan x 1 sin x cosx
x
sin
sinx
2
.2
x
x
4.
1 1 1
2
lim .
2 2 4
1 tan x 1 sin x cos x
x x 2
12 Bµi12 : lim
sin(x 1)
x 1 x
lim
→
→ →
→
→
→
+ − +
−
− −
= =
+ + + + + +

 
 
 
= = =
+ + +
+ −
−
−
− +
=
( )
2
2
x 1 x 1
x 1
(x 1)(x x 1) x 1 (x 1)
1 (x x 1) (x 1)
lim lim
sin(x 1)
sin(x 1) sin(x 1)
x 1
sin(x 1)
Do lim 1 I 5
x 1
→ →
→
− + + + − +
− + + + +
= =
−

− −
−
−
= ⇒ =
−



………………….Hết…………………


Nguồn:

Hocmai.vn