Bt nâng cao - CHUYÊN ĐỀ CỦA SGD THANH HÓA LUYỆN THI VÀO 10 VÀ THI CHUYÊN

Phần thứ nhất: Đại số
I. Biến đổi đồng nhất

*Bài 2: Cho a là nghiệm của phơng trình: x
2
-
5x
+ 1 = 0
Tính giá trị biểu thức:
A= a
4
+
3 2
4 3 2
1 1 1 1
2 3 4a a a
a
a a a

+ + + +
ữ ữ ữ

*Bài 3: Cho các số a, b R thoả mãn
(a - 3) (b - a) + (a - b) (b - 3) + (a -3) (3 - b) + 3 = 0
Tính giá trị biểu thức:
2 2 2
( ) ( 3) ( 3)a b a b + +
*Bài 4: Cho x
2
+ y
2

= 1 và
4
x
a
+
4
1y
b a b
=
+
. Tính :
2006 2006
1003 1003
x y
a b
+
*Bài 5: Cho a, b, c là ba số đôi một khác nhau thoả mãn ab + ac + bc = 1 .
Tính giá trị biểu thức : A=
( )
2
2 2
2 2 2
( ) ( ) 2
(1 )(1 )(1 )
a b b c c a
a b c
+ + + +
+ + +
*Bài 6: Cho a + b + c = 0; a, b, c Q.
Chứng minh rằng: M=

2 2 2
1 1 1
a b c
+ +
là bình phơng của một số hữu tỷ
Ta có:
2 2 2
1 1 1
a b c
+ +
=
( )
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2
a b c
a b c ab bc ac a b c abc a b c
+ +

+ + + + = + + = + +
ữ ữ ữ ữ

Vậy M là bình phơng của một số hữu tỷ
*Ví dụ 2 : Cho abc = 1, biết biểu thức sau đợc xác định.
Tính giá trị của biểu thức: P =
1 1 1
1 1 1ab a bc b ca c
+ +
+ + + + + +
Giải:

P =
1 1 1
1 1 1ab a bc b ca c
+ +
+ + + + + +

=
2
1
1
c ac
abc ac c ca c
abc abc ac
+ +
+ + + +
+ +
=
1 1
1
1 1 1 1
c ac ca c
ca c ca c ca c ca c
+ +
+ + = =
+ + + + + + + +
.
*Bài 5 : Cho x,y,z đôi một khác nhau . Tính giá trị của biểu thức :
M =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
xy yz xz

y z z x z x x y x y y z
+ +

(Đặt : a =
x
y z
; b =
y
z x
; c =
z
x y
ta có : (a+1)(b+1)(c+1) = (a-1)(b-1)(c-1) nên M = ab+bc+ca = 1 )
Bài 5 Chứng minh rằng không thể có các số nguyên a,b,c,d nào thoả mãn đẳng thức :
abcd - a = 1961 abcd - b = 961
abcd - c = 61 abcd - d = 1
Giải :
Bài 5 :
Giả sử ta có các số nguyên a,b,c,d thoả mãn các đẳng thức đã cho . Phân tích vế trái của đẳng
thức đã cho thành nhân tử , ta có
a(bcd-1) = 1961 (1)
b(acd -1 ) = 961 (2)
c(abd - 1) = 61 (3)
d(abc - 1) = 1 (4)
Vế trái của (1) là số lẻ vế trài của (1) là tích hai số lẻ a là số lẻ
Tơng tự ta có : b,c,d là số lẻ nên a,b,c,d, là số lẻ .
Hiệu (abcd - a ) là một số chẵn . Mâu thuẫn (1)
Bài 6 Chứng minh rằng đa thức x
10
y

10
+ 1 không thể viết đớc dời dạng f(x).g(y) với f(x) và g(y)
là các đa thức với hệ số đều là số nguyên .
Giải
Bài 6 : Giả sử
x
10
y
10
+ 1 = f(x).g(y) = (a
0
x
10
+ a
1
x
9
+ + a
10
)( b
0
y
10
+ b
1
y
9
+ + b
10
) (1)

Trong đó a
10
b
10
= 1 nên a
10
= b
10
= 1 hoặc a
10
= b
10
= -1 .
Giả sử a
10
= b
10
= 1 thì x
10
y
10
+ 1 = f(x).g(y) = (a
0
x
10
+ a
1
x
9
+ + 1)( b

0
y
10
+ b
1
y
9
+ + 1)
(2)
V.Bất đẳng thức , bất phơng trình ,cực trị đại số

Bài 1: Cho x
2;2

y
Chứng minh rằng: (x + y) (x
2
+ y
2
) x
5
+ y
5
Bài 2: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
ba
c
ac
b
cb
a

c
c
b
b
a
a
+
+
+
+
+

+
+
+
+
+
2
3
111
222
Bài 3: Chứng minh rằng:
4006
2001
)20022001(4003
1
...
)43(7
1
)32(5

1
)21(3
1
<
+
++
+
+
+
+
+
Bài 4: Cho a, b, c > 0; a + b + c = 6. Chứng minh rằng:
512
72911
1
1
1
333







+

+






+
c
a
ba
Bài 5: Cho abc = 1; a
3
> 36,
Chứng minh rằng:
3
2
a
+ b
2
+ c
2
> ab + bc + ca
Bài 6 : Chứng minh rằng .
Nếu x, y, z 0 thì x(x - y) (x - z) + y(y - z) (y - x) + z (z - x) (z - y) 0
Bài 7: Cho a, b, c [0;2] có a + b + c = 3. CMR: a
2
+ b

2
+ c
2
< 5
Bài 8: Cho các số thực dơng a , b , c thoả mãn abc = 1.
Chứng minh rằng :
5 5 5 5 5 5 5
ab bc ca
a b c b c bc c a ac
+ +
+ + + + + +
< 1

Bài 9: CMR. nếu x, y
+
Â

thì một trong hai bất đẳng thức sau là sai:

1
xy

2 2
1 1 1
5
x y

+
ữ

và
1
( )x x y+

1
5
( )
2 2
1 1
x
x y

ữ
+
ữ
+

Bài 10: Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh rằng:
3
+++
+
+
+
+
+
cba
c
ba
b
ac

a
ab
Bài 11: Chứng minh rằng: Mọi a, b, c, d, p, q > 0 ta có:
qapc
qp
qcpb
qp
qbpa
qp
cba
+
+
+
+
+
+
+
+
++
'111
Bài 12 : Cho x, y thay đổi sao cho 0

x

3; 0

y

4
Tìm Max của P = (3 x) ( 4 y) (2x + 3y)

Bài 13: Tìm GTLN và GTNN của xy với x, y là nghiệm của phơng trình:
x
4
+ y
4
3 = xy (1 2xy)
Bài 14: Giải bất phơng trình:
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 4 3 0x x x x+ + + +
H ớng dẫn giải
Bài 1: Vì x
2

; y
2
=> x
2
+ y
2


4 =>
2
2
22

+
yx
=> 2.
2

.
22
22
yxyxyx
++

+
=>
22
.2
33
yxyx
+

+
=>
( )
( )
552233222
)()(.2 yxyxyxyxyx
+++++
Bài 2: Ta có :
2
1
1
2

+
a
a

Tơng tự cho b , c ta đợc
2 2 2
3
1 1 1 2
a b c
a b c
+ +
+ + +
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1
* Mặt khác :
3 1 1 1 9
( )
2 2
a b c
a b c
b c a c a b b c a c a b

+ + <=> + + + +
ữ
+ + + + + +

Đặt a+b= x ; b+c =y ; c+a = z ta có
( )
0)()()(
2
9111
222
++<=>

++++
xzzyyx
zyx
zyx
( Đúng )
Bài 3: Xét
2
1 ( 1 ) 1 1 1 1
2
(2 1)( 1) 2 ( 1) 1
4 4 1
n n n n
n n n n n n n
n n
+ +

= < =
ữ
+ + + + +

+ +
Vậy
1 1 1 1 1 1 1 1
1 ... 1

2 2
3 3 5 1
n
S
n n n

< + + + =
ữ ữ
+

)2(22
2
1
44
2
1
44
2
12
2
+
<=>
+
=
++
<
+
<
n
n

S
n
nn
n
S
nn
với n = 2001 ta có:
4006
2001
2003
2001
2003
2
12
20012001
<=>=<
SS
Bài 4: Đặt A =






+

+






+
333
1
1
1
1
1
1
cba
Ta có A =
333333333333
1111111
1
cbacacbbacba
+






+++

+++
3
333222
1
1
133
1






+=+++
abc
cbacba
abc
A
( Bất đẳng thức Cosicho 3 số dơng )
Theo bất đẳng thức cosi:
3
1 1
8 8
3 8

a b c
abc abc
abc
+ +

= => =>
ữ

Vậy
512
729
8
1
1
3
=






+
A
(Dấu bằng xảy ra: a = b = c = 2)
Bài 5 : Ta có :
3
2 2
3
a

b c ab bc ac+ + > + +
<=>
3
2
a
+ b
2
+ c
2
a(b+c) bc > 0
<=>
3
2
a
+ (b + c)
2
a(b+c) 3bc > 0 (*)
Thay bc =
a
1
ta đợc:
(*) <=>
3
2
a
+ (b + c)
2
a(b+c)
a
3

> 0
<=> a( b + c)
2
a
2
(b + c) +
3
3
a
- 3 > 0
Đặt b + c = x ta có: ax
2
a
2
x +
3
3
a
- 3 > 0 Với mọi x
Điều này tơng đơng:

= a
4
4a (
3
3
a
- 3) < 0
<=> a
4

-
012
3
4
4
<+
a
a
<=> 12a (36 a
3
) < 0 đúng vì a
3
> 36
Bài 6:- Do vai trò bình đẳng của x, y, z nên có thể giả sử z y x
Khi đó: x(x - y) (x - z) 0 (1)
Mặt khác: z (z - x) y(y - z)
Do vậy: z (z - x) (z - y) y(y - x) (z - y)
z (z - x) (z - y) + y(y - z) (y - x) 0 (2)
Từ (1) và (2) đpcm.
Bài 7: - Do a, b, c [0;2] nên (2 - a) (2 - b) (2 - c) 0
8 - 4 (a + b + c) + 2 (ab + bc + ac) - abc 0
2 (ab + ac + bc) + 4 (a + b + c) + abc - 8
2 (ab + ac + bc) 4 + abc 4
(a + b + c)
2
- (a
2
+ b
2
+ c

2
) 4
(a
2
+ b
2
+ c
2
) < 5
Dấu "=" xảy ra khi a, b, c có một số bằng 2; một số bằng 0; một số bằng 1.
Bài 8 :Ta có: (a
3
- b
3
) (a
2
- b
2
) 0 (a
5
+ b
5
) a
2
b
2
(a + b)
Do đó :
2
5 5 2 2 2

( )
ab ab c c
a b ab a b a b ab c a b c
ì =
+ + + + + +
(1)
Tơng tự:
5 5
bc
a b ab+ +
<
a
a b c+ +
(2)

5 5
ca
c a ac+ +
<
b
a b c+ +
(3) . Từ (1) ; (2) và (3) ta có điều cần chứng minh
Bài 9 :- Giả sử cả hai bất đẳng thức đều đúng khi đó:
5
xy x
2
+ y
2
và
5

x(x + y) x
2
(x + y)
2

5
(x
2
+ 2xy) 3x
2
+ 2xy + 2y
2
2y
2
- 2(
5
- 1)xy + (3 -
5
)x
2
0
4y
2
- 4 (
5
- 1)xy + (6 - 3
5
)x
2
0

(2y)
2
- 2 . 2y (
5
- 1)x + [(
5
- 1)]
2
0
[2y - (
5
- 1)x]
2
0
Điều này không xảy ra vì (
5
- 1)x là số vô tỷ không thể bằng 2y khi x ,y
+
Â
.
Bài10:- Theo bất đẳng thức Cosi cho hai số dơng ta có:
2
b c c a a b bc ca ab
a b c
a b c

+ + +
+ + + +
ữ
ữ

b c c a a b ca ab ab bc bc ca
b c c a a b
a b c

+ + +
+ + + + + + +
ữ ữ ữ
ữ ữ ữ

6
2( ) 3 3
b c c a a b
a b c a b c abc a b c
a b c
+ + +
+ + + + + + + = + + +
(Bất đẳng thức cosi cho 3 số)
Dấu bằng xảy ra khi a = b= c =1