Chuyên đề 06 hình học không gian khóa luyện thi đảm bảo

2010.15.09_De_bai_Bai_1.doc
2010.15.09_De_an_Bai_1.doc
2010.17.09_De_bai_Bai_2.doc
2010.17.09_Dap_an_Bai_2.doc
2010.19.09_Dap_an_Bai_3.doc
2010.19.09_Dap_an_Bai_3_2.doc
2010.21.09_Dap_an_Bai_4.doc
2010.21.09_De_bai_Bai_4.doc
2010.23.09_De_bai_Bai_5.1.doc
2010.23.09_Dap_an_Bai_5.1.doc
2010.25.09_De_bai_Bai_6.doc
2010.25.09_Dap_an_Bai_6.doc
2010.27.09_De_bai_Bai_7.1.1.1.doc
2010.27.09_Dap_an_Bai_7.1.1.doc
2010.29.09_De_bai_bai_8.doc
2010.02.10-Dap_an-Hinh_cau_trong_HHKG.pdf
Bài 1: Các bài toán chứng minh tính vuông góc – Khóa LTĐH Đảm bảo -Thầy Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

BTVN BÀI CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH TÍNH VUÔNG GÓC

Bài 1: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh
a
và
SA SB SC a  
.
1. Chứng minh mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng (SBD).
2. Chứng minh
SBD
vuông tại S.
Bài 2: Tứ diện SABC có

 
.SA mp ABC

Gọi H, K lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và SBC.
1. Chứng minh SC vuông góc với mp(BHK) và
   
SAC BHK


2. Chứng minh
 
HK SBC

và
   
.SBC BHK


Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm Ô và có cạnh SA vuông góc với (ABCD).
Giả sử (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC.
1. Chứng minh
   
.SBD SAC


2. Chứng minh
 
||
BD mp P

Bài 4: Trong mặt phẳng (P) cho hình chữ nhật ABCD. Qua A dựng đường thẳng Ax vuông góc với (P). lấy
S là một điểm tùy ý trên Ax (
S A
). Qua A dựng mặt phẳng (Q) vuông góc với SC. Giả sử (Q) cắt SB,
SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Chứng minh:

' , '
AB SB AD SD 
và
. ' . ' . 'SB SB SC SC SD SD 

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a, BC=
3a
, mặt bên (SBC) vuông
tại B và (SCD) vuông tại D có SD=
5a
.
a) Chứng minh:
( )SA ABCD
. Tính SA=?
b) Đường thẳng qua A vuông góc với AC, cắt các đường thẳng CB,CD lần lượt tại I,J. Gọi H là hình
chiếu vuông góc của A trên SC. Hãy xác định các giao điểm K,L của SB,SD với mặt phẳng (HIJ).
CMR:
( )AK SBC
;
( )AL SCD
.
c) Tính diện tích tứ giác AKHL=?
………………….Hết…………………
Nguồn: Hocmai.vn

Bài 1: Các bài toán chứng minh tính vuông góc – Khóa LTĐH Đảm bảo -Thầy Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

BTVN BÀI CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH TÍNH VUÔNG GÓC

Bài 1: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và
SA SB SC a  
.
1. Chứng minh mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng (SBD).
2. Chứng minh
SBD
vuông tại S.
HDG:
1. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, vì
SA SB SC a  

nên
 
SO mp ABCD

. Mà
AC BD
vì ABCD là hình thoi, nên
O BD

Có:
       
,

SO SBD SO ABCD SBD ABCD
   

2. Các em tự chứng minh.
Bài 2: Tứ diện SABC có
 
.SA mp ABC

Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC.
1.Chứng minh SC vuông góc với mp(BHK) và
   
SAC BHK


2.Chứng minh
 
HK SBC

và
   
.SBC BHK


HDG:
1. Vì H là trực tâm tam giác
ABC BH AC  
, theo giả thiết

 
SA mp ABC BH SA

  
. Nên
 
BH mp SAC SC BH
  

Do K là trực tâm
SBC BK SC  

Từ đó suy ra
     
SC mp BHK mp BHK mp SAC
  
(đpcm)
2. Tương tự như trên ta cũng chứng minh được:
 
SB mp CHK SB HK
  

Mà
 
SC mp BHK SC HK
  
. Do đó:
     
HK mp SBC mp SBC mp BHK
  

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA vuông góc với
(ABCD). Giả sử (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC.

1.Chứng minh
   
.SBD SAC


2.Chứng minh
 
||
BD mp P



Bài 1: Các bài toán chứng minh tính vuông góc – Khóa LTĐH Đảm bảo -Thầy Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 2
Page 2 of 3

HDG:
1. Vì ABCD là hình vuông tâm O nên AC và BD vuông góc với nhau tại O, vì SA vuông
góc với (ABCD) nên
     
SA BD BD SAC SBD SAC
    

2. Từ giả thiết suy ra:
   
P SAC

, mà
   
||BD SAC BD P

 

Bài 4: Trong mặt phẳng (P) cho hình chữ nhật ABCD. Qua A dựng đường thẳng Ax vuông góc với
(P). lấy S là một điểm tùy ý trên Ax (
S A
). Qua A dựng mặt phẳng (Q) vuông góc với SC. Giả sử
(Q) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’.
CMR :
' , '
AB SB AD SD 
và
. ' . ' . 'SB SB SC SC SD SD 

HDG: Từ giả thiết suy ra:
 
, 'SA BC AB BC BC SAB BC AB
     

Mà
 
'SC Q SC AB
  
. Do đó
 
' '
AB SBC AB SB
  

Ngoài ra ta cũng có
, ' ' ' 'BC SB SC B C SBC SC B    


nên:
. ' . '
' '
SB SC
SB SB SC SC
SC SB
  

Chứng minh tương tự ta được
'
AD SD
và
. ' . 'SD SD SC SC

Vậy ta có đpcm.
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a, BC=
3a
, mặt bên (SBC)
vuông tại B và (SCD) vuông tại D có SD=
5a
.
a. Chứng minh:
( )SA ABCD
. Tính SA=?
b. Đường thẳng qua A vuông góc với AC, cắt các đường thẳng CB,CD lần lượt tại I,J. Gọi H là hình
chiếu vuông góc của A trên SC. Hãy xác định các giao điểm K,L của SB,SD với mặt phẳng (HIJ).
CMR:
( )AK SBC
;

( )
AL SCD

.
c. Tính diện tích tứ giác AKHL=?


Giải:
Bài 1: Các bài toán chứng minh tính vuông góc – Khóa LTĐH Đảm bảo -Thầy Phan Huy Khải.
Page 3 of 3
a)Ta có:
( )
( )
( )
BC BA
BC SAB BC SA
BC BS
SA ABCD
DC DA
DC SAD DC SA
DC DS
 

   



 
 





   





. Ta có:
2SA a


b)Trong (SBC) gọi:
{ } ( )SB HI K K SB HIJ    

Trong (SAD) gọi:
{ } ( )SD HJ L L SD HIJ    
.
Ta có:
(1)BC AK
mà:
IJ
IJ ( ) IJ
SC ( IJ) (2)
AC IJ
SC
SA
SAC SC
H SC AK

AH
 

   
 
   







Từ (1) và (2) ta có:
( )AK SBC
. Tương tự cho
( )
AL SCD


c)Tứ giác AKHL có:
;
AL KH AL LH 
nên:
1
( . . )
2
AKHL AK KH AL LH
S  
.

Vậy :
2
8
15
a
AKHL
S


………………….Hết…………………
Nguồn: Hocmai.vn


Bài 2: Các bài toán tìm khoảng cách – Khóa LTĐH Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

BTVN BÀI CÁC BÀI TOÁN TÌM KHOẢNG CÁCH
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, có
SA h
và vuông góc với
mp(ABCD). Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của:
a) SB và CD
b) SC và BD
Bài 2: Cho chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. Gọi G là trọng tâm tam
giác ABC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC.
Bài 3: Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA vuông góc với mp(ABC) và
2.
SA a
. Đáy ABC là tam
giác vuông tại B với BA=a. Gọi M là trung điểm của AB. Tìm độ dài đoạn vuông góc chung của 2 đường

thẳng SM và BC.
Bài 4: Trong mặt phẳng (P) cho hình thoi ABCD có tâm là O, cạnh a và
3
.
3
a
OB 
Trên đường thẳng
vuông góc với mp(ABCD) tại O, lấy điểm S sao cho
.SB a
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA
và BD.
Bài 5: Cho tứ diện ABCD với AB=CD=a, AC=BD=b, BC=AD=c. Gọi I và J lần lượt là
trung điểm của AB và CD. Hãy tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và CD


………………….Hết…………………
Nguồn: Hocmai.vn



Bài 2: Các bài toán tìm khoảng cách – Khóa LTĐH Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

BTVN BÀI CÁC BÀI TOÁN TÌM KHOẢNG CÁCH
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, có
SA h
và vuông góc với
mp(ABCD). Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của:
1.SB và CD

2.SC và BD
HDG: 1. Vì ABCD là hình vuông nên
BC CD

Lại có:
 
 
 
BC AB
BC SAB BC SB
BC SA do SA ABCD



   

 



Vậy BC là đoạn vuông góc chung của SB và CD, và
BC a

2. Gọi
O AC BD
  
AC và BD vuông góc nhau tại O, mà
SA BD
 
 

BD mp SAC

. Trong
tam giác SAC, kẻ OI vuông góc với SC khi đó BD và OI vuông góc nhau do đó OI là đường vuông
góc chung của SC và BD
Ta có:
 
2 2
.
2 2
SA SC SAOC ah
SAC OIC OI
OI OC SC
h a
      



Bài 2: Cho chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng
3 ,a
cạnh bên bằng
2 .a
Gọi G là trọng tâm tam
giác ABC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC.
HDG: Trong tam giác ABC đều, kéo dài AG cắt BC tại M
AG BC 

Chóp S.ABC đều, mà G là tâm
ABC
ABC nên

 
SG ABC SG BC
  
, từ đó suy ra
 
BC SAG

.
Trong
SAM
kẻ
 
MN SA N SA MN BC
   
. Do vậy MN là đoạn vuông góc chung của BC và
SA. Ta có:
2
. 3 3

4
SAM
S
SG MA a
MN
SA SA

   

Bài 3: Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA vuông góc với mp(ABC) và
2.

SA a
. Đáy ABC là
tam giác vuông tại B với BA=a. Gọi M là trung điểm của AB. Tìm độ dài đoạn vuông góc chung của 2
đường thẳng SM và BC.

HDG:
Bài 2: Các bài toán tìm khoảng cách – Khóa LTĐH Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 2
Page 2 of 3

Ta có
( )
SA BC
BC SAB
AB BC


 



tại B. Dựng
( )BH SM H SM 
.
Ta thấy:
BH BC
. Vậy BH chính là đoạn vuông góc chung của SM và BC.
Ta tính BH như sau:
Vì
1 2

2
3
3 3
2
2
a
BH BM BH a
BH
a
SA SM
a
     

Bài 4: Trong mặt phẳng (P) cho hình thoi ABCD có tâm là O, cạnh
a
và
3
.
3
a
OB 
Trên đường thẳng
vuông góc với mp(ABCD) tại O, lấy điểm S sao cho
.SB a
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA
và BD.
HDG:
Dễ chứng minh được
 
BD SAC


(vì
,
BD AC BD SO 
)
Trong mp(SAC) kẻ
 
OI SA I SA
  
OI là đoạn vuông góc chung của SA và BD.
Ta có:
2 2
6 2 3
3 3
a a
SO OA SA SO OA     


2
. 3

3
SOA
S
SO OA a
OI
SA SA

    

Bài 5: Cho tứ diện ABCD với AB=CD=a, AC=BD=b, BC=AD=c. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của
AB và CD. Hãy tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và CD.
HDG:
Ta thấy ngay
ABC ABD  
nên 2 trung tuyến CI và BD bằng nhau hay
ICD

cân tại I. Nên ta có
IJ
CD
.
CM tương tự ta có:
IJ
AB
vậy IJ chính là đoạn vuông góc chung của AB và CD.
Tính IJ: Áp dụng công thức trung tuyến và ta tính IJ được kết quả là:

2 2 2
IJ
2
b c a 


………………….Hết…………………
Nguồn: Hocmai.vn
Bài 2: Các bài toán tìm khoảng cách – Khóa LTĐH Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải.
Page 3 of 3

Bài 3: Các bài toán xác định góc – Khóa LTĐH Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

BÀI TẬP VỀ NHÀ BÀI CÁC BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH GÓC
Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy là tam giác cân đỉnh A và
BAC

 
. Gọi M là trung điểm
của AA’ và giả sử mp(C’MB) tạo với đáy (ABC) một góc
.


1.Chứng minh
' .
C BC

 

2.Chứng minh
tan os
2
c



là điều kiện cần và đủ để
'BM MC

.
Bài 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh là
.a
Gọi E, F và M lần lượt là trung điểm của
AD, AB và CC’. Gọi

là góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (EFM). Tính
osc


Bài 3: Trong mp(P) cho hình vuông ABCD cạnh a. Dựng đoạn SA vuông góc với (P) tại A. Gọi M, N
lần lượt là các điểm trên BC, CD. Đặt
, .BM u DN v 
Chứng minh rằng:

 
2
3 3a u v uv a
  

là điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng (SAM) và (SAN) tạo với nhau một góc
30

.
Bài 4: Cho tam diện vuông góc Oxyz. Lần lượt lấy trên Ox, Oy, Oz ba đoạn OA=a, OB=b, OC=c. Gọi α,
β,

là số đo các nhị diện cạnh BC, CA, AB.
a) CMR:
2 2 2

os os os 1
c c c
  
  

b) CMR:
2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
ABC OBC OCA OAB
S S S S
   
  

Bài 5: Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh a. Lấy M,N thuộc CB và CD. Đặt CM=x,
CN=y. Lấy
( )S At P 
. Tìm hệ thức giữa x, y để:
a)
 
0
( ),( ) 45
SAM SAN 

b)
( ) ( )SAM SMN

………………….Hết…………………
Nguồn: Hocmai.vn

Bài 3: Các bài toán xác định góc – Khóa LTĐH Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải.

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

BÀI TẬP VỀ NHÀ BÀI CÁC BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH GÓC
Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy là tam giác cân đỉnh A và
BAC

 
. Gọi M là trung điểm
của AA’ và giả sử mp(C’MB) tạo với đáy (ABC) một góc
.


1.Chứng minh
' .
C BC

 

2.Chứng minh
tan os
2
c



là điều kiện cần và đủ để
'BM MC
.
HDG:
1.Trong mp(ACC’A’) kéo dài C’M cắt CA tại N, thì A là trung điểm của NC suy ra:

1
2
BA AC AN BA CN BCN
    
vuông tại B nên
BN BC
.
Tương tự ta có
'BN BC

Dễ thấy:
   
'
BN mp MBC mp ABC
 
, từ trên suy ra
   
 

' , 'C BC ABC MBC

  

2. Vì BM là trung tuyến của
'BC N
nên:
' 'BM MC NBC  
cân đỉnh B
. os
2

' os tan
os 2
sin sin
2 2
BC c
BC BH
BC BN c
c



 

      

(Với H là chân đường vuông góc hạ từ B xuống cạnh AC)
Bài 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh là
.a
Gọi E, F và M lần lượt là trung điểm của
AD, AB và CC’. Gọi

là góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (EFM). Tính
osc


HDG: Ta có:
2 2 2 2 2
2 6
A ,
2 2

a a
EF AE F ME MF MC CB BF       

Gọi
I EF AC MI EF   
. Mà
   
,
MI EF AC MEF ABCD EF
   
nên:góc giữa hai mặt
phẳng (ABCD) và (EFM) là
MIC

 

Do đó:
2 2
3
3 11
4
os
11
IF
AC
IC
c
IM
MF


   


Bài 3: Trong mp(P) cho hình vuông ABCD cạnh a. Dựng đoạn SA vuông góc với (P) tại A. Gọi M, N
lần lượt là các điểm trên BC, CD. Đặt
, .BM u DN v 
Chứng minh rằng:
Bài 3: Các bài toán xác định góc – Khóa LTĐH Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 2
Page 2 of 3


 
2
3 3a u v uv a
  

là điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng (SAM) và (SAN) tạo với nhau một góc
30

.
HDG: Ta có:
2 2 2 2 2 2
;
AM a u AN a v   


     
2 2
2 2 2 2

2 2
MN a u a v a u v a u v        

Dễ thấy góc giữa hai phẳng (SAM) và (SAN) là góc
MAN

 

Do đó:
2 2 2
30 os os30
2 .
AM AN MN
c c
AM AN
 
 
   
 


 
 
 
 
2 2 2 2
2
2
2 2
2

3
2
.
3
3 3
a u v
a u a v
a uv a u v
a u v uv a

 
 
   
   

Bài 4: Cho tam diện vuông góc Oxyz. Lần lượt lấy trên Ox, Oy, Oz ba đoạn OA=a, OB=b, OC=c. Gọi α,
β,

là số đo các nhị diện cạnh BC, CA, AB.
a) CMR:
2 2 2
os os os 1
c c c
  
  

b) CMR:
2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
ABC OBC OCA OAB

S S S S
   
  

HDG:
a) Kẽ
.CH AB OH AB OHC

     
Ta có:
2
2
2
os os
OH OH
CH CH
c c
 

 

2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
os
a b b c c a a b
CH OC OH c
a b a b b c c a

 

    
  

Tương tự và ta tính được:
2 2 2
os os os 1
c c c
  
  

b) Áp dụng công thức diện tích hình chiếu ta có:
2 2 2 2
cos
cos ( ) ( ) ( ) ( )
cos
ABC OBC OCA OAB
OBC ABC
OCA ABC
OAB ABC
S
S S
S S
S
S S S S



   




     






 


Bài 5: Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh a. Lấy M,N thuộc CB và CD. Đặt CM=x,
CN=y. Lấy
( )S At P 
. Tìm hệ thức giữa x, y để:
Bài 3: Các bài toán xác định góc – Khóa LTĐH Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải.
Page 3 of 3
a)
 
0
( ),( ) 45
SAM SAN 

b)
( ) ( )SAM SMN

HDG:
a)
 
( ),( )

SAM SAN MAN
  

Ta có:
2 2 2
2 . cos
MN MA NA MA NA MAN
   

Ta tính được:
2 2 2
2 2 2 0 2 2 3 4
2 2 2
( ) 45 4 ( ) 4 2 ( )
( )
MN x y
MA a a x MAN x y a x y a axy x y
NA a a y

 

           


  


b) Giả sử
( ) ( )SAM SMN

Kẽ
' ' ( ) '
NM SM NM SMA NM SA    

Nhưng
SA MN
nên NM’ trùng với NM hay M’trùng với M
2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( )a a y a a x x y x a x y          

………………….Hết…………………
Nguồn: Hocmai.vn

Bài 4: Thể tích khối đa diện – Khóa LTĐH Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt


BÀI TẬP VỀ NHÀ BÀI THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN


(Các em tự vẽ hình vào các bài tập)
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC, trong đó SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đáy là tam giác ABC cân
tại A, độ dài trung tuyến AD là
a
, cạnh bên SB tạo với đáy một góc

và tạo với mặt (SAD) góc

.
Tìm thể tích hình chóp S.ABC

HDG: Thể tích hình chóp S.ABC là:
1
. .
3
ABC
V SA S



Tam giác ABC cân đỉnh A nên trung tuyến AD cũng là đường cao của tam giác. Theo giả thiết:
   
 
,SA mp ABC SBA SB mp ABC

    
,
 
BD mp SAD BSD

   

Đặt BD = x suy ra:
2 2 2 2
.tan
AB a x SA a x

    


2 2

2 2
2
2 2
sin sin
sin tan sin
sin
os sin
BD SA
SB
x a x
a
x
c
 
  

 
 
  
 


Do đó:
3
2 2
1 sin .sin
. .tan . .
3 3 os( ) os( )
a
V a x a x

c c
 

   
  
 

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với
, 2 ,AB a AD a 
cạnh SA vuông góc với
đáy, còn cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy góc
60

. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho
3
3
a
AM 
. Mặt
phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.BCMN
HDG:
Theo giả thiết :

   
 
, 60
.tan 60 3
SA mp ABCD SBA SB mp ABCD
SA AB a
    

  



Trong mp(SAD) kẻ MN || AD (N thuộc cạnh SD)
 
SD mp BCM N  

Theo công thức tỉ số thể tích, ta có:

.
2
.
2 2 1
3 3 3
4 4 2
.
9 9 9
SMBC
SMBC SABC S ABCD
SABC
SMNC
SMNC SADC S ABCD
SADC
V
SM
V V V
V SA
V
SM SN SM

V V V
V SA SD SA
    
 
     
 
 

Vậy:
3
. .
5 5 1 10 3
. . .
9 9 3 27
S BCMN SMBC SMNC S ABCD ABCD
V V V V SA S a
    

Bài 4: Thể tích khối đa diện – Khóa LTĐH Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Page 2 of 3

Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bằng
a
, và SH là đường cao của hình chóp. Khoảng
cách từ trung điểm I của SH đến mặt bên (SDC) bằng
b
. Tìm thể tích hình chóp S.ABCD
HDG: Từ giả thiết suy ra H là tâm của hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của CD, và G là trực tâm
∆SCD

(1)
HG CD
 

Mà
( )
BD AD
BD SAC BD SC
BD SH


   



và
( ) (2)
SC DG SC BDG SC HG
    

Vì I là trung điểm của SH nên :
   
;( ) 2 ;( ) 2HG d H SCD d I SCD b  


2 3
2 2
2 2 2
2 2 2
2

1 1 1 2
4 à
4
3 16
4
4
b
a ab a
GM b v h V
HG HM SH
a a b
b
        



Bài 4: Tính thể tích khối tứ diện ABCD biết
, ,
AB a AC b AD c  
và các góc
,BAC

,
CAD DAB 

đều bằng
60

.
HDG: Không mất tính tổng quát ta giả sử

 
min , ,a a b c


Trên AC, AD lấy lần lượt hai điểm C
1
, D
1
sao cho AC
1
= AD
1
= a, từ giả thiết suy ra tứ diện ABC
1
D
1
là tứ
diện đều cạnh a nên có
1 1
3
2
12
ABC D
V a


Theo công thức tỉ số thể tích:
1 1
2
1 1

.
ABC D
ABCD
V
AC AD
a
V AC AD bc
 


1 1
2
2
12
ABCD ABC D
bc abc
V V
a
  

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh
,a
60
BAD 

,
 
SA mp ABCD

và

SA a
. Gọi C’
là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AC’ và song song với BD cắt các cạnh SB, SD của hình chóp
lần lượt tại B’, D’. Tìm thể tích hình chóp S.AB’C’D’
HDG: Gọi
, '
O AC BD I AC SO   
, suy ra
' '||B D BD
và
' 'B D
đi qua I
Tam giác SAC nhận I làm trọng tâm nên
2 ' ' 2
3 3
SI SB SD
SO SB SD
   

Theo công thức tỉ số thể tích:

. ' '
. ' ' . .
.
' ' 2 1 1 1 1
. .
3 2 3 3 6
S AB C
S AB C S ABC S ABCD
S ABC

V
SB SC
V V V
V SB SC
     


. ' '
. ' ' . .
.
' ' 2 1 1 1 1
. .
3 2 3 3 6
S AD C
S AD C S ADC S ABCD
S ADC
V
SD SC
V V V
V SD SC
     

Vậy:
3
3
. ' ' ' ' . ' ' ' . ' ' ' .
1 1 3 3
.
3 3 6 18
S A B C D S A B C S A D C S ABCD

a
V V V V a    

Bài 4: Thể tích khối đa diện – Khóa LTĐH Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Page 3 of 3
………………….Hết…………………
Nguồn: Hocmai.vn


Bài 4: Thể tích khối đa diện – Khóa LTĐH Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt


BÀI TẬP VỀ NHÀ BÀI THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN


(Các em tự vẽ hình vào các bài tập)
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC, trong đó SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đáy là tam giác
ABC cân tại A, độ dài trung tuyến AD là
a
, cạnh bên SB tạo với đáy một góc

và tạo với mặt (SAD)
góc

. Tìm thể tích hình chóp S.ABC
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với
, 2 ,AB a AD a 
cạnh SA vuông góc với

đáy, còn cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy góc
60

. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho
3
3
a
AM 
. Mặt
phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.BCMN
Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bằng
a
, và SH là đường cao của hình chóp. Khoảng
cách từ trung điểm I của SH đến mặt bên (SDC) bằng
b
. Tìm thể tích hình chóp S.ABCD
Bài 4: Tính thể tích khối tứ diện ABCD biết
, ,
AB a AC b AD c  
và các góc
,BAC

,
CAD DAB 
đều bằng
60

.
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh
,a

60
BAD 

,
 
SA mp ABCD

và
SA a
.
Gọi C’ là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AC’ và song song với BD cắt các cạnh SB, SD của
hình chóp lần lượt tại B’, D’. Tìm thể tích hình chóp S.AB’C’D’
………………….Hết…………………
Nguồn: Hocmai.vn


Bài 5: Sử dụng công thức thể tích để tính khoảng cách – Khóa LTĐH Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

BÀI TẬP VỀ NHÀ BÀI SỬ DỤNG CÔNG THỨC THỂ TÍCH ĐỂ
TÍNH KHOẢNG CÁCH


(Các em tự vẽ hình vào các bài tập)
Bài 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng
a
. Qua trung điểm I của cạnh AB dựng đường thẳng (d)
vuông góc với mp(ABCD). Trên (d) lấy điểm S sao cho:
3
.

2
a
SI 
Tìm khoảng cách từ C đến
mp(SAD).
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có
3SA a
và
 
.SA mp ABC

ABC
có
2 ,AB BC a 


120 .
ABC 

Tìm khoảng cách từ A đến mp(SBC).
Bài 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng
a
. Gọi K là trung điểm của DD’. Tìm
khoảng cách giữa CK và AD’.

………………….Hết…………………
Nguồn: Hocmai.vn

Bài 5: Sử dụng công thức thể tích để tính khoảng cách – Khóa LTĐH Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

BÀI TẬP VỀ NHÀ BÀI SỬ DỤNG CÔNG THỨC THỂ TÍCH ĐỂ
TÍNH KHOẢNG CÁCH


(Các em tự vẽ hình vào các bài tập)
Bài 6: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng
a
. Qua trung điểm I của cạnh AB dựng đường thẳng (d)
vuông góc với mp(ABCD). Trên (d) lấy điểm S sao cho:
3
.
2
a
SI 
Tìm khoảng cách từ C đến
mp(SAD).
HDG: Ta có:
3
.
1 3
. .
3 6
S ABCD ABCD
a
V SI S 

Áp dụng pitago ta có:

2
2 2 2
5
4
a
DI AI AD  
,
2 2 2 2
SA SI AI a  
,
2 2 2 2
2SD SI DI a
  


2 2 2
SD SA DA SAD
   
vuông tại A nên
2
1 1
.SA
2 2
SAD
S AD a

 

Vậy khoảng cách cần tìm là:

 
 
3 3
3
,
2 2
SACD SABCD
SAD SAD
V V
a
d C SAD
S S
 
  

Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có
3SA a
và
 
.SA mp ABC

ABC
có
2 ,AB BC a 

120 .
ABC 

Tìm khoảng cách từ A đến mp(SBC).
HDG: Ta có:

 
2
2
1 1
. . .sin . 2 .sin120 3
2 2
ABC
S BA BC B a a

  



2 3
.
1 1
. . .3 . 3 3
3 3
S ABC ABC
V SA S a a a

   

Áp dụng định lí hàm số cosin trong tam giác ABC có:
2 2 2 2
2 . .cos 12 2 3AC AB CB BABC B a AC a
     

Áp dụng pitago trong tam giác vuông:
2 2 2 2

2 2 2 2
13 13
21 21
SB SA BA a SB a
SC SA AC a SC a
    
    

Ta có:
2 2 2
15 4
os sin
2 .
273 91
SB SC BC
c BSC BSC
SB SC
 
     


2
1
. .sin 2 3
2
SBC
S SB SC BSC a

   

Bài 5: Sử dụng công thức thể tích để tính khoảng cách – Khóa LTĐH Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Page 2 of 2

Vậy khoảng cách cần tìm là:
 
 
.
3
1
,
2
S ABC
SBC
V
d A mp SBC a
S

 

Bài 8: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng
a
. Gọi K là trung điểm của DD’. Tìm
khoảng cách giữa CK và AD’.
HDG: Kẻ AH || CK (H thuộc cạnh CC’), khi đó ta có:

   
 
 
 

 
 
' '
, ' , ' , '
3
', '
AHD
AHC D
CK AD CK mp AHD C mp AHD
V
C mp AHD
S

 
 

Dễ thấy H là trung điểm của CC’ và tính được
3
' ' ' '
1
. .
3 12
AHC D HC D
a
V AD S

 

Xét tam giác AHD có:
2 2

5
' ' ; 2
2
a
DH DC HC AD a
   


2 2
3
2
a
AH AD HD  


2
'
1 3 1 3
os ' sin ' . ' . ' .sin '
2 4
10 10
AD H
a
c AD H AD H S D A D H AD H

         

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng Ck và AD’ là:

   

 
' '
3
, ' , '
3
AHD
AHC D
V
a
CK AD CK mp AHD
S

  

………………….Hết…………………
Nguồn: Hocmai.vn



Bài 6: Thể tích khối đa diện có kết hợp Min, Max – Khóa LTĐH Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

BÀI TẬP VỀ NHÀ BÀI THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
CÓ KẾT HỢP MIN, MAX


(Các em tự vẽ hình vào các bài tập)
Bài 1: Cho Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA=h và
 
SA ABCD


. M là điểm thay đổi trên cạnh CD. Đặt CM=x.
1. Hạ
SH BM
. Tính SH theo a, h và x.
2.Xác định vị trí của M để thể tích tứ diện SABH đạt Max. Tìm Max đó.
Bài 2: Cho hình Tứ diện S.ABC có các góc phẳng ở đỉnh S vuông.
1. Chứng minh rằng:

3
ΔABC ΔSBC ΔSAB ΔSAC
S S S S  

2. Cho SA=a, SB+SC=k. Đặt SB=x. Tính thể tích tứ diện S.ABC theo a,k,x. Xác định SB,SC để
thể tích tứ diện S.ABC Max.
………………….Hết…………………
Nguồn: Hocmai.vn



Bài 6: Thể tích khối đa diện có kết hợp Min, Max – Khóa LTĐH Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

BÀI TẬP VỀ NHÀ BÀI THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
CÓ KẾT HỢP MIN, MAX


(Các em tự vẽ hình vào các bài tập)
Bài 1: Cho Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA=h và
 

SA ABCD

. M là điểm thay đổi trên cạnh CD. Đặt CM=x.
1. Hạ
SH BM
. Tính SH theo a, h và x.
2.Xác định vị trí của M để thể tích tứ diện SABH đạt Max. Tìm Max đó.
Giải:
1. Ta có:
 
SA ABCD
AH BM
SH BM


 




.
Mà
2
2 2
1 1
2 2
ΔABM
AB.AD a
S BM.AH AB.AD AH
BM

a x
    


Tam giác SAH vuông
4 4 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
a a a h h x
SH SA AH h SH
a x a x
 
     
 

2. Ta có:
0
90
AHB H
 
chạy trên đường tròn đường kính AB nằm trong mặt phẳng
(ABCD).
 
1 1 1
3 3 2
SABH ΔABH
V SA.S SA. AB.HI HI AB
  

SABH

V
đạt Max
max
HI
khi đó H là trung điểm của nửa đường tròn đường kính AB hay I
là trung điểm của AB hay HI=a/2 hay M trùng với D và x=a
2
12
Max
ha
V 

Bài 2: Cho hình Tứ diện S.ABC có các góc phẳng ở đỉnh S vuông.
1. Chứng minh rằng:

3
ΔABC ΔSBC ΔSAB ΔSAC
S S S S  

2. Cho SA=a, SB+SC=k. Đặt SB=x. Tính thể tích tứ diện S.ABC theo a,k,x. Xác định SB,SC để
thể tích tứ diện S.ABC Max.
Giải:
1. Gọi H là trực tâm
ΔABC
, Nối dài AH cắt BC tại K
1AH BC( ) 

 
2
SA SB

SA SBC SA BC( )
SA SC


   




Tứ (1) và (2) ta có:
   
BC SAH SAK BC SH
   

Bài 6: Thể tích khối đa diện có kết hợp Min, Max – Khóa LTĐH Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Page 2 of 2

Chứng minh tương tự ta cũng có:
AC SH SH ( ABC )  
.
Tam giác SAK vuông, chiều cao SH nên:
    
2
2
2
2 2 2
ΔSBC ΔHBC ΔABC
SK.BC KH .BC KA.BC
SK KH .KA . S S S

     
    
     
     

Tương tự:
         
2 2
ΔSAB ΔABC ΔHAB ΔSAC ΔHAC ΔABC
S S S ; S S S 

Cộng các vế với nhau ta có:
       
2 2 2 2
ΔSAB ΔSBC ΔSAC ΔABC
S S S S  

Theo BĐT Côsi ta có:

             
 
2 2 2
1 1 1 3
ΔSAB ΔSBC ΔSAC ΔSAB ΔSBC ΔSAC ΔABC
S S S S S S S       

2.

 
 

2
2
2
1 1 1
6 6 6 6
6 2 2
SABC
SABC
ak
V SA.SB.SC ax k x a x k x
ak k k
MaxV x k x x SB SC
      
         

………………….Hết…………………
Nguồn: Hocmai.vn



Bài 7: Các bài toán về so sánh thể tích – Khóa LTĐH Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt


BÀI TẬP VỀ NHÀ BÀI CÁC BÀI TOÁN VỀ SO SÁNH THỂ TÍCH




Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Gọi M là trung điểm của AA’. Chứng minh rằng thiết diện

C’MB chia lăng trụ thành hai phần tương đương.
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các mặt bên tạo với mp đáy góc
60

.
1. Vẽ thiết diện qua AC và vuông góc với mp(SAD)
2. Thiết diện chia khối chóp thành hai phần có thể tích tương ứng là V
1
, V
2
. Tìm tỉ số
1
2
V
V
.
………………….Hết…………………
Nguồn: Hocmai.vn



Bài 7: Các bài toán về so sánh thể tích – Khóa LTĐH Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt


BÀI TẬP VỀ NHÀ BÀI CÁC BÀI TOÁN VỀ SO SÁNH THỂ TÍCH


(Các em tự vẽ hình vào các bài tập)
Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Gọi M là trung điểm của AA’. Chứng minh rằng thiết diện

C’MB chia lăng trụ thành hai phần tương đương.
HDG: Gọi
1
V
là thể tích phần đa diện chưa điểm A, và V là thể tích lăng trụ.
Kí hiệu h là khoảng cách từ B đến mp (ACC’A’), ta có:

 
1 . ' ' ' ' '
' ' ' '.
1 1
. . .
3 3
1 1 1 3 1
. . .
3 2 2 2 2
B ACC A ACC M ACC AMC
ACC ACC ACC C ABC
V V h S h S S
h S S h S V V
 
  
   
 
    
 
 

Do đó thể tích phần còn lại cũng bằng
1

2
V
nên ta có đpcm.
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các mặt bên tạo với mp đáy góc
60

.
1.Vẽ thiết diện qua AC và vuông góc với mp(SAD)
2.Thiết diện chia khối chóp thành hai phần có thể tích tương ứng là V
1
, V
2
. Tìm tỉ số
1
2
V
V
.
HDG: 1. Vẽ thiết diện qua AC và vuông góc với (SAD):

( )
DoAC SBD AC SD  
.
Kẻ
( ) ( ) ( )CM SD SD ACM ACM P    

Vậy (ACM) là thiết diện.
2. Đặt
1 .
D ACM

V V

Ta có:
.
.
1
2
S ACM
S DAC
V
V SM
V SD
V

 
.
Gọi N là trung điểm của CD
0
óc( ) 60
HN CD SN CD g SNH    


0
1
óc( ) 60 2 . à 2; 3
2
1
5 2
5
HN CD SN CD g SNH HN SN SN DN m HN a HD a SH a

V
SC SD a CM a SM a
V
            

        

………………….Hết…………………
Nguồn: Hocmai.vn