sự tách nón cho bài toán tối ưu vector

LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn Thầy giáo Nguyễn Văn Tuyên đã tận
tình hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt thời gian thực hiện khóa luận.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy, các cô trong tổ giải tích-khoa
Toán, trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ
em hoàn thành khóa luận này.
Em xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều
kiện thuân lợi cho em trong quá trình thực hiện khóa luận.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2012
Sinh viên
Lưu Thị Hồng
i
LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của Thầy giáo Nguyễn Văn
Tuyên khóa luận “Sự tách nón cho bài toán tối ưu vector” được
hoàn thành không trùng với bất kỳ đề tài nào khác.
Trong quá trình hoàn thành khóa luận, em đã thừa kế những thành
tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 05 năm 2012
Sinh viên
Lưu Thị Hồng
ii
Mục lục
Mở đầu 1
1 Bài toán tối ưu vector 4
1.1. Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Quan hệ hai ngôi và quan hệ thứ tự . . . . . . . . . . . . 9
1.3. Điểm hữu hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4. Sự tồn tại của điểm hữu hiệu . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5. Bài toán tối ưu vector (VOP) . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6. Đối ngẫu Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Sự tách nón cho bài toán tối ưu vector 19
2.1. Sự tách vector trong không gian ảnh . . . . . . . . . . . 19
2.2. Sự tách nón của các tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3. Áp dụng cho bài toán tối ưu vector . . . . . . . . . . . . 29
Kết luận 38
Tài liệu tham khảo 39
iii
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Phân tích không gian ảnh (ISA) là một phương pháp để nghiên
cứu các bài toán cực trị có ràng buộc, bất đẳng thức biến phân, và tổng
quát hơn có thể áp dụng cho một lớp các bài toán, kí hiệu là P , mà có
thể biểu diễn dưới một hệ bất đẳng thức tham số. Trong việc phân tích
không gian ảnh, một hệ bất đẳng thức tham số có thể quy về hai tập
con thích hợp rời nhau K và H của không gian ảnh tương ứng với P .
Tập K được định nghĩa như là ảnh của các hàm tham gia trong P , trong
khi H là một nón lồi chỉ phụ thuộc vào kiểu điều kiện (đẳng thức, bất
đẳng thức, ) trên lớp các bài toán P . Sự rời nhau của K và H có thể
được chỉ ra bằng cách đặt chúng trong hai tập mức rời nhau của một
hàm vector tách. Trong trường hợp này, khi P là một bài toán tối ưu
vector (VOP) đã có các nghiên cứu được đưa ra, chẳng hạn như: các
điều kiện cần tối ưu kiểu Lagrange, các điều kiện cho điểm yên ngựa,
sự tồn tại nghiệm, điều kiện chính quy và phương pháp vô hướng hóa
[1, 2, 6, 7, 9, 10]. Mục đích chính của khóa luận này nhằm phân tích sâu
hơn sự tách vector trong không gian ảnh và sự liên hệ với các loại khác,
như: tách tuyến tính từng khúc và tách nón. Đặc biệt là mối liên hệ với
điều kiện tồn tại điểm yên ngựa cho bài toán tối ưu vector.
Khóa luận được chia thành hai chương. Chương 1 giới thiệu một
số kiến thức cơ bản về giải tích lồi, về bài toán tối ưu vector và phương

pháp vô hướng hóa.
Chương 2 giới thiệu một số đặc điểm chung của tách vector trong
không gian ảnh tương ứng với một bài toán tối ưu vector. Sau đó sẽ
2
phân tích mối quan hệ giữa tách vector và tách nón. Đặc biệt, khóa luận
sẽ trình bày một điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại của tách nón chính
quy của các tập K và H. Cuối cùng, chúng ta sẽ áp dụng cho bài toán
tối ưu vector và sẽ chỉ ra sự tương đương của tách vector với sự tách
nón.
2. Mục đích nghiên cứu
Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, từ đó hình thành tư
duy logic đặc thù của bộ môn.
Tìm hiểu những kiến thức về bài toán tối ưu vector, phân tích mối
quan hệ giữa sự tách nón và sự tách vector của 2 tập cũng như trong
không gian ảnh. Để áp dụng cho bài toán tối ưu vector.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu sự tách nón cho bài toán tối ưu vector để chỉ ra điều
kiện cần cho sự tồn tại của một điểm yên ngựa vector của hàm Lagrange
tương ứng với bài toán tối ưu vector.
4. Phương pháp nghiên cứu
Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp và theo sự chỉ đạo của
người hướng dẫn để hoàn thành mục tiêu đề ra.
3
5. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo thì đề
tài bao gồm 2 chương:
Chương 1: Bài toán tối ưu vector.
Chương 2: Sự tách nón cho bài toán tối ưu vector.
Chương 1
Bài toán tối ưu vector

1.1. Một số khái niệm cơ bản
Giả sử E là không gian tuyến tính, R là tập các số thực.
Định nghĩa 1.1. Tập A ⊂ E được gọi là lồi, nếu:
∀x
1
, x
2
∈ A; ∀λ ∈ R : 0  λ  1 ⇒ λx
1
+ (1 − λ)x
2
∈ A.
Ví dụ 1.1. Các nửa không gian là các tập lồi. Hình tam giác, hình tròn
trong mặt phẳng là các tập lồi. Hình cầu đơn vị trong không gian Banach
là tập lồi
Định nghĩa 1.2. Giả sử A ⊂ E. Giao của tất cả các tập lồi chứa A
được gọi là bao lồi của tập A, và kí hiệu coA.
Nhận xét 1.1. a) coA là một tập lồi. Đó là tập lồi bé nhất chứa A;
b) A lồi khi và chỉ khi A = coA.
Định nghĩa 1.3. Tập C ⊂ E được gọi là nón có đỉnh tại 0 nếu:
∀x ∈ C, ∀λ > 0 ⇒ λx ∈ C.
C được gọi là nón có đỉnh tại x
0
, nếu C − x
0
là nón có đỉnh tại 0.
5
Định nghĩa 1.4. Nón C có đỉnh tại 0 được gọi là nón lồi, nếu C là một
tập lồi, nghĩa là:
∀x, y ∈ C, ∀λ, µ > 0 ⇒ λx + µy ∈ C.

Ví dụ 1.2. Các tập sau đây trong R
n
:
{ξ
1
, ξ
2
, , ξ
n
∈ R
n
: ξ
i
 0, i = 1, , n}
(nón orthant không âm)
{ξ
1
, ξ
2
, , ξ
n
∈ R
n
: ξ
i
> 0, i = 1, , n}
(nón orthant dương)
là các nón lồi có đỉnh tại 0. Đó là nón lồi quan trọng trong R
n
.

Ngoài ra, nếu cho D ⊆ R
m
là một nón lồi, nón cực dương của D
được xác định bởi:
D
∗
:= {x
∗
∈ R
m
:< x
∗
, x > 0, ∀x ∈ D} .
Cho a, b ∈ R
m
, a 
D
b khi và chỉ khi a − b ∈ D; a  0 khi và chỉ khi
a
i
 0, i = 1, , m. Kí hiệu R
m
+
:= {x ∈ R
m
: x  0} và cho g : X → R
m
.
Hàm g được gọi là D-giống lồi trên S ⊆ X khi và chỉ khi :
∀x

1
, x
2
∈ S, ∀α ∈ [0, 1], ∃x ∈ S,
sao cho
(1 − α)g(x
1
) + αg(x
2
) − g(x) ∈ D.
Điều này được biết đến trong [13] rằng g là một hàm D-giống lồi khi và
chỉ khi tập g(S) + D là lồi.
Định nghĩa 1.5. Phần trong tương đối của tập A ⊂ R
n
là phần trong
của A trong affA (bao affine); kí hiệu là riA. Các điểm thuộc riA được
gọi là điểm trong tương đối của tập A.
6
Nhận xét 1.2.
intA := {x ∈ R
n
: ∃ > 0, x + B ⊂ A} ,
riA := {x ∈ affA : ∃ > 0, (x + B) ∩ affA ⊂ A} ,
trong đó B là hình cầu đơn vị đóng trong R
n
.
Tiếp theo chúng ta sẽ đi xem xét một số nón thường gặp
Cho C là nón lồi trong không gian vector tôpô E. Kí hiệu l(C) :=
C ∩ (−C) (phần tuyến tính của C); clC (bao đóng của C); một tập con
A ⊆ E, A

c
là phần bù của A trong E, nghĩa là A
c
= E\A.
Định nghĩa 1.6. Chúng ta nói nón C là:
(a) Nhọn nếu l(C) = 0;
(b) Nón sắc nếu bao đóng của nó là nhọn;
(c) Nón có giá chặt nếu C\l(C) là được chứa trong một nửa không gian
mở thuần nhất;
(d) Nón đúng nếu (clC) + C\l(C) ⊆ C, hoặc tương đương
clC + C\l(C) ⊆ C\l(C).
Ví dụ 1.3. 1. Cho R
n
là không gian Euclid n-chiều. Khi đó, nón orthant
không âm R
n
+
gồm tất cả các vectơr của R
n
với toạ độ không âm là nón
lồi, sắc, đóng, có giá chặt và là nón đúng.
Tập {0} cũng là một nón, nhưng là nón tầm thường.
Tập là hợp của 0 và các vector với toạ độ đầu tiên dương là một
nón đúng, nhọn, có giá chặt nhưng không là nón sắc.
Bất kì nửa không gian đóng thuần nhất là nón đúng, có giá chặt
nhưng không là nón nhọn.
7
2. Cho Ω là không gian vectơr gồm tất cả dãy x = {x
n
} số thực.

Cho C = {x ∈ Ω : x
n
 0, ∀n}, thì C là nón nhọn, lồi. Tuy nhiên, ta
chưa biết nón C là nón đúng hoặc nón sắc vì ta chưa biết tôpô xác định
trên không gian này.
3. Nón thứ tự từ điển: Cho
l
p
=

x ∈ Ω : x = (

|x
n
|
p
)
1
p

, 1  p < ∞.
Kí hiệu C là hợp của 0 và các dãy mà số hạng đầu tiên khác không của
dãy là dương. Đây là một nón lồi, còn gọi là nón thứ tự từ điển. Nó là
nón nhọn nhưng không là nón đúng và cũng không phải là nón có giá
chặt.
Mệnh đề 1.1. Nón C là đúng khi và chỉ khi một trong các các điều kiện
sau thoả mãn:
(a) C là đóng;
(b) C\l(C) là mở, khác rỗng;
(c) C là hợp của 0 và giao của các nửa không gian mở và nửa không

gian đóng trong E.
Chứng minh. (a) Hiển nhiên.
(b) Nếu C\l(C) mở thì intC = ∅ và intC = C\l(C). Do đó, ta có
clC + C\l(C) = (clC) + intC ⊆ C,
hay C là nón đúng.
(c) Giả sử C = {0} ∪(∩ {H
λ
: λ ∈ Λ}), ở đây H
λ
là nửa không gian đóng
hoặc mở trong E. Nếu tất cả H
λ
là đóng thì điều này tương đương với
C là đóng. Do đó, ta có thể giả sử ít nhất một nửa không gian là mở thì
l(C) = {0} và b ∈ C\l(C) khi và chỉ khi b ∈ H
λ
, ∀λ ∈ Λ. Hơn thế nữa,
ta thấy a ∈ clC khi và chỉ khi a ∈ clH
λ
, ∀λ ∈ Λ nên clH
λ
+ H
λ
∈ H
λ
.
8
Vậy H
λ
là mở hoặc đóng thì a + b ∈ C, a ∈ C, b ∈ C\l(C). Mệnh

đề được chứng minh.
Định nghĩa 1.7. Cho một nón C trong không gian E. Một tập B ⊆ E
sinh ra nón C và viết C = cone(B) nếu
C = {tb : b ∈ B, t  0} .
Hơn nữa, nếu B không chứa 0 và với mỗi c ∈ C, c = 0, tồn tại duy nhất
b ∈ B, t > 0 sao cho c = tb thì B được gọi là cơ sở của C. Khi B là một
tập hữu hạn, cone(conv(B)) được gọi là một nón đa diện.
Nhận xét 1.3. Rõ ràng trong không gian hữu hạn chiều một nón có
cở sở là lồi, đóng bị chặn khi và chỉ khi nó là nhọn, đóng. Tuy nhiên nó
không đúng trong không gian vô hạn chiều.
Mệnh đề 1.2. Nếu E là không gian Hausdorff thì một nón với một cơ
sở lồi, đóng bị chặn là nón đóng, nhọn vì vậy nó là nón đúng.
Chứng minh. Trước hết ta chỉ ra rằng C là đóng. Cho dãy{c
α
} là một
lưới từ C hội tụ tới c. Do B là một cơ sở nên tồn tại một lưới {b
α
} từ
B và một lưới {t
α
} các số dương mà c
α
= t
α
b
α
. Dễ thấy t
α
là bị chặn.
Thật vậy, giả sử ngược lại limt

α
= ∞. Vì E là không gian Hausdorff
nên lưới

b
α
=
c
α
t
α

hội tụ tới 0. Hơn thế nữa B là đóng, dẫn tới mâu
thuẫn: 0 = limb
α
∈ B. Bằng cách này, ta có thể giả sử {t
α
} hội tụ tới
điểm t
o
 0. Nếu t
o
= 0 thì từ tính bị chặn của B, limt
α
b
α
= 0. Do đó
c = 0 và hiển nhiên c ∈ C. Nếu t
o
> 0,ta có thể giả sử t

α
> , ∀α,  > 0.
Từ b
α
=
c
α
t
α
hội tụ tới
c
t
o
và hơn nữa B đóng nên vector
c
t
o
∈ B. Do đó
c ∈ C và C đóng nên C nhọn là hiển nhiên.
9
1.2. Quan hệ hai ngôi và quan hệ thứ tự
Cho một tập hợp E tuỳ ý, một quan hệ hai ngôi trong E được định
nghĩa bởi một tập con B của tập hợp tích E × E. Điều này có nghĩa là
một phần tử x ∈ E có quan hệ với y ∈ E nếu (x, y) ∈ B.
Định nghĩa 1.8. Cho B là một quan hệ hai ngôi trong E. Ta nói quan
hệ này là:
(a) Phản xạ nếu (x, x) ∈ B với mọi x ∈ E;
(b) Đối xứng nếu(x, y) ∈ B suy ra (y, x) ∈ B với mỗi x, y ∈ E;
(c) Bắc cầu nếu (x, y) ∈ B,(y, z) ∈ B suy ra (x, z) ∈ B với x, y, z ∈ B;
(d) Đầy đủ hoặc liên thông nếu (x, y) ∈ B hoặc (y, x) ∈ B với mỗi

x, y ∈ E, x = y;
(e) Tuyến tính trong trường hợp E là không gian vector thực nếu (x, y) ∈
B suy ra (tx + z, ty + z) ∈ B với mọi x, y, z ∈ E, t > 0;
(f) Đóng trong trường hợp E là không gian vector tôpô, nếu nó là đóng
như một tập con của không gian tích E × E.
Để làm rõ định nghĩa này chúng ta xem xét một số ví dụ cổ điển
sau. Cho E là một cộng đồng dân cư của một thành phố và chúng ta
định nghĩa quan hệ hai ngôi như sau (số dân cư được gán bởi x, y, z, )
1. (x, y) ∈ B
1
nếu x, y là những người tuổi cao hoặc có tuổi.
2. (x, y) ∈ B
2
nếu x, y là hai giới tính khác nhau.
3. (x, y) ∈ B
3
nếu x, y là những người có họ.
Ta thấy rằng B
1
là phản xạ, bắc cầu, không đối xứng, đầy đủ. B
2
không phản xạ, đối xứng, không bắc cầu, không đầy đủ. B
3
là phản xạ,
không bắc cầu, đối xứng, không đầy đủ.
10
Định nghĩa 1.9. Quan hệ hai ngôi là một quan hệ thứ tự nếu nó là
phản xạ, bắc cầu.
Thật vậy, nếu B là một quan hệ thứ tự mà là tuyến tính trong
một không gian vector thì tập

C = {x ∈ E : (x, 0) ∈ B}
là một nón lồi. Hơn nữa, nếu B là không đối xứng thì C là nhọn. Ngược
lại, mỗi nón lồi trong E cho một quan hệ hai ngôi
B
C
= {(x, y) ∈ E × E : x − y ∈ C}
là phản xạ, bắc cầu và tuyến tính. Ngoài ra, nếu C là nhọn thì B
C
là
không đối xứng.
Bây giờ, chúng ta sẽ xét một vài thứ tự sinh ra bởi các nón lồi.
Đôi khi chúng ta viết:
x 
C
y thay cho x − y ∈ C;
hoặc x  y nếu nó chắc chắn là quan hệ hai ngôi được định nghĩa
bởi C;
x >
C
y nếu x 
C
y và không phải là y 
C
x,
hay là x ∈ y + C\l(C). Khi intC = 0, x 
C
y nghĩa là x >
K
y với
K = {0} ∪ intC.

Ví dụ 1.4. 1. Cho R
n
và tập C = R
n
+
. Thì B
C
là phản xạ, bắc cầu,
tuyến tính, đóng, không đối xứng nhưng không đầy đủ.
Cho x = (x
1
, , x
n
) , y = (y
1
, , y
n
) ∈ R
n
:
x 
C
y khi và chỉ khi x
i
 y
i
với i = 1, , n;
x >
C
y khi và chỉ khi x

i
 y
i
với i = 1, , n và ít nhất một bất
đẳng thức là ngặt;
11
x 
C
y khi và chỉ khi x
i
> y
i
với mọi i = 1, , n.
2. Trong R
2
. Nếu C =

R
1
, 0

thì B
C
là phản xạ, bắc cầu, tuyến
tính, đóng và đối xứng. Trong trường hợp này x 
C
y khi và chỉ khi hai
thành phần của các vector trùng nhau. Thứ tự này không đầy đủ.
3. Nón thứ tự từ điển là một quan hệ phản xạ, bắc cầu, tuyến tính
đầy đủ trong l

p
.
1.3. Điểm hữu hiệu
Cho E là không gian vector tôpô thực với quan hệ thứ tự () được
sinh bởi một nón lồi C.
Định nghĩa 1.10. Cho A là một tập con khác rỗng của E. Ta nói rằng:
(a) x ∈ A là một điểm hữu hiệu lí tưởng (hoặc cực tiểu lí tưởng) của A
tương ứng với C nếu y  x, ∀y ∈ A;
Tập các điểm cực tiểu lí tưởng của A được kí hiệu là IMin (A | C);
(b) x ∈ A là điểm hữu hiệu (cực tiểu-Pareto hoặc không cực tiểu) của
A tương ứng với C nếu x  y, y ∈ A thì y  x;
Tập các điểm hữu hiệu của A kí hiệu là Min(A | C);
(c) x ∈ A là điểm hữu hiệu thực sự (toàn cục) của A tương ứng với C nếu
tồn tại một nón lồi K = E với intK ⊇ C\l(C) sao cho x ∈ Min(A | K);
Tập các điểm hữu hiệu toàn cục của A được kí hiệu là P rMin(A |
C);
(d) Giả sử intC = ∅, x ∈ A là một điểm hữu hiệu yếu của A tương ứng
với C nếu x ∈ Min(A | {0} ∪ intC);
Tập các điểm hữu hiệu yếu của A kí hiệu là W Min(A | C).
12
Ví dụ 1.5. Cho:
A =

(x, y) ∈ R
2
: x
2
+ y
2
 1, y  0


∪ {(x, y) : x  0, 0  y  −1} ;
B = A ∪ {(−2, −2)}.
Nếu cho C = R
2
+
, ta có:
IMin(B) = P rMin(B) = Min(B) = W Min(B) = {(−2, −2)};
IMin(B) = ∅,
P rMin(A) =

(x, y) ∈ R
2
: x
2
+ y
2
= 1, 0 > x, 0 > y

,
Min(A) = P rMin(A) ∪ {(0, −1)} ∪ {(−1, 0)},
W Min(A) = Min(A) ∪ {(x, y) : y = −1, x  0}.
Bây giờ cho C = (R
1
, 0) ⊆ R
2
. Ta có:
IMin(B) = ∅,
P rMin(B) = Min(B) = W Min(B) = B,
IMin(A) = ∅,

P rMin(A) = Min(A) = W Min(A) = A.
Từ định nghĩa của các điểm hữu hiệu, ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.3. Cho A ⊆ E thì:
(a) x ∈ IMin(A) khi và chỉ khi x ∈ A và A ⊆ x + C;
(b) x ∈ IMin(A) khi và chỉ khi A ∩ (x − C) ⊆ x + l(C) hoặc tương
đương với không tồn tại y ∈ A sao cho x > y. Đặc biệt khi C là nhọn,
x ∈ Min(A) khi và chỉ khi A ∩ (x − C) = {x};
(c) Khi C = E, x ∈ W Min(A) khi và chỉ khi A ∩ (x − intC) = ∅ hoặc
tương đương với không tồn tại y ∈ A sao cho x  y.
Mệnh đề 1.4. Cho tập khác rỗng A ⊆ E có:
P rMin(A) ⊆ Min(A) ⊆ WMin(A).
Hơn nữa, nếu IMin(A) = ∅ thì IMin(A) = Min(A) và nó là tập
một điểm khi C là nhọn.
13
Chứng minh. Lấy x ∈ P rMin(A). Nếu x ∈ Min(A) có y ∈ A và x −y ∈
C\l(C). Lâý nón lồi K, K = E với intK ⊆ C\l(C) và x ∈ Min(A | K).
Thì x − y ∈ intK ⊆ K\l(K). Điều này mâu thuẫn với x ∈ Min(A | K)
suy ra P rM in(A) ⊆ Min(A).
Lấy x ∈ M in(A). Nếu x ∈ W Min(A) theo Mệnh đề 1.3 tồn tại
y ∈ A sao cho x−y ∈ intC. Do C = E, intC ⊆ C\l(C) nên ta có x−y ∈
C\l(C).Điều này mâu thuẫn với x ∈ MinA. Vậy Min(A) ⊆ W Min(A).
Rõ ràng IMin(A) ⊆ Min(A). Nếu IMin(A) = ∅, cho x ∈ IMin(A)
thì x ∈ M in(A). Cho y ∈ M in(A) thì y ≥ x vì vậy x  y. Lấy một điểm
bất kì z ∈ A có z  x vì x ∈ IMin(A) suy ra z  y là y ∈ IMin(A).
Do đó IMin(A) = Min(A). Ngoài ra, nếu C là nhọn x  y và y ≥ x chỉ
có thể xảy ra trường hợp x = y. Vậy IMinA là tập một điểm.
Định nghĩa 1.11. Cho x ∈ E. Tập A ∩ (x − C) được gọi là một nhát
cắt A tại x và kí hiệu A
x
.

Mệnh đề 1.5. Cho x ∈ E với A
x
= ∅. Ta có:
(a) IMin(A
x
) ⊆ IMinA nếu IMinA = ∅;
(b) Min(A
x
) ⊆ MinA (tương tự cho W Min).
Chứng minh. (a) Cho y ∈ IMin(A
x
) và z ∈ IMinA có A
x
⊆ y + C và
A ⊆ z + C. Thì z ∈ A
x
và z − y ∈ l(C) suy ra
A ⊆ z + C = y + z − y + C = y + l(C) + C = y + C.
Do đó y ∈ IMinA.
(b) Giả sử y ∈ Min(A
x
). Theo Mệnh đề 1.4 có A
x
∩ (y − C) ⊂ y + l(C)
suy ra y − C ⊆ x − C nên
A ∩ y − C ⊆ A ∩ (y − C) ∩ (x − C) ⊆ A
x
∩ (y − C) ⊆ y + l(C).
Do đó y ∈ MinA.
14

Chứng minh tương tự cho W M in.
Nhận xét 1.4. Quan hệ P rMin(A
x
) ⊆ P rMinA nói chung không đúng
trừ một số trường hợp đặc biệt.
1.4. Sự tồn tại của điểm hữu hiệu
Định nghĩa 1.12. Cho lưới {x
α
: α ∈ I} từ E được gọi là lưới giảm
(tương ứng với C) nếu x
α
>
C
x
β
với α, β ∈ I; β > α.
Định nghĩa 1.13. Cho A ⊆ E được gọi là C-đầy đủ (tương ứng C-đầy
đủ mạnh) nếu nó không có phủ dạng {(x
α
− clC)
c
: α ∈ I} (tương ứng
{(x
α
− C)
c
: α ∈ I}) với {x
α
} là một lưới giảm trong A.
Định lí 1.1. Giả sử C là một nón lồi đúng và A là một tập khác rỗng

trong E. Thì Min(A | C) = ∅ khi và chỉ khi A có một nhát cắt C-đầy
đủ và khác rỗng.
Chứng minh. Nếu Min(A | C) = ∅ thì mọi điểm của tập này cho ta một
nhát cắt C-đầy đủ vì không tồn tại lưới giảm. Ngược lại, cho A
x
khác
rỗng là một nhát cắt C-đầy đủ của A. Theo Mệnh đề 1.5 thì ta chỉ cần
chứng minh Min(A
x
| C) = ∅. Xét tập P bao gồm tất cả các lưới giảm
trong A. Vì A = ∅ suy ra P = ∅. Với a, b ∈ P ta viết a  b nếu b ⊆ a.
Rõ ràng () là quan hệ thứ tự trong P , và một xích bất kì trong P đều
có cận trên. Thật vậy, giả sử {a
λ
; λ ∈ Λ} là một xích trong P . Gọi B là
tập tất cả các tập con hữu hạn B của Λ được sắp thứ tự bởi bao hàm
và đặt
a
B
= ∪ {a
α
; α ∈ B} .
Và
a
o
= ∪ {a
B
: B ∈ B} .
15
Thì a

o
là một phần tử của P và a
o
 a
α
với mọi α ∈ Λ nghĩa là a
o
là
một cận trên của xích này. Áp dụng bổ đề Zorn, tồn tại phần tử lớn
nhất của P , kí hiệu là a
∗
= {x
α
: α ∈ I} ∈ P . Bây giờ, giả sử ngược lại
Min(A
x
| C) = ∅. Chúng ta sẽ chứng minh {(x
α
− clC)
c
: α ∈ I} phủ
A
x
. Ta chỉ ra với mỗi y ∈ A
x
có α ∈ I mà (x
α
− clC)
c
chứa y. Giả sử

phản chứng y ∈ x
α
− clC, ∀α ∈ I. Vì Min(A
x
| C) = ∅ có z ∈ A
x
với
y >
C
z. Do tính đúng của C nên x − α >
C
z, (α ∈ I). Thêm z vào lưới
a
∗
ta thấy rằng lưới này không thể lớn nhất, dẫn tới mâu thuẫn. Vậy
định lí được chứng minh.
1.5. Bài toán tối ưu vector (VOP)
Cho X là một tập con khác rỗng của một không gian tôpô và F là
một ánh xạ đa trị từ X vào E, ở đây E là không gian vector tôpô thực
được xắp thứ tự bởi nón lồi C.
Xét VOP:
minF (x)
với ràng buộc x ∈ X.
Điểm x ∈ X được gọi là tối ưu (cực tiểu hoặc hữu hiệu) của VOP
nếu F (x) ∩ Min(F (X) | C) = ∅.
Ở đây F (X) là hợp của các tập F (x) trên X. Các phần tử của
Min(F (x) | C) được gọi là giá trị tối ưu của VOP. Tập các điểm hữu
hiệu của VOP được kí hiệu là S(X; F ). Thay thế IM in, P rM in, W Min
cho Min(F (X) | C) chúng ta có các khái niệm IS(X; F ), P rS(X; F ) và
W S(X; F ).

Quan hệ giữa các điểm hữu hiệu, hữu hiệu thực sự và hữu hiệu
yếu của VOP được trình bày trong mệnh đề sau:
16
Mệnh đề 1.6. Cho VOP, chúng ta có các bao hàm thức sau:
P rS(X; F ) ⊆ S(X; F ) ⊆ W S(X; F ).
Hơn nữa, nếu IS(X; F ) = ∅ thì IS(X; F ) = S(X; F ).
Chứng minh tương tự Mệnh đề 1.4.
Bổ đề 1.1. Giả sử C là lồi, X là tập compac khác rỗng và F là C-liên
tục trên trong X với F (x) + C là C-đầy đủ, đóng với mọi x ∈ X thì
F (X) là C-đầy đủ.
Chứng minh. Giả sử phản chứng rằng F (X) không là C-đầy đủ. Điều
này có nghĩa là, có một lưới giảm {a
α
: α ∈ I} của F (X) sao cho:
{(a
α
− cl(C))
c
: α ∈ I}
là phủ của F (X). Lấy x
α
∈ X với a
α
∈ F (x
α
). Không mất tính tổng
quát, giả sử limx
α
= x ∈ X. Khi đó, với mỗi lân cận V của F (x) trong
E có một chỉ số β ∈ I sao cho

a
α
∈ V + C, ∀α  β.
Do {a
α
} là dãy giảm, nên
a
α
∈ a
δ
+ C, ∀δ  α.
Từ đây, suy ra:
a
α
∈ cl(F (x) + C) = F (x) + C, ∀α.
Dẫn tới mâu thuẫn: F (x) + C không thể là C-đầy đủ.
1.6. Đối ngẫu Lagrange
Trong quy hoạch toán học tương ứng với mỗi bài toán gốc có một
bài toán đối ngẫu. Bài toán gốc và bài toán đối ngẫu của nó lập thành
17
một cặp. Để thấy được ý tưởng của phương pháp này, ta xét bài toán
quy hoạch tuyến tính, kí hiệu (LP):
mincx
với ràng buộc x ∈ R
n
, Ax  b,
trong đó, c ∈ R
n
, b ∈ R
m

và A là ma trận (n × m).
Thì bài toán đối ngẫu của nó kí hiệu là (LD) viết dưới dạng:
maxby
với ràng buộc y ∈ R
m
, A
T
= c, y  0,
trong đó, A
T
là ma trận chuyển vị của A.
Bài toán gốc và bài toán đối ngẫu có các mối quan hệ sau:
1. cx  by với mỗi x là điểm chấp nhận được của (LP), y là điểm
chấp nhận được của (LD);
2. (LP) có nghiệm tối ưu khi và chỉ khi (LD) có nghiệm tối ưu và
giá trị tối ưu của chúng bằng nhau;
3. Nếu (LP) không có nghiệm tối ưu thì (LD) không có nghiệm tối
ưu và ngược lại;
4. (LP) là bài toán đối ngẫu của (LD).
Kí hiệu E
1
, E
2
, E
3
là các không gian vector tôpô tách trên trường
số thực, X là tập con khác rỗng của E
1
, C ⊆ E
2

và K ⊆ E
3
là nón lồi
nhọn với phần trong khác rỗng, F và G là tập ánh xạ đa trị từ E
1
tới
E
2
và E
3
tương ứng, với X ⊆ domF ∩ domG.
Bài toán tối ưu vector (VOP) phát biểu dưới dạng:
minF (x)
với ràng buộc x ∈ X, G(x) ∩ −K = ∅.
18
(K là một nón lồi trên không gian vector tôpô E
1
).
Tập X
o
= {x ∈ X : G(x) ∩ −K = ∅} là tập các điểm chấp nhận
được của VOP.
Bây giờ, cho Y là một nón lồi trong C. Tương ứng giữa Y và VOP
ta có các định nghĩa:
(a) Hàm Lagrange là ánh xạ L(., .) từ X × Y tới E
2
:
L(x, y) = F (x) + yG(x), x ∈ X, y ∈ Y.
(b) Ánh xạ đối ngẫu D(.) từ Y tới E
2

:
D(y) = Min(L(x, Y ) | C), y ∈ Y.
Hệ quả 1.1. Nếu một điểm chấp nhận được x
o
của VOP thoả mãn
F (x
o
) ∩ Max(D(Y ) | C),
thì nó là nghiệm tối ưu của VOP.
Chứng minh. Cho a
o
∈ F (x
o
) ∩ Max(D(Y ) | C) thì tồn tai y
o
∈ Y sao
cho:
a
o
∈ D(y
o
) ∩ Max(D(Y | C)).
Theo định lí đối ngẫu yếu khi đó không có bộ 3 điểm chấp nhận được
(x, a, b) của VOP sao cho a
o
>
C
a. Điều này có nghĩa là
a
o

∈ M in(F (X
o
) | C).
Vậy x
o
là nghiệm tối ưu của VOP.
Định nghĩa 1.14. Ta nói cặp (x
o
, y
o
) ∈ X × Y là một điểm yên ngựa
của L(.) nếu:
L(x
o
, y
o
) ∩ Max(L(x
o
, Y ) | C) ∩ Min(L(y
o
, X) | C) = ∅.
Chương 2
Sự tách nón cho bài toán tối ưu
vector
2.1. Sự tách vector trong không gian ảnh
Cho nón C ⊂ R
l
. Trong mục này ta sẽ giả sử C là nón lồi, đóng,
nhọn, khác rỗng. Kí hiệu C
o

:= C\ {O}.
Cho f : X → R
l
và g : X → R
m
là các hàm vector được xác định
trên một tập con X của không gian Banach χ. Chúng ta xét VOP sau:
min
C
o
f(x)
với ràng buộc x ∈ R := {x ∈ X : g(x) 
D
O} , (2.1)
với D là nón lồi, đóng trong R
m
và min
C
o
là vector cực tiểu tương ứng
với nón C
o
: ¯x ∈ R là vector cực tiểu (toàn cục) (v. m. p) của (2.1) khi
và chỉ khi
f(¯x) 
C
o
f(x), ∀x ∈ R. (2.2)
Nếu C = R
l

+
thì (2.1) trở thành bài toán tối ưu vector Pareto cổ điển.
Bài toán tối ưu vector yếu là thường tương ứng với (2.1) và được
20
định nghĩa bởi
min
intC
f(x)
với ràng buộc x ∈ R, (2.3)
trong đó min
intC
là vector cực tiểu tương ứng với nón intC: ¯x ∈ R là
v.p.m (toàn cục) của (2.3) khi và chỉ khi
f(¯x) 
intC
f(x), ∀x ∈ R. (2.4)
Với C = R
l
+
, (2.3) được gọi là VOP Pareto yếu.
Cần chú ý rằng (2.2) sẽ thoả mãn khi và chỉ khi hệ (với biến x)
f(¯x) − f (x) 
C
o
O, g(x) 
D
O, x ∈ X, (2.5)
là vô nghiệm. Xét các tập
H :=


(u, v)) ∈ R
l
× R
m
: u 
C
o
O, v 
D
O

= C
o
× D,
và
K
¯x
:=

(u, v) ∈ R
l
× R
m
: u = f(¯x) − f(x), v = g(x), x ∈ X

.
H và K
¯x
là các tập hợp con của R
l+m

được gọi là không gian ảnh, K
¯x
được gọi là ảnh tương ứng với bài toán (2.1).
Từ các định nghĩa trước ta thấy ¯x ∈ R là v.m.p của (2.1) khi và
chỉ khi
K
¯x
∩ H = ∅. (2.6)
Nói chung ảnh của bài toán tối ưu có thể không lồi ngay cả khi các hàm
tương ứng có một số tính chất lồi. Để khắc phục khó khăn này, chúng ta
sẽ đưa ra tiêu chuẩn của ảnh K
¯x
, cụ thể là mở rộng nó đối với nón clH:
E
¯x
: = K
¯x
− clH
=

(u, v) ∈ R
l
× R
m
: u 
C
f(¯x) − f (x), v 
D
g(x), x ∈ X


.
Tập E
¯x
được gọi là ảnh mở rộng tương ứng với (2.1). Mệnh đề sau cho ta
một tiêu chuẩn của E
¯x
. Đặt H
u
:= {(u, v) ∈ H : v = O} = C
o
× {O
m
} .
21
Mệnh đề 2.1. Điều kiện (2.6) thoả mãn khi và chỉ khi
E
¯x
∩ H = ∅, (2.7)
hoặc tương đương
E
¯x
∩ H
u
= ∅. (2.8)
Chứng minh. Để chứng minh tương đương giữa (2.6) và (2.7) ta cần chú
ý rằng
H + clH = H, (2.9)
và do đó K
¯x
− H = K

¯x
− (H + clH) = (K
¯x
− clH) − H = E
¯x
− H. Ta
sẽ chỉ ra (2.7) và (2.8) là tương đương. Rõ ràng, (2.7) suy ra (2.8) do
H
u
⊆ H. Để chứng minh quan hệ ngược lại, ta giả sử phản chứng rằng
(2.8) thoả mãn nhưng (2.7) không thoả mãn; nghĩa là ∃(¯u, ¯v) ∈ E
¯x
∩ H.
Từ
E
¯x
− clH = K
¯x
− (clH + clH) = E
¯x
, (2.10)
thì (¯u, ¯v) − (O, ¯v) = (¯u, O) ∈ E
¯x
. Như vậy (¯u, O) ∈ H
u
. Điều này dẫn tới
mâu thuẫn. Vậy mệnh đề được chứng minh.
Một hệ quả trực tiếp của Mệnh đề 2.1 là điều kiện tối ưu của ¯x có
thể biểu diễn qua mối quan hệ giữa các tập E
¯x

vàH.
Mệnh đề 2.2. ¯x ∈ R là v.m.p của (2.1) khi và chỉ khi (2.7) thoả mãn.
Nhận xét 2.1. Dưới các giả thiết thích hợp về tính lồi suy rộng trên
hàm A
¯x
(x) := (f(¯x) − f (x), g(x)) có thể đảm bảo tính lồi của tập ảnh
mở rộng E
¯x
. Đặc biệt, điều này được chỉ ra trong [13] rằng E
¯x
là lồi khi
và chỉ khi −A
¯x
là C × D-giống lồi trên X.
Tuy nhiên để chứng minh (2.6) hoặc (2.7) trực tiếp là rất khó;
(2.6) hoặc (2.7) chỉ có thể thoả mãn khi K
¯x
(hoặc tương ứng là E
¯x
) và
H nằm trên hai tập mức rời nhau của một hàm vector thích hợp.
22
Định nghĩa 2.1. Cho tập tham số Ω và K là một nón lồi trong R
k
.
Hàm w : R
l+m
→ R
k
, phụ thuộc vào các tham số (Θ, Λ) ∈ Ω được gọi là

hàm tách khi và chỉ khi ∀(Θ, Λ) ∈ Ω,
w(u, v; Θ, Ω) 
K
O, ∀(u, v) ∈ H.
Nếu k > 1 thì w được gọi là hàm tách vector. Nếu k = 1 thì Định nghĩa
2.1 bao hàm Định nghĩa 1.1 được đưa ra bởi Giannessi trong [4], với
Z = K
C
.
Ta thấy rằng nếu tồn tại (
¯
Θ,
¯
Λ) ∈ Ω, sao cho
w(u, v;
¯
Θ,
¯
Λ) 
K
O, ∀(u, v) ∈ K
¯x
,
thì (2.6) thoả mãn.
Để đưa ra một lớp hàm tách vector phù hợp, chúng ta cần mở rộng
khái niệm cổ điển về cực của một nón.
Định nghĩa 2.2. Cho D ∈ R
m
là một nón. Vector cực của D tương ứng
với nón lồi K ∈ R

k
cho bởi công thức
D
∗
K
:=

M ∈ R
k×m
: Md 
K
O, ∀d ∈ D

.
Khi k = 1, D
∗
K
là cực dương hoặc cực âm của nón D tương ứng với
K = R
+
hoặc K = R
−
. Khi K = R
k
+
thì ta có
D
∗
R
k

+
=







M =




d
∗
1
.
.
.
d
∗
k




∈ R
k×m
: d

∗
i
∈ D
∗
, i = 1, . . . , k







,
ở đây d
∗
i
là hàng thứ i của M .
Nếu ta xét hàm w : R
l+m
→ R
k
, cho bởi công thức
w = w(u, v; Θ, Λ) := Θu + Λv, Θ ∈ C
∗
K
, Λ ∈ D
∗
K
, (2.11)
thì w là một hàm tách vector tuyến tính, với Ω := C

∗
K
× D
∗
K
trong Định
nghĩa 2.1.