Phương pháp xấp xỉ trơn cho bài toán tối ưu không trơn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN THỊ TRANG
PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ TRƠN
CHO BÀI TOÁN
TỐI ƯU KHÔNG TRƠN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - Năm 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN THỊ TRANG
PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ TRƠN
CHO BÀI TOÁN
TỐI ƯU KHÔNG TRƠN
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số : 60.46.36
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. ĐỖ VĂN LƯU
Thái Nguyên - Năm 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
i
Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Mở đầu 1
Nội dung 4
1 XẤP XỈ TỐI ƯU KHÔNG TRƠN BẰNG DÃY CÁC BÀI
TOÁN TỐI ƯU TRƠN 4
1.1 Xấp xỉ bài toán không trơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Các kiến thức bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Điều kiện cần Lagrange không trơn . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Đối ngẫu Wolfe suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Bài toán quy hoạch liên tục không trơn . . . . . . . . . . . 15
1.6 Bài toán điều khiển tối ưu không trơn . . . . . . . . . . . . 22
2 PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ TRƠN CHO BÀI TOÁN MIN-
IMAX VECTƠ KHÔNG TRƠN 28
2.1 Các kiến thức bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.1 Bài toán minimax đã làm trơn . . . . . . . . . . . . 29
2.1.2 Làm trơn hàm lồi bất biến địa phương . . . . . . . . 32
2.2 Điều kiện cần cho minimax . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3 Điều kiện đủ cho minimax . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
i
Kết luận 43
Tài liệu tham khảo 45
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
Mở đầu
Lí thuyết các bài toán tối ưu không trơn là một bộ phận quan trọng
của lí thuyết các bài toán cực trị và có nhiều ứng dụng trong kinh tế, kĩ
thuật. Lí thuyết gradient và jacobian suy rộng Clarke ra đời (xem [4]) đã
trở thành công cụ hữu hiệu để xử lí các bài toán tối ưu không trơn với các
hàm Lipschitz địa phương.
Định lý Rademacher chỉ ra rằng một hàm Lipschitz xác định trong
không gian hữu hạn chiều thì khả vi hầu khắp nơi trong miền xác định
của nó. Sử dụng tích chất này và kĩ thuật của lí thuyết hàm suy rộng,
Craven [5] đã đưa ra phương pháp xấp xỉ trơn cho bài toán tối ưu với các
hàm Lipschitz địa phương trong không gian hữu hạn chiều. Bằng phương
pháp xấp xỉ trơn, Craven [5] đã thiết lập cho các điều kiện cần tối ưu cho
bài toán tối ưu không trơn với ràng buộc nón và ràng buộc đẳng thức, bài

toán quy hoạch liên tục không trơn và bài toán điều khiển tối ưu không
trơn và một vài kết quả về đối ngẫu. Bằng phương pháp xấp xỉ trơn trong
[5], B.D.Craven và D.V.Lưu [9] đã chứng minh các điều kiện Lagrange cần
và đủ cho bài toán minimax vectơ không trơn với các ràng buộc nón.
Luận văn đã trình bày các điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu với các
hàm Lipschitz địa phương, có ràng buộc nón và ràng buộc đẳng thức, bài
toán quy hoạch liên tục không trơn, bài toán điều khiển tối ưu không trơn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
và bài toán minimax vectơ không trơn được thiết lập bằng phương pháp
xấp xỉ trơn của B.D.Craven.
Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục
các tài liệu tham khảo.
Chương 1 trình bày các điều kiện cần tối ưu của B.D.Craven [5] cho
bài toán tối ưu với các hàm Lipschitz địa phương, có ràng buộc đẳng thức
và ràng buộc nón, bài toán quy hoạch liên tục không trơn và bài toán điều
khiển tối ưu không trơn với thời gian cố định và ràng buộc trạng thái được
thiết lập bằng phương pháp xấp xỉ trơn của B.D.Craven. Một số kết quả
đối ngẫu cũng được trình bày trong chương này.
Chương 2 trình bày các điều kiện Lagrange của B.D.Craven và D.V.Lưu
[9] cho bài toán minimax vectơ với các hàm Lipschitz địa phương và ràng
buộc nón.
Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Đỗ Văn
Lưu, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành bản luận văn
này.
Tôi xin chân thành cảm ơn Khoa Toán- Tin, Phòng đào tạo sau đại
học trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên cùng các thầy cô
giáo đã tham gia giảng dạy khóa học.
Tôi xin chân thành cảm ơn trường Hữu Nghị 80, Tổ Toán trường Hữu
Nghị 80 đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa học này.

Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành
viên trong lớp cao học toán K3b đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi
trong suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn.
Tuy bản thân có nhiều cố gắng, song thời gian, trình độ và điều kiện
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
nghiên cứu còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất
mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp để
luận văn được hoàn thiện hơn.
Thái Nguyên, tháng 09 năm 2011.
Tác giả
Nguyễn Thị Trang
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
Chương 1
XẤP XỈ TỐI ƯU KHÔNG TRƠN
BẰNG DÃY CÁC BÀI TOÁN TỐI
ƯU TRƠN
Chương 1 trình bày các điều kiện cần tối ưu cho bài toán tối ưu với
các hàm Lipschitz địa phương bao gồm các ràng buộc nón và ràng buộc
đẳng thức, bài toán quy hoạch liên tục không trơn và bài toán điều khiển
tối ưu không trơn với thời gian cố định và có ràng buộc trạng thái được
thiết lập bằng phương pháp xấp xỉ trơn. Các kết quả trong chương này là
của B.D.Craven [5].
1.1 Xấp xỉ bài toán không trơn
Xét bài toán cực tiểu có ràng buộc:
Minimize
x∈X
0
f(x),

− g(x) ∈ S,
h(x) = 0,
(1.1)
trong đó X
0
là một tập con của R
n
, f : X
0
→ R, g : X
0
→ R
m
, h :
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
X
0
→ R
r
là các hàm Lipschitz địa phương, không nhất thiết khả vi Fréchet,
S là một nón lồi đóng trong R
m
có phần trong khác rỗng. Chú ý rằng tập
chấp nhận được:
Γ := {x ∈ X
0
| − g(x) ∈ S, h(x) = 0}
của bài toán (1.1) là đóng, và X
0

là một lân cận mở của Γ. Như vậy f,
g được xác định lân cận của tập chấp nhận được Γ. Gọi k
x
là hằng số
Lipschitz của g tại x.
Giả sử bài toán (1.1) có cực tiểu địa phương tại x ∈ Γ, với f, g không
cùng khả vi tại x. Nếu S là orthant không âm R
m
+
trong R
m
thì ràng buộc
(1.1) có dạng
g
j
(x) ≤ 0 (j = 1, 2, , m).
Khi đó, lí thuyết gradient suy rộng Clarke có thể áp dụng để nhận
được điều kiện cần F.John hoặc Kuhn- Tucker. Ta sẽ xấp xỉ bài toán (1.1)
bằng các bài toán trơn, và áp dụng lý thuyết Lagrangian thông thường.
Khi đó ta sẽ nhận được các điều kiện tối ưu cho bài toán không trơn (1.1)
với các ràng buộc nón và ràng buộc đẳng thức. Phương pháp xấp xỉ ở đây
dựa trên kĩ thuật trong lý thuyết hàm suy rộng.
Với tham số η dương đủ nhỏ, ta đặt
f(x : η) =

X
f(x − s)ϕ(s)ds;
g(x : η) =

X

g(x − s)ϕ(s)ds;
h(x : η) =

X
h(x − s)ϕ(s)ds;
(1.2)
trong đó X = R
n
, f, g, h bằng 0 ở ngoài X
0
, ds là độ đo Lebesgue trong
R
n
, ϕ(s) = Φ(η
−1
||s||)η
−1
, trong đó ||.|| là chuẩn Euclide và Φ : R → R
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
là một hàm có đạo hàm các cấp và thỏa mãn 0  Φ(.), Φ(.) = 0 ở ngoài
(-1,1) sao cho

X
ϕ(s)ds = 1 (xem [5]).
Kí hiệu f

(x : η), g

(x : η), h


(x : η) là đạo hàm của f(. : η), g(. :
η), h(. : η). Theo Định lý Rademacher f, g, h khả vi Fréchet trừ ra tập N
có độ đo Lebesgue bằng 0. Bởi vì tập này không ảnh hưởng đến việc lấy
tích phân, với mọi η đủ nhỏ, ||g

(x − s)ϕ(s)||  k
x
ϕ(s) và
g

(x : η) =

X
g

(x − s)ϕ(s)ds ∈ C(η) :=
co{g

(s)|||s − x|| < η, s ∈ N},
(1.3)
trong đó co kí hiệu bao lồi, và co kí hiệu bao lồi đóng. Chú ý rằng 0 < η

< η
kéo theo C(η

) ⊂ C(η). Với η đủ nhỏ, C(η) nằm trong hình cầu đóng có
bán kính k
x
trong không gian R

m×n
các m × n- ma trận. Vì thế C(η) là
compact, và

∂g(x) :=

η>0
C(η) = ∅. (1.4)
Vì vậy
˜
∂g(x) là bao lồi đóng các điểm giới hạn của các dãy {g

(x
k
)},
với {x
k
} → x, x
k
là điểm khả vi của g. Dưới vi phân suy rộng Clarke ∂g(x)
bằng bao lồi của các điểm giới hạn này. Tập đó đóng vì vậy,
˜
∂g(x) = ∂g(x).
Tương tự ta có
˜
∂f(x) = ∂f(x) và
˜
∂h(x) = ∂h(x). Từ (1.3) và (1.4), nếu
λ ∈ R
m

thì
˜
∂(λg)(x) = λ
˜
∂g(x) := {λω|ω ∈
˜
∂g(x)}. (1.5)
Nhắc lại ma trận M cấp m × n với m < n, có hạng đầy nếu M chứa
ma trận con M
0
cấp m × m không suy biến. Kí hiệu (M) là chuẩn ma
trận ||M
−1
0
||, trong đó M
0
là m × m- ma trận con không suy biến của M,
nếu M có hạng đầy. Nếu M không có hạng đầy ta đặt (M) = ∞.
˜
∂h(x)
có hạng đầy nếu (
˜
∂h(x)) := {(M)|M ∈
˜
∂h(x)} là bị chặn.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
Nếu f
1
và f

2
là hai hàm Lipschitz địa phương thì (1.4) kéo theo
˜
∂(f
1
+ f
2
)(x) ⊂
˜
∂f
1
(x) +
˜
∂f
2
(x), (1.6)
trong đó + kí hiệu tổng đại số của các tập; nói chung không có dấu bằng.
Với E ⊂ R
m
, kí hiệu E
∗
là nón đối ngẫu của E. Đó là tập của các
phiếm hàm tuyến tính từ E vào R
+
:= [0, ∞). Để thuận tiện ta xét các
vectơ đối ngẫu là các vectơ hàng. Nếu f : X
0
→ R là hàm Lipschitz địa
phương, thì đạo hàm suy rộng theo phương có thể định nghĩa như sau
(xem [2]):

Với x ∈ X
0
, d ∈ R
n
,
f
0
(x; d) = lim sup
y→x;t↓0
f(y + tv) − f(y)
t
.
Khi đó, hàm d −→ f
0
(x; d) hữu hạn, thuần nhất dương, dưới cộng tính
và Lipschitz. Đồng thời
f
0
(x; d) = sup {ωd : ω ∈

∂f(x)}.
Do

∂f(x) compăc nên
f
0
(x; d) = max {ωd : ω ∈

∂f(x)}.
Ta có

(f
1
+ f
2
)
0
(x; d)  f
0
1
(x; d) + f
0
2
(x; d). (1.7)
Bài toán không trơn (1.1) bây giờ được xấp xỉ bởi bài toán trơn sau:
Minimize
x∈X
0
f(x : η),
− g(x : η) − b

η
∈ S,
h(x : η) + b

η
= 0,
(1.8)
chọn b

η

→ 0, b

η
→ 0 (với η ↓ 0) trong Bổ đề 1.1 ở dưới, để đảm bảo tính
chấp nhận được. Chú ý rằng sau đây kí hiệu
˜
∂g(x) sẽ được thay thế bởi
∂g(x).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
1.2 Các kiến thức bổ trợ
Bổ đề 1.1
Giả sử X
0
là tập mở trong R
n
; p : X
0
→ R
m
là hàm Lipschitz địa
phương; K ⊂ R
n
là tập lồi đóng; p(¯x) ∈ K; X
1
là hình cầu đóng, với tâm
¯x, bán kính ¯r đủ nhỏ để p là Lipschitz trong X
1
với hằng số Lipschitz
¯

k.
Đặt Γ := {x ∈ X
0
|p(x) ∈ K} và
Γ
η
:= {x ∈ X
0
|p(x : η) + b
η
∈ K};
p(x : η) :=

X
p(x − s)ϕ(s)ds;
(1.9)
với ϕ như trong (1.2), và b
η
:= 0 nếu p(¯x : η) ∈ K, b
η
:= −p(¯x : η) +p(¯x)
nếu p(¯x : η) ∈ K. Khi đó, với mỗi  > 0, X
1
∩ Γ
η
nằm trong một − lân
cận của X
1
∩ Γ khi η đủ nhỏ.
Nhận xét 1.1

Kết quả này sẽ áp dụng cho p = (g, h) và K = S × {0}. Khi đó,
b
η
= (b

η
, b

η
).
Gọi d(., .) là khoảng cách giữa hai điểm.
Chứng minh bổ đề 1.1
Với x ∈ X
1
, từ định nghĩa p(x : η) dẫn đến ||b
η
|| ≤
¯
kη, khi giả sử
η ≤ ¯r. Nếu p(¯x : η) ∈ K, thì p(¯x : η) + b
η
= p(¯x) ∈ K, cho nên Γ
η
luôn
khác rỗng. Gọi A := X
1

Γ. Với 0 <  < ¯r, tồn tại x ∈ X
1
sao cho

d(x, A) := inf
a∈A
d(x, a) = .
Bởi vì p(x) ∈ K, K đóng, cho nên d(p(x), K) > π() với hàm dương
π : (0, ¯r) → R nào đó, π() ↓ 0 khi  ↓ 0. Đặt η = π()/(3
¯
k). Khi đó,
p(x : η) (trọng lượng trung bình của p(x−s) trên ||s||  η) nằm trong hình
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
cầu tâm p(x) và bán kính
¯
kη = π()/3. Bởi vì ||b
η
|| ≤
¯
kη = π()/3,

p(x :
η) := p(x : η) + b
η
nằm trong hình cầu tâm p(x) và bán kính 2π()/3.
Hình cầu này không cắt tập K lồi. Vì thế,

p(x : η) ∈ K.
Vì vậy, khi η ≤ π()/(3
¯
k),
[x ∈ X
1

và d(x, A)  ] ⇒ [x ∈ X
1
và

p(x : η) ∈ K].
Do đó, với η đủ nhỏ (phụ thuộc vào ),
[x ∈ X
1
và

p(x : η) ∈ K] ⇒ [x ∈ X
1
và d(x, A) ≡ d(x, X
1
∩ Γ) ≤ ]. 
Bổ đề 1.2
Giả sử X
0
⊂ R
n
là tập mở; f : X
0
→ R là hàm Lipschitz địa phương; f
nhận một cực tiểu địa phương chặt trên tập Γ ⊂ X
0
tại ¯x. Giả sử U là hình
cầu đơn vị mở trong X
0
với tâm 0; các tập đóng Γ
η

⊂ X
0
(η > 0, Γ
η
= ∅)
sao cho với  > 0, (¯x+U)∩Γ
η
nằm trong -lân cận của (¯x+U)∩Γ với η đủ
nhỏ. Khi đó, tồn tại các dãy {η
k
} ↓ 0 và {ϑ
k
} ↓ 0 sao cho f(. : η
k
) nhận
một cực tiểu địa phương tại điểm ¯x
k
∈ (¯x + ϑ
k
U) ∩ Γ
η
k
, và ||¯x
k
− ¯x|| → 0
khi k → ∞.
Chứng minh
Bởi vì ¯x là cực tiểu địa phương chặt của f trên Γ, với mọi ϑ dương đủ
nhỏ, tồn tại r(ϑ) > 0, với r(ϑ) ↓ 0 khi ϑ ↓ 0 và f(x)  f(¯x) + 4ϑ trên
Γ ∩ bdV (ϑ), trong đó V (ϑ) là hình cầu đóng với tâm ¯x bán kính r(ϑ),

và bdV (ϑ) kí hiệu biên của V (ϑ). Giả sử với ϑ đủ nhỏ, f là Lipschitz.
Vì thế, f liên tục đều trên V (ϑ) ⊂ ¯x + U. Khi η là số dương đủ nhỏ và
x ∈ Γ
η
∩ bdV (ϑ), f(x)  f(¯x) + 3ϑ, bởi vì (¯x + U) ∩ Γ nằm trong − lân
cận của (¯x + U) ∩ Γ
η
, và do tính liên tục của f ta có
f(x : η) ≥ f(¯x) + 3ϑ − ϑ và f(¯x : η) < f(¯x) + ϑ.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
Bởi vì Γ
η
∩ V (ϑ) là compact trong R
n
, f(. : η) nhận một cực tiểu địa
phương ¯x(η) trên Γ
η
∩V (ϑ). Các bất đẳng thức trên chỉ ra ¯x(η) ∈ bdV (ϑ).
Vì thế ¯x(η) là cực tiểu địa phương minimun của f(. : η) trên Γ
η
. Bằng cách
chọn {η
k
} ↓ 0 và {ϑ
k
} ↓ 0 thích hợp, ¯x
k
:= ¯x(η
k

) thỏa mãn ¯x
k
∈ (¯x+ϑ
k
U)
và ||¯x
k
− ¯x|| → 0. 
Bổ đề 1.3
Giả sử {η
k
} → 0, {¯x
k
} → ¯x, và
˜
∂h(¯x) có hạng đầy. Khi đó, h

(¯x
k
: η
k
)
có hạng đầy, khi k đủ lớn.
Chứng minh
Đặt E
k
= co{h

(s) : ||s − ¯x|| < η
k

, s ∈ N}. Áp dụng lí luận compăc
của Bổ đề 1.1 cho E
k
thay cho A
k
cho ta khoảng cách lớn nhất của điểm
bất kì của E
k
đến

∂h(¯x) dần tới 0 khi k → ∞. Bởi vì

∂h(¯x) có hạng đầy,
cho nên (h

(s)) bị chặn khi s ∈ N và ||s − ¯x|| < δ, với δ > 0 nào đó. Vì
vậy, với k đủ lớn, mỗi phần tử M ∈ E
k
là đủ gần

∂h(¯x) thì M là không
suy biến. Bởi vì mỗi phần tử của h

(¯x
k
: η
k
) là đủ gần với một M như vậy,
khi ||¯x
k

− ¯x|| là đủ nhỏ, cho nên h

(¯x
k
: η
k
) có hạng đầy, khi k đủ lớn. 
1.3 Điều kiện cần Lagrange không trơn
Định lí 1.1
Giả sử bài toán (1.1) có cực tiểu địa phương tại x = ¯x; Các hàm f, g
và h là Lipschitz địa phương; ∂h(¯x) có hạng đầy. Khi đó, điều kiện F.John
sau đúng: tồn tại các nhân tử Lagrange τ ≥ 0 và λ ∈ S
∗
, không đồng thời
bằng 0, và µ ∈ R
r
, thỏa mãn
0 ∈ ∂(τ f + λg + µh)(¯x);
λg(¯x) = 0.
(1.10)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
Chứng minh
Đặt Γ
η
= {x ∈ X
0
| − g(x : η) − b

η

∈ S, h(x : η) + b

η
= 0} với b

η
, b

η
như trong Bổ đề 1.1, p = p(g, h), K = S × {0}. Từ Bổ đề 1.1, tồn tại lân
cận đóng đủ nhỏ X
1
của ¯x, X
1
∩ Γ
η
nằm trong −lân cận của X
1
∩ Γ, với
η là đủ nhỏ. Hàm liên tục f(. : η) nhận một cực tiểu địa phương trên tập
compact X
1
∩ Γ
η
là ¯x(η).
Bổ đề 1.2 chỉ ra rằng tồn tại dãy {η
k
} ↓ 0 sao cho ¯x
k
:= ¯x(η

k
) là cực
tiểu địa phương của bài toán (1.8) thỏa mãn ||¯x
k
− ¯x|| → 0 khi k → ∞.
Ta giả sử ¯α
k
là cực tiểu địa phương chặt của f tại ¯x. Nếu cực tiểu địa
phương là không chặt, ta cộng thêm γ||x − ¯x||
2
vào f(γ > 0) để ¯α
k
là cực
tiểu chặt. Điều đó không làm ảnh hưởng đến kết luận (1.10).
Theo Bổ đề 1.3, h

(¯x
k
: η
k
) có hạng đầy, khi k có bậc đủ lớn. Vì vậy,
(theo [3, trang 34]), ràng buộc đẳng thức h(x : η
k
) = 0 là giải được địa
phương tại ¯x
k
. Áp dụng định lý F. John [3, Định lý 4.4.1] cho bài toán
trơn, ta suy ta tồn tại nhân tử Lagrange τ
k
≥ 0 và λ

k
∈ S
∗
, không đồng
thời bằng 0, và µ
k
∈ R
r
, thỏa mãn:
τ
k
f

k
+ λ
k
g

k
+ µ
k
h

k
= 0, λ
k
g
k
= 0,
trong đó f


k
:= f

(¯x
k
: η
k
), g

k
:= g

(¯x
k
: η
k
), h

k
:= h

(¯x
k
: η
k
), g
k
:= g(¯x
k

:
η
k
). Nhân với số dương thích hợp, ta có thể giả sử rằng
||(τ
k
, λ
k
, µ
k
)|| = 1 trong R
1+m+r
.
Bằng cách chọn dãy con hội tụ của {η
k
} mà ta kí hiệu là {η
j
: j ∈ J}
trong đó J ⊂ N ta có {τ
j
} → τ, {f

j
} → f

, {λ
j
} → λ, {g

j

} → g

, {h

j
} →
h

. Khi đó, {τf

j
+ λg

j
+ µh

j
} → 0. Vì vậy, sử dụng (1.4) ta suy ra
0 ∈ ∂(τ f + λg + µh)(¯x).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
Do λ
k
g(¯x : η
k
) = 0 ta suy ra λg(¯x) = 0. Số hạng chứa γ sẽ biến mất
khi qua giới hạn, và (1.10) được chứng minh, với τ, λ, µ không đồng thời
bằng 0. Nếu τ = 0 và λ = 0 thì µM = 0 với M khác 0, ∈ ∂h(¯x) nào
đó. Điều này mâu thuẫn với tính chất hạng đầy của ∂h(¯x). Vì vậy, τ và λ
không đồng thời bằng 0. 

Nhận xét 1.2
Từ (1.6) và (1.10) ta suy ra
0 ∈ ∂(τ f)(¯x) + ∂(λg)(¯x) + ∂(µh)(¯x).
Nhận xét 1.3
Giả sử điều kiện chính quy kiểu Slater đúng:
(∀y ∈ ∂g(x), ∀z ∈ ∂h(x)) (∃u ∈ R
n
) yu ∈ − intS, zu = 0. (1.11)
Khi đó τ = 0, và điều kiện F.John (1.10) cho ta điều kiện Kuhn- Tucker
(τ = 1 ). Thật vậy, nếu τ = 0 thì 0 = λ ∈ S
∗
; từ (1.10) và (1.5) ta có
λy + µz = 0 với y ∈ ∂g(¯x) và z ∈ ∂h(¯x) nào đó. Từ (1.11) ta có λyu < 0
và µzu = 0. Điều đó mâu thuẫn với (λy + µz)u = 0.
Nếu bài toán (1.1) là trơn thì điều kiện Robison: có h

(¯x) có hạng đầy
và g(¯x) + g

(¯x)(R
n
) + S chứa một lân cận của điểm 0, cũng cho ta τ = 1.
Giả thiết g là ánh xạ vào không gian hữu hạn chiều thực ra không
sử dụng trong chứng minh Định lý 1.1. Do đó, kết quả cũng đúng cho
trường hợp g là ánh xạ vào không gian vô hạn chiều, và vì thế, nói riêng,
−g(x) ∈ S trở thành hệ toán vô hạn các bất đẳng thức (sử dụng chuẩn
l
∞
): g
i

(x) ≤ 0(i = 1, 2, 3, ) với g
i
không khả vi, nhưng thỏa mãn giả
thiết Lipschitz địa phương đồng đều với mọi i.
Định lý 1.1 mở rộng điều kiện cần Clarke [4] của Lipschitz địa phương
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
cho bài toán cực tiểu hóa với các hàm Lipschitz địa phương trong trường
hợp ràng buộc nón với nón lồi S có intS = 0.
Bây giờ giả sử ràng buộc x ∈ C được thêm vào bài toán (1.1). Khi đó,
d
C
(x) = 0 với d
C
(x) là hàm khoảng cách từ x tới C. Khi đó, điều kiện cần
(1.10) trở thành
β ∈ ∂(τf + λg + µh)(¯x), β ∈ N
C
(¯x), λg(¯x) = 0, (1.12)
với N
c
(¯x) là nón sinh bởi d
C
(¯x) nón pháp tuyến Clarke (xem [2]). Điều
này đúng bởi vì ta giả thiết C đóng thì x ∈ C ⇔ d
C
(x)  0. Ta có:
N
C
(¯x) = {ζ ∈ X


|(∃t > 0)ζ ∈ t∂d
C
(¯x)}.
1.4 Đối ngẫu Wolfe suy rộng
Xét bài toán (1.1) không có ràng buộc h(x) = 0. Ta xét bài toán sau:
Maximize
u∈X
0
,v
f(u) + vg(u),
0 ∈ ∂(f + vg)(u),
v ∈ S
∗
.
(1.13)
Nhắc lại: Bài toán (1.13) là đối ngẫu yếu của bài toán (1.1) nếu với
mọi x chấp nhận được của (1.1), mọi (u,v) chấp nhận được của (1.13), ta
có:
f(u) + vg(u) ≤ f(x).
Bài toán (1.13) là đối ngẫu mạnh của bài toán (1.1) nếu: (i) tính đối
ngẫu yếu đúng, và (ii) nếu bài toán (1.1) nhận một cực tiểu, bài toán (1.13)
nhận một cực đại, và giá trị hàm mục tiêu của (1.1) và (1.13) bằng nhau.
Rõ ràng, (ii) đúng nếu các giả thiết của Định lí (1.1) đúng, và một trong
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
các điều kiện chính quy đã nói ở trên đúng. Bổ đề sau cho điều kiện đủ để
(ii) là đúng.
Bổ đề 1.4
Để các bài toán (1.1) và (1.13) là đối ngẫu yếu, điều kiện đủ là tồn tại

hàm ζ : X
0
× X
0
→ R
n
, sao cho với mọi x, u ∈ X
0
và mọi b trong tập E
gồm các phần tử sinh của S
∗
, điều kiện lồi bất biến suy rộng sau đúng:
f(x) − f(u) ≥ f
0
(u; ζ(x, u));
bg(x) − bg(u) ≥ (bg)
0
(u; ζ(x, u)).
(1.14)
Chứng minh
Giả sử x là điểm chấp nhận được của bài toán (1.1) và (u, v) là điểm
chấp nhận được của bài toán (1.13). Khi đó,
f(x) − [f(u) + vg(u)]  f
0
(u; ζ(x, u)) − vg(u) (do (1.14))
 (f + vg)
0
(u; ζ(x, u)) − (vg)
0
(u; ζ(x, u)) (do (1.7))

 0 − vg(x), (do (1.14) bởi vì v là tổ hợp lồi của b
i
∈ E)
 0.

Nhận xét 1.4
Giả thiết (1.14) tổng quát hóa các giả thiết của Hanson [11] và Craven
[8] cho các hàm khả vi và khả vi theo phương. Cách tiếp cận này cho ta
một lí thuyết đối ngẫu cho các bài toán không trơn bao gồm các đạo hàm
suy rộng Clarke, không đòi hỏi tính lồi và quy về được bài toán với dưới
vi phân lồi hoặc đạo hàm theo phương thông thường.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
1.5 Bài toán quy hoạch liên tục không trơn
Bây giờ ta xét bài toán quy hoạch liên tục không trơn:
Minimize
x∈Q
F (x) :=

I
f(t, x(t))dt,
− g(t, x(t)) ∈ S (∀t ∈ I),
h(t, x(t)) = 0 (∀t ∈ I).
(1.15)
Ở đây I = [a, b] là khoảng đóng thực, f : I×R
n
→ R, g : I×R
n
→ R
m

,
và h : I × R
n
→ R
r
là các hàm đo được với f(t, .),g(t, .) và h(t, .) là Lip-
schitz địa phương và f(t, x(t)) bị chặn bởi một hàm khả tích khi x(t) bị
chặn trên I; S ⊂ R
m
là nón lồi đóng, với intS = ∅; Cực tiểu phải tìm trên
x ∈ Q, trong đó Q là một không gian con của không gian C(I, R
n
) các
hàm liên tục từ I vào R
n
(hoặc Q có thể là không gian PC(I, R
n
) các hàm
liên tục từng khúc từ I vào R
n
). Gọi f
x
(t, ξ) là đạo hàm của f(t, .) tại ξ.
Với σ > 0 đủ nhỏ, ta định nghĩa hàm trơn f(t, ξ : σ), g(t, ξ : σ), h(t, ξ : σ)
bởi
f(t, ξ : σ) :=

R
n
f(t, ξ − u)ϕ(u)du, ϕ(u) = Φ(σ

−1
||u||)σ
−1
, (1.16)
với Φ như trong (1.2), và tương tự cho h và g. Khi đó, bài toán (1.15) có
thể xấp xỉ bởi bài toán quy hoạch liên tục trơn:
MinimizeF (x :: η) :=

I
f(t, x(t) : q(t))dt,
(∀t ∈ I) − g(t, x(t) :: η) := −g(t, x(t) : q(t)) − b

η
(t) ∈ S,
h(t, x(t) :: η) := h(t, x(t) : q(t)) + b”
η
(t) = 0.
(1.17)
Ở đây q(.) := q(. : η) là hàm dương, phụ thuộc vào tham số η > 0,
như được mô tả sau Bổ đề 1.5 ở dưới; b

η
(t), b

η
(t) như trong Bổ đề 1.1 và
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
b


η
(t), b

η
(t) → 0 với η ↓ 0, với mỗi t ∈ I.
Tập chấp nhận được của bài toán (1.17) trơn là 
η

η
= {x ∈ Q|(∀t ∈ I)−g(t, x(t) : q(t)) ∈ S,
h(t, x(t) : q(t)) = 0}.
Với t ∈ I, định nghĩa
Γ
σ
= {ξ ∈ R
n
| − g(t, ξ : σ) − b

η
(t) ∈ S, h(t, ξ : σ) + b

η
(t) = 0},
∆ = {x ∈ Q|(∀t ∈ I) − g(t, x(t)) ∈ S, h(t, x(t)) = 0},
∆(t) = {ξ ∈ R
n
| − g(t, ξ) ∈ S, h(t, ξ) = 0}.
Giả sử ∆ = ∅ và bài toán (1.15) đạt cực tiểu địa phương tại x = ¯x ∈ Q.
Khi đó, ∆
η

= ∅ với η nhỏ. Giả sử với h(., x(.)) là liên tục với mỗi x ∈ Q
(hoặc liên tục từng khúc nếu Q là không gian các hàm liên tục từng
khúc), và ràng buộc đẳng thức H(x) = 0, trong đó H(x)(t) := h(t, x(t))
với x ∈ Q, t ∈ I thỏa mãn điều kiện chính quy: tồn tại δ > 0 sao cho
H

(x)(Q) = C(I, R
r
) (hoặc PC(I, R
r
) ) khi x ∈ Q, ||x − ¯x|| < δ và H là
khả vi liên tục tại x. Đặt H(x :: η)(t) := h(t, x(t) :: η). Khi đó, H

(x :: η)
là toàn ánh khi ||x − ¯x|| và η đủ nhỏ (không thể sử dụng Bổ đề 1.3 để
chứng minh điều này, bởi vì lí luận compact trong Bổ đề 1.1 không thể áp
dụng được trong không gian hàm Q).
Chú ý rằng tính chất Lipschitz của f đảm bảo F (. :: η) là bị chặn dưới
trong một lân cận Ξ của ¯x. Vì thế tồn tại cận dưới địa phương. Như vậy,
v := inf{F (x :: η)|x ∈ Ξ ∩ ∆
η
} > −∞. Một tập E ⊂ ∆
η
chứa cực tiểu
địa phương nếu tồn tại dãy {x
j
} ⊂ E với {f(x
j
)} ↓ v. (Điều này đúng với
E = Ξ ∩ ∆

η
)
Bổ đề 1.5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
Với mỗi j = 1, 2, , tồn tại hàm dương q
j
(.) sao cho tồn tại lân cận W
của ¯x trong Q sao cho Q ∩ ∆
1/j
⊂ lân cận W đã cho trong Q khi q = q
j
và j là đủ lớn. Nếu F là Lipschitz địa phương và bài toán (1.15) đạt được
cực tiểu địa phương chặt, thì bài toán (1.17) với η = 1/j, q(t) = q
i
(t), có
cận dưới đúng địa phương, nằm trong lận cận W
j
của ¯x với W
j
→ {¯x} khi
j → ∞.
Chứng minh
Từ Bổ đề 1.1, với mỗi t ∈ I và với mọi  > 0,
sup{d(ξ, ∆(t))|ξ ∈ Γ
σ
(t)} <  khi σ  δ(, t). (1.18)
Vì thế, nếu q(t) = δ(1/j, t),
sup{d(ξ, ∆(t))|ξ ∈ Γ
q(t)

(t)}  1/j với mọi t ∈ I. (1.19)
Với q(t) này, ∆
η
nằm trong (1/j)- lân cận của ∆ trong Q.
Chứng minh phần còn lại đòi hỏi một mở rộng Bổ đề 1.2 cho trường
hợp cực tiểu địa phương không nhất thiết đạt được. Với kí hiệu của Bổ
đề 1.2 tồn tại cận dưới đúng địa phương của f, bởi vì f bị chặn dưới trên
Γ
η
, và sử dụng tính liên tục đều của f, f(. : η) cũng bị chặn dưới trên
(x+U)∩Γ
η
. Các bất đẳng thức đã nhận được trong chứng minh của bổ đề
1.2 chỉ ra rằng một cận dưới đúng địa phương của f(. : η) trên Γ
η
∩ V (ϑ)
cũng là cận dưới đúng địa phương của f(. : η) trên Γ
η
; cận dưới đúng địa
phương đó nằm trong lân cận (¯x + ϑ
k
U) ∩ Γ
ηk
. Thay thế F của f và ∆
η
cho Γ
η
chỉ ra rằng kết luận đúng với W
j
= ¯x + ϑ

k
U. 
Chú ý
Kí hiệu M(I, Z) là tập của độ đo Radon có giá trị trong Z trên I.
Đặc biệt, mỗi phần tử của nón đối ngẫu của nón lồi {ζ ∈ C(I, R

) : (∀t ∈
I)ξ(t) ∈ S} là một phần tử của M(I, S
∗
).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
Tính chất compact yếu của dãy {P
n
} các độ đo xác suất (với hàm suy
rộng p
∗
n
) trên đoạn [a, b] khẳng định rằng tồn tại dãy con {P
n
} hội tụ yếu
đến độ đo xác suất p của p
∗
n
hội tụ và dãy con tương ứng của {p
∗
n
} hội tụ
điểm đến p
∗

tại mỗi t ∈ [a, b] với p
∗
là liên tục.
Bổ đề 1.6
Giả sử A là nón lồi đóng trong R
m
; I là một khoảng compact trên
đường thẳng thực; dãy {∧
j
: j ∈ N} ⊂ M(I, S
∗
), trong đó || ∧
j
|| ≤ 1
với mỗi j. Khi đó, tồn tại một dãy con {∧
k
: k ∈ K}, K ⊂ N, sao cho
{∧
k
: k ∈ K} hội tụ yếu đến độ đo vectơ ∧ ∈ M(I, S
∗
) và dãy con các
hàm suy rộng tương ứng {∧
∗
k
: k ∈ K} cũng hội tụ điểm đến ∧
∗
tại mỗi
t ∈ I với ∧
∗

liên tục.
Chứng minh
Kí hiệu thành phần thứ i của ∧
j
bởi ∧
j,i
. Tính compact yếu có thể áp
dụng cho {∧
j
}. Vì thế {∧
j,1
|j ∈ N} có một dãy con hội tụ yếu {∧
k,1
|k ∈
K
1
}; {∧
k,2
|k ∈ K
1
} có dãy con hội tụ yếu {∧
k,2
|k ∈ K
2
}; Cứ tiếp tục
cho đến dãy con hội tụ {∧
k,m
|k ∈ K
m
} của {∧

j,m
}. Khi đó, với mỗi
i = 1, 2, , m, dãy {∧
k,i
|k ∈ K
m
} hội tụ yếu đến ∧
,j
. Vì vậy {∧
k
|k ∈ K
m
}
hội tụ yếu tới ∧ với các thành phần là ∧
,i
và ∧(E) ⊂ S
∗
với tập đo được
E ⊂ I, bởi vì S
∗
là đóng và mỗi ∧
j
(E) ⊂ S
∗
. Vì vậy ∧ ∈ M(I, S
∗
). 
Định lí 1.2
Giả sử bài toán (1.15) đạt một cực tiểu địa phương tại x = ¯x ∈ Q;
F là Lipschitz địa phương; điều kiện Slater tại ¯x đúng. Khi đó, điều kiện

F.John sau đúng: tồn tại nhân tử Lagrangian τ ≥ 0 và độ đo λ : I → S
∗
,
không đồng thời bằng 0, và độ đo µ : I → R
r
, sao cho, với hầu hết t ∈ I,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
0 ∈ ∂(τ f(t, ¯x(t)) + λ(t)g(t, ¯x(t)) + µ(t)h(t, ¯x(t)));
λ(t)g(t, ¯x(t)) = 0.
(1.20)
Chứng minh
Giả sử bài toán (1.15) đạt cực tiểu địa phương chặt; nếu không ta lại
thêm một số hạng như trong chứng minh Định lý 1.1. Theo Bổ đề 1.5,
nếu j là đủ lớn, tồn tại lân cận W
j
của ¯x chứa cận dưới đúng địa phương
v
j
> −∞ của bài toán (1.17) với q(t) = q
j
(t), với W
j
∩ 
1/j
→ ¯x. Vì
vậy, tồn tại ˆx
j
∈ W
j

∩ 
1/j
thỏa mãn F
j
(x
j
)  v
j
+ j
−2
. Áp dụng định lí
Ekeland [10] cho không gian metric đầy C(I, R
n
) ∪ 
1/j
và hàm F
j
, tồn
tại x
∗
j
sao cho ||ˆx − x
∗
j
|| < 1/j và
ˆ
F
j
(x) := F
j

(x) + j
−1
||x − x
∗
j
|| = F (x :: 1/j) + j
−1
||x − x
∗
j
||,
đạt cực tiểu trên W
j
∩ 
1/j
tại x = x
∗
j
. Theo một kết quả (trong [3, trang
17]) về điều kiện cần F.John, tồn tại các nhân tử Lagrangian τ
j
≥ 0 và
∧
j
∈ M(I, S
∗
), không đồng thời bằng không và Θ
j
∈ M(I, R
r

) sao cho,
với mỗi z ∈ C(I, R
n
), phương trình
0 =

I
τ
j
f
x
(t, x
∗
j
(t) : q
j
(t))z(t)dt+

I
d∧
j
(t).g
x
(t, x
∗
j
(t) : q
j
(t))z(t) (1.21)
+


I
dΘ
j
(t).h
x
(t, x
∗
j
(t) : q
j
(t))z(t) + γj
−1

I
σ
j
(t)z(t)dt;

I
d ∧
j
(t).g(t, x
∗
j
(t) : q
j
(t)) = 0; (1.22)
trong đó σ
j

là phần tử của dưới gradient của ||. − x
∗
j
|| tại x
∗
j
. Chú ý rằng
σ
j
(t) = 0(1). Bằng cách nhân (1.21) với số hạng thích hợp, ta có thể giả
sử rằng với mọi j, độ đo (τ
j
, ∧
j
, Θ
j
) có chuẩn bằng 1.
Theo Bổ đề (1.6), tồn tại dãy con {τ
k
|k ∈ K}, {∧
k
|k ∈ K} , {Θ
k
|k ∈
K}, với K nào đó ⊂ N, hội tụ điểm và yếu với τ  0, ∧ ∈ M(I, S
∗
), Θ ∈
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
M(I, R

r
) riêng từng phần. Theo Bổ đề (1.6), các hàm suy rộng ∧
∗
k
, Θ
∗
k
, ∧
∗
, Θ
∗
tương ứng tới ∧
k
, Θ
k
, ∧, Θ. Trừ ra một tập I
1
⊃ I
0
có độ đo Lebesgue
bằng 0, "các hàm suy rộng" có đạo hàm tương ứng là λ
j
, ϑ
j
, λ, ϑ. Bởi vì
z ∈ C(I, R
n
) là tùy ý trong (1.21), từ (1.21) suy ra với t ∈ I\I
1
,

τ
i
f
x
(t, x
∗
j
: q
j
(t)) + λ
j
(t)g
x
(t, x
∗
j
(t) : q
j
(t))
+ ϑ
j
(t)h
x
(t, x
∗
j
(t) : q
i
(t)) + γj
−j

σ
j
(t) = 0.
(1.23)
Với mỗi t ∈ I\I
1
cố định, tồn tại dãy con hội tụ như trong chứng minh
của Định lí 1.1 sao cho:
τα + λβ + µ + 0 = 0, (1.24)
Với τ  0, λ ∈ S
∗
, µ ∈ R
r
, α ∈

∂f(t, ¯x(t)) :=

∂f(t, .) tại ¯x(t), β ∈

∂g(t, ¯x(t)),  ∈

∂h(t, ¯x(t)).
Ở đây τ và λ không đồng thời bằng 0, bởi vì τ và ∧ không đồng thời
bằng 0. Tuy nhiên, λ và µ có thể nhận giá trị +∞ bởi vì dãy {λ
j
(t)} và
{µ
j
(t)} không nhất thiết bị chặn. Giả sử với b nào đó ∈ S và tập E nào
đó có độ đo Lebesgue dương, λ(t)b = +∞ với mỗi t ∈ E. Khi đó,

+∞ =

E
lim inf
j→∞
(λ(t)b)dt  lim inf
j→∞

E
λ(t)bdt = lim
j→∞
∧
j
(E)b
= ∧
j
(E)b(:= {∧(e)b : e ∈ E}).
Điều này mâu thuẫn với tính hữu hạn của ∧. Vì thế λ và µ hữu hạn
hầu khắp nơi. Vì vậy, phần đầu của (1.20) đúng với hết mọi t; và phần 2
suy ra từ (1.22). 
Bây giờ xét bài toán quy hoạch liên tục (1.15) không có ràng buộc
đẳng thức h(t, x(t)) = 0 và bài toán đối ngẫu:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
21
Maximize L(u, v) :=

I
[f(t, u(t)) + v(t)g(t, u(t))]dt,
0 ∈


∂(f(t, u(t)) + v(t)g(t, u(t))) với hầu hết mọi t ∈ I,
v(t) ∈ S
∗
.
(1.25)
Định lí 1.3
Giả sử bài toán (1.15) không có ràng buộc đẳng thức, đạt cực tiểu địa
phương tại x = ¯x. Giả sử các giả thiết của Định lý 1.2 và điều kiện Slater
đúng: với hầu hết t và mỗi y(t) ∈ ∂(g(t, ¯x(t)), tồn tại u(t) ∈ R
n
sao cho
y(t)u(t) ∈ −int S.
Giả sử rằng, với mỗi t ∈ I, f(t, .) và g(t, .) thỏa mãn giả thiết (1.14).
Khi đó, bài toán (1.25) là đối ngẫu mạnh của bài toán (1.15) (như vậy tính
đối ngẫu yếu cũng đúng, và (1.25) nhận một cực đại tại u = ¯x, và hai bài
toán có giá trị tối ưu của hàm mục tiêu bằng nhau).
Chứng minh
Nếu τ = 0 trong (1.20), thì λ(.) = 0, 0 ∈ ∂(λ(t)g(t, ¯x(t))) với hầu hết
mọi t. Vì thế λ(t)y(t) = 0 với y(t) nào đó ∈ ∂g(t, ¯x(t)). Từ điều kiện
chính quy y(t)u(t) ∈ −intS ta có λ(t)y(t)u(t) < 0 với hầu hết mọi t: mâu
thuẫn. Vì vậy, τ = 1. Ta có (¯x(.), λ(.)) là điểm chấp nhận được của (1.25).
Bây giờ, (1.25) có dạng của bài toán đối ngẫu Wolfe của (1.15) mà không
có ràng buộc đẳng thức ta lưu ý rằng
0 ∈ ∂
u
L(u, v) 0 ∈ ∂
u
(f(t, u(t)) + v(t)g(t, u(t)) với hầu hết mọi t. (1.26)
Vì vậy, tính đối ngẫu yếu đúng, theo Bổ đề (1.4). Bởi vì (¯x.λ) là nghiệm
tối ưu của (1.25), và sự bằng nhau của các hàm mục tiêu được suy ra từ

phần 2 của (1.20). 
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên