Chuyên đề ôn thi đại học môn toán rất hay

Ôn thi đại học cấp tốc Lơng Tuấn Gv THPT Trần Phú - Móng Cái
Bài 1: Hệ phơng trình đại số
Một số loại hệ ph ơng trình th ờng gặp :

I)Hệ đối xứng loại I
1) Dạng: Hệ phơng trình



=
=
0);(
0);(
yxg
yxf
là hệ đối
xứng loại I nếu



=
=
);();(
);();(
xygyxg
xyfyxf
2)Cách giải : - Đặt
x y S
xy P
+ =

=

. ĐK:
2
4S P
.
- Biểu thị hệ qua S và P .
- Tìm S ; P thoả mãn điều kiện
PS 4
2

.
Khi đó x; y là 2 nghiệm của phơng trình :
0
2
=+ PStt
. Từ đó có nghiệm của hệ đã cho.
Chú ý 1 :
+) Nếu hệ có nghiệm (a;b) thì do tính chất đối
xứng của hệ nên hệ cũng có ghiệm (b; a). Vì vậy
hệ có nghiệm duy nhất chỉ khi có duy nhất x = y.
+) Hệ có nghiệm khi và chỉ khi hệ S, P có nghiệm
S, P thỏa mãn
PS 4
2

.
+) Khi
PS 4

2
=
thì x = y = -S/2
Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi chỉ khi có duy
nhất S, P thỏa mãn
PS 4
2
=
.
Chú ý 2 :
Nhiều trờng hợp ta có thể sử dụng ĐK cần để tìm
giá trị của tham số sau đó thay vào hệ kiểm tra xem
có thoả mãn hay không - (Đ/K đủ).
II) Hệ đối xứng loại II
1)Hệ :



=
=
0);(
0);(
yxg
yxf
là hệ đối xứng loại II nếu :
);();( yxgxyf =
2)Cách giải :
+)Đối với hầu hết các hệ dạng này khi trừ 2 vế ta
đều thu đợc phơng tình :
(x-y).h(x;y) = 0

Khi đó hệ đã cho
0 ( ; ) 0
( ; ) 0 ( ; ) 0
x y h x y
f x y f x y
= =



= =

( Chú ý : Có những hệ đối xứng loại II sau khi trừ
2 vế cha xuất hiện ngay x - y = 0 mà phải suy luận
tiếp mới có điều này).
+) Phơng pháp điều kiện cần và đủ:
Phơng pháp này đ ợc áp dụng tốt cho hệ đối xứng
với yêu cầu: Tìm giá trị tham số để hệ có nghiệm
duy nhất.
Đ/k cần:
Nhận xét rằng: do tính đối xứng của hệ nên nếu hệ
có nghiệm (x
0
;y
0
) thì (y
0
;x
0
) cũng là nghiệm của hệ,
do đó hệ có nghiệm duy nhất khi x

0
= y
0
(1)
Thay (1) vào một phơng trình của hệ, tìm đ/k của
tham số để pt` có nghiệm x
0
duy nhất ,ta đợc giá
trị của tham số. Đó là đ/k cần.

Đ/k đủ: thay giá trị của tham số vào hệ kiểm tra,
rồi kết luận.
III) Hệ nửa đối xứng của x và y
1)Dạng hệ:



=
=
)2(;0);(
)1();;();(
yxg
xyfyxf
(Tức là có 1 ph-
ơng trình là đối xứng )
2)Cách giải:
Chuyển vế biến đổi từ (1) ta có dạng phơng
trình tích: (x - y).h(x; y) = 0. Từ đó có: hệ đã cho t-
ơng đơng với:

=
=
)2(;0);(
0);().(
yxg
yxhyx











=
=



=
=

0);(
0);(

0);(
0
yxg
yxh
yxg
yx
Chú ý:Nhiều khi đặt ẩn phụ mới có hệ đối xứng
Ví dụ :





=+
=+
=






=
=+
5
5
5
5
2
2

2
2
ty
yt
tx
xy
yx
IV) Hệ đẳng cấp đối với x và y
1) Hệ phơng trình



=
=
0);(
0);(
yxg
yxf
đợc gọi là hệ đẳng
cấp bậc 2 của x; y nếu mỗi hạng tử (trừ số hạng tự
do) đều có bậc là 2.
2) Cách giải :
* Cách 1) Khử số hạng tự do. (Cách này thờng
dùng khi hệ không chứa tham số, hoặc tham số ở số
hạng tự do cho đơn giản)
* Cách 2) Khử x
2
( với y 0 ) hoặc y
2
(với x 0):

(Cách này thờng dùng khi hệ có chứa tham số).
VI. Một số hệ ph ơng trình khác.
*) Cách giải: Để giải hệ phơng trình không mẫu
mực ta thờng áp dụng một số pp :
+ Phân tích thành tích có vế phải bằng 0.
+ Đổi biến (đặt ẩn phụ)
+ Đánh giá : BĐT hoặc dùng hàm số.
Một số ví dụ:
1. Hệ đối xứng I:
Giaỷi caực heọ pt sau ủaõy :
2 2
11
1)
30
xy x y
x y xy
+ + =


+ =

1
¤n thi ®¹i häc cÊp tèc L¬ng Tn Gv THPT TrÇn Phó - Mãng C¸i
11
5; 6 5. 6
. 30
p s
hpt s p p s
p s
+ =


⇔ ⇔ = = ∪ = =

=


ĐS : x = 2; 3; 1; 5
2 -
2 2
3 3
30
35
5; 6 (2;3) ; (3;2)
x y xy
x y
hpt s p

+ =


+ =


⇔ = = =>
4 4
2 2
1
3)
1
11

1
0; 2 (0;1);(1;0)
( 2 ) 2 1
x y
x y
p s
s
hpt
p p
s p p
+ =


+ =

+ =
=


⇔ ⇔
 
= = =>
− − =


3
3
30
4) : ; 0; ; .
35

. 30
125, 5 6
3 35
x y y x
HD x y s x y p x y
x x y y
p s
hpt s s p
s sp

+ =

> = + =

+ =


=

⇔ ⇔ = <=> = => =

− =

Vậy Hpt có ngh ( 4;9) ; ( 9;4).
5- cho:
5( ) 4 4
1
x y xy
x y xy m
+ − =



+ − = −

a) Tìm m để hpt có nghiệm.
HD: Giải hệ S ;P ta được S= 4m ;p = 5m-1
ĐK : S
2
-4p
≥
0 ⇔
1
; 1
4
m m≤ ≥
.
b) T×m m ®Ĩ hƯ cã nghiƯm duy nhÊt.
§S: m = 1/4, m = 1.
6) a-Cmr: Hpt có ngh với mọi m :
2 2 2
2 1x y xy m
x y xy m m
+ + = +


+ = +

b) Tìm m hpt có nghiện duy nhất .
HDĐS :
a-

2
1 1 2 2
2 1
.
; 1 1.
p s m
hpt
p s m m
s m p m s m p m
+ = +

⇔

= +

⇔ = = + ∪ = + =

ĐS:hệS
1
,P
1
Vn ;
2 2
2 2
4 ( 1) 0S P m− = − ≥
.
Vậy: HPt có nghiệm với mọi m.
b-HPT cã ngh duy nhÊt ⇔
2
2 2

4 0S P− =
⇔
2
( 1) 0m − =
1m⇔ =
.
=> x = y = 1 Vậy : (1;1).
2. HƯ ®èi xøng lo¹i II:
Giải hệ pt :

3
3
3 8
1 :
3 8
x x y
hpt
y y x

= +

−

= +


3 4
2 :
3 4
y

x y
x
hpt
x
y x
y

− =


−


− =


2 2
2 2
2 3 2
3
2 3 2
x x y
y y x

− = −

−

− = −



HDĐS :
1-Hpt
2 2
3
3
( )( 5) 0
3 8
3 8
(0;0) ( 11; 11) ( 11; 11)
x y
x y x y xy
x x y
x x y
=

− + + + =


⇔
 
= +
= +



−
2- ĐK : x ≠ 0 ; y ≠ 0. Hpt :
2 2
( )( 4) 0

6 4( ) 0
x y x y
x y xy x y
− + + =


+ − − + =

 (-2; -2)
3-
2 2
2 2
2 3 2
2 3 2
x x y
y x x

− = −


− = −


Lấy (1)-(2) : 3(x-y)(x+y-1 ) = 0  y=x hoặc y = 1-x.
Kết hợp (1) Khi y = x : (1;1) ; (2;2)
Khi y = 1 -x VN .
4-
1 3
2
1 1

2
x
y x
y
x y

+ =




+ =


Lấy (1) - (2) : (x - y)(2 + 4/xy ) = 0  y = x ; y = -2/x
+ y = x : (1;1) ; (-1;-1) .
+ y = -2/x :
( 2; 2);( 2, 2)− −
3) . HƯ nưa ®èi xøng
VD. Gi¶i hƯ :





+=
−=−
12
11
3

xy
y
y
x
x
Gi¶i:





+=
=+−
≠
⇔





+=
=−+−
≠
⇔





+=

−=−
12
0)1)((
0.
12
0
0.
12
11
33
22
3
xy
xyyx
yx
xy
yxxyyx
yx
xy
y
y
x
x
3
4
. 0
. 0
1
( ) ( )
2 1 0

2 0
x y
x y
x y I y II
x
x x
x x
≠


≠

−
 
⇔ = ∨ =
 
 
− + =


+ + =

+ Ta cã I):










−−
==
+−
==
==
⇔





=+−
=
≠
2
51
2
51
1
)(
012
(
0.
3
yx
yx
yx
I

xx
yx
yx
2
Ôn thi đại học cấp tốc Lơng Tuấn Gv THPT Trần Phú - Móng Cái
+ Ta có II) :
2 2 2
. 0
1
( )
1 1 3
( ) ( ) 0;( )
2 2 2
x y
II y
x
x x VN






=



+ + + =

4. Hệ đẳng cấp :
VD. Cho hệ phơng trình :
2 2
2
4 (1)
3 4 (2)
x xy y m
y xy

+ =


=



a) Giải hệ pt` với m = 1
b) Tìm a để hệ có nghiệm
Giải:
Cách 1:
Dễ thấy y = 0 không phải là nghiệm của hpt.
Đặt x = ty, ta có :
Hệ
2 2 2 2
2 2
4
3 4
t y ty y m
y ty

+ =


=



2 2
2
( 4 1)
(1 3 ) 4
y t t m
y t

+ =


=



2
2
4 1
1 3 4
(1 3 ) 4
t t m
t
y t

+
=




=

(I)
Do y 0 nên từ y
2
(1 - 3t) = 4 1 - 3t > 0 t <
1
3
a) Với m = 1 ta có hệ :
2
2
4 1 1
1 3 4
(1 3 ) 4
t t
t
y t

+
=

=


Giải hệ ta đợc kq : (1 ; 4), (-1 ; -4).
b) Ta có :
(I)
2
2
4( 4 1) (1 3 )
(1 3 ) 4
t t m t
y t

+ =


=



2
2
4 (16 3 ) 4 0 (*)
(1 3 ) 4
t m t m
y t

+ =

=


Đặt f(t) = 4t
2
- (16 - 3m)t + 4 - m = thì
Hệ có nghiệm (*) có nghiệm thoả mãn t <
1
3
.
Ta lại có
1 8
( ) 0
3 9
af = <
m nên hệ luôn có
nghiệm thoả mãn t
1
<
1
3
< t
2
. Vậy hệ luôn có
nghiệm với m.
Cách 2 : Khử một ẩn.
Hệ
2
2
4

3 4
x xy m
y xy

=


=



2
4 2 2
4
2 (8 ) (4 ) 0 (*)
x m
y
x
x m x m

+
=



+ =

(x = 0 thoả mãn hệ khi m = 4).
Với m 4 đặt : f(t) = 2t
2

+ (8 - m)t - (4 - m)
2
ta có
f(0) = -(4 - m)
2
< 0 nên phơng trình f(t) = 0 luôn có
nghiệm t > 0 hay phơng trình (*) luôn có nghiệm
với m.
Các bài tập luyện tập :
Bài 1: Một số hệ dạng cơ bản
1) Cho hệ phơng trình



=+++
=++
8
)1)(1(
22
yxyx
myxxy

a) Giải hệ khi m=12
b) Tìm m để hệ có nghiệm
2) Cho hệ phơng trình
2 2 2
1 1
2
a
x y

x y a

+ =



+ = +


Tìm a để hệ phơng trình có đúng 2 nghiệm phân
biệt
3) Cho hệ phơng trình
2 2
2 2
1
3 2
x xy y
x xy y m

+ =


+ =



Tìm m để hệ có nghiệm
4)

=+
=+
22
22
xy
yx

5)





=+++++++
=+++
myxxyyx
yx
1111
311
a) Giải hệ khi m=6
b) Tìm m để hệ có nghiệm
Bài 2:

+
=
+
=
2
2
2
2
2
3
2
3
y
x
x
x
y
y
(KB 2003)
HD:
Th1 x=y suy ra x=y=1
TH2 chú y: x>0 , y> 0 suy ra vô nghiệm
Bài 3:

=+
=+
358
152
33
22
yx
xyyx
HD: Nhóm nhân tử chung sau đó đặt
S=2x+y và P= 2x.y
Đs : (1,3) và (3/2 , 2)
Bài 4:
3
Ôn thi đại học cấp tốc Lơng Tuấn Gv THPT Trần Phú - Móng Cái





=+
=
)2(1
)1(33
66
33
yx
yyxx
HD: từ (2) : -1 x , y 1 hàm số :

( )

tttf 3
3
=
trên [-1,1] áp dụng vào phơng
trình (1)
Bài 5: CMR hệ phơng trình sau có nghiệm duy
nhất







+=
+=
x
a
xy
y
a
yx
2
2
2
2
2
2
HD:

=
=
223
2 axx
yx
xét
23
2)( xxxf =
lập BBT suy ra KQ
Bài 6:





=+
=+
22
22
xy
yx
HD Bình phơng 2 vế, đói xứng loại 2
Bài 7:

=+
=+
)1(
)1(
2
2
xayxy
yaxxy
xác định a để hệ có
nghiệm duy nhất
HD sử dụng ĐK cần và đủ a=8
Bài 8:





+=
=
)2(5
)1(2010
2
2
yxy
xxy
HD : Rút ra
y
yy
y
x +=

+
=
55
2
Cô si
52
5
+= y
y
x
.

20
2
x
theo (1)
20
2
x
suy ra x,y
Bài 9:





++=+
=
2
)1(

3
yxyx
yxyx
(KB 2002)
HD: từ (1) đặt căn nhỏ làm nhân tử chung
(1;1) (3/2;1/2)
Bài 10:





=+
=++
ayx
ayx
3
21
Tìm a để hệ có
nghiệm
HD: từ (1) đặt
2,1 +=+= yvxu
đợc
hệ dối xứng với u, - v
Chỉ ra hệ có nghiệm thì phơng trình bậc hai t-
ơng ứng có 2 nghiệm trái dấu.
Bài tập áp dụng
1)

=
=
495
5626
22
22
yxyx
yxyx
2)





+=+
+=+
)(3
22
22
yxyx
yyxx
KD 2003
3)

=++
=++
095
18)3)(2(
2
2
yxx
yxxx
4)





++=+
=
2
)(7
22
33
yxyx
yxyx
HD: tách thành nhân tử 4 nghiệm
5)

+=
=
mxyx
yxy
26
12
2
2
Tìm m để hệ có
nghiệm
6)





=
=
19
2.)(
33
2
yx
yyx
dặt t=x/y có 2 nghiệm
7)



=++

=++
64
9)2)(2(
2
yxx
yxxx
đặt X=x(x+2) và
Y=2x+y
8)





=++
=+
4
)1(2
2222
yxyx
yxyx
đổi biến theo
v,u từ phơng trình số (1)
9)





=+

=+
22
333
6
191
xxyy
xyx
Đặt x=1/z thay vào đợc hệ
y,z DS (-1/2,3) (1/3,-2)
10)





+=
=
12
11
3
xy
y
y
x
x
(KA 2003)
HD: x=y V xy=-1
CM
02
4

=++ xx
vô nghiệm bằng cách
tách hoặc hàm số kq: 3 nghiệm
11)





+=+
+=+
axy
ayx
2
2
)1(
)1(
xác định a để hệ có
nghiệm duy nhất HD sử dụng ĐK cần và
đủ
12)





=+
=+
3
3

22
xyyx
x
y
y
x
HD bình phơng 2 vế .
4
¤n thi ®¹i häc cÊp tèc L¬ng Tn Gv THPT TrÇn Phó - Mãng C¸i
Bµi 2: Ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng
tr×nh §¹i sè
Mét sè d¹ng ph ¬ng tr×nh vµ bÊt ph ¬ng tr×nh th -
êng gỈp
1) BÊt ph¬ng tr×nh bËc hai ;
§Þnh lý vỊ dÊu cđa tam thøc bËc hai;
Ph¬ng ph¸p hµm sè.
2) Ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh chøa gi¸ trÞ tut
®èi

2 2
2 2
0B
A B
A B
A B A B
A B
A B
A B
A B B A B
≥


= ⇔

=

< ⇔ <
>

> ⇔

< −

< ⇔ − < <
3) Ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh chøa c¨n thøc
*PT chøa c¨n thøc:
2
0
0( 0)
0
0
2
B
A B
A B
A hayB
A B
A B
A
A B C B
A B AB C

≥

= <=>

=

≥ ≥

= <=>

=


≥

+ = <=> ≥


+ + =

* BÊt ph¬ng tr×nh chøa c¨n thøc:
2 2
2 2
0 0
* 0 * 0
0 0
0 0
* *
0 0
A A

A B B A B B
A B A B
A A
B B
A B A B
B B
A B A B
 
≥ ≥
 
< ⇔ > ≤ ⇔ ≥
 
 
< ≤
 
 ≥  ≥
 
 
 
< ≤
 
 
> ⇔ ≥ ⇔
 
≥ >
 
 
 
> ≥
 

 
 
Mét sè vÝ dơ
BÀI TẬP :
Bài 1: Bình phương hai vế :
a) x
2
+
1 1x + =
Hd:
4 2
0
1 1
1
2 0
1 5
2
x
x
x
x x x
x


=

− ≤ ≤

⇔ =−



− − =


±

=


b)pt:
5 1 3 2 1 0x x x− − − − − =
§K x ≥ 1.
Chuyển vế, bình phương hai vế : x = 2 ;
x = 2/11( loại ). Vậy x=2 .
c)
: 9 5 2 4pt x x+ = − +
§K
2x ≥
.
Bình phương hai lầ ta có : ĐS x = 0 .
d)
: 16 9 7pt x x− + + =
. §S: x = 0, x = -7.
e)
2 2
: (4 1) 9 2 2 1
: 1/ 4
pt x x x x
dk x
− + = + +

≥
B×nh ph¬ng hai lÇn ta cã :ĐS x = 4/3.
Bài 2 : §Ỉt Èn phơ:
a)
2 2
3 3 3 6 3x x x x
− + + − + =
. §S: x = 1, x = 2.
b)
2
2
1 1 0 : 0 1
3
x x x x dk x
+ − = + − = ≤ ≤
- Đặt :
2
2
1
1 ; 0
2
t
t x x t x x
−
= + − ≥ => − =
pt ⇔ t
2
-3t +2 =0 t =1 ; t =2 Vn.
t =1  x = 0 ; x =1.
c)

2
2 3 1 3 2 2 5 3 16x x x x x
+ + + = + + + −
HDĐS:

2 2
: 1
2 3 1 0
3 4 2 2 5 3
5 3.
DK x
t x x
t x x x
pt t x
≥ −
= + + + ≥
=> = + + + +
<=> = <=> =

2 2 2
2
) 7 2 3 3 19
. 2 7 / 4
5 3 13 4
1; 2
d x x x x x x
t x x
pt t t t t
x x
+ + + + + = + +

= + + ≥
<=> + + = + <=> =
=> = =−
Bµi 3:
1) 1 3 ( 1)(3 )x x x x m
+ + − − + − =
a) Giải pt khi m=2
b) Tìm m pt có nghiệm.
HDĐS:
ĐK:
. 1 3 ; 2 2 2
: 2( )
t x x t
vi a b a b a b
= + + − => ≤ ≤
+ ≤ + ≤ +
2
0( )
1) 2 : 2 0 1, 3
2
t l
m t t x x
t
=

= − = <=> => = − =

=

2) f(t) = -t

2
/2 + t +2 = m (1) . Lập bảng biến thiên :
Tacó :
2 2 2 2.m− ≤ ≤
Bµi 4. T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh sau cã nghiƯm:
2
9 9x x x x m
+ − = − + +
Bình phương : Đặt t=
(9 ) 0 9 / 2x x t− => ≤ ≤
KSHS
2
( ) 2 9 ; 9/ 2 9 / 4 10f t t t o t Ds m
= − + + ≤ ≤ − ≤ ≤
d)
5
Ôn thi đại học cấp tốc Lơng Tuấn Gv THPT Trần Phú - Móng Cái
Bài 5. Tìm m để phơng trình có nghiệm:
4 44
4 4 6x x m x x m
+ + + + + =
HDẹS: ẹaởt
4 2
4
4 0 : 6 0t x x m pt t t= + + + =

44
4
3 ( )
2

4 2
4 16
loạit
PT
t
x x m
m x x
=



=

=> + + =
<=> = +
Laọp BBT : m>19VN; m=19: 1 ngh ;m<19pt2ngh.
Baứi 6. Giải các phơng trình sau:
1)
2 2
3 3
3
(2 ) (7 ) (7 )(2 ) 3x x x x
+ + =
-ẹaởt :
2 2
3
3 3
3
2 3
.

9
7
u x u v uv
pt
u v
v x


= + =

<=>

+ =

= +



3
1; 2 1; 6
2
u v
u v x
uv
+ =

<=> <=> = = => =

=

2)
3
2 1 1x x
=
.ẹK : x
1
3
3 2
2
1; 0
1
0;1; 2; 1;0;3
1
1;2;10
u x
v x v
u v
u v
u v
x

=


=


=

=> <=> = =

+ =

=
Một số bài tập luyện tập:
Bài 1 : Tìm m để
mxxxx ++++ )64)(3)(1(
2
Tìm m để bất phơng trình trên nghiệm đúng với
mọi x.
HD: sử dụng hàm số hoặc tam thức : m-2
Bài 2: Giải các phơng trình, bất phơng trình sau:
1)
014168
2
++ xxx
2)
xxx 2114 =+
: x = 0
3)
2 2
2( 2 ) 2 3 9 0. : 1 5x x x x DS x
+ = =
4)
211
22
=++ xxxx
. Tích 2 nhân tử
bằng 1 suy ra cách giải.
5)

023)3(
22
xxxx
(KD 2002)
Bài 3: Tìm m để hệ sau có nghiệm





+
++
012
0910
2
2
mxx
xx
ĐS m 4.
Bài 4: Giải bất phơng trình:
2212 >+ xxx
HD :
nhân 2 vế với biểu thức liên hợp của VT
Biến đổi về BPT tích chú y ĐK
Bài 5: Giải bất phơng trình:
7
2
1
2
2

3
3 +<+
x
x
x
x
HD Đặt
2,
2
1
+= t
x
xt
AD BĐT cô si suy
ra ĐK.
Bài 6: Giải bất phơng trình
4
)11(
2
2
>
++
x
x
x
HD
Xét 2 trờng hợp chú ý DK x

-1.
Trong trờng hợp x

4 tiến hành nhân và chia
cho biểu thức liên hợp ở mẫu ở VT.
Bài 7: Cho phơng trình:
mxxxx ++=+ 99
2
Tìm m để phơng trình có nghiệm.
HD
Bình phơng 2 vế chú y ĐK
Đặt t= tích 2 căn thớc Tìm ĐK t
Sử dụng BBT suy ra KQ
Bài 9: Giải bất phơng trình (KA 2004)
3
7
3
3
)16(2
2


>+


x
x
x
x
x
Bài tập áp dụng
1) Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm

mxx + 41624

2)
16212244
2
+=++ xxxx
3)
12312 +++ xxx
4)
1212)1(2
22
=+ xxxxx

HD: đặt
12
2
+= xxt
coi là phơng trình bậc
hai ẩn t.
5)
2
2)2()1( xxxxx =++
6)
2
3
1)2(12
+
=++
x
xxxx

7)
1
1
251
2
<


x
xx
8)
023243
2
=+++ xxx
.
9)
2
2 4 3 18 29x x x x + = +
6
Ôn thi đại học cấp tốc Lơng Tuấn Gv THPT Trần Phú - Móng Cái
B i 3: Phơng trình và
hệ phơng trình lợng giác
Một số kiến thức cần nhớ
1. Các công thức biến đổi lợng giác
a) Công thức cộng:
cos(a - b) = cosacosb + sinasinb
cos(a + b) = cosacosb - sinasinb
sin(a + b) = sinaccosb + cosasinb
sin(a - b) = sinacosb - cosasinb
( )

1
tga tgb
tg a b
tgatgb

=
m
b) Công thức nhân đôi, nhân ba
cos2a = cos
2
a - sin
2
a = 2cos
2
a - 1 = 1- 2sin
2
a;
sin2a = 2sinacosa;
2
2
2 ,
2 4 2
1
tga
tg a a k a k
tg a



= + +

ữ


3 3
sin 3 3sin 4sin ; cos3 4cos 3cos ;a a a a a a= =
c) Công thức hạ bậc
2 2
1 cos 2 1 cos2
cos ; sin ;
2 2
a a
a a
+
= =
d) Công thức chia đôi
Đặt
( )
2
2
x
t tg x k

= +
. Ta có:
2
2
2 2 2
2 1 2
sin ; cos ;
1 1 1

t t t
x x tgx
t t t

= = =
+ +
;
e) Công thức biến đổi
* Đổi tích thành tổng:
[ ]
[ ]
[ ]
1
cos cos cos( ) cos( )
2
1
sin sin cos( ) cos( )
2
1
sin cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
= + +
= +
= + +
* Đổi tổng thành tích:
cos cos 2cos cos ;
2 2

cos cos 2sin sin ;
2 2
sin sin 2sin cos ;
2 2
sin sin 2cos sin ;
2 2
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
+
+ =
+
=
+
+ =
+
=
f) Một số công thức hay dùng:
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
x x x x
x x x x

+ = + =
ữ ữ


= = +
ữ ữ

1 1
; ;
4 1 4 1
tgx tgx
tg x tg x
tgx tgx

+

+ = =
ữ ữ
+

2. Một số phơng trình lợng giác thờng gặp
a) phơng trình lợng giác cơ bản:
+ sinx = a
1
2
1 (sin )
2
PTVN

PT có ngh
a
x k
a a
x k



>
= +

=

= +

+ cosx = a
1
1 2 (cos )
PTVN
PT có ngh
a
a x k a

>
= + =
+ tgx = a ĐK:
2
x k

+
, x =
k

+
(tg = a).
+ cotgx = a, ĐK:
x k


, x =
k

+
(cotg = a).
b) Phơng trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm
số lợng giác.
* Phơng trình bậc nhất:
[ ]
( ) ( ) 2
sin ( ) sin ( ) ;
( ) ( ) 2
cos ( ) cos ( ) ( ) ( ) 2 ;
( ) ( ) ( ) ( ) ;
( ) ( ) ( ) ( ) ;
sin ( ) sin ( ) sin ( ) sin ( ) ;
cos ( ) cos ( ) cos (
tg tg
cotg cotg
f x g x k

f x g x
f x g x k
f x g x f x g x k
f x g x f x g x k
f x g x f x g x k
f x g x f x g x
f x g x f x





= +

+ =

= +

+ = = +
+ = = +
+ = = +
+ = =
+ =
[ ]
) cos ( ) ;
sin ( ) cos ( ) sin ( ) ;
2
g x
f x g x g x

=

+ =


* Phơng trình bậc 2:
2
sin sin 0a x b x c+ + =
đặt t = sinx (
1t
).
2
cos cos 0a x b x c+ + =
đặt t = cosx (
1t
).
2
2
0;
0;
atg x btgx c
acotg x bcotgx c
+ + =
+ + =
c) Phơng bậc nhất đối với sinx và cosx.
asinx + bcosx = c.
Cách giải:
+ Cách 1: chia cả hai vế cho
2 2

a b+
; đặt:
2 2 2 2
cos , sin
a b
a b a b

= =
+ +
ta đợc PT:
2 2
sin( )
c
x
a b

+ =
+
;
*) Chú ý: Phơng trình có nghiệm
2 2 2
c a b +
.
+ Cách 2: Đặt
b
tg
a

=
ta đợc phơng trình:

sin( ) cos
c
x
a

+ =
.
7
Ôn thi đại học cấp tốc Lơng Tuấn Gv THPT Trần Phú - Móng Cái
d) Phơng trình đẳng cấp đối với sinx và cosx
2 2
sin sin cos cosa x b x x c x d+ + =
Cách giải:
* Cách 1: Thử với cos
2
x = 0 sinx = 1 nếu
nghiệm đúng phơng trình thì đặt cosx làm thừa số
chung.
Với cos
2
x 0 chia cả hai vế cho cos
2
x ta đợc:
atg
2
x + btgx + c = d(1 + tg
2
x).
* Cách 2: Hạ bậc đa về phơng trình bậc nhất đối
với sin2x và cos2x.

e) Phơng trình đối xứng đối với sinx và cosx
*) Đối xứng: a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c
Đặt sinx + cosx = t, điều kiện
2t
2
2
1
2 2 0
2
t
at b c bt at b c


+ = + =
ữ

* Giả đối xứng: a(sinx - cosx) + bsinxcosx = c
Đặt sinx - cosx = t, điều kiện
2t
2
2
1
2 2 0
2
t
at b c bt at b c


+ = + =
ữ

.
3. Một số phơng pháp thờng dùng khi giải các
phơng trình lợng giác:
+ áp dụng các hằng đẳng thức;
+ áp dụng các công thức biến đổi;
+ Đổi biến số, đặt ẩn phụ;
+ Biến đổi về tích bằng 0;
+ Đánh giá: dùng BĐT, tập giá trị của hàm số y =
sinx; y = cosx, dùng đạo hàm;
+ Biến đổi về tổng bình phơng bằng 0.
4. Các ví dụ:
Giải các phơng trình sau:
Bài 1:
x
x
tgxgx
2sin
4cos.2
cot +=
.
ĐS:
3
x k


= +
.
Bài 2:
)1(sin

2
1
3
2
cos
3
cos
22
+=






++






+ xxx

ĐS:
5
; 2 ; 2
6 6
x k x k x x k

= = + = = +
.
Bài 3:
2
sin
2sin
2sin
sin
2
2
2
2
=+
x
x
x
x
.
ĐS:
2
2 ; 2
3 3
x k x x k


= + = = +
.
Bài 4:
8

1
3
.
6
3cos.cos3sin.sin
33
=






+







+

xtgxtg
xxxx
HD:- Đặt ĐK rút gọn MS=1
AD công thức nhân 3
ĐS:
6
x k

= +
.
Bài 5:
0cos.6)sin.2(3 =++ xxtgxtgx
HD: Biến đổi theo sin và cos.
ĐS:
3
x k


= +
.
Bài 6:
3. 6sin 2sin( ) (1)
2
2sin 6sin( ) (2)
2
y
tg x y x
y
tg x y x

+ =




= +

HD: nhân (1) với (2) rút gọn
y
y
tg
22
sin4
2
=
.
đặt
2
y
t tg

=
ữ


t

= 0, t =
3
.
Bài 7:
xxxxxx cos13sin.
2
1
sin.4cos2sin.3cos ++=

HD : BĐ tích thành tổng rút gọn.
Bài 8:
2
1
5cos4cos3cos2coscos =++++ xxxxx
HD: nhân 2 vế với 2.sin(x/2) chú ý xét trờng hợp
bằng 0.
Nhận xét: Trong bài toán chứa tổng
nxxxT
nxxxT
sin 2sinsin
cos 2coscos
+++=
+++=

thực hiện rút gọn bằng cách trên.
Bài 9:
)cos.sin2(cos3sin.2sin.
22
xxxxxtgx +=
HD: BĐ về dạng:
2 2
(sin cos )(sin 3cos ) 0x x x x+ =
Bài 10

2
9
sin
cos
2

log 4.log 2 4
x
x



ữ

=
HD:

( )
sin sin
2
sin
1
2. log 2.log 2 4
2
log 2 4
x x
x
=
=
5. Một số phơng trình có tham số:
Bài 1. Tìm m để phơng trình:
sin2x + m = sinx + 2mcosx
có đúng 1 nghiệm
3
[0; ]
4

x


.
HD: PT (sinx - m)(2cosx - 1) = 0.
Bài 2. Tìm m để phơng trình:
(2sinx - 1)(2cos2x + 2sinx + m) = 3- 4cos
2
x
8
Ôn thi đại học cấp tốc Lơng Tuấn Gv THPT Trần Phú - Móng Cái
có đúng 2 nghiệm x [0; ].
HD: PT (2sinx - 1)(2cos2x + m - 1) = 0.
Bài 3. Tìm m để phơng trình:
mcos
2
2x - 4sinxcosx + m - 2 = 0
có nghiệm x [0 ; /3].
HD: Đặt t = sin2x.
Bài 4: Cho phơng trình
02sin24cos)cos.(sin2
44
=++++ mxxxx
Tìm m để phơng trình có ít nhất một nghiện thuộc
đoạn
0;
2

.
HD: [-10/3;-2]
Bài 5: Cho phơng trình
3cos2sin
1cossin2
+
++
=
xx
xx
a
1) Giải phơng trình khi a=1/3.
2) Tìm a để phơng trình có nghiệm.
HD: Đa về dạng
(2-a)sinx+(2a+1)cosx=3a+1
ĐS [-1/2,2]
Bài 6: Tìm nghiệm trong khoảng (0, )






+=
4
3
cos212cos.3
2
sin4

22

xx
x

6. Các bài tập luyện tập:
1)
2
1
3sin.2sin.sin3cos.2cos.cos = xxxxxx
.
2)
2cos.3sincos.3sin =+++ xxxx
.
3)
x
x
x
x
cos
1
3cos.2
sin
1
3sin.2 +=
.
4)
x
x
xg

2sin
2cos1
2cot1
2

=+
.
5)
2)1.2(cos2cos
2
=+ xtgxx
.
6)
03cos2cos84cos3
26
=++ xx
.
7)
1
1cos2
3sin
42
sin2cos)32(
2
=

+

x
x
x
x

.
8)
02cos2sincossin1 =++++ xxxx
.
Một số đề thi từ năm 2002
1) Tìm nghiệm thuộc khoảng
( )
0;2

của phơng
trình
32cos
2sin21
3sin3cos
sin5 +=

+
+
+ x
x
xx
x
.
KA 2002
2) Giải phơng trình
x
xx
xtg
4
2
4
cos
3sin)2sin2(
1

=+

(DB 2002)
3) Tìm nghiệm thuộc khoảng
( )
0;2

của phơng
trình
x
xtgxxg

2sin
2
2sin42cot =+
KB 2003
4) Tìm x nghiệm đúng thuộc khoảng
[ ]
0;14
của
phơng trình
cos3 4cos 2 3cos 4 0x x x
+ =

KB 2003
5) Giải phơng trình
4 4
sin cos 1 1
cot 2
5sin 2 2 8sin 2
x x
g x
x x
+
=

DB 2002
6) Giải phơng trình
2
cos cos sin 1 .
2
x

tgx x x x tgx tg

+ = +
ữ

(DB
2002)
7) Cho phơng trình
2sin cos 1
(1)
sin 2cos 3
x x
a
x x
+ +
=
+
a) Giải phơng trình (2) khi
1
3
a =
b) Tìm a để phơng trình có nghiệm
8) Giải phơng trình
2
1
sin
8cos
x
x
=

(DB 2002)
9) Giải phơng trình
2
cos 2 1
cot 1 sin sin 2
1 2
x
gx x x
tgx
= +
+
(KA
2003)
10) Giải phơng trình
( )
3 2sin 6cos 0tgx tgx x x + + =
(DBKA
2003)
11) Giải phơng trình
( )
2
cos 2 cos 2 1 2x x tg x= =

(DBKA 2003)
12) Giải phơng trình
6 2
3cos 4 8cos 2cos 3 0x x x + + =
(DBKB 2003)
13) Giải phơng trình
( )

2
2 3 cos 2sin
2 4
1
2cos 1
x
x
x



ữ

=

(DBKB 2003)
14) Giải phơng trình
2 2 2
sin . cos 0
2 4 2
x x
tg x


=
ữ ữ

(KD 2003)
15) Giải phơng trình
( )

( )
2
cos cos 1
2 1 sin
cos sin
x x
x
x x

= +
+

(DBKD 2003)
16) Giải phơng trình
2sin 4
cot
sin 2
x
gx tgx
x
= +

(DBKD 2003)
17) Giải phơng trình
( )
2
5sin 2 3 1 sin tx x g x =

(KB 2004)
18) Giải phơng trình :

( ) ( )
2cos 1 2sin cos sin 2 sinx x x x x + =

KB 2004.
9
Ôn thi đại học cấp tốc Lơng Tuấn Gv THPT Trần Phú - Móng Cái
Bài 4: Hệ thức lợng trong tam giác
Một số kiến thức cần nhớ
*Một số phép biến đổi thờng dùng
+ Cung liên kết
+ Các công thức biến đổi.
*Một số hệ thức trong tam giác cần nhớ:
+
. 4 .
2 2 2
A B C
SinA SinB SinC Cos Cos Cos+ + =
+
. 1 4sin sin sin
2 2 2
A B C
CosA CosB CosC+ + = +
+ tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC
+
2
cot.
2
cot.
2
cot

2
cot
2
cot
2
cot
C
g
B
g
A
g
C
g
B
g
A
g
=++
+
1
222
.
22
.
2
=++
A
tg
C

tg
C
tg
B
tg
B
tg
A
tg
+ cotgA.cotgB + cotgB.cotgC + cotgC.cotgA = 1
+
sCCosACosBCoCSinBSinASin 22.
222
+=++
+
CBACCosBCosACos sinsinsin21.
222
=++
+ Sin2A + Sin2B + Sin2C = 4SinA.SinB.SinC
+ Cos2A + Cos2B + Cos2C = -1 - 4CosACosBCosC
Các ví dụ
Bài 1: Cho tam giác ABC, CMR
. . 1
2 2 2 2 2 2
A B B C C A
tg tg tg tg tg tg+ + =
Bài 2:Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn CMR:
a) tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC
b)
33++ tgCtgBtgA

dấu = xảy ra khi nào?
HD: áp dụng BĐT côsi
3
3 tgCtgBtgAtgCtgBtgA ++
lập phơng hai vế thay trở lại phơng trình đầu ta đ-
ợc đpcm.
Bài 3: CMR: trong mọi tam giác ABC, ta luôn có :
HD: Biến đổi liên tiếp tích thành tổng ở VP.
VP= [cos(B-C) cos(B+C)].cosA + [cos(C-A)
cos(A+C)].cosB + [cos(A-B) cos(A+B)].cosC
=Cos(B-C).cosA + Cos
2
A + Cos(C-A).cosB +Cos
2
B +
Cos(A-B).cosC + cos
2
C.
thực hiện nhân phá ngoặc xuất hiện cos2A, cos2B,
cos2C sử dụng công thức nhân đôi thay bởi cos
2
A,
cos
2
B, cos
2
C suy ra đpcm.
Bài 4: CMR với mọi tam giác ABC ta có
( )
2 2 2

1 . 2. 1Cos A Cos B Cos C CosACosBCosC =
Từ đó suy ra tam giác ABC có một góc tù khi và
chỉ khi
2.
222
<++ CSinBSinASin
Bài 5: Cho tam giác ABC thoả mãn đk:
2tgA = tgB + tgC
CMR : tgB.tgC = 3 Và Cos(B - C) = 2CosA
HD: xuất phát:


+
=+
tgCtgB
tgCtgB
CBtg
.1
)(
đpcm
Từ tgB.tgC = 3 khi và chỉ khi sinA.sinB=3cosB.cosC (*)
Mà cos(B - C) =2.cos[
)( CB

] khai triển suy ra
đẳng thức (*).
Bài 6: CMR với mọi tam giác ABC ta có:

+++
=++
2
cot
2
cot
2
cot
2222
1
sin
1
sin
1
sin
1
A
g
A
g
A
g
C
tg
B
tg
A

tg
CBA
HD: thay
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot.
2
cot.
2
cot
C
g
B
g
A
g
C
g
B
g
A
g
++=
áp dụng công thức nhân đôi.
Bài 7: CMR trong mọi tam giác ABC ta có

CBABACCCosAB
CSinBSinASin
cossinsin2cossinsinsinsin2
.
222
++
=++
Bài 8: Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C
thoả mãn đk 4A = 2B = C. CMR:
cba
111
+=
và
4
5
.
222
=++
CCosBCosACos
Bài 9: CMR trong mọi tam giác ABC ta đều có:
CBA
R
r
coscoscos1 ++=+
Bài 10: Cho tam giác ABC thoả mãn đk:
bc
aA
Sin
2
2

=
, CMR tam giác ABC cân
10
Ôn thi đại học cấp tốc Lơng Tuấn Gv THPT Trần Phú - Móng Cái
Bài 11:Cho tam giác ABC thoả mãn đk
22
.
B
tg
A
tgtgBtgA
=
CMR tam giác ABC cân
Bài 12. CMR nếu tam giác ABC có

a
cb
CB
+
=+ coscos
thì tam giác vuông
Bài 13: Cho tam giác ABC với BC=a, AC=b, AB=c
CMR tam giác ABC vuông hoặc cân tại A khi và
chỉ khi
2
CB
tg
cb
cb
=

+

Bài 14: Cho tam giác ABC có các góc thoả mãn đk:
3(cosB+2sinC) + 4(sinB+ 2cosC) =15
CMR tam giác vuông
Bài 15:Các góc tam giác ABC thoả mãn đk
2
1
2
sin.
2
sin.
2
sin
2
cos.
2
cos.
2
cos =
CBACBA
CMR tam giác ABC vuông.
Bài 16: Cho tam giác ABC thoả mãn đk
( )
( )

+
=
+
+=+
2
4
2
sin
cos1
1)(
22
3332
ba
ba
C
C
acbacba
CMR tam giác ABC đều.
Bài 17: Tam giác ABC thoả mán đk:
gCgB
CA
cotcot3
sin
1
sin
1
2 +

+
CMR tam giác ABC là tam giác đều
Bài 18: Tam giác ABC thoả mãn đk
2
sin
2
sin
2
sin.
CA
CosCCosBCosA ++=++
B
CMR
tam giác ABC là tam giác đều
Bài 19: tam giác ABC có các góc thoả mãn hệ thức:
9
22
.
2
222
=++
C
Cotg
B
Cotg
A

Cotg
Bài 20:CMR nếu trong tam giác ABC ta có
2
cos
2
cos
2
cossinsinsin
CBA
CBA
++=++
thì tam giác đều
Bài 21: Cho tam giác ABC thoả mãn đk:
8(p-a)(p-b)(p-c)=abc
CMR tam giác đều
Bài 22: Cho tam giác ABC thoả mãn đk
gCgBgA
CBA
C
g
B
g
A
g
cotcotcot
2
cos
1
2
cos

1
2
cos
1
2
cot.
2
cot.
2
cot
++=










++
Bài 23:
CtgBtgtgACtgBtgAtg
22888
9++
Bài 24:
81
666
=++ CtgBtgAtg

Bài 25: Tìm GTNN biểu thức
CBA
M
2cos2
1
2cos2
1
2cos2
1

+
+
+
+
=
Bài 26: Tam giác ABC bất kỳ tìm GTLN của:
P= cosA+ cosB +cosC
Bài 27: <Dùng phơng pháp BĐ Lợng giác xuất hiện
bình phơng một nhị thức>
Cho tam giác ABC bất kỳ. Tìm GTLN của biểu
thức
)cos(cos3cos3 CABP ++=
Bài 28: Cho tam giác ABC thoả mãn hệ thức:
4
17
)coscos(sin3sin.sin.cos2 =+++ CBACBB
Hỏi tam giác ABC là tam giác gì? CM?
11
Ôn thi đại học cấp tốc Lơng Tuấn Gv THPT Trần Phú - Móng Cái
Bài 5. Phơng trình và hệ phơng trình

mũ - Lôgarit
1. Một số kiến thức cần nhớ:
* Một số phép toán về luỹ thừa:
( )
( ) ; ; . ;
; ;
m
n m
n
a a
ab a b a a a
b
b
a
a a a a a
a








+


= = =
ữ

= = =
* Một số công thức biến đổi về logarit:
1 2 1 2
1
1 2
2
log log
log ;
log ( . ) log log ;
log log log ;
1
log log ; log log ;
log
ln lg
log ;
log ln lg
1
log ; ;
log
log .log .log log
b b
x
a
a a a
a a a
a a a
a
b
a
b

c a
a
b
a b c a
a b x b
x x x x
x
x x
x
x x x x
x
x x
x
a a a
b a c
a
b c x x




= =
= +
=
= =
= = =
= =
=
2. Phơng trình mũ:
a) Dạng cơ bản:

( )
( ) ( )
0
( ) log
( ) ( )
f x
a
f x g x
b
a b
f x b
a a f x g x
>

=

=

= =
b) có số có chứa ẩn:
[ ] [ ]
( ) ( )
( ) 1
( ), ( )
( ) ( )
( ) 0
( ) ( )
có nghĩa
f x g x
h x

f x g x
h x h x
h x
f x g x
=





=

>



=



3. Một số phơng pháp thờng dùng khi giải ph-
ơng trình mũ:
+ Đa về phơng trình dạng cơ bản.
+ Lấy lôgarit hai vế;
+ Đặt ẩn phụ (chú ý điều kiện của ẩn phụ);
+ Đánh giá: Dùng BĐT, hàm số, đoán nghiệm và
chứng minh nghiệm duy nhất,
4. Phơng trình logarit:
a) Dạng cơ bản:
0 1

log ( )
( )
( ) 0( ( ) 0)
log ( ) log ( )
( ) ( )
hoặc
a
b
a a
a
f x b
f x a
f x g x
f x g x
f x g x
<

=

=

> >

=

=

b) Cơ số có chứa ẩn:
[ ] [ ]
( ) ( )

0 ( ) 1
log ( ) log ( )
( ) ( ) 0
f x f x
f x
g x h x
g x h x
<

=

= >

5. Một số phơng pháp thờng dùng khi giải ph-
ơng trình logarit:
+ Đa về cùng cơ số;
+ Đặt ẩn phụ để giải phơng trình bậc hai;
+ Đặt ẩn phụ để giải phơng trình mũ;
+ Đa về dạng tích bằng 0;
+ Đáng giá: Dùng BĐT, Hàm số, đoán nghiệm và
chứng minh nghiệm duy nhất,
Một số ví dụ:
Bài 1. Giải các phơng trình sau:
a)
3 2 1
2 .3 .5 4000;
x x x+ +
=
b)
2 2 2 2

1 1 2
5 3 2 5 3
x x x x+

=

;
c)
2
2
3 ( 3) ;
x x
x x

=
d)
2 2
5 1 5
4 12.2 8 0
x x x x
+ =
;
e)
6.9 13.6 6.4 0;
x x x
+ =
ĐS: x = 1;
f)
(5 24) (5 24) 10;
x x

+ + =
ĐS: x = 1;
g)
( ) ( )
3
5 21 7 5 21 2
x x
x+
+ + =
;
g)
( 15) 1 4
x x
+ =
; ĐS: x = 2.
h)
3 2
2 3 7 14 2
x x x x
+ + =
;
Bài 2. Giải các phơng trình sau:
a)
2
log 2.log ( 6) 1
x
x + =
;
b)
2

log (9 2 ) 3
x
x + =
;
c)
2 2
3 7 2 3
log (4 12 9) log (6 23 21) 4
x x
x x x x
+ +
+ + + + + =
d)
2
2 2
log ( 1) log 6 2 ;x x x x+ =
e)
2 2
log log 3
27 30
x
x+ =
;
f)
5 7
log log ( 2);x x= +
g)
8
4
6 4

2log ( ) logx x x+ =
;
h)
2
3 2
log ( 3 13) logx x x =
;
i)
2 2
3 3
log ( 1) log 2x x x x x+ + =
;
j)
2
2
3
2
3
log 3 2
2 4 5
x x
x x
x x
+ +
= + +
+ +
;
Bài 3. Giải các hệ phơng trình sau:
a)
log (3 2 ) 2

log (3 2 ) 2
x
y
x y
y x
+ =



+ =


;
b)
2 2 2
3 3 3
3
log 3 log log
2
2
log 12 log log
3
x
x y y
y
x x y

+ = +

+ = +


c)
2 3
2 2
log ( ) log ( ) 1
3
x y x y
x y
+ + =


=

;
12
Ôn thi đại học cấp tốc Lơng Tuấn Gv THPT Trần Phú - Móng Cái
d)
2 2
2 2
(log log )( 1)
1
x y
e e y x xy
x y

= +

+ =


;
Một số bài luyện tập:
Bài 1: Cho phơng trình
0121loglog
2
3
2
3
=++ mxx
1) Giải phơng trình khi m=2.
2) Tìm m để phơng trình có ít nhất một nghiệm
thuộc
[ ]
3
3;1
.
HD: m thuộc [0;2]
Bài 2:



=+
=+
4loglog2
5)(log

24
22
2
yx
yx
đs (4,4)
Bài 3:
)4(log)1(log
4
1
)3(log
2
1
2
8
4
2
xxx =++
HD: ĐK x>0 Và x 1
ĐS x=2 ,
332 =x
.
Bài 4:
xxxx
3535
log.loglog.log +=
HD: dổi cơ số x=1 va x=15
Bài 5:
2 2
log ( ) log 3

2 2
9 3( ) (1)
3 3 6 (2)
xy
xy
x y y x

=


+ = + +


DH: lôgarit hai vế phơng trình (1) theo cơ số 3.
Bài 6:
x
x
=
+
)1(log
3
2
HD: ĐK x>-1
TH1: -1<x<=0 phơng trình vn.
TH2: x>0 dặt y=log
3
(x+1)
Suy ra
1
3

1
3
2
=






+






yy
PP hàm số.
Bài 7:
32
2
2
23
1
log xx
x
x
=

+
HD: VP <= 1 với x >0 BBT.
VT >=1 Côsi trong loggrit
ĐS x =1.
Bài 8:





=
+
+
=
+
y
yy
x
xx
x
22
24
452

1
23
ĐS (0,1) (2,4)
Bài 9: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm thuộc
[32, +)
( )
3log3loglog
2
4
2
2
1
2
2
=+ xmxx
HD: Đặt t =
2
log x
(t 5.)
2
0
1 3
1
3
m
m
t
m
t
>

<
+

=



Bài 10





=+
=
322
loglog
yx
xy
yxy
HD ĐK x,y>= và khác 1
BĐ (1) đợc
TH1: y=x thay vào (2) có nghiệm.
TH2:
2
1
y
x =

thay vào (2) CM vô nghiệm
chia thành 2 miền y >1 và 0<y<1.
Các bài tập tự luyện:
1)
x
x
x
x
2
3
323
log
2
1
3
loglog.
3
log +=

2)
( )
)112(log.loglog2
33
2
9
+= xxx
3)





=
=+
0loglog
034
24
xx
yx
ĐK x, y1 (1,1)(9,3)
4)

=+
=+
3)532(log
3)532(log
23
23
xyyy
yxxx
y
x
5)





=+
=
25
1)
1
(log)(log
22
4
4
1
xy
y
xy
KA 2004 (3,4)

6)
6)22(log).12(log
1
22
=++
+xx
. ĐS x=log
2
3.
7)
[ ]
1)69(loglog
3
=
x
x
8) Giải phơng trình
)2(log)12(log
2
2
2
3
xxxx +=++
9)





=

+=+
+
yx
xyyx
xyx 1
22
22
10)





=+
=+


06)(8
13).(
4
4
4
4
yx
xy
yx
yx
11) Tìm m để phơng trình
( )
0loglog4

2
1
2
2
=+ mxx

có nghiệm thuộc khoảng (0;1).
12) Giải hệ phơng trình:
2 2
1 1
1 1
log (1 2 ) log (1 2 ) 4
log (1 2 ) log (1 2 ) 2
x y
x y
y y x x
y x
+
+

+ + + + =


+ + + =


13
Ôn thi đại học cấp tốc Lơng Tuấn Gv THPT Trần Phú - Móng Cái
Bài 6: Bất phơng trình và hệ bất phơng
trình mũ - lôgarit

Một số kiến thức cần nhớ:
* Bất phơng trình mũ:
( ) ( )
1: ( ) ( )
0 1: ( ) ( )
f x g x
a f x g x
a a
a f x g x
> >

>

< < <

[ ] [ ]
( ) ( )
( ) 0
( ) ( )
[ ( ) 1][ ( ) ( )] 0
f x g x
h x
h x h x
h x f x g x
>

>

>

[ ] [ ]
( ) ( )
( ) 0
( ) ( )
[ ( ) 1][ ( ) ( )] 0
f x g x
h x
h x h x
h x f x g x
>

<

<

* Bất phơng trình logarit:
1: ( )
log ( )
0 1: 0 ( )
1: 0 ( )
log ( )
0 1: ( )
b
a
b
b
a
b
a f x a
f x b

a f x a
a f x a
f x b
a f x a

> >
>

< < < <


> < <
<

< < >

1: ( ) ( ) 0
log ( ) log ( )
0 1: 0 ( ) ( )
a a
a f x g x
f x g x
a f x g x
> > >

>

< < < <

( ) ( )

log ( ) log ( )
( ) 0
[ ( ) 1][ ( ) ( )] 0
f x f x
g x h x
f x
f x g x h x
>
>



>

Một số ví dụ:
Ví dụ 1. Giải các bất phơng trình sau:
a)
2
2
5 6
1 1
;
3
3
x
x x
+
+
>

b)
2
2
(4 2 1) 1
x x
x x

+ + >
;
c)
9 3 2 3 9
x x x
+ >
;
d)
2 2 2
2.49 9.14 7.4 0;
x x x
+

e)
1
2 2 1
0
2 1
x
x
x

+

;
Ví dụ 2. Giải các bất phơng trình sau:
a)
2
1 5
5
log ( 6 8) 2log ( 4) 0x x x + + <
;
b)
9
log log (3 9) 1
x
x

<

;
c)
1
2 1
2
log (4 4) log (2 3)
x x
x
+
+
;
d)

2 2
4 2
log (2 3 2) 1 log (2 3 2)x x x x+ + + > + +
;
e)
2
6 6
log log
6 12
x x
x+
;
Bài tập luyện tập:
Bài 1: Tìm k để hệ phơng trình sau có nghiệm
3
2 3
2 2
1 3 0 (1)
1 1
log log ( 1) 1 (2)
2 3
x x k
x x

<


+

HD: ĐK x > 1.
Giải (2) 1< x 2.
BBT: f(x) = (x -1)
3
-3x. ĐS k > -5
Bài 2:
06log)1(log2log
2
4
1
2
1
++ xx
Bài 3:
1))279.((loglog
3

x
x
Bài 4:
[ ]
0)2(loglog
2
2
4
<+
xxx

Bài 5:
06log)52(log)1(

2
1
2
2
1
++++
xxxx
HD
đặt t bằng log của x coi là phơng trình bậc
2 ẩn t.
Chú ý so sánh 2 trờng hợp t
1
,

t
2

ĐS (0;2] v (x

4)
Bài 6: Giải bất phơng trình
xx
x
22
log
2
3
log
2
1

22
Lấy logarit 2 vế theo cơ số 2.
Bài 7. Tìm m để phơng trình:

9 (2 1)6 .4 0 (1)
x x x
m m m + +
nghiệm đúng với mọi x [0; 1].
Bài 8: Giải bất phơng trình

0
1
)3(log)3(log
3
3
1
2
2
1
>
+
++
x
xx
Bài 9: Giải bất phơng trình

2
4 2
1 1
log ( 3 ) log (3 1)x x x

<
+
Bài 10. Giải bất phơng trình

3
3
1
29
2
2
2
2










xx
xx
Bài 11. Giải bất phơng trình:

2 1
2
1 1
9. 12

3 3
x x
+

+ >
ữ ữ

(1)
Tìm m để mọi nghiệm của (1) đều là nghiệm của
bất phơng trình:
2x
2
+ (m + 2)x + 2 - 3m < 0 (2)
Bài 12. Giải bất phơng trình:

2
lg( 6) 4 lg( 2)x x x x+ = + +
14
Ôn thi đại học cấp tốc Lơng Tuấn Gv THPT Trần Phú - Móng Cái
Bài 7. Đạo hàm và ứng dụng
Một số kiến thức cần nắm vững:
Các quy tắc tính đạo hàm.
Bảng đạo hàm của các hàm số thờng gặp.
Đạo hàm cấp cao.
1. Đạo hàm cấp n:
PP tính đạo hàm cấp n:
+ Bớc 1: Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3.
+ Dự đoán công thức tổng quát;
+ Chứng minh bằng quy nạp;
+ Kết luận.

* Một số công thức tính đạo hàm cấp n:
( )
1
1 1
( )
( )
( )
1 ( 1) . !
( )
( 1) ( 1)!
ln( )
( )
sin sin
2
cos cos
2
n n
n
n
n n
n
n
n
n
a n
y y
ax b ax b
a n
y ax b y
ax b

n
y x y x
n
y x y x


+


= =
+ +

= + =
+

= = +
ữ


= = +
ữ

Ví dụ 1. Cho hàm số y =
1
1 x
.
a) Tính y, y, y
b) Chứng minh rằng:
( )
1

!
(1 )
n
n
n
y
x
+
=

.
Ví dụ 2. Tính đạo hàm cấp n của hàm số:
a) y =
2
2
1
x
x
; b) y =
2
2008
5 6
x
x x +
.
2. ứng dụng của đạo hàm để chứng minh bất
đẳng thức:
PP: Để chứng minh f(x) > g(x) x (a; b) ta đặt
(x) = f(x) - g(x).
+ Xét xự biến thiên của hàm y = (x) trên (a; b).

+ Dựa vào sự biến thiên chứng tỏ rằng (x) > 0, x
(a; b).
* Chú ý: Đôi khi ta phải chọn hàm số (x) để có
điều cần chứng minh.
Ví dụ. Chứng minh rằng:
a) ln(1 + x) > x -
2
2
x
, x > 0.
b)
2
sin , (0; )
2
x
x x


>
.
HD:
a) Đặt f(x) = ln(1 + x) - x +
2
2
x
với x > 0.
Có
2
1
'( ) 1 0, 0

1 1
x
f x x x
x x
= + = > >
+ +
f(x) > f(0) = 0 với x > 0 đpcm.
b) Đặt f(x) =
sin 2x
x


với
(0; )
2
x


.
Có
2
cos sin
'( )
x x x
f x
x

=
.
Đặt g(x) = xcosx - sinx.

g(x) = -xsinx < 0 với
(0; )
2
x


g(x) là hàm NB
trên
(0; )
2

g(x) < g(0) với
(0; )
2
x


.
f(x) là hàm số NB trên
(0; )
2

f(x) > f(
2

) =
2

,
(0; )

2
x


.
Bài tập luyện tập:
Chứng minh các BĐT:
a) e
x
> x + 1 với x > 0; b) x > ln(1 + x) với x > 0.
c) (x + 1)lnx > 2(x - 1) với x > 1;
d) cosx 1 -
2
2
x
với x > 0; e) sinx x -
3
6
x
với x>0;
3. ứng dụng định nghĩa đạo hàm để tính giới
hạn.
0
0
0
0
( ) ( )
lim '( )
x x
f x f x

f x
x x


=

.
PP: Để tính giới hạn của hàm số bằng định nghĩa
đạo hàm tại một điểm ta làm theo các bớc:
+ Bớc 1: Đa giới hạn cần tính về đúng công thức:
0
0
0
( ) ( )
lim
x x
f x f x
x x



+ Bớc 2: Xét hàm số y = f(x). Tính f(x
0
), f(x) và
f(x
0
).
+ Bớc 3: Kết luận
0
0

0
0
( ) ( )
lim '( )
x x
f x f x
f x
x x


=

.
Chú ý: Một số trờng hợp ta phải biến đổi về dạng:
0
0
0 0
0
0
0
( ) ( )
'( )
lim
( ) ( )
'( )
x x
f x f x
x x f x
g x g x
g x

x x



=


.
Ví dụ. Tính các giới hạn:
a)
3
0
1 1
lim
x
x x
x

+
;
HD: Đặt f(x) =
3
1 1x x+
thì giới hạn có
dạng:
0
( ) (0)
lim
0
x

f x f
x



. Do đó:
15
Ôn thi đại học cấp tốc Lơng Tuấn Gv THPT Trần Phú - Móng Cái
3
0
1 1
lim '(0)
x
x x
f
x

+
=
.
Có
2
3
1 1
'( )
2 1
3 ( 1)
f x
x
x

= +

+
; f(0) =
1 1 5
3 2 6
+ =
Vậy
3
0
1 1 5
lim
6
x
x x
x

+
=
.
b)
3
4
7
9 1
lim
7
x
x x
x

+ +

; ĐS:
5
96

c)
3
1
(2 1) 3 9
lim
1
x
x x x
x

+ +

; ĐS:
4
3
d)
3
3
0
1 1
lim
1 cos
x

x x
x x

+ +
+
; ĐS:
5
2
.
HD:
3
3
3 3
0 0
1 1
1 1
lim lim
1 cos 1 cos
x x
x x
x x
x
x x x x
x

+ +
+ +
=
+ +
.

e)
3
0
1 2 1 3
lim
x
x x
x

+ +
; f)
3
2
2
1
5 7
lim
1
x
x x
x

+

;
4. ứng dụng đạo hàm để tìm GTLN, GTNN
* Bài toán 1: GTLN, GTNN của hàm số trên một
khoảng.
PP: + Lập BBT của hàm số trên khoảng cần tìm.
+ Nếu trên khoảng đó hàm số có duy nhất một

điểm cực tiểu thì đó là GTNN.
+ Nếu trên khoảng đó hàm số có duy nhất một
điểm cực đại thì đó là GTLN.
* Bài toán 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên
một đoạn.
PP: + Tìm TXĐ, tìm các điểm tới hạn x
1
, x
2
, x
3
,
của f(x) trên đoạn [a; b].
+ Tính f(a), f(x
1
), f(x
2
), , f(b).
+ Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số
trên rồi kết luận.
M =
[ ; ]
max ( )
a b
f x
, m =
[ ; ]
min ( )
a b
f x

* Bài toán 3: Xác định tham số để các phơng trình
hoặc bất phơng trình có nghiệm.
+ F(x) = m m [MaxF(X); minF(x)]
+ F(x) > m với mọi x . .<=> m < minF(x)
+ F(x) > m có nghiệm . .<=> m<MaxF(x) . . .
Chú ý: khi đổi biến phải tìm ĐK của biến mới
có thể sử dụng phơng pháp miền giá trị.
Các ví dụ
Bài 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số
1
1
2
+
+
=
x
x
y

trên đoạn [-1;2].
Bài 2: Tìm GTLN,GTNN của hàm số
x
x
y
2
ln
=

trên đoạn [1;e
3

].
Bài 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số
326
)1(4 xxy +=
trên đoạn [-1;1] .
Bài 4: Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm với
mọi x thuộc [-1/2;3]
)352()3).(21(
2
++>+ xxmxx
HD Đặt t=
)3).(21( xx +
Từ miền xác đinh của
x suy ra







4
27
;0t
.
Biến đổi thành f(t) = t
2
+ t > m + 2.
Tìm miền giá trị của VT m < -6.
Bài 5: Tìm a nhỏ nhất để bất phơng trình sau thoả

mãn với mọi x thuộc [0;1]
222
)1()1.( +++ xxxxa
HD Đặt t = x
2
+ x dùng miền giá trị suy ra
a = -1.
Bài 6: Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm
2 2
1 1x x x x m+ + + + =
HD: m 2.
Bài 7: Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm với
mọi x
4 2 2
3cos 5.cos3 36.sin 15cos 36 24 12 0x x x x m m
+ +

HD Đặt t = cosx BBT 0 m 2.
Bài 8: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm trên [-
/2; /2]
2
)cos1(2sin22 xmx +=+
Bài 9: Tìm GTLN, GTNN của hàm số
xxy 2cossin2
48
+=
HD : 3 và 1/27
Bài 10: Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2 2 (4 4 )
x x x x

y

= + +
với
0 x 1
.
Bài 11: Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
4 xxy +=
* PP tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng miền giá
trị của hàm số.
Ví dụ:
Tìm GTLN, GTNN của các hàm số:
a)
2
2
3
12
x
y
x x
+
=
+ +
; b)
2
8 3
1
x
y

x x

=
+
;
c)
2sin 1
cos 2
x
y
x
+
=
+
; d)
sin cos
sin 2cos 3
x x
y
x x

=
+ +
.
16
Ôn thi đại học cấp tốc Lơng Tuấn Gv THPT Trần Phú - Móng Cái
Bài 8: Tiếp tuyến, tiếp xúc và
tơng giao
1. Phơng trình tiếp tuyến của hàm số.
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C).

* Tiếp tuyến tại điểm M(x
0
; y
0
)

(C):
y - y
0
= f(x
0
)(x - x
0
).
* Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trớc:
+ Gọi x
0
là hoành độ tiếp điểm. Ta có f(x
0
) = k.
+Giải phơng trình ta tìm đợc x
0
, rồi tìm y
0
= f(x
0
)
Từ đó ta viết đợc phơng trình.
Chú ý: Nếu là tiếp tuyến và:
+ // d: y = ax + b k

= a.
+ d: y = ax + b k

= -1/a.
+ hợp với trục Ox một góc k

= tg().
+ hợp với tia Ox một góc k

= tg().
* Tiếp tuyến đi qua một điểm A(x
1
; y
1
).
Cách 1: Gọi x
0
là hoành độ tiếp điểm.
PTTT tại x
0
là: y = f(x
0
)(x - x
0
) + f(x
0
).
A TT y
1

= f(x
0
)(x
1
- x
0
) + f(x
0
).
Giải phơng trình ẩn x
0
rồi tìm f(x
0
), f(x
0
).
Cách 2: Đờng thẳng đi qua A có hệ số góc k có
phơng trình: y = k(x - x
1
) + y
1
.
là tiếp tuyến của (C) hệ PT sau có nghiệm:
1 1
( ) ( )
'( )
f x k x x y
f x k
= +

=

giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế để tìm k.
2. Điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị:
Đồ thị 2 hàm số y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc nhau
hệ phơng trình sau có nghiệm:
( ) ( )
'( ) '( )
f x g x
f x g x
=


=

nghiệm của hệ là hoành độ tiếp điểm.
Đặc biệt đồ thị hàm số y = f(x) tiếp xúc với trục Ox
hệ phơng trình sau có nghiệm.
3. Điểm cố định của họ đờng cong.
Điểm cố định là điểm có toạ độ (x
0
; y
0
) nghiệm
đúng phơng trình: y
0
= f(x
0
, m). Vì vậy: muốn tìm

điểm cố định mà họ đờng cong (C
m
) đi qua ta làm
theo hai bớc tuỳ theo dạng hàm số nh sau:
+ Đa phơng trình về dạng:
*
2
0
0 0
0
A
Am Bm C m B
C
=


+ + = =


=

*
0
0
0
A
Am B m
B
=

+ =

=

+ Giải hệ điều kiện trên ta tìm đợc điểm cố định.
4. Tiếp tuyến cố định
* PP:
Dạng 1: Họ đờng cong đi qua điểm cố định:
Ta tìm điểm cố định M(x
0
; y
0
), rồi chứng minh
f(x
0
) = hằng số với m.
Dạng 2: Họ đờng cong không đi qua điểm
cố định: áp dụng điều kiện tiếp xúc của đồ thị hai
hàm số, ta có hệ phơng trình sau có nghiệm với
mọi m:
( )
'( )
f x ax b
f x a
= +


=

.

5. Tơng giao
Hoành độ giao điểm của đồ thị 2 hàm số y = f(x) và
y = g(x) là nghiệm của phơng trình: f(x) = g(x).
Chú ý bài toán tìm số giao điểm của đồ thị hàm số
với trục hoành.
* Đồ thị hàm số y = ax
3
+ bx
2

+ cx + d cắt trục
hoành tại 3 điểm lập thành cấp số cộng hàm số
có 2 cực trị và điểm uốn nằm trên trục hoành
' 0
0
uốn
có hai nghiệm phân biệty
y
=


=

.
* Đồ thị hàm số y = ax
4
+ bx
2
+ c cắt trục hoành tại
4 điểm lập thành cấp số cộng phơng trình:

at
2
+ bt

+ c = 0 có 2 nghiệm dơng t
1
< t
2
thoả mãn
t
2
= 9t
1
.
Các bài tập luyện tập:
a) Các bài tập về phơng trình tiếp tuyến:
Bài 1. Cho hàm số y = x
3
- 2x
2
+ 2x có đồ thị là (C).
1) Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với
đờng thẳng y = -x +1.
2) Chứng minh rằng trên (C) không có 2 điểm mà
tiếp tuyến với (C) tại hai điểm này vuông góc với
nhau.
HD: 1) ĐS: y = x, y = x + 2/27.
2) CM: y > 0 với x.
Bài 2. Viết PTTT tại điểm uốn của đồ thị hàm số y
= x

3
- 3x
2
. CMR đây là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ
nhất trong các hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị.
HD: ĐS: y = -3x + 1.
CMR y - 3 với x.
Bài 3. Cho hàm số y = x
3
- 3x + 1. Viết PTTT với
(C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1; 6).
ĐS: y = 9x - 15.
Bài 4. Cho hàm số y =
1
2
x
x
+

. CMR tiếp tuyến tại
một điểm bất kì của đồ thị luôn cắt hai đờng tiệm
cận và tam giác tạo thành có diện tích không đổi.
HD: + Giao với TCĐ tại
0
0
4
(2; )
2
x
A

x
+

, giao với
TCN tại
0
(2 2;1)B x
.
Bài 5. Cho hàm số y = f(x) =
( )
( )
u x
v x
.
17
Ôn thi đại học cấp tốc Lơng Tuấn Gv THPT Trần Phú - Móng Cái
1) CMR hệ số góc của tiếp tuyến tại giao điểm x =
x
0
của đồ thị với trục hoành là k =
0
0
'( )
( )
u x
v x
.
2) Tìm m để đồ thị hàm số y =
2
2

2
x x m
x
+ +
+
cắt trục
hoành tại 2 điểm mà các tiếp tuyến của đồ thị tại 2
điểm này vuông góc với nhau.
ĐS: m = 2/5.
b) Các bài toán về tiếp tuyến cố định:
Bài 6. CMR đồ thị hàm số
2
2 (1 ) 1x m x m
y
x m
+ + +
=


luôn tiếp xúc với một đờng thẳng cố định tại một
điểm cố định.
HD: Điểm cố định (-1; -2). y(-1) = 1.
Bài 7. CMR với m0 thì đồ thị hàm số
( 1)m x m
y
x m
+ +
=
+
luôn tiếp xúc với một đờng thẳng

cố định.
HD: điểm cố định (0; 1), y(0) = 1.
Bài 8. Chứng minh rằng đồ thị hàm số
2
( 2) ( 2 4)m x m m
y
x m
+
=

luôn tiếp xúc với hai
đờng thẳng cố định.
HD: G/s tiếp tuyến cố định là y = kx + b. Ycbt
hệ:
2
4
1
4
( )
m kx b
x m
k
x m

= +

=



có nghiệm với
m
.
ĐS: y = x + 3, y = x - 5.
c) Các bài toán về tiếp xúc:
Bài 9. Tìm m để hàm số y = x
3
- 3mx + m + 1 tiếp
xúc với trục hoành.
ĐS: m = 1.
Bài 10. Cho (C): y= (x
2
- 1)
2
và (P): y = ax
2
- 3. Tìm
a để (C) và (P) tiếp xúc nhau. Viết PT các tiếp
tuyến chung của (C) và (P).
HD: a = 2, tiếp điểm là x =
2
.
Bài 11. Tìm m để (P): y = x
2
+ m tiếp xúc với đồ thị
hàm số:

2
1
1
x x
y
x
+
=

.
ĐS: k = -1.
d) Các bài toán về tơng giao:
Bài 12. Tìm m đề đồ thị hàm số y = x
3
- 3mx
2
+
4m
3
cắt trục hoành tại 3 điểm lập thành một CSC.
HD: m = 0, m =
1
2

.
Bài 13. Tìm m để đồ thị hàm số y = x
4
- 2(m + 1)x
2
+ 2m + 1 cắt trục hoành tại 4 điểm lập thành một

CSC.
ĐS: m = 4, m = -4/9.
Bài 14: Cho hàm số
)1(
1
)2(
2
+
++
=
x
mxmx
y
Tìm m để đờng thẳng y=-x-4 cắt đồ thị hàm số (1)
tại 2 điểm đối xứng nhau qua đờng thẳng y=x.
HD: Ycbt trung điểm đoạn thẳng thuộc đờng
thẳng y = x.
Bài 15: Cho hàm số
)1(
1
1

+
=
x
x
y
1) Tìm m để đờng thẳng D: y= 2x + m cắt (C ) tại
2 điểm phân biệt A,B sao cho tiếp tuyến của
(C ) tại A, B song song với nhau.

2) Tìm tất cả các điểm M thuộc (C ) sao cho
khoảng cách từ M đến giao điểm 2 đờng tiệm
cận là ngắn nhất.
Bài 16: Cho hàm số
)1(
1
12


=
x
x
y
Gọi I là giao điểm 2 đờng tiệm cận của (C ) Tìm
điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M vuông
góc với dờng thẳng IM.
Bài 17: Cho hàm số
)1(
1
2

++
=
x
mxmx
y
Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 2
điểm phân biệt có hoành độ dơng.
Bài 18: Cho hàm số
)1(1

24
+= mmxxy

Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 4
điểm phân biệt
Bài 19: Cho hàm số
)1(
1
22
2

+
=
x
xx
y
Tìm toạ độ 2 điểm A,B nằm trên (C ) và đối xứng
nhau qua đờng thẳng x - y - 4 = 0.
Bài 20: Cho hàm số
)1(4
24
mxxy +=
Giả sử đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.
Hãy xác định m sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ
thị (C) và trục hoành có diện tích phần phía trên và
phần phía dới đối với trục hoành bằng nhau.
HD: ĐK cắt 0<m<4 vẽ minh hoạ gọi x
1
, x
2

, x
3
,
x
4
, là nghiệm
S
trên
= S
duói
<=>
3
4
3
0
( ) ( )
x x
x
f x dx f x dx=

Vận dụng tính chất đối xứng , định ly viét m=20/9
Bài 21: Cho hàm số
)1(
2
92
2

+
=
x

xx
y
Xác định m để (d) y = m(x - 5) + 10 cắt đồ thị (C )
tại 2 điểm phân biệt nhận I(5;10) là trung điểm.
Bài 22. Cho hàm số
2
2 1
(1)
1
x x
y
x
+ +
=
+
CMR tích các khoảng cách từ M thuộc (C ) dến 2
tiệm cận của (C ) không phụ thuộc vào vị trí của M.

18
Ôn thi đại học cấp tốc Lơng Tuấn Gv THPT Trần Phú - Móng Cái
Các bài tập tự luyện:
Bài 1 (39.I): Cho y = x
3
+ 3x
2
+ 3x + 5.
1. CMR: Trên đồ thị không tồn tại hai điểm mà hai
tiếp tuyến tại đó vuông góc với nhau.
2. Tìm k để trên đồ thị có ít nhất một điểm mà tiếp
tuyến tại đó vuông góc với đờng thẳng y = kx.

Bài 2: Tìm các điểm M đồ thị hàm số y =
2
2
2
x x
x
+

sao cho tiếp tuyến tại M cắt các trục toạ
độ tại A và B tạo thành tam giác vuông cân OAB.
Bài 3 : Tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của y
= x
3
+ 3x
2
- 9x + 5.
Bài 4 : Viết tiếp tuyến với y = -x
3
+ 3x
2
biết tiếp
tuyến vuông góc với y =
1
9
x.
Bài 5: Viết pttt qua M(
2
3
; 1) với y = -x
3

+3x -1.
Bài 6:Viết pttt đi qua M(1 ; 0) với y =
2
1
1
x x
x
+ +
+
.
Bài 7: CMR trên đồ thị của y =
3 2
1
x
x
+

không có
tiếp tuyến nào đi qua giao hai tiệm cận.
Bài 8: Qua A(-2; 5) có mấy tiếp tuyến với y = x
3
-
9x
2
+ 17x + 2.
Bài 9. Tìm m để đồ thị hàm số y = (x - 1)(x
2
+ mx
+ m) tiếp xúc với trục hoành.
Bài 10. Cho hàm số

2
1
1
x x
y
x
+
=

. Xác định a để
hàm số tiếp xúc với Parabol y = x
2
+ a.
Bài 11. Cho hàm số
2
2 1
1
x x
y
x
+
=

có đồ thị là
(C). Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao
cho các tiếp tuyến ấy vuông góc với tiệm cận xiên.
Chứng minh rằng tiếp điểm là trung điểm của đoạn
thẳng tiếp tuyến bị chắn bởi hai đờng tiệm cận.
Bài 12. Cho hàm số
2

2x mx m
y
x m
+
=
+
có đồ thị là
C
m
. Tìm m để đồ thị (C
m
) cắt trục Ox tại hai điểm
và tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc với nhau.
Bài 13. Cho hàm số y = x
3
- 3x
2
+ 2 có đồ thị (C).
Qua A(1; 0) kẻ đợc mấy tiếp tuyến tới (C). Viết các
phơng trình tiếp tuyến ấy. Chứng minh rằng không
có tiếp tuyến nào của đồ thị song song với tiếp
tuyến qua A(1; 0).
Bài 14. Tìm m để đồ thị hàm số y = x
3
+ mx
2
+ 1
tiếp xúc với đờng thẳng d có phơng trình y = 5.
Bài 15. Tìm m để đờng thẳng y = m cắt đồ thị hàm
số y = x

4
- 2x
2
tại 4 điểm phân biệt.
Bài 16. Tìm m để đồ thị (C) của hàm số y =
1
1
x
x
+


cắt đờng thẳng d: y = mx + 1 tại 2 điểm thuộc 2
nhánh khác nhau của đồ thị.
Bài 17. Tìm m để đờng thẳng y = m cắt đồ thị (C)
của hàm số y =
2
3 3
2( 1)
x x
x
+

tại hai điểm A, B sao
cho AB = 1.
Bài 18. Tìm m để đờng thẳng y = m cắt đồ thị (C)
của hàm số y =
2
1
x mx m

x


tại hai điểm phân biệt
A, B sao cho OA OB.
Bài 19. Tìm m để đồ thị hàm số y = x
3
+ mx
2
- m
cắt trục hoành tại 3 điểm lập thành cấp số cộng.
Bài 20. Tìm m đề đồ thị hàm số y =
4
2
1
2 2
x
mx m+
cắt trục hoành tại 4 điểm lập
thành một cấp số cộng.
19
Ôn thi đại học cấp tốc Lơng Tuấn Gv THPT Trần Phú - Móng Cái
Bài 9. Tính đơn điệu và cực trị
Một số kiến thức cần nắm vững:
1. Tính đơn điệu của hàm số:
Hàm số y = f(x) ĐB/(a; b) f(x) 0 x (a; b).
Hàm số y = f(x) NB/(a; b) f(x) 0 x (a; b).
Chú ý:
Cho tam thức bậc 2: f(x) = ax
2

+ bx + c (a 0).
+ f(x) 0 x
0
0
a <




; f(x) 0 x
0
0
a >




f(x) có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn:
+ x
1
< x
2

0
( ) 0
2

af
S




>





>

+ x
1
< x
2

0
( ) 0
2
af
S




>

<

2. Cực trị của hàm số.
Cần nắm vững hai quy tắc để tìm cực trị.
* Cho hàm số y = f(x).
+ Hàm số đạt cực đại tại x = x
0

0
0
'( ) 0
''( ) 0
f x
f x
=


<

.
+ Hàm số đạt cực tiểu tại x = x
0

0
0
'( ) 0

''( ) 0
f x
f x
=


>

.
* Đối với hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d.
+ Hàm số có cực trị y = 0 có 2 nghiệm phân
biệt. Khi đó hàm số có một CT và một CĐ.
+ Khi chia y cho y ta đợc: y = y.g(x) + r(x).
Nếu x
0
là điểm cực trị thì y
CT
= r(x
0
) y = r(x)
chính là đờng thẳng đi qua 2 điểm cực trị.
* Đối với hàm số y = ax
4
+ bx
2
+ c:

+ Hàm số luôn có một điểm cực trị nằm trên trục
tung.
+ Vì y = 2x(2ax
2
+ b) nên hàm số có 3 cực trị
phơng trình 2ax
2
+ b = 0 có 2 nghiệm phân biệt
khác 0.
+ Do tính chất đối xứng nên nếu hàm số có 3 cực
trị thì luôn có 2 cực trị đối xứng nhau qua trục Oy.
* Đối với hàm số
2
' '
ax bx c
y
a x b
+ +
=
+
:
+ Hàm số có cực trị y = 0 có 2 nghiệm phân
biệt
'
'
b
a

. Khi đó hàm số có một CT và một CĐ.
+ Hàm số có 2 cực trị trái dấu

' 0
0
có 2 nghiệm phân biệt
vô nghiệm
y
y
=


=

+ Hàm số có 2 cực trị cùng dấu
' 0
0
có 2 nghiệm phân biệt
có 2 nghiệm phân biệt
y
y
=


=

+ Nếu hàm số đạt cực trị tại x
0
thì y(x
0
) =
0
2

'
ax b
a
+
.
+ Đờng thẳng đi qua 2 điểm cực trị là
2
' '
a b
y x
a a
= +
.
Một số ví dụ :
* Các ví dụ về tính đơn điệu của hàm số:
Ví dụ 1. Cho hàm số y = x
3
- 3x
2
+ mx + 1.
1) Tìm m để hàm số ĐB trên R.
2) Tìm m để hàm số ĐB với x > 1.
HD:
1) ĐK y 0 với x g(x) = 3x
2
- 6x + m 0
với x 0 9 - 3m 0 m 3.
2) ĐK y 0 với x > 1. Xét 2 trờng hợp:
+ TH1: 0 m 3 y 0 x y 0 với
x > 1.

+ TH2: >0 thì y 0 với x > 1 g(x) có 2
nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn: x
1
< x
2
1.
ĐS: m 3.
Cách 2: Dùng PP hàm số.
Ví dụ 2. Tìm m để hàm số y =
2 2
5 6
3
x x m
x
+ + +
+
ĐB
trên khoảng (1; +).
HD: Hàm số xác định với x(1; +).
2 2
2
6 9
'
( 3)
x x m
y

x
+ +
=
+
.
ĐK y 0 với x > 1 g(x) = x
2
+ 6x + 9 - m
2
0 với x > 1 m
2
x
2
+ 6x + 9 x > 1 m
2

mint(x) = x
2
+ 6x + 9 x > 1.


ĐS: -4 m 4.
Ví dụ 3. Tìm m để hàm số
2 2
2 3
2
x mx m
y
x m
+

=


đồng biến trên khoảng (1; +).
HD: Hàm số xác định với x > 1 2m 1 m
1/2.
2 2
2
4
'
( 2 )
x mx m
y
x m
+
=

.
ĐK y 0 với x > 1 g(x) = x
2
- 4mx + m
2

0 với x > 1. Xét 2 trờng hợp:
+ TH1: 0 m = 0.
+ TH2: >0 m < 2 -
3
.
20
Ôn thi đại học cấp tốc Lơng Tuấn Gv THPT Trần Phú - Móng Cái

* Các ví dụ về cực trị của hàm số:
Dạng 1. Tìm m để hàm số có cực trị:
Bài 1. Cho hàm số y = x
3
- 3x
2
+ 3(2m - 1)x + 1.
Tìm m để hàm số có CĐ và CT.
HD: y = 3x
2
- 6x + 3(2m - 1).
ĐK y = 0 có 2 nghiệm phân biệt
y
> 0
m > -1.
Bài 2. Cho hàm số:
y =
3 2 2
1
( 2) (5 4) 1
3
x m x m x m+ + + +
Tìm m để hàm số có CĐ, CT và x
1
< -1 <x
2
.
HD: ĐK 1.f(-1) < 0 m < -3.
Bài 3. Cho hàm số:
3 2 2 2

1
( 2) (3 1) 5
3
y x m m x m x= + + + + +
Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = -2.
HD: ĐK
'( 2) 0
''( 2) 0
y
y
=


>

. ĐS: m = 3.
Bài 4. Cho hàm số
3 2
1
1
3
y x mx x m= + +
.
Tìm m để hàm số có CĐ, CT và khoảng cách giữa
chúng là nhỏ nhất.
HD: y = x
2
-2mx - 1, y = 0 x
2
-2mx - 1 = 0 (1).

Có = m
2
+ 1 > 0 m hàm số luôn có CĐ và
CT.
Chia y cho y ta đợc:
2
1 2 2
'. ( ) ( 1) ( 1)
3 3 3
y y x m m x m= + + +
.
Gọi 2 điểm cực trị là: A(x
1
; y
1
), B(x
2
; y
2
) với x
1
, x
2
là nghiệm của (1) thì:
y
1
=
2
1
2 2

( 1) ( 1)
3 3
m x m + + +
;
y
2
=
2
2
2 2
( 1) ( 1)
3 3
m x m + + +
;
AB
2
= (x
2
- x
1
)
2
+ (y
2
- y
1
)
2
= (4m
2

+ 4)[1+
2 2
4
( 1)
9
m +
]
4 52
4(1 )
9 9
+ =
.
AB
2 13
3
; AB min m = 0.
Dạng 2. Biểu thức đối xứng của cực trị:
Bài 5. Tìm m để hàm số y =
2
3
4
x x m
x
+ +

có CĐ,
CT và
4
CD CT
y y =

.
HD: y =
2
2
8 12
( 4)
x x m
x
+

HS có CĐ và CT y = 0 có 2 nghiệm phân biệt
khác 4
4 0
4.
16 32 12 0
m
m
m
= >

<

+

Gọi (x
1
; y
1
), (x
2

; y
2
) là các điểm cực trị thì:
y
1
= -2x
1
+3, y
2
= -2x
2
+ 3.
2
1 2 1 2 1 2 1 2
4 2 4 ( ) 4 4y y x x x x x x
= = + =
m = 3.
Bài 6. Tìm m để hàm số y =
2
2 3 2
2
x x m
x
+ +
+
có
CĐ, CT và
12
CD CT
y y <

.
ĐS: m
9
0;
2

ữ

.
Bài 7. Tìm m để hàm số :
y =
2 2
( 1) 4 2
1
x m m m
x
+ +

có CĐ, CT và y
CĐ
.y
CT
là nhỏ nhất.
ĐS: y
CĐ
.y
CT
nhỏ nhất = -4/5 khi m = 7/5.
Bài 8. CMR hàm số y =
2

1
x mx m
x
+

luôn có CĐ,
CT và khoảng cách giữa chúng không đổi.
Dạng 3. Vị trí của CĐ và CT trong mặt phẳng
Oxy.
Bài 9. Cho hàm số
2 2
3 4 1
1
mx mx m m
y
x
+ + +
=

.
Tìm m để hàm số có CĐ, CT nằm về hai phía của
trục Ox.
HD:
2
2
2 5 1
'
( 1)
mx mx m
y

x
+
=

;
ĐK
' 0
0
có 2 nghiệm phân biệt
vô nghiệm
y
y
=


=

ĐS: 0 < m < 4.
Bài 10. Tìm m để hàm số y =
2
( 1) 1x m x m
x m
+ + +


có 2 cực trị cùng phía.
ĐK
' 0
0
có 2 nghiệm phân biệt

có 2 nghiệm phân biệt
y
y
=


=

.
Bài 11. Cho hs:
2 2 3
( 1) 4mx m x m m
y
x m
+ + + +
=
+
.
Tìm m để hàm số có CĐ, CT nằm ở góc phần t thứ
II và thứ IV.
HD:
ĐK
0
' 0
0
có 2 nghiệm trái dấu
vô nghiệm
m
y
y

<


=


=

.S:
1
5
m
<
.
Các bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho hàm số
)1(
1
22
2

+
=
x
mxx
y
Tìm m để hàm số (1) có 2 điểm cực trị A, B. CMR
khi đó đờng thẳng AB song song với đờng thẳng 2x
- y -10 = 0.
21

Ôn thi đại học cấp tốc Lơng Tuấn Gv THPT Trần Phú - Móng Cái
Bài 2: Cho hàm số
)1(3)(
3
xmxy =
Tìm m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm có
hoành độ x = 0.
Bài 3: Cho hàm số
)1(
312
22
mx
mmxx
y

++
=
Tìm m để hàm số có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía
của trục tung.
Bài 4: Cho hàm số
)1(12
224
+= xmxy
Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có 3 điểm cực trị là
3 đỉnh của một tam giác vuông.
Bài 5: Cho hàm số
)1(
1
1)1(
2

+
++++
=
x
mxmx
y
CMR với m bất kỳ đồ thị ( C
m
) luôn luôn có điểm
cực trị và khoảng cách giữa 2 điểm đó bằng
20
.
Bài 6: Cho hàm số:
)1(
)(2
4)12(
22
mx
mmxmx
y
+
+++++
=
Tìm m để hàm số có cực trị và tính khoảng cách
giữa hai điểm cực trị của đồ thị của hàm số.
Bài 7: Cho hàm số
2
(5 2) 2 1
(1)
1

x m x m
y
x
+ +
=

Tìm m để hàm số có cực trị và khoảng cách giữa
điểm CĐ,CT nhỏ hơn
2 5
.
Bài 8: Cho hàm số
)1(12
224
+= xmxy
.
1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm số khi
m=1
2) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có 3 điểm cực trị
là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân.
Bài 9: Cho hàm số y=
2
3( 1) 1
2
x m x m
x
+ + +
+
.
1) Khảo sát khi m =2.
2) Tìm m để hàm số đồng biến với x -2.

Bài 10: Cho hàm số y=mx
3
-(2m-1)x
2
+ (m-2)x - 2.
1) Khảo sát khi m = 1.
2) Tìm m để hàm số đồng biến với x.
Bài 11: Cho hàm số y =
2
2 3
1
x x m
x
+

.
1) Khảo sát khi m = 2.
2) Tìm m để hàm số đồng biến với x (3, +).
Bài 12: Cho hàm số y =
2
2 2x mx m
x m
+ +

.
1) Khảo sát khi m = 1.
2) Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng
xác định.
Bài 13: Cho hàm số y = (m + 2)x
3

+ 3x
2
+ mx - 5.
Tìm m để hàm số có cực trị.
Bài 14: Cho hàm số y = x
3
+ mx
2

+ 3mx + 5.
Tìm m để hàm số có cực trị.
Bài 15: Cho hàm số y = x
3
+ mx
2
+ 7x + 3.
1) Khảo sát khi m= 5.
2) Tìm m để hàm số có cực trị, viết phơng trình đ-
ờng thẳng đi qua hai điểm cực trị.
Bài 16: Cho hàm số y =
2 2
(2 ) 2 1mx m x m
x m
+

.
Tìm m để hàm số có 2 cực trị.
Bài 17: Cho hàm số y =
2 2
2 (1 )x m x m m

x m
+ +

.
Tìm m để hàm số có hai cực trị trái dấu.
Bài 18: Cho hàm số y =
2
1
mx x m
x
+ +
+
.
1) Khảo sát khi m = 1.
2) Tìm m để hàm số không có cực trị.
Bài 19: Cho hàm số y =
2
2 2
1
x x m
x m
+ +
+
.
Viết phơng trình đờng thẳng đi qua các điểm cực
trị.
Bài 20: Cho hàm số y =
2 2
2 2
1

x x m
x
+ + +
+
.
1) Khảo sát khi m= 0.
2) Tìm m để: đồ thị hàm số có hai điểm cực trị trái
dấu; khoảng cách từ cực tiểu và cực đại đến Ox
bằng nhau.
Bài 21: Cho hàm số y = x
4
- 2mx
2
+ m
4
. Tìm m để
hàm số có ba cực trị và các điểm cực trị tạo thành
một tam giác đều.
22
Ôn thi đại học cấp tốc Lơng Tuấn Gv THPT Trần Phú - Móng Cái
Bài 10. Biện luận số nghiệm của ph-
ơng trình bằng đồ thị
Một số kiến thức cần nắm vững:
Để biện luận số nghiệm phơng trình F(x, m) = 0 ta
có thể biến đổi về dạng: f(x) = g(m), trong đó y =
f(x) là hàm số đã khảo sát hoặc có thể dễ dàng
khảo sát còn y = g(m) là đờng thẳng phụ thuộc
tham số m.
Với phơng pháp này ta chú ý tới cách vẽ đồ thị các
hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối:

* Đồ thị hàm số y = f(|x|):
Đồ thị hàm số y = f(|x|) đợc suy ra từ đồ thị hàm số
y = f(x) bằng cách:
+ Giữ nguyên phần đồ thị phía bên phải trục Oy.
+ Bỏ phần đồ thị phía bên trái trục Oy và lấy đối
xứng phần bên phải qua trục Oy.
* Đồ thị hàm số y = |f(x)|:
Đồ thị hàm số y = |f(x)| đợc suy ra từ đồ thị hàm số
y = f(x) bằng cách:
+ Giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục Ox.
+ Bỏ phần đồ thị phía dới trục Ox và lấy đối xứng
phần phía dới qua trục Ox.
* Đồ thị hàm số
2
' '
ax bx c
y
a x b
+ +
=
+
đợc suy ra từ đồ
thị hàm số
2
' '
ax bx c
y
a x b
+ +
=

+
(1) bằng cách:
+ Giữ nguyên phần đồ thị hàm số (1) với
'
'
b
x
a
>
.
+ Bỏ phần đồ thị hàm số (1) với
'
'
b
x
a
<
và lấy đối
xứng phần đó qua trục Ox.
Bài tập áp dụng:
Bài 1. Khảo sát y = (x + 1)
2
(x - 1)
2
(C). Biện luận
số nghiệm của (x
2
- 1)
2
- 2m +1 = 0 (1).

HD: y = x
4
- 2x
2
+ 1.
Bài 2. Khảo sát y = x
3
-3x
2
+ 2. Biện luận số
nghiệm của PT: x
3
-3x
2
+ 2 = 2(
2
1m
m
+
).
HD:
2
1 1 1
2
+
= + +
m
m m
m m m

2
1
2
+

m
m

hoặc
2
1
2
+

m
m
.
Bài 3. Khảo sát y =
2
2
1
x x
x
+

. Biện luận số
nghiệm của:
cos
2
x - (m -1)cosx + m + 2 = 0 (1) (0 x ).

HD: Đặt cosx = t (-1 t 1) thì
(1) t
2
- (m -1)t + m + 2 = 0
2
2
1
+

t t
t
= m.
Bài 4. Khảo sát y =
2
2 2
x x
x
+

. Biện luận số nghiệm
của phơng trình:
2
2 2
x x
x
+

= m.
Bài 5. Khảo sát y =
2

3
2 2
x x
x


. Biện luận số
nghiệm của PT: x
2
+ 3x + 2kx - 1= 0 (1).
HD: (1)
2
3
2 2

=

x x
k
x
.
Bài 6. Khảo sát y =
2
1
1
x
x
+

. Biện luận số nghiệm

của PT
2
1
1
x
k
x
+
=

.
Bài 7. Khảo sát y =
2
1
1
x x
x
+

. Biện luận số
nghiệm của PT: x
2
- x - k
1x
+ 1 = 0. (1)
Bài 8. Khảo sát y = -x
3
+ 3x
2
- 2. Biện luận số

nghiệm: x
3
- 3x
2
+ m = 0.
Bài 9. Khảo sát y =
2
2 2 3
( 1)
x x
x
+

. Biện luận số
nghiệm của PT:
2
2 3 2
1
x x
x
+

= m.
Bài 10. Khảo sát y = 4x
3
- 3x - 1 (C). Tìm m để ph-
ơng trình
3
4 3x x m =
có 4 nghiệm phân biệt.

Bài 11. Cho hàm số
)1(
2
2
2

+
=
x
mxx
y
a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm
số khi m=1
b) Xác định m để hàm số (1) nghịch biến trên
đoạn [-1;0]
c) Tìm a để phơng trình sau có nghiệm:
2 2
1 1 1 1
9 ( 2).3 2 1 0
t t
a a
+ +
+ + + =
(2)
HD:
Đặt x =
2
1 1
3
t+

. Điều kiện x 3.
(2) x
2
- (a + 2)x + 2a + 1 = 0
2
2 1
2
x x
a
x
+
=

Xét hàm số
2
2 1
2
x x
y
x
+
=

trên [3; + ).
DS: m 4.
23
Ôn thi đại học cấp tốc Lơng Tuấn Gv THPT Trần Phú - Móng Cái
Bài 11. Tích phân - diện tích- thể tích
Một số kiến thức cần nắm vững:
1. Bảng nguyên hàm của các hàm số.

2. Các phơng pháp tính tích phân:
a) Phơng pháp đổi biến số:
* Loại 1:
Dạng:
2 2
a x dx




,
2 2
dx
a x




đặt x = asint.
Dạng:
2 2
dx
x a


+

đặt x = atgt,
2 2
( )

dx
ax b c


+ +


đặt
tgax b c t+ =
.
* Loại 2:
( ( )) '( ) .
b
a
f u x u x dx

Đặt t = u(x).
+ Nhiều khi phải biến đổi mới xuất hiện u(x)dx.
+ Ta cũng có thể biến đổi:

( ( )) '( ) ( ( )) ( ( ))
b b
a a
f u x u x dx f u x d u x=

b) Phơng pháp tích phân từng phần:
Dạng:
( )sin ,
b
a

P x xdx

( )cos ,
b
a
P x xdx

( ) ,
b
x
a
P x e dx


t u = P(x), dv = sinxdx (dv = cosxdx, dv = e
x
dx).
Dạng:
2 2
, ,
cos sin
b b
a a
x x
dx dx
x x

Đặt u = x, dv =
2
cos

dx
x
hoặc dv =
2
sin
dx
x
.
3. Một số tích phân thờng gặp:
a) Tích phân hữu tỉ:
( )
( )
b
a
P x
dx
Q x

P(x), Q(x) là các
đa thức.
+ Nếu bậc P(x) bậc Q(x) chia P(x) cho Q(x).
+ Nếu bậc của P(x) < bậc Q(x) dùng phơng pháp
đổi biến hoặc phơng pháp hệ số bất định.
b) Tích phân chứa các hàm số lợng giác.
+ Nắm vững các công thức biến đổi.
c) Tích phân hồi quy:
Dạng
sin ,
b
x

a
e xdx

cos .
b
x
a
e xdx

Đặt u = sinx (u = cosx), dv = e
x
dx. Tích phân từng
phần 2 lần.
Dạng:
sin(ln ) , cos(ln ) .
b b
a a
x dx x dx

t u = sin(lnx) (u = cos(lnx)), dv = dx. Tớch phõn
tng phn 2 ln.
d) Tích phân hàm số chẵn, lẻ:
Nếu y = f(x) liên tục trên đoạn [-a; a] và:
+ y = f(x) chẵn thì
0
( ) 2 ( )
a a
a
f x dx f x dx

=

.
+ y = f(x) lẻ thì:
( ) 0
a
a
f x dx

=

.
e) Tích phân dạng
( )
1
x
f x
dx
a



+

trong đó f(x) là
hàm số chẵn.
Cách giải: Tách thành 2 tích phân :
0
0
( ) ( ) ( )

1 1 1
x x x
f x f x f x
dx dx dx
a a a



= +
+ + +

Xét tích phân
0
( )
1
x
f x
dx
a


+

đổi biến số x = -t.
Kết quả ta đợc
0
( )
( )
1
x

f x
dx f x dx
a



=
+

.
f) Tích phân dạng:
0 0
( ) ( )
a a
f a x dx f x dx =

trong
đó f(x) là hàm số liên tục trên [0; a].
Đổi biến x = a - t.
Các ví dụ
Bài 1: Tính tích phân

+
=
1
0
2
3
1
dx

x
x
I
ĐS I =1/2(1-ln2).
Bài 2: Tính tích phân

+
=
3ln
0
3
)1(
dx
e
e
I
x
x
HD: đa về dạng

b
a
u du


. ĐS
12 =I
Bài 3: Tính tích phân

++=
0
1
3
2
)1( dxxexI
x
HD Tách thành 2 tích phân.
ĐS I=3/4e
-2
- 4/7
Bài 4: Tính tích phân

=
2
0
5
6
3
cos.sin.cos1

dxxxI

HD: t =
6 3
1 cos x

cos
3
x = 1- t

6
.
ĐS I =12/91
Bài 5: Tính tích phân

+
=
32
5
2
4.
1
dx
xx
I
HD: nhân cả tử và mẫu với x rồi đặt
4
2
+= xt
.
ĐS I=1/4.ln5/3
24
Ôn thi đại học cấp tốc Lơng Tuấn Gv THPT Trần Phú - Móng Cái
Bài 6: Tính tích phân

+
=
4
0
2cos1

dx
x
x
I
HD:Đa về dạng tích phân từng phần.
ĐS I =

/8-1/4.ln2
Bài 7: Tính tích phân

=
1
0
23
1 dxxxI

Bài 8: Cho hàm số
x
ebx
x
a
xf .
)1(
)(
3
+
+
=
Tìm a,b

biết rằng f(0) = -22 và

=
1
0
5)( dxxf

Bài 9: Tính tích phân

+
=
3
4
2
cos1.cos


dx
xx
tgx
I
HD: Biến đổi về dạng
3
2 2
4
cos . 1
tg
tg
x
I dx

x x


=
+

.
Đặt
2
1 tgt x= +
.
Bài tập áp dụng
1) Tính tích phân

+
=
3
1
3
1
dx
xx
I
2) Tính tích phân

+=
8ln
3ln
2
.1 dxeeI

xx
3) Tính tích phân

=
2
0
2
cos)12(

xdxxI
4) Tính tích phân

+
=
3
1
2
1ln
ln
e
dx
xx
x
I
5) Tính tích phân

+=
2
0
sin

cos)cos(

xdxxeI
x
6) Tính tích phân

+
+
=
2
0
2
4
4
1
dx
x
xx
I
7) Tính tích phân

+
+
=
7
0
3
1
2
dx

x
x
I
8) Tính tích phân

+=
4
0
sin
)cos(

dxxetgxI
x
9) Tính tích phân

=
3
0
2
sin

dxtgxxI
10) Tính tích phân

=
2
0
cos
.2sin

dxxeI
x
11) Tính tích phân

+
=

0
2
cos1
sin.
dx
x
xx
I
12) Tính tích phân

+
+
=
3
0
2
35
1
2
dx
x
xx
I

13) Tính tích phân

=
e
dxxxI
1
2
.ln
14) Tính tích phân
1
2 2
0
4 3I x x dx=

15) Tính tích phân
4
0
sin 2 cos
1 cos
x x
I dx
x

=
+

16) Tính tích phân:
1
4
2

1
sin
1
x x
I
x

+
=
+

17) Tính tích phân
2
sin
2 1
x
x
I dx



=
+

18) Tính tích phân
2
1
2 2
1
( sin )

x
I e x e x dx

= +

19) Tính tích phân
1
2
1
1
1
x
x
I dx
e


=
+

20) Tính tích phân
2
0
sin
4 cos
x x
I dx
x

=

.
4. Diện tích:
* Bài toán 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị 2 hàm số y = f(x), y = g(x) trên đoạn [a; b].
Trong đó phơng trình: f(x) - g(x) = 0 vô nghiệm
trên [a; b].
( ) ( )
b
a
S f x g x dx=

* Bài toán 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị 2 hàm số y = f(x), y = g(x) trên đoạn [a; b].
Trong đó phơng trình: f(x) - g(x) = 0 có ít nhất một
nghiệm x = x
0
trên [a; b].
0
0
( ) ( ) ( ) ( )
x
b
a x
S f x g x dx f x g x dx= +

* Bài toán 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị 2 hàm số y = f(x), y = g(x).
GPT: f(x) - g(x) = 0, đợc các nghiệm x = a, x = b.

( ) ( )
b
a
S f x g x dx=

5. Thể tích:
* Quay quanh Ox:
25