Tài liệu Chuyên đề ôn thi đại học môn Toán số 5: Elip pdf

CHUYÊN ĐỀ 5
ELIP
Các bài toán về elip chủ yếu qui về việc viết phương trình chính tắc của elip, xác đònh
các phần tử của elip (tâm, đỉnh, tiêu cự, độ dài trục lớn, trục nhỏ, tiêu điểm…), nhất là xác
đònh phương trình của tiếp tuyến cùng với tọa độ tiếp điểm. Trong mọi trường hợp ta cần nắm
vững kiến thức cơ bản sau đây :


. Elip (E) có tiêu điểm
trên
x
′
x
. Elip (E) có tiêu điểm
trên
y
′
y
Phương trình
chính tắc

Tiêu cự
Tiêu điểm
Trục lớn
Trục nhỏ
Đỉnh trên trục lớn
Đỉnh trên trục nhỏ
Tâm sai
Bán kính qua tiêu
Điểm của M

∈
(E)

Đường chuẩn
(E) :
2
2
x
a
+
2
2
y
b
= 1
a
2
> b
2
và a
2
– b
2
= c
2

2c
F
1
(–c, 0), F

2
(c, 0)
Trên Ox, dài 2a
Trên Oy, dài 2b
A
1
(–a, 0), A
2
(a, 0)
B
1
(0, –b), B
2
(0, b)
e =
c
a

11
22
M
M
rFMaex
rFMaex
==+
⎧
⎨
==−
⎩

12,
Δ
: x = ±
a
e

(E) :
2
2
x
a
+
2
2
y
b
= 1
a
2
< b
2
và b
2
– a
2
= c
2

2c

F
1
(0, –c), F
2
(0, c)
Trên Oy, dài 2b
Trên Ox, dài 2a
A
1
(0, –b), A
2
(0, b)
B
1
(–a, 0), B
2
(a, 0)
e =
c
b

11
22
M
M
rFMbey
rFMbey
==+
⎧
⎨

==−
⎩


12,
Δ
: y = ±
b
e

* Ghi chú :

1
Trường hợp elip có tâm I( ,
α
β
) hai trục cùng phương với 2 trục tọa độ thì phương trình
có dạng
()
2
2
x
a
− α
+
()
2
2
y
b

− β
= 1
Ta dời hệ trục tọa độ xOy đến XIY bằng phép tònh tiến theo
OI
JJG
để được phương trình
dạng chính tắc của elip là
2
2
X
a
+
2
2
Y
b
= 1 với
X x
Yy
= −α
⎧
⎨
= −β
⎩

để suy ra dễ dàng tọa độ các đỉnh và tiêu điểm.
. Tiếp tuyến với elip (E) :
2
2
x

a
+
2
2
y
b
= 1 tại tiếp điểm M
0
(x
0
, y
0
) có phương trình
0
2
xx
a

+
0
2
yy
b
= 1
. Trường hợp không biết tiếp điểm ta áp dụng tính chất :
: Ax + By + C = 0 tiếp xúc với elip
()
Δ
(E) :
2

2
x
a
+
2
2
y
b
= 1 a
2
A
2
+ b
2
B
2
= C
2
⇔
Thường ta viết phương trình của
( )
Δ
theo hệ số góc ở dạng
kx – y + c = 0 và lưu ý trường hợp
( )
Δ

⊥

x

′
x tức
()
Δ
: x = ± a
. Elip (E) :
2
2
x
a
+
2
2
y
b
= 1 có 2 tiếp tuyến cùng phương với Oy là
x = a. Ngoài 2 tiếp tuyến x = a, mọi tiếp tuyến khác với ( E) đều có dạng ± ±
y = kx + m hoặc dạng y = k ( x –x
0
) + y
0
nếu tiếp tuyến đi qua ( x
0
, y
0
) là điểm nằm ngoài
elip.
Ví dụ1 :

Cho elip (E) : x

2
+ 4y
2
– 40 = 0
a) Xác đònh tiêu điểm, hai đỉnh trên trục lớn, 2 đỉnh trên trục nhỏ và tâm sai của (E).
b) Viết phương trình tiếp tuyến với (E) tại điểm M
0
(–2, 3).
c) Viết phương trình tiếp tuyến với elip (E) biết nó xuất phát từ điểm M(8, 0).

2
d) Viết phương trình tiếp tuyến với (E) biết nó vuông góc với đường thẳng (D) : 2x – 3y
+ 1 = 0, tính tọa độ tiếp điểm.
Giải
a) Tiêu điểm, các đỉnh và tâm sai của (E)
(E) : x
2
+ 4y
2
– 40 = 0
⇔
2
x
40
+
2
10
y
= 1 có dạng
2

2
x
a
+
2
2
y
b
= 1
với a
2
= 40 > b
2
= 10 c
2
= a
2
– b
2
= 30 ⇒
a = 2⇒ 10 , b = 10 , c = 30
Vậy elip (E) có trục lớn trên Ox, hai tiêu điểm nằm trên trục lớn là
F
1
(– 30 , 0) , F
2
( 30 , 0).
Hai đỉnh trên trục lớn là A
1
(–2 10 , 0), A

2
(2 10 , 0)
Trục nhỏ của (E) nằm trên Oy với 2 đỉnh là B
1
(0, – 10 ), B
2
(0, 10 ).
Tâm sai của elip (E) là e =
c
a
=
30
210
=
3
2

b) Viết phương trình tiếp tuyến với (E) tại M
0
(–2, 3)
Ta có + 4 – 40 =
(
2
0
x
2
0
y
)
2

2
−
+ 4 – 40 = 0
()
2
3
M
0
(–2, 3)
∈
(E) : x
2
+ 4y
2
– 40 = 0 ⇒
Phương trình tiếp tuyến với (E) tại tiếp điểm M
0
(–2, 3) sẽ là:
⇒
x
0
x + 4y
0
y – 40 = 0 ⇔ –2x + 12y – 40 = 0
⇔ x - 6y + 20 = 0
c) Phương trình tiếp tuyến với elip phát xuất từ M(8, 0).
(E) có hai tiếp tuyến cùng phương với 0y là: x =
210± .Hai tiếp tuyến này không đi qua
M(8,0). Vậy pt tiếp tuyến
(

qua M(8, 0) có dạng:
)
Δ
y= k(x – 8)
⇔ kx – y – 8k = 0
()
Δ
tiếp xúc với elip (E) :
2
x
40
+
2
y
10
= 1
⇔ 40k
2
+ 10 = 64k
2


3
⇔ k
2
=
10
24
=
5

12
⇔ k = ±
5
23
= ±
15
6

Vậy có 2 tiếp tuyến với (E) qua M(8, 0) là :

15
6
x – y – 8
5
6
= 0 ⇔ 15 x – 6y – 8 5 = 0
hay –
15
6
x – y + 8
5
6
= 0 ⇔ 15 x + 6y – 8 5 = 0
d) Phương trình tiếp tuyến với (E) và vuông góc với (D)
(D) với (D) : 2x – 3y + 1 = 0
()
′
Δ
⊥
⇒ : 3x + 2y + C = 0

()
′
Δ
()
′
Δ
tiếp xúc (E) :
2
x
40
+
2
y
10
= 1
⇔ 40.9 + 10.4 = C
2
⇔ C
2
= 400
⇔ C = ± 20
Gọi M
0
(x
0
, y
0
) là tiếp điểm của tiếp tuyến
( )
′

Δ
với (E) thì
( )
′
Δ
:

0
xx
40
+
0
yy
10
= 1 ⇔ x
0
x + 4y
0
y – 40 = 0
Với C = 20 : 3x + 2y + 20 = 0 ⇒
()
′
Δ
⇒
0
x
3
=
0
4y

2
=
40
20
−

⇔
0
0
x6
y1
=−
⎧
⎨
=−
⎩
hay M
0
(–6, –1)
Với C = –20
(
⇒
)
′
Δ
: 3x + 2y – 20 = 0
⇒
0
x
3

=
0
4y
2
=
40
20
−
−

⇔ hay M
0
(6, 1).
0
0
x6
y1
=
⎧
⎨
=
⎩

4
Ví dụ2 :(ĐH KHỐI D-2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm C (2; 0) và elíp
(E) :
22
xy
1
41

+=
. Tìm tọa độ các điểm A, B thuộc (E), biết rằng hai điểm A, B đối xứng với
nhau qua trục hoành và tam giác ABC là tam giác đều
Giải

Giả sử A (a,
2
4a
2
−
) ∈ (E) ⇒ B (a, −
2
4a
2
−
) ∈ (E)
Và điều kiện: –2 < a < 2. Do A,B đối xứng qua Ox nên ta có:
ΔCAB đều ⇔ CA
2
= AB
2

⇔ (a – 2)
2
+
2
4a
4
−
= 4 – a

2
⇔ 7a
2
– 16a + 4 = 0
⇔ a = 2 (loại) hay a =
2
7
. Nên tọa độ của A và B là:
A
243
,
77
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
và B
243
,
77
⎛
−
⎜
⎜
⎝⎠
⎞
⎟
⎟
hoặc A
243

,
77
⎛⎞
−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
và B
243
,
77
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

Ví dụ3 :(ĐH KHỐI D-2002) :

Cho (E) :
9
y
16
x
2
2
+
= 1. Cho M di chuyển trên tia 0x, N di chuyển trên tia 0y sao cho đường
thẳng MN luôn tiếp xúc (E). Tìm tọa độ điểm M, N sao cho độ dài đoạn MN ngắn nhất. Tìm
độ dài đoạn ngắn nhất đó.
Giải

M (m, 0) ∈ tia Ox; N (0, n) ∈ tia Oy ⇒ n, m > 0
(E) :
9
y
16
x
2
2
+
= 1. MN : nx + my – n.m = 0
(MN) tiếp xúc (E) ⇔
1
n
9
m
16
22
=+

Ta có : MN
2
= m
2
+ n
2
.Theo BĐT BCS ta có
Ta có : 7 =
MNnm
n
9

m
16
n.
n
3
m.
m
4
22
22
=++≤+

MN nhỏ nhất ⇒
n
3
n
m
4
m
=
⇔
3
n
4
m
22
=

⇔ 3m
2

= 4n
2
và m
2
+ n
2
= 49 ⇔ m
2
= 28 và n
2
= 21
Do đó : MN nhỏ nhất ⇔ m =
72
và n =
21
(vì m, n>0)
⇒ M (
72
, 0); N (0,
21
). Khi đó min MN = 7.
Ví dụ4 :(ĐH KHỐI D-2005)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxy, cho elip (E):
1
4
y
9
x
22
=+

và đường thẳng d
m
: mx – y – 1 = 0.

5