5 kĩ thuật thường dùng để giải hệ phương trình ôn thi đại học

THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Biên soạn: Huỳnh Chí Hào

1

Chuyên đề LTĐH
TÀI LIỆU HUẤN LUYỆN
CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
THƯỜNG SỬ DỤNG
GIẢI ĐỀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC
Yêu cầu:
Học sinh đã thành thạo việc giải các hệ cơ bản: bậc nhất hai ẩn, đối xứng loại 1, đối
xứng loại 2, đẳng cấp. Các phương trình một ẩn: bậc nhất, bậc hai, bậc ba, các bậc
bốn đặc biệt, Thành thạo các phép biến đổi tương đương một phương trình: chuyển
vế, nhân chia hai vế, thay thế biểu thức, bình phương hai vế,
Chú ý:
Các bài toán giải hệ 2 ẩn đa phần đều quy về việc tìm một pt một ẩn giải được.


BỐN PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG

1. Phương pháp THẾ
Kỹ thuật 1: Rút một biến để thế
Cụ thể: Rút một ẩn từ phương trình nầy, thay vào phương trình kia để được phương trình một ẩn
giải được.
Ví dụ 1:

Hướng dẫn:

THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Biên soạn: Huỳnh Chí Hào

2

Ví dụ 2:

Hướng dẫn:

Kỹ thuật 2: Rút một biểu thức để thế
Cụ thể: Rút một biểu thức từ phương trình nầy, thay vào phương trình kia để được phương trình
một ẩn giải được.
Ví dụ 3:

Hướng dẫn:

Ví dụ 4:
THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Biên soạn: Huỳnh Chí Hào

3



Hướng dẫn:

Kỹ thuật 3: Thế hằng số bởi biểu thức
Ví dụ 1:

Hướng dẫn:

Ví dụ 2:

Hướng dẫn:
THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Biên soạn: Huỳnh Chí Hào

4


Ví dụ 3:

Bài giải:

2. Phương pháp CỘNG
Có thể: Cộng vế với vế, trừ vế với vế hoặc nhân cho một hằng số thích hợp rồi cộng hoặc trừ vế với vế
mục đích để tạo ra một phương trình mới có thể hỗ trợ cho việc giải hệ đã cho như: pt một ẩn, pt bậc nhất
hai ẩn, phương trình tích số,
Kỹ thuật 1: Tạo ta pt một ẩn
Ví dụ 1:

Hướng dẫn:

Kỹ thuật 2: Tạo ra pt bậc nhất hai ẩn
Ví dụ 2:



THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Biên soạn: Huỳnh Chí Hào

5

Hướng dẫn:

Kỹ thuật 3: Nhân hệ số thích hợp và cộng hoặc trừ vế với vế để tạo ra pt bậc nhất hai ẩn
Chú ý: Các hằng đẳng thức cơ bản sau
•
( )
2
2 2
2
a b a ab b
± = ± +

•

( )
3
3 2 2 3
3 3
a b a a b ab b
+ = + + +

•

( )
3
3 2 2 3
3 3
a b a a b ab b
− = − + −

Ví dụ 3:

Hướng dẫn:

Ví dụ 4:

Hướng dẫn:
THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Biên soạn: Huỳnh Chí Hào

6


3. Phương pháp đặt ẨN PHỤ

Kỹ thuật:

Biến đổi mỗi hệ sao cho có hai biểu thức giống nhau
Chú ý:
Các phép bi
ế
n
đổ
i t
ươ
ng
đươ
ng m
ộ
t ph
ươ

ng trình: chuy
ể
n v
ế
,
nhân chia hai vế
, thay th
ế
bi
ể
u
th
ứ
c,

Ví dụ 1:

Hướng dẫn:


Ví dụ 2:

Hướng dẫn:
THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Biên soạn: Huỳnh Chí Hào

7


4. Phương pháp biến đổi về pt TÍCH SỐ
Chú ý: Các phép biến đổi: tạo các biểu thức có nhân tử giống nhau, phân tích tam thức bậc hai

thành thừa số, bình phương,
Kỹ thuật 1: Biến đổi một pt của hệ thành tích số
Ví dụ 1:

Hướng dẫn:

Ví dụ 2:

Hướng dẫn:


THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Biên soạn: Huỳnh Chí Hào

8

Ví dụ 3:

Hướng dẫn:

Ví dụ 4:

Hướng dẫn:

Ví dụ 5:

Hướng dẫn:

Kỹ thuật 2: Cộng hoặc trừ vế với vế để biến đổi về pt tích số
Ví dụ 6:

Hướng dẫn:
THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Biên soạn: Huỳnh Chí Hào

9


Ví dụ 7:


Hướng dẫn:

THPT Chun Nguyễn Quang Diêu Biên soạn: Huỳnh Chí Hào

10



PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

I. Đònh nghóa : Cho hàm số y = f(x) xác đònh trong khoảng (a,b).
a) f tăng ( hay đồng biến ) trên khoảng (a,b)
⇔

∀
x
1

, x
2

∈
(a,b) : x
1
< x
2

⇒
f(x
1
) < f(x
2
)
b) f giảm ( hay nghòch biến ) trên khoảng (a,b)
⇔

∀
x
1
, x
2

∈
(a,b) : x
1
< x
2

⇒
f(x
1
) > f(x
2
)
II. Các tính chất :
1) Tính chất 1: Giả sử hàm số y = f(x) tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a,b) ta có :

f(u) = f(v)
⇔
u = v (với u, v
∈
(a,b) )

2) Tính chất 2: Giả sử hàm số y = f(x) tăng trên khoảng (a,b) ta có :

f(u) < f(v)
⇔
u < v (với u, v
∈
(a,b) )

3) Tính chất 3: Giả sử hàm số y = f(x) giảm trên khoảng (a,b) ta có :

f(u) < f(v)
⇔
u > v (với u, v
∈
(a,b) )

4) Tính chất 4:
Nếu y = f(x) tăng trên (a,b) và y = g(x) là hàm hằng hoặc là một hàm số giảm
trên (a,b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khỏang (a,b)
*Dựa vào tính chất trên ta suy ra :
Nếu có x
0

∈
(a,b) sao cho f(x
0
) = g(x
0
) thì phương trình f(x) = g(x) có nghiệm duy nhất trên (a,b)
Cụ thể:
•
Tính chất 4a: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C
có không quá một nghiệm trong khỏang (a;b).
( do đó nếu tồn tại x
0

∈
(a;b) sao cho f(x
0
) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương
trình f(x) = C)
•
Tính chất 4b : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là một hàm giảm trong khỏang
(a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) .
( do đó nếu tồn tại x

0

∈
(a;b) sao cho f(x
0
) = g(x
0
) thì đó là nghiệm duy nhất của phương
trình f(x) = g(x))

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:
x y 1 y 1 x 0
x 1 y 2

− + − − − =

+ − =


Bài giải:
Điều kiện
{
0 x 1
0 y 1
≤ ≤
≤ ≤

Khi đó:
( )
( )

( )
2
1
x 1 y 2
x 1 x y 1

y
3


⇔

+
− − = − −
− =



Xét hàm đặc trưng:
(
)
f t t 1 t
= − −
với
[
]
t 0;1
∈

THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Biên soạn: Huỳnh Chí Hào

11

Ta có:
( ) ( )
1 1
f ' t 0 t 0;1
2 t 2 1 t
= + > ∀ ∈
−
và f liên tục trên đoạn
[
]
0;1

Suy ra:
(
)
f t
đồng biến trên đoạn
[
]
0;1

Do đó:
(
)
(
)
(

)
f x f x y
2 y⇔
= ⇔ =

Thay
x y
=
vào phươ
ng trình (3) ta
đượ
c ph
ươ
ng trình:

( ) ( )
( )
2
x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 2 x 1 x 1
1
4x 1 x 1 4x 4x 1 0 x
2
+ − = ⇔ + − + − = ⇔ − =
⇔ − = ⇔ − + = ⇔ =

V
ậ
y nghi
ệ
m c

ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình là
1
x
2
1
y
2

=



=


Ví dụ 2:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình:

( )








=++
−=−
+
+
+
2
7
2
3
2
)2(342
2
2
1
2
8
1
2
yx
xy
yx
y
x

(*)
Bài giải
Điều kiện: 0;
≥
yx
(*)
( )





=++
+=+
⇔
+
+
+
+
732
43232
1
2
1
2
)4(
1
2
yx
yx

yx
y
x
(1)
Xét hàm
đặ
c tr
ư
ng:
2
1
( ) 2 3
t
f t t
+
= + với
[
)
0 ;t
∈ + ∞

Ta có:
( ) ( )
2
1
3
'( ) 2 .ln 2. 2 0 0;
2
t
f t t t

t
+
= + > ∀ ∈ +∞

và f liên t
ụ
c trên
[
)
0 ;
+ ∞

Suy ra: f(t) tăng trên
[
)
0;
+∞

Do đó: (1)




















=
=
⇔
=+
=
⇔
=+
=
⇔
5
1
5
4
1
4
)1()(
)4()(
y
x
yx
yx
fyxf

yfxf
. Vậy hệ phương trình có nghiệm là:
4
5
1
5
x
y

=




=



Ví dụ 3:


THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Biên soạn: Huỳnh Chí Hào

12


Ví dụ 4:


Bài giải:

THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Biên soạn: Huỳnh Chí Hào

13

ĐỀ TUYỂN SINH CÁC NĂM QUA
Bài 1:

Bài 2:

Bài 3:

Bài 4:

Bài 5:

Bài 6:

Bài 7:

Bài 8:

Bài 9:

Hết