bài tập bất đẳng thức hay và khó luyện thi đại học

NGUYỄN MINH NHIÊN – TRƯƠNG THPT QUẾ VÕ 1 – ĐT : 0976566882
2 2 2
a b c 3
+ + =
CÁC BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT NHỎ NHẤT
Bài 1 . Cho a,b,c dương và a+b+c=1 .Chứng minh rằng :

( )
3
2 2 2
a b c 10
abc
c a b
9 a b c
+ + + ≥
+ +

Bài 2 . Cho a,b,c dương thoả mãn : a+b+c=abc . Chứng minh rằng :

2 2 2
1 1 1
1 1 1 2 3
a b c
+ + + + + ≥

Bài 3 . Cho 3 sè d−¬ng a,b,c tho¶ mn :
9
a b c
+ + =

Chøng minh r»ng:

( )
2 2 2
7 7 7 7 3 3
1 1 1
6 2
a b c a b c
b c a
+ + + + + ≥ + + +

Bài 4. Cho a,b,c là các số dương chứng minh rằng :

2 2 2
2 2 2
3
2 2 2 2 2 2
a b c
2abc a b c
b c c a a b
 
+ + < + +
 
+ + +
 

Bài 5. Cho a,b,c là các số dương chứng minh rằng :
( )
3 a b c
a b c
2
b c c a a b

+ +
+ + ≥
+ + +

Bài 6. Cho a,b,c là các số dương thoả mãn : Tìm giá trị nhỏ nhất của

5 5 5
4 4 4
3 2 3 2 3 2
a b c
a b c
b c c a a b
+ + + + +
+ + +

Bài 7. Cho a,b,c là các số dương thoả mãn a+b+c=1 , chứng minh rằng :

1 1
30
1 2(ab bc ca) abc
+ ≥
− + +

Bài 8. Cho a,b,c là các số dương , chứng minh rằng :

2 2 2 2 2 2
a b c b c a
b c c a a b b c c a a b
+ + ≥ + +
+ + + + + +

Bài 9. Cho a,b,c là các số thuộc đoạn [0;1], tìm giá trị lớn nhất của :
P=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)
Bài 10. Cho a,b,c là các số thực khác 0 , chứng minh rằng :
NGUYỄN MINH NHIÊN – TRƯƠNG THPT QUẾ VÕ 1 – ĐT : 0976566882

( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2
a b c 3
5
a b c b c a c a b
+ + ≥
+ + + + + +

Bài 11. Cho a,b,c là các số dương và ab+bc+ca=1 . Chưng minh rằng :

3 3 3
1 1 1 1
6b 6c 6a
a b c abc
+ + + + + ≤

Bài 12. Cho x,y,z dương , chứng minh rằng :

( )
2
3 3 3
2 2 2

1 6 3
x y z x y z
x y z
+ ≥
+ + + +
+ +

Bài 13. Cho a,b,c là các số dương , chứng minh rằng :

2 2 2
a b c 3
2
ab b bc c ca a
+ + ≥
+ + +

Bài 14. Cho x,y,z là các số dương thoả mãn
3
x y z
2
+ + ≤
, tìm giá trị nhỏ nhất của :

2 2 2
1 1 1
M x y z
x y z
= + + + + +

Bài 15. Cho a,b,c dương và a+b+c=1 , chứng minh rằng :

2 2 2
a abc b abc c abc 1
c ab a bc b ac
2 abc
+ + +
+ + ≤
+ + +

Bài 16. Cho a,b,c dương chứng minh rằng :

3 2 3 2 3 2 2 2 2
a b c 1 1 1 1
a b b c c a 2 a b c
 
+ + ≤ + +
 
+ + +
 

Bài 17. Cho a,b,c là các số dương và abc=1 , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
a,
2 2 2 2 2 2
bc ca ab
A
a b a c b a b c c b c a
= + +
+ + +

b,

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
bc ca ab
B
a b a c b a b c c b c a
= + +
+ + +

Bài 18. Cho a,b dương chứng minh rằng :
3
3
3 3
1 a 1 a
b b
a b a b
+ + ≥ + +


NGUYỄN MINH NHIÊN – TRƯƠNG THPT QUẾ VÕ 1 – ĐT : 0976566882

Bài 20. Cho a,b,c thoả mãn : a+b+c=1 , chứng minh rằng :

a b c a b c
1 1 1 a b c
3
3 3 3 3 3 3
 
+ + ≥ + +
 
 

Bài 21. Cho tam giac ABC , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

2
4
6 1 tg A
2
64sin B 4 2
M
tg A 12sin B
+
+
=
+

Bài 22. Cho x,y dương thoả mãn x+y
≥
4 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

2 2
2
3x 4 2 y
A
4x y
+ +
= +

Bài 23. Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác . chứng minh rằng :

a b c b c a c a b a b c
+ − + + − + + − ≤ + +

Bài 24. Cho x,y,z là các số dương , chứng minh rằng :

3
x y z x y z
1 1 1 2 1
y z x
xyz
 
 
+ +
  
+ + + ≥ +
 
 
  
 
  
 
 

Bài 25. Cho x,y,z là các số dương thoả mãn :
3
x y z
2
+ + ≤
, tìm giá trị nhỏ nhất của :

( )
2
2 2 2

1 1
P x y 1 z
x y z
= + + + +

Bài 26. Cho x,y,z là các số dương , tìm giá trị nhỏ nhất của :

2 2 2
2 2 2
x y z
A
x 2yz y 2zx z 2xy
= + +
+ + +

Bài 27. Cho x,y là các số thực không âm thoả mãn : x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

2008 2008
A 1 x 1 y= + + +
Bài 28. Cho x,y,z dương thoả mãn xyz=1 , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

( ) ( ) ( )
3 3 3
1 1 1
A
x y z y z x z x y
= + +
+ + +

NGUYỄN MINH NHIÊN – TRƯƠNG THPT QUẾ VÕ 1 – ĐT : 0976566882

Bài 29. Cho a,b,c dương và a+b+c=1 , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

2 2 2
M a abc b abc c abc 9 abc
= + + + + + +
Bài 30. Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn :
1 1 1
1
x y z
+ + =
chứng minh rằng :

x yz y zx z xy xyz x y z
+ + + + + ≥ + + +
CÁC BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH , HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 31. Tìm các số thực dương x,y,z thoả mãn hệ :
1 4 9
3
x y z
x y z 12

+ + =



+ + ≤


Giải các hệ sau :

Bài 32.
(
)
(
)
x y
2 2
2 2 y x xy 2
x y 2

− = − +


+ =



Bài 33
(
)
(
)
2 2
ln 1 x ln 1 y x y
x 12xy 20y 0
 + − + = −


− + =




Bài 34.
3 3 2
2 2
2 2
2
2
x y 6y 3x 9y 2 0
1 x 1 x
log log 2 0
y 4y 5
2 4y y 3

− + − − + =

− +

+ + =

− +
+ − −


Bài 35.
2 y 1
2 x 1
x x 2x 2 3 1
y y 2y 2 3 1
−

−

+ − + = +


+ − + = +



Bài 36.
2 2
2
8xy
x y 16
x y
x y x y

+ + =

+


+ = −


Bài 37.
( ) ( )
2 2
2
y x

2
3 2
x 1
e
y 1
3log x 2y 6 2log x y 2 1
−

+
=

+


+ + = + + +


NGUYỄN MINH NHIÊN – TRƯƠNG THPT QUẾ VÕ 1 – ĐT : 0976566882
Bài 38 .
3
2 2
x y 1 x y 5
x xy 4 y xy 4 12

+ + + + =


+ + + + + =



Bài 39 .
10 10 4 4
x y
xy
y x
x y 8x y

+ =



+ =


Bài 40.
2
3
2
3
x 1 y 6 y 1
y 1 x 6 x 1

− + + = −


− + + = −



Còn nữa…………………………………………