bài 1 định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Giáo viên: Nguyễn Minh Trường
Trường THPT Hòn Đất
Hòn Đất – Kiên Giang

Nội dung Tiết 1

Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Quan hệ giữa sự tồn tại đạo hàm và tính liên tục
của hàm số

Bài tóan về vận tốc tức thời
Một chiếc xe X chuyển động thẳng khởi hành từ điểm A.
Quãng đường s (mét) đi được của chiếc xe X là một hàm
số của thời gian t ( phút ). Ở những phút đầu tiên, hàm số
là s = t
2

Hãy tính vận tốc trung bình của chuyển động
trong khỏang [ t; t
0
] với t
0
= 3 và t = 2 ; t = 2,5; t = 2,9
+ Công thức tính vận tốc ?
s
v
t

=
+Hãy tính s và v ?
0 0
( ) ( );s s t s t v t t
= − = −
Ta có:
+ Tìm vận tốc v tại thời
điểm t
0
?
0
0
0
0
( ) ( )
( ) lim
t t
s t s t
v t
t t
→
−
=
−
Công thức tính vận tốc :
vận tốc v tại thời điểm t
0
:

Vận tốc tức thời Cường độ dòng

điện tức thời
Tốc độ phản ứng
hóa học tức thời
0
0
0
( ) ( )
( ) lim
t t
s t s t
v t
t t
→
−
=
−
0
0
0
( ) ( )
( ) lim
t t
Q t Q t
I t
t t
→
−
=
−
0

0
0
( ) ( )
( ) lim
t t
f t f t
C t
t t
→
−
=
−
0
0
0
( ) ( )
'( ) lim
x x
f x f x
f x
x x
→
−
=
−
MỘT SỐ ĐẠI LƯỢNG TRONG VẬT LÍ , HÓA HỌC

•
Định nghĩa đạo hàm tại một điểm (SGK)
Cho xác định trên và

nếu tồn tại
thì giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm số tại x
0

và kí hiệu là f’(x
0
) (hoặc y’(x
0
)) tức là:

( )y f x=
( , )a b
0
( , )x a b
∈
0
0
0
0
( ) ( )
'( ) lim
x x
f x f x
f x
x x
→
−
=
−
0

x x x
∆ = −
0
x x x
= + ∆
0 0
( ) ( )y f x x f x
∆ = + −
0
0
0 0
( )
'( ) lim lim
x x
f x x
y
y x
x x
∆ → ∆ →
+ ∆
∆
= =
∆ ∆
0
0
0
( ) ( )
lim
x x
f x f x

x x
→
−
−
Đặt ta có và


Quy tắc tính đạo hàm của hàm số tại một điểm
Bước 1 :
Giả sử là số gia của ,tính
Bước 2 :
Lập tỉ số
Bước 3 : Tính
x∆
0 0
( ) ( )y f x x f x∆ = + ∆ −
0
x
y
x
∆
∆
0
lim
x
y
x
∆ →
∆
∆

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = tại điểm x
0
= 2
1
x
Giải
Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x
0
= 2.
ta có:
1 1
(2 ) (2) ;
2 2 2(2 )
x
y f x f
x x
= + − = − = −
+ +
V
V V
V V
1
;
2(2 )
y
x x
= −
+
V

V V
0 0
1 1
lim lim
2(2 ) 4
x x
y
x x
→ →
−
= = −
+
V V
V
V V
Vậy f’(2) =
1
4
−

4/ Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục
của hàm số:
Định lí:
Định lí: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x
0
thì nó
liên tục tại điểm đó.
Chú ý: SGK
5/ Ý nghĩa hình học của đạo hàm

b) Ý nghĩa hình học của đạo hàm:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khỏang ( a; b ) và có đạo
hàm tại x
0
∈( a;b). Gọi ( C) là đồ thị hàm số đó.
ĐLí: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x
0
là hệ số
góc của tiếp tuyến M
0
T của ( C ) tại điểm M
0
( x
0
; f(x
0
))

c) Phương trình tiếp tuyến:
Định lí 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) của hàm
số y = f( x) tại điểm M
0
( x
0
; f( x
0
) ) là:
y - y
0
= f’(x

0
)(x – x
0
) , trong đó y
0
= f(x
0
)
Ví dụ: Cho (P): y = - x
2
+3x – 2
Viết phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm có x
0
= 2
Giải
Ta có:
2
- -
1
y
x x
x
x x
⇒ = = − −
V
V V
V
V V
2
y x x

= − −V V V
0 0
lim lim( 1) 1
x x
y
x
x
→ →
= − − = −
V V
V
V
V
⇒
Đạo hàm của hàm số :
y = - x2 +3x – 2 tại điểm
x
0
= 2 là: f’(2) = -1
Do đó, hệ số góc của tiếp
tuyến là : - 1 và y(2) = 0
Vậy phương trình tiếp tuyến
của (P) tại điểm M
0
(2;0) là:
y - y
0
= f’(x
0
)(x – x

0
)
y – 0 = (-1).(x – 2)
hay : y = - x + 2
Ta có công thức:
y - y
0
= f’(x
0
)(x – x
0
)
Các em tính f’(x
0
) trước
và cách tính ntn ?
2s
4s
8s
16s
18s
14s
12s
10s
20s
Baét ñaàu

`
II. ĐẠO HÀM TRÊN MỘT KHỎANG
Định nghĩa: Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên

khỏang (a; b) Nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên
khỏang đó.Khi đó ta gọi hàm số f’: (a;b) →R
x f’(x)
Là đạo hàm của hàm số y = f(x) trên khỏang (a; b),
kí hiệu là: y’ hay f’(x)
Ví dụ: Hàm số y = x
2
có đạo hàm y’ = 2x trên khỏang
( - Q;+Q)
Hàm số y = có đạo hàm y’ = trên các
khỏang ( -Q;0);(0;+Q)
1
x
2
1
x
−

BÀI TẬP
1/Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số
y = f(x) =x
2
+ x ; x
0
=1
Giả sử ∆ x là số gia của đối số tại x
0
=1
∆ y=f(1+∆x )-f(1)
=(1+ ∆ x)

2
+ 1+ ∆ x -1-1
=1+2 ∆ x + ∆ x
2
+ ∆ x -1
= ∆ x
2
+ 3∆ x
3
3
2
+∆=
∆
∆+∆
=
∆
∆
x
x
xx
x
y
3)3(limlim
=+∆=
∆
∆
→∆→∆
x
x
y

oxox
Vậy f’(1)=3


2/Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y=x
3

tại điểm có tọa độ (-1,-1)
Dùng định nghĩa đạo hàm tính đạo hàm của hàm
số tại x=-1
f
/
(-1)=2
Phương trình tiếp tuyến là:
y-y
0
=f
/
(-1)(x-x
0
)
⇔
y+1=2(x+1)
⇔
y=2x+3