hình học tọa độ hay ôn thi đại học

Vận dụng phương trình tham số của đường thẳng vào bài toán :
" Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. "
A. Các bài toán về hình chiếu vuông góc:
Bài toán 1: Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M = (6; -1; -5) trên mp(P):
2x + y -2z - 3 = 0.
Nhận xét: Bài toán này ta viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với
mp(P). Khi đó hình chiếu H là giao điểm của d và mp(P)
Hướng dẫn giải: Đường thẳng d qua M và vuông góc với mp(P) có phương trình:





−−=
+−=
+=
tz
ty
tx
25
1
26

Gọi H = d
∩
(P). Ta có H
∈
d
⇒
H(6 + 2t; -1 +t; -5-2t)
Vì H

∈
(P)
⇔
2(6+2t) + (-1+t) - 2(-5-2t) - 3 = 0
⇔
t = -2
Vậy H(2; -3; -1)
Bài toán 2: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d:





+−=
−−=
+=
tz
ty
tx
35
21
46

)( Rt ∈
trên mp(P): 2x + y - 2z - 3 = 0.
Nhận xét: Ta có d // (P) nên ta lấy M
∈
d, tìm hình chiếu của M trên (P), khi đó hình
chiếu của đường thẳng d trên mp(P) là đường thẳng qua H và song song với d.
Hướng dẫn giải:

Ta có: d qua điểm M(6; -1; -5), có VTCP
u
= (4; -2; 3)
mp(P) có VTPT
n
= (2; 1; -2)

u
.
n
= 0 và M
∉
(P) nên: d // (P)
Gọi H là hình chiếu của M trên (P) suy ra: H(2; -3; -1) (Bài toán 1)
Hình chiếu của d trên (P) là đường thẳng qua H và song song với d nên có phương
trình :





+−=
−−=
+=
tz
ty
tx
31
23
42

Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 1
d
P
M
H
d
H
M
(P)
Vận dụng phương trình tham số của đường thẳng vào bài toán :
" Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. "
Bài toán 3: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d:





+−=
+−=
−=
tz
ty
tx
55
21
56

)( Rt ∈
trên mp(P): 2x + y - 2z - 3 = 0.

Nhận xét: Ta có d cắt (P) nên tìm giao điểm A của d và (P) sau đó lấy M
∈
d, tìm
hình chiếu H của M trên (P), khi đó hình chiếu của đường thẳng d trên mp(P) là đường
thẳng qua H và có VTCP
AH
.
Hướng dẫn giải:
Gọi A là giao điểm của d và (P).
Ta có: A
∈
d suy ra: A(6-5t; -1+2t; -5+5t)
Vì A
∈
(P)
⇔
2(6-5t) + (-1+2t) - 2(-5+5t) - 3 = 0

⇔
t = 1
Do đó A(1; 1; 0)
Ta lại có: M(6; -1; -5)
∈
d
Gọi H là hình chiếu của M trên (P) suy ra: H(2; -3; -1). (bài toán 1)
Hình chiếu của d trên (P) là đường thẳng qua H và có VTCP
AH
= (1; -4; -1)
nên có phương trình :






−−=
−−=
+=
tz
ty
tx
1
43
2

)( Rt ∈
Bài toán 4: Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm M(-1; -2; 4) trên đường thẳng d:





+=
−=
+−=
tz
ty
tx
1
22
32

Nhận xét: Bài toán này ta lấy H
∈
d, khi đó H là hình chiếu của M trên đường
thẳng d khi và chỉ khi
u
r
.
MH
uuuur
= 0 (
u
r
là VTCP của d)
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d có VTCP
u
r
= (3; -2; 1).
Gọi H
∈
d suy ra: H(-2+3t; 2-2t; 1+t) nên:
Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 2
d
H
M
A
d
H
M

(P)
Vận dụng phương trình tham số của đường thẳng vào bài toán :
" Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. "

MH
uuuur
=(-1+3t; 4-2t; -3+t)
H là hình chiếu của M trên d
⇔

u
r
.
MH
uuuur
= 0

⇔
3(-1+3t) - 2(4-2t) + (-3+t) = 0
⇔
t = 1
Vậy H(1; 0; 2)
Kết luận: Từ 4 bài toán nêu ra ta thấy, với các bài toán dạng này, ta lấy điểm cho
trước hoặc chọn điểm trên đường thẳng cho trước sau đó dựa vào quan hệ vuông góc giữa
điểm với đường thẳng, đường thẳng với mặt phẳng để tìm hình chiếu vuông góc của điểm
đó trên đường thẳng hay mặt phẳng. Từ đó kết luận (nếu bài toán tìm hình chiếu) hoặc viết
phương trình hình chiếu dựa vào hình chiếu vừa tìm và vị trí tương đối của đường và mặt.
Một số bài tập tham khảo:
Bài 1: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d:
1

3
3
2
2
1 −
=
+
=
− zyx
trên mỗi mặt phẳng tọa độ.
Bài 2: Cho đường thẳng d :





+=
+=
=
tz
ty
tx
23
48
và mặt phẳng (P): x + y + z - 7 = 0. Viết
phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mp(P).
Bài 3: Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M(1; -1; 2) trên mặt
phẳng (
α
) : 2x - y + 2z + 11 = 0.

Bài 4: Cho đường thẳng d và mặt phẳng (
α
) có phương trình: d:
5
1
3
1
2
2 −
=
+
=
− zyx
; (
α
): 2x + y + z- 8= 0. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d
trên (
α
)
Bài 5: Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A(1; -1; 3) trên đường
thẳng d :
2
3
2
x
y t
z t
=



= −


=


B. Các bài toán về đối xứng:
Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 3
Vận dụng phương trình tham số của đường thẳng vào bài toán :
" Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. "
Bài toán 5: Tìm tọa độ điểm M
'
đối xứng với điểm M(6; -1; -5) qua mp(P):
2x + y - 2z - 3 = 0.
Nhận xét: Bài toán này ta viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với
mp(P), lấy M
'
∈
d (M
'
≠
M)

, khi đó M
'
đối xứng với M qua (P) khi và chỉ khi d(M;
(P))=d(M
'
;(P))
Hướng dẫn giải: Đường thẳng d qua M và vuông góc với mp(P) có phương trình:






−−=
+−=
+=
tz
ty
tx
25
1
26
Gọi M
'
(6+2t; -1+t; -5-2t)
∈
d và M
'
≠
M
⇒

t
≠
0
M
'
đối xứng với M qua (P)

⇔
d(M;(P))=d(M
'
;(P))

⇔

3
189
3
18 +
=
t


⇔
t = - 4
∨
t = 0 (loại)
Vậy M
'
(-2; -5; 3)
Bài toán 6: Viết phương trình đường thẳng d
'
đối xứng với đường thẳng d:






+−=
−−=
+=
tz
ty
tx
35
21
46
qua mp(P): 2x + y - 2z - 3 = 0.
Nhận xét: Ta có d // (P) nên ta lấy M
∈
d, tìm M
'
đối xứng với điểm M qua (P), khi
đó đường thẳng d
'
qua M
'
và song song với d.
Hướng dẫn giải:
Ta có: d qua điểm M(6; -1; -5), có VTCP
u
= (4; -2; 3)
mp(P) có VTPT
n
= (2; 1; -2)

u
.

n
= 0 và M
∉
(P) nên: d //(P)
Gọi M
'
đối xứng với điểm M qua (P) suy ra: M
'
(-2; -5; 3).( bài toán5)
Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 4
M'
M
d
(P)
d'
M'
M
d
(P)
Vận dụng phương trình tham số của đường thẳng vào bài toán :
" Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. "
Đường thẳng d
'
qua M
'
và song song với d nên có phương trình:






+=
−−=
+−=
tz
ty
tx
33
25
42

Bài toán 7: Viết phương trình đường thẳng d
'
đối xứng với đường thẳng d:





+−=
+−=
−=
tz
ty
tx
55
21
56
qua mp(P): 2x + y - 2z - 3 = 0.
Nhận xét: Ta có d cắt (P) nên tìm giao điểm A của d và (P) sau đó lấy M

∈
d, tìm M
'
đối xứng với điểm M qua (P), khi đó đường thẳng d
'
qua M
'
và có VTCP
'
AM
.
Hướng dẫn giải:
Gọi A là giao điểm của d và (P).
Ta có: A
∈
d suy ra: A(6-5t; -1+2t; -5+5t)
A
∈
(P)
⇔
2(6-5t) + (-1+2t) - 2(-5+5t) - 3 = 0

⇔
t = 1
Do đó A(1; 1; 0)
Ta lại có: M(6; -1; -5)
∈
d
Gọi M
'

đối xứng với điểm M qua (P)
suy ra: M
'
(-2;-5;3) ( bài toán5)
Đường thẳng d
'
qua M
'
, có VTCP
'
AM
= (-3; -6; 3) = 3(-1; -2; 1) nên có phương trình:





+=
−−=
−−=
tz
ty
tx
3
25
2

)( Rt ∈
Bài toán 8: Tìm tọa độ điểm A
/

đối xứng với A(1 ; -2 ; -5) qua đường thẳng d có
phương trình :





=
−−=
+=
tz
ty
tx
2
1
21
Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 5
A
M
'
d
M
d
'
(P)
Vận dụng phương trình tham số của đường thẳng vào bài toán :
" Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. "
Nhận xét: Bài toán này ta lấy H
∈
d, H là hình chiếu của A lên đường thẳng d khi

và chỉ khi
u
r
.
AH
uuur
= 0 (
u
là VTCP của d), ta có H là trung điểm của AA
/
từ đó suy ra tọa
độ của A
/

Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d có VTCP
u
r
= (2; -1; 2).
Gọi H
∈
d suy ra: H(1+2t ; -1-t ; 2t)
nên:
AH
uuur
=(2t ; 1-t ; 2t-5)
H là hình chiếu của A trên d
⇔

u

r
.
AH
uuur
= 0

⇔
2(2t) - (1- t) + 2(2t + 5) = 0
⇔
t = -1
suy ra: H(-1;0;-2)
Ta có H là trung điểm của AA
/
nên:





=
=
−=
1
2
3
/
/
/
A
A

A
z
y
x
Vậy: A
/
(-3 ; 2 ; 1).
Kết luận: Từ 4 bài toán nêu ra ta thấy, với các bài toán dạng này, ta lấy điểm cho
trước hoặc chọn điểm trên đường thẳng cho trước sau đó tìm điểm đối xứng của điểm đó
qua đường thẳng hay mặt phẳng. Từ đó kết luận (nếu bài toán tìm điểm đối xứng) hoặc viết
phương trình đường thẳng đối xứng dựa vào điểm đối xứng vừa tìm được và vị trí tương
đối của đường và mặt, đường và đường.
Một số bài tập tham khảo:
Bài 1: Cho điểm A(1; 0; 0) và đường thẳng
∆
:





=
+=
+=
tz
ty
tx
21
2

a/ Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của điểm A trên đường thẳng
∆
.
b/ Tìm tọa độ điểm A
/
đối xứng với A qua đường thẳng
∆
.
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1; 2; 3) và 2 đường thẳng:
d
1
:
1
3
1
2
2
2 −
=
−
+
=
− zyx
; d
2
:
1
1
2
1

1
1 +
=
−
=
−
− zyx
a/ Tìm tọa độ A
/
đối xứng với A qua đường thẳng d
1
.
Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 6
d
H
A '

A
Vận dụng phương trình tham số của đường thẳng vào bài toán :
" Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. "
b/Viết phương trình đường thẳng
∆
qua A vuông góc với đường thẳng d
1
và cắt
đường thẳng d
2
. (Đề thi ĐHCĐ khối D năm 2006)
Bài 3: Cho điểm M(2; 1; 0) và mặt phẳng (
α

) : x + 3y - z - 27 = 0. Tìm tọa độ điểm
M
/
đối xứng với M qua mặt phẳng (
α
).
Bài 4: Viết phương trình đường thẳng d
'
đối xứng với đường thẳng d:
1
4 5
2 2
x t
y t
z t
= +


= −


= −


qua mặt phẳng (
α
) : x + y + z - 1 = 0.
Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng d
1
:

2 6
2 5
1 4
x t
y t
z t
= − +


= −


= +


và d
2
:
,
,
,
1
3 2
4 3
x t
y t
z t

= +


= −


= − +

a/ Tìm tọa độ giao điểm của d
1
và d
2
.
b/ Viết phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d
1
qua d
2
.
C. Các bài toán về cắt nhau, vuông góc, song song:
Bài toán 9: Cho đường thẳng d và mp (P) có phương trình: d:
1
2 2
3 2
x t
y t
z t
= +


= +


= +


; (P): 2x
+ z - 5 = 0
a/ Xác định tọa độ giao điểm A của d và (P).
b/ Viết phương trình đường thẳng d
'
đi qua A, nằm trong (P) và vuông góc với
d.
Nhận xét: Bài toán này ta tìm tọa độ của A, khi đó đường thẳng d
'
qua A và có
véctơ chỉ phương
,v u n
 
=
 
r r r
; trong đó
u
r
là VTCP của d,
n
r
là VTPT của mp(P).
Hướng dẫn giải:
a/ A = d
∩
(P). Ta có A
∈
d

⇒
A(1 + t; 2 + 2t; 3 + 2t)
Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 7
(P)
d
A
d
'
Vận dụng phương trình tham số của đường thẳng vào bài toán :
" Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. "
Vì A
∈
(P)
⇔
2(1 + t) + (3 + 2t) - 5 = 0
⇔
t = 0
Vậy: A(1; 2; 3)
b/ d có VTCP
u
r
= (1; 2; 1); mp(P) có VTPT
n
r
= (2; 0; 1)
Đường thẳng d
'
⊂
(P) và d
'

⊥
d nên d
'
có véctơ chỉ phương
,v u n
 
=
 
r r r
= (2; 1; -4).
Đường thẳng d
'
qua A có VTCP
v
r
nên có phương trình :





−=
+=
+=
tz
ty
tx
43
2
21

Bài toán 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d :
1
3
2
3
1
1 −
=
+
=
−
− zyx
và mặt phẳng (P) : 2x + y - 2z + 9 = 0
a/ Tìm tọa độ điểm I
∈
d sao cho khoảng cách từ I đến mp(P) bằng 2.
b/ Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P).Viết phương
trình đường thẳng
∆
nằm trong mp(P),biết
∆
đi qua A và vuông góc với d.
(Đề thi ĐHCĐ khối A năm 2005)
Nhận xét: Đây là đề thi ĐHCĐ, câu a ta lấy I
∈
d và sử dụng công thức khoảng cách,
câu b cùng cách làm của bài toán 9.
Hướng dẫn giải:
a/ Đường thẳng d có phương trình tham số:






+=
+−=
−=
tz
ty
tx
3
23
1
I
∈
d suy ra: I(1-t; -3 + 2t; 3+t)
Khoảng cách từ I đến mp(P) bằng 2 nên:
2
3
9)3(2)23()1(2
=
++−+−+− ttt

⇔

622 =− t


⇔




−=
=
2
4
t
t
Vậy có 2 điểm I
1
(-3; 5; 7), I
2
(3; -7; 1)
b/ Vì A
∈
d suy ra: A(1-t; -3 + 2t; 3+t).
Ta có A
∈
(P)
⇔
2(1-t) + (-3 + 2t) - 2(3 + t) + 9 = 0
Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 8
∆
I
2
I
1
(P)
d

A
Vận dụng phương trình tham số của đường thẳng vào bài toán :
" Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. "

⇔
t = 1
Do đó A(0; -1; 4)
Đường thẳng d có VTCP
u
r
= (-1; 2; 1), mp(P) có VTPT
n
r
=(2; 1; -2)
Đường thẳng
∆
⊂
(P) và
∆
⊥
d nên
∆
có véctơ chỉ phương
,v u n
 
=
 
r r r
=(-5; 0; -5)
Phương trình của đường thẳng

∆
:





+=
−=
=
tz
y
tx
4
1
Bài toán 11: Viết phương trình đường thẳng
∆
qua I(-1; -2; 4) vuông góc và cắt
đường thẳng d:





+=
−=
+−=
tz
ty
tx

1
22
32

)( Rt ∈
Nhận xét: Bài toán này ta lấy H
∈
d, khi đó H
∈
∆
khi và chỉ khi
u
r
.
IH
uuur
= 0 (
u
r
là
VTCP của d); đường thẳng
∆
qua I và có VTCP
IH
uuur
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d có VTCP
u
r
= (3; -2; 1).

Gọi H
∈
d suy ra: H(-2 + 3t; 2 - 2t; 1 + t) nên:
IH
uuur
=(-1 + 3t; 4 - 2t; -3 + t)
H
∈
∆

⇔

u
r
.
IH
uuur
= 0
⇔
3(-1 + 3t) - 2(4 - 2t) + (-3 + t) = 0
⇔
t = 1
suy ra H(1; 0; 2)
Đường thẳng
∆
qua I và có VTCP
IH
uuur
=(2; 2; -2) nên có phương trình :






−=
+−=
+−=
tz
ty
tx
4
2
1

Bài toán 12: Viết phương trình đường thẳng
∆
qua A(2; 1; -3) cắt đường thẳng d
1
:





+=
−−=
+=
tz
ty
tx

4
21
3

)( Rt ∈
và vuông góc với đường thẳng d
2
:





+−=
+=
+=
tz
ty
tx
5
3
41

)( Rt ∈

Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang 9
d
∆
H
I

Vận dụng phương trình tham số của đường thẳng vào bài toán :
" Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. "
Nhận xét: Bài toán này ta lấy H
∈
d
1
, khi đó H
∈
∆
khi và chỉ khi
u
r
.
AH
uuur
= 0 (
u
r
là
VTCP của d
2
); đường thẳng
∆
qua I và có VTCP
AH
uuur
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d
2
có VTCP

u
r
= (4; 1; 1).
Gọi H
∈
d
1
suy ra: H(3+t; -1-2t; 4+t) nên:

AH
uuur
=(1+t; -2-2t; 7+t)
H
∈
∆

⇔

u
r
.
AH
uuur
= 0

⇔
4(1+t) + (-2-2t) + (7+t) = 0

⇔
t = -3 suy ra H(0; 5; 1)

Đường thẳng
∆
qua A và có VTCP
AH
uuur
=(2; -4; -4) = 2(1; -2; -2) nên có phương
trình :





−−=
−=
+=
tz
ty
tx
23
21
2

)( Rt ∈
Bài toán 13: Viết phương trình đường thẳng
∆
cắt 2 đường thẳng d
1
:






+=
−−=
=
tz
ty
tx
1
32
; d
2
:





−=
+−=
+=
/
/
/
4
31
21
tz
ty

tx
và song song với đường thẳng d:
1
4
23
1 +
==
− zyx
Nhận xét: Bài toán này ta lấy A
∈
d
1
, B
∈
d
2
khi đó A, B
∈
∆
khi và chỉ khi hai vectơ
u
r
,
AB
uuur
cùng phương (
u
r
là VTCP của d), đường thẳng
∆

qua A và có VTCP
u
r
Hướng
dẫn giải:
Đường thẳng d có VTCP
u
r
= (3; 2; 1).
Gọi A
∈
d
1
suy ra: A(t; -2-3t; 1+t)
B
∈
d
2
suy ra: B(1+2t
/
; -1+3t
/
; 4-t
/
)
nên:
AB
uuur
= (2t
/

- t + 1; 3t
/
+ 3t + 1; -t
/
- t + 3)
Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang
10
d
2
d
1
H
A
∆
d
B
d
2
d
1
A
∆
Vận dụng phương trình tham số của đường thẳng vào bài toán :
" Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. "
A, B
∈
∆

⇔

u
r
và
AB
uuur
cùng phương

⇔

1
3
2
133
3
12
///
+−−
=
++
=
+− tttttt

⇔



=+
=+
1
825

/
/
tt
tt

⇔




=
−=
2
1
/
t
t
suy ra A(-1;1;0) .
Đường thẳng
∆
qua A và có VTCP
u
r
= (3;2;1) nên có phương trình :





=

+=
+−=
tz
ty
tx
21
31

Bài toán 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng d
1
:
1
2
1
1
2
+
=
−
−
=
zyx
và d
2
:






=
+=
+−=
3
1
21
z
ty
tx

Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x + y - 4z = 0 và cắt
2 đường thẳng d
1
, d
2
(Đề thi ĐHCĐ khối A năm 2007)
Nhận xét: Đây là đề thi ĐHCĐ, ngoài cách giải của đáp án, tôi thấy tương tự bài
toán 13, ta có thể giải nhanh hơn bằng cách lấy A
∈
d
1
, B
∈
d
2
khi đó A, B
∈
d khi và chỉ khi
u
r

,
AB
uuur
cùng phương (
u
r
là VTCP của d); đường thẳng d qua A và có VTCP
u
r
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d
⊥
(P) nên d có VTCP
u
r
= (7; 1; -4).
Đường thẳng d
1
có phương trình tham số:





+−=
−=
=
/
/
/

2
1
2
tz
ty
tx
Gọi A
∈
d
1
suy ra: A(2t
/
; 1- t
/
; -2+ t
/
)
B
∈
d
2
suy ra: B(-1+ 2t ; 1+ t ; 3)
nên:
AB
uuur
= (2t - 2t
/
- 1; t + t
/
; 5 - t

/
)
A, B
∈
∆

⇔

u
r
,
AB
uuur
cùng phương
Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang
11
d
B
d
2
d
1
A
(P)
Vận dụng phương trình tham số của đường thẳng vào bài toán :
" Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. "

⇔

4

5
17
122
///
−
−
=
+
=
−− ttttt

⇔



−=+
−=+
195
534
/
/
tt
tt

⇔




=

−=
1
2
/
t
t
suy ra A(2; 0; -1).
Đường thẳng d qua A và có VTCP
u
r
= (7; 1; -4) nên có phương trình :





−−=
=
+=
tz
ty
tx
41
72

Bài toán 15: Viết phương trình đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo
nhau d:






=
+=
+=
tz
ty
tx
2
35

)( Rt ∈
và d
/
:





−=
+−=
+−=
/
/
/
4
37
2
tz

ty
tx

)(
/
Rt ∈
Nhận xét: Bài toán này học sinh lấy A
∈
d
1
, B
∈
d
2
; AB là đường vuông góc chung
của d và d
/
khi và chỉ khi
. 0
. 0
u AB
v AB

=


=


r uuur

r uuur
; đường vuông góc chung qua A và có VTCP
AB
uuur
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d có VTCP
u
r
= (3; 1; 1).
Đường thẳng d
/
có VTCP
v
r
= (1; 3; -1).
Gọi A
∈
d suy ra: A(5+3t; 2+t; t)
B
∈
d
/
suy ra: B(-2+t
/
; -7+3t
/
; 4-t
/
)
nên:

AB
uuur
=(t
/
- 3t - 7; 3t
/
- t - 9; -t
/
- t + 4)
AB là đường vuông góc chung của d và d
/

⇔

. 0
. 0
u AB
v AB

=


=


r uuur
r uuur


⇔




=+−−−−−+−−
=+−−+−−+−−
0)4()93(3)73(
0)4()93()73(3
///
///
tttttt
tttttt
Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang
12
d
'
d
A
B
Vận dụng phương trình tham số của đường thẳng vào bài toán :
" Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. "

⇔



=−
=−
38511
26115
/

/
tt
tt

⇔




=
−=
3
1
/
t
t

suy ra: A(2; 1; -1);
AB
uuur
=(-1; 1; 2)
Đường vuông góc chung qua A và có VTCP
AB
uuur
=(-1; 1; 2) nên có phương trình :






+−=
+=
−=
tz
ty
tx
21
1
2

)( Rt ∈
Kết luận: Từ các bài toán nêu ra ta thấy các bài toán dạng này có độ " khó" hơn.
Tuy nhiên, ta thấy được phương pháp chung để giải là: Chọn điểm hoặc các điểm (có chứa
tham số) trên đường thẳng hoặc các đường thẳng bị cắt (cho trước), sau đó dựa vào các yếu
tố song song, vuông góc để tìm tham số. Từ đó viết phương trình đường thẳng theo yêu cầu
bài toán.
Một số bài tập tham khảo:
Bài 1: Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d
1
và cắt cả hai
đường thẳng d
2
và d
3
, biết phương trình d
1,
d
2
và d
3

là:
d
1





−=
+−=
=
tz
ty
x
1
42
1
;
d
2
:
3
2
4
2
1
1 −
=
=
=

− zyx
; d
3
:





=
+−=
+−=
'
'97
'54
tz
ty
tx

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(-4;-2;4) và đường thẳng d:





+−=
−=
+−=
tz
ty

tx
41
1
23
,
Viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua A, cắt và vuông góc với đường thẳng
d.
(Đề thi ĐHCĐ khối B năm 2004)
Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang
13
Vận dụng phương trình tham số của đường thẳng vào bài toán :
" Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. "
Bài 3: Cho hai đường thẳng: d
1:





−=
+=
+=
tz
ty
tx
8
25
8

và d
2
:
3
1
2
1
7
3 −
=
−
=
− zyx
. Viết phương
trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
Bài 4: Cho hai đường thẳng: d:
3
6
2
1
1
−
=
−
=
zyx
và d
'
:






−=
+−=
+=
tz
ty
tx
3
2
1

a.Viết phương trình đường vuông góc chung của d và d
'
.
b. Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt cả d và d
'
.
Bài 5: Viết phương trình đường thẳng
∆
vuông góc với mặt phẳng tọa độ (Oxz) và
cắt 2 đường thẳng d :





−=

+−=
=
tz
ty
tx
3
4
; d
/
:





−=
+−=
−=
/
/
/
54
3
21
tz
ty
tx

Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng
∆

:
11
2
1
2
−
=
−
=
+ zyx
và mặt phẳng (P) : x + 2y - 3z + 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d
nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng
∆
(Đề thi ĐHCĐ khối D năm 2009)
D. Các bài toán về cực trị tọa độ không gian:
Bài toán 16: Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz cho điểm
M(1; 3; -2) và đường thẳng d:
5 3
2
2
x t
y t
z t
= +


= +


= − −



Tìm tọa độ điểm H
∈
d sao cho đoạn thẳng MH
có độ dài nhỏ nhất.

Nhận xét: Bài toán này ta lấy H
∈
d, khi đó độ dài MH nhỏ nhất khi và chỉ khi MH
⊥
d
⇔

u
r
.
MH
uuuur
= 0 (
u
r
là VTCP của d)
Hướng dẫn giải:
Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang
14
Vận dụng phương trình tham số của đường thẳng vào bài toán :
" Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. "
Đường thẳng d có VTCP
u

r
= (3; 1; -1).
Gọi H
∈
d suy ra: H(5 + 3t; 2+ t; -2 - t) nên:

MH
uuuur
=(4 + 3t; -1 + t; - t)
MH nhỏ nhất
⇔
MH
⊥
d

⇔

u
r
.
MH
uuuur
= 0

⇔
3(4+3t) + (-1 + t) - (- t) = 0
⇔
t = - 1
Vậy H(2; 1; -1)
Bài toán 17: Trong không gian Oxyz cho M (1; 2; 3), và N ( 4; 4; 5). Tìm điểm I

∈

mp(Oxy) sao cho IM + IN nhỏ nhất.
Nhận xét: Bài toán này ta kiểm tra M, N nằm về một hay hai phía của mặt phẳng.
Nếu M, N nằm về hai phía của mặt phẳng thì I là giao điểm của MN và mặt phẳng, nếu M,
N nằm về một phía của mặt phẳng thì I là giao điểm của M
'
N và mặt phẳng trong đó M
'
là
điểm đối xứng của M qua mặt phẳng đó.
Hướng dẫn giải:
Mặt phẳng (Oxy) có phương trình z = 0. Trước hết ta xét xem M và N có ở một
trong hai phía với mp (Oxy) hay không? Dể thấy z
M
. z
N
= 3 . 5 = 15>0
⇒
M, N ở về một
phía với mp (Oxy).
Đường thẳng d qua M và vuông góc mp(Oxy) có pt:
1
2
3
x
y
z t
=



=


= +


Gọi H là giao điểm của d với mp(Oxy).
Ta có H
∈
d
⇒
H (1; 2; 3 + t)
Vì H
∈
(Oxy)
⇒
3 + t = 0
⇒
t = -3
⇒
H( 1; 2; 0)
Gọi M' đối xứng với M qua mp(Oxy).
H là trung điểm của MM' nên M' (1; 2; -3) và
'M N
uuuuur
= (3; 2; 8)
Ta có IM + IN = IM' + IN
≥
M'N

⇒
Min ( IM + IN) = M'N
⇔
I là giao điểm của M'N và
mp(Oxy)
Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang
15
d
H
M
M
N
M
'
y
x
O
d
H
I
Vận dụng phương trình tham số của đường thẳng vào bài toán :
" Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. "
M'N qua M
'
có VTCP
'M N
uuuuur
= (3; 2; 8) nên có phương trình:
,
,

,
1 3
2 2
3 8
x t
y t
z t

= +

= +


= − +


Điểm I ( 1 + 3t', 2 + 2t', -3 + 8t')
∈
d vì I
∈
(Oxy)
⇒
-3 + 8t' = 0
⇒
t' =
3
8

Vậy I
17 11

; ;0
8 4
 
 ÷
 
Bài toán 18: Trong k/gian Oxyz cho: M (3; 1; 1), N ( 4; 3; 4) và đường thẳng d có
phương trình:
7
3 2
9
x t
y t
z t
= +


= −


= +

. Tìm điểm I
∈
d sao cho: IM + IN nhỏ nhất.
Nhận xét: Ta có MN
⊥
d nên IM + IN nhỏ nhất khi và chỉ khi I = d
∩
(P) trong đó
(P) là mặt phẳng qua MN và vuông góc với d

Hướng dẫn giải:
Ta có:
MN
uuuur
= (1; 2; 3), d có VTCP
u
r
= ( 1; -2; 1), vì
MN
uuuur
.
u
r
=0
⇒
MN
⊥
d
Mặt phẳng( P) qua MN và vuông góc với d có phương trình là: x - 2y +z - 2 = 0
Gọi H = d
∩
(P), H
∈
d
⇒
H(7 + t; 3 - 2t; 9 + t)
Vì H
∈
(P) nên: (7 + t) - 2(3 - 2t) +(9 + t) - 2 = 0
⇔

t =
4
3
−
⇒
H
17 17 23
; ;
3 3 3
 
 ÷
 

Với I
∈
d, ta có: IM + IN
≥
HM + HN
⇒
IM + IN nhỏ nhất
⇔
IM + IN = HM + HN
⇔
I
≡
H
Vậy: I
17 17 23
; ;
3 3 3

 
 ÷
 
Bài toán 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 2 điểm A(-3; 0; 1), B(1;
-1; 3) và mặt phẳng (P): x - 2y + 2z - 5 = 0. Trong các đường thẳng qua A và song song với
(P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ
nhất. (Đề thi ĐHCĐ khối B năm 2009)
Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang
16
M
N
d
H
I
(P)
Vận dụng phương trình tham số của đường thẳng vào bài toán :
" Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. "
Nhận xét: Ta gọi d là đường thẳng cần tìm; d chứa trong mp(Q) qua A và song song
với (P), khoảng cách từ B đến đường thẳng d là nhỏ nhất khi và chỉ khi d đi qua H (H là
hình chiếu của B trên (Q)).
Hướng dẫn giải:
Gọi d là đường thẳng cần tìm; d chứa trong mp(Q) qua A và song song với (P).
Ta có phương trình (Q): x - 2y + 2z + 1 = 0.
Gọi I, H là hình chiếu của B trên d, (Q).
Ta có d(B;d) = BI
≥
BH
nên d(B;d) nhỏ nhất khi d đi qua H.
Đường thẳng d
'

qua B và vuông góc (Q)
có phương trình:
1
1 2
3 2
x t
y t
z t
= +


= − −


= +

H = d
'

∩
(Q), H
∈
d
'
nên H(1+ t; -1 - 2t; 3 + 2t).
Vì H
∈
(Q) nên: (1+ t) -2(-1 - 2t) + 2(3 + 2t) + 1 = 0
⇔
t =

10
9
−
⇒
H
1 11 7
; ;
9 9 9
 
−
 ÷
 
Đường thẳng d qua A có VTCP
26 11 2
( ; ; )
9 9 9
AH = −
uuur
có phương trình:
3 26
11
1 2
x t
y t
z t
= − +


=



= −

Bài toán 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 2 điểm A(1;4;2), B(-1;2;4)
và đường thẳng d có phương trình:
1
2
2
x t
y t
z t
= −


= − +


=


a/ Tìm tọa độ điểm M
∈
d sao cho
MA MB+
uuur uuur
nhỏ nhất.
b/ Tìm tọa độ điểm I
∈
d sao cho diện tích
∆

AIB nhỏ nhất.
c/ Viết phương trình đường thẳng qua A và cắt d sao cho khoảng cách từ B đến đường
thẳng đó đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang
17
d
d
'
H
I
B
A
(Q)
(P)
Vận dụng phương trình tham số của đường thẳng vào bài toán :
" Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. "
Nhận xét: Ta lấy M
∈
d; câu a, ta tìm
MA
uuur
+
MB
uuur
⇒
MA MB+
uuur uuur
suy ra M; câu b, c ta
tìm diện tích
∆

AIB, khoảng cách rồi vận dụng bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, từ đó
suy ra kết quả.
Hướng dẫn giải:
a/ M
∈
d
⇒
M ( 1-t; -2+t; 2t)
⇒

MA
uuur
=(t; 6-t; 2-2t),
MB
uuur
=(-2+ t; 4 -t; 4 -2t).
Do đó:
MA
uuur
+
MB
uuur
= (-2 + 2t; 10 - 2t; 6 - 4t)
⇒
MA MB+
uuur uuur
=
2 2 2
( 2 2 ) (10 2 ) (6 4 )t t t− + + − + −
=

2
24( 2) 44 2 11t − + ≥

Suy ra: Min
MA MB+
uuur uuur
=
2 11
⇔
t-2 = 0
⇔
t = 2. Vậy: M(-1; 0; 4)
b/ I
∈
d
⇒
I(1-t; -2+t; 2t) ta có:
AI
uur
= (- t; - 6 + t; - 2 + 2t) và
AB
uuur
= ( -2; -2; 2)
⇒
,AI AB
 
 
uur uuur
= ( 6t - 16; -2t + 4; 4t - 12)
Diện tích

∆
AMB:
AIB
S
∆
=
1
,
2
AI AB
 
 
uur uuur
=
1
2

2 2 2
(6 16) ( 2 4) (4 12)t t t− + − + + −
=
1
2
2
56 304 416t t− +
=
2
14 76 104t t− +
( t
∈
R)

Xét hàm f (t) = 56t
2
- 304t + 416
⇒
f
/
(t) = 112t - 304;
f
/
(t) = 0
⇔
t =
304
112
=
19
7
BBT:
Từ đó suy ra:
AIB
S
∆
đạt GTNN khi t =
19
7
.
Vậy: I
12 5 38
; ;
7 7 7

 
−
 ÷
 

c/ Gọi đường thẳng d
1
đi qua A và cắt d tại M ( 1- t; -2 + t; 2t)
Khi đó d
( )
1
;B d
=
,AM AB
AM
 
 
uuuur uuur
uuuur
=
2
2
56 304 416
6 20 40
t t
t t
− +
− +
=
2

2
28 152 208
3 10 20
t t
t t
− +
− +
Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang
18
t
f(19/7)
19/7
-
∞
+
∞
+
∞
+
∞
-
+
0
f( t )
f ' ( t )
Vận dụng phương trình tham số của đường thẳng vào bài toán :
" Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. "
Xét hàm g(t) =
2
2

28 152 208
3 10 20
t t
t t
− +
− +
g
/
(t) =
2
2 2
16(11 8 60)
(3 10 20)
t t
t t
− −
− +
; g
/
(t) = 0
⇔
11t
2
- 8t - 60 = 0
⇔
2
30
11
t
t

= −



=


Ta có
28
lim ( )
3
x
g t
→±∞
=

BBT:
Max d
( )
1
;B d
=
2 3
Khi t = -2
⇒
Đường thẳng d
1
:
1
4 4

2 3
x t
y t
z t
= +


= −


= −

Min d
( )
1
;B d
=
2 35
35
Khi t =
30
11

⇒
Đường thẳng d
2
:
1 15
4 18
2 19

x t
y t
z t
= +


= +


= −

Vậy có 2 đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
d
1
:
1
4 4
2 3
x t
y t
z t
= +


= −


= −

và d

2
:
1 15
4 18
2 19
x t
y t
z t
= +


= +


= −

Kết luận: Đây là các bài toán khó, để giải nó cần phải vận dụng các dạng toán. Tuy
nhiên, ta thấy được phương pháp chung để giải là: Chọn điểm (có chứa tham số) trên đường
thẳng (cho trước), sau đó dựa vào các yếu tố hình chiếu vuông góc hoặc đưa về các hàm số
sau đó tìm tham số. Từ đó tìm điểm hoặc viết phương trình đường thẳng theo yêu cầu bài
toán.
Một số bài tập tham khảo:
Bài 1: Cho A (1; 2; -1), B (7; -2; 3) và đường thẳng d có pt:
1 2 2
3 2 2
x y z+ − −
= =
−
. Tìm
điểm I

∈
d sao cho IA + IB nhỏ nhất.
Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang
19
4/35
28/3
28/3
12
+
-2
0
f ' ( t )
f( t )
0
+
-
+
∞
-
∞
30/11
t
Vận dụng phương trình tham số của đường thẳng vào bài toán :
" Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. "
Bài 2: Cho mp(
α
): 2x - y + z + 1 = 0 và hai điểm A( 3; 1; 0), B( -9; 4; 9 )
a/ Tìm điểm I
( )
α

∈
sao cho
IA IB+
uur uur
đạt GTNN
b/ Tìm điểm M
( )
α
∈
sao cho:
MA MB−
đạt GTLN
Bài 3: Cho: A (1; 1; 0) và B ( 3; -1; 4) và đ/t d:
1 1 2
1 1 2
x y z+ − +
= =
. Tìm trên d điểm I
sao cho: IA + IB bé nhất.
Bài 4: Cho A (5; -1; 3), B (7; -1; 1) và mặt phẳng (P) có phương trình: x - y +
z - 1 = 0. Tìm điểm I
∈
(P) sao cho IA + IB nhỏ nhất.
Bài 5: Cho hai đường thẳng d
1
:
1 1 1
2 1 1
x y z− + −
= =

; d
2
:
1 2
1 1 2
x y z− +
= =
và điểm A
( 1; 4; 2). Viết phương trình đường thẳng d đi qua A cắt d
1
sao cho khoảng cách giữa d và
d
2
lớn nhất.
KẾT QUẢ
Sau khi hình thành và đưa ra cách giải, tôi đã vận dụng phương pháp này ở 2 dạng
A, B vào các bài dạy và kết quả bài kiểm tra 15' các lớp giảng dạy như sau:
Lớp sử dụng phương pháp khác(3 lớp với 144 em)
Lớp sử dụng phương pháp này(2 lớp với 92 em)
Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang
20
Điểm dưới 5 Điểm từ 5
→
< 8 Điểm từ 8
→
10
45 78 21
31,3% 54,1% 14,6%
Vận dụng phương trình tham số của đường thẳng vào bài toán :
" Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. "

Từ 2 bảng kết quả trên ta thấy ở lớp sử dụng phương pháp này tỉ lệ điểm dưới 5
giảm gần một nữa, tỉ lệ điểm từ 5
→
< 8 tăng không nhiều nhưng tỉ lệ điểm từ 8
→
10 tăng
gần gấp 2 lần.


PHẦN KẾT LUẬN

Từ các bài toán nêu trên và cách giải chúng, ta thấy nếu vận dụng tốt các quan hệ vuông
góc, song song , các tính chất đối xứng của điểm cùng với tọa độ của điểm theo tham số ta
giải nhiều dạng bài toán, hơn nữa chúng ta đã đơn giản được bài toán, hạn chế việc " sợ "
các bài toán hình học không gian ở học sinh, tạo được sự hứng thú cho các em, góp phần
chung vào việc nâng cao chất lượng dạy và học và phát huy được tính tích cực của học
sinh, khơi nguồn cho các em sự tìm tòi, sáng tạo trong quá trình giải một bài toán .
Trên đây là những kinh nghiệm thực tiễn của bản thân qua nhiều năm giảng dạy môn
toán phần phương trình đường thẳng trong không gian, với đề tài này tôi hy vọng sẽ giúp
Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang
21
Điểm dưới 5 Điểm từ 5
→
< 8 Điểm từ 8
→
10
18 50 24
19,6% 54,3% 26,1%
Vận dụng phương trình tham số của đường thẳng vào bài toán :
" Tìm tọa độ của điểm. Viết phương trình của đường thẳng trong không gian. "

cho các em học sinh biết cách vận dụng các quan hệ vuông góc, song song, các tính chất
đối xứng vào giải toán và cải tiến phương pháp học tập.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn các thầy cô trong tổ toán đã đọc, góp ý và giúp đỡ tôi
hoàn thành đề tài này.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1/ Giải bài toán như thế nào? (G.Polya - Nhà xuất bản Giáo dục năm 1997)
2/ Toán nâng cao cho học sinh - Hình học ( Phan Huy Khải - Nhà xuất bản Đại học
Quốc gia Hà Nội năm 1998).
3/ Hình học 12- Chuẩn. ( Trần Văn Hạo - Nhà xuất bản Giáo dục - Hà Nội năm 2008)
4/ Hình học 12- Chuẩn- Sách giáo viên. ( Trần Văn Hạo - Nhà xuất bản Giáo dục - Hà
Nội năm 2008)
5/ Hình học 12- Nâng cao ( Đoàn Quỳnh - Nhà xuất bản Giáo dục - Hà Nội năm 2008)
6/ Hình học 12- Nâng cao - Sách giáo viên ( Đoàn Quỳnh - Nhà xuất bản Giáo dục - Hà
Nội năm 2008)
7/ Bộ đề thi tuyển sinh đại học - Môn Toán của Bộ GD & ĐT.(Doãn Minh Cường; Phạm
Minh Phương - Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội năm 2007)
8/ Báo toán học và tuổi trẻ.
Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ Trang
22