Giải bài tập Tích phân

II. PHƯƠNG PH P T NH T CH PH N� � � �
1.Phương pháp phân tích
Tích phân ∫ f (x) dx có thể được tính bằng cách phân tích hàm số f(x) thành tổng của các
hàm đơn giản hơn hay dễ tính tích phân hơn :
f(x) = f
1
(x) + f
2
(x) + +fn�

(x)
Và áp dụng công thức :
Ví dụ:
1)
2)
3) Tính
Với n ≥ 2:
Nhờ hệ thức này ta có thể tính I
n
với n tùy ý.
2. Phương pháp đổi biến
Phương pháp đổi biến trong t ch ph n bất định c 2 dạng sau đ y :� � � �
Dạng 1: Giả sử biểu thức dưới dấu tích phân có dạng:
F(u(x)) . u (x)dx�
Trong đ u(x) là một hàm số khả vi. Khi ấy ta có thể đổi biến bằng c ch đặt u=u(x),và � �
có:
Dạng 2: Đặt x = ϕ (+) , trong đ � ϕ (t) là một hàm khả vi, đơn điệu đối với biến t, ta
c :�
Ví dụ:
1) Tính:
Đặt: u = x

2
+ 1, du = 2xdx
2) , với u = sinx
3) Tính:
Đặt u = x
2
, du = 2xdx hay xdx =
4) Tính
Đặt u = e
x
. Ta c� : du = e
x
dx, và:
5) Tính
Đặt u = cos
2
x Ta có:
du = -2cos x sinx dx = -sin 2xdx
Suy ra:
6) Tính
Đặt: x = sint ;
⇔ t = arcsin x, ( -1 ≤ x ≤ 1)
Ta có: dx = cost dt
Suy ra
Mà
và t = arcsin x
Nên:
3.Phương pháp tích phân từng phần
Giả sử u = u(x) và v = v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục u = u (x) và v = � � �
v (x) :�

Ta biết:
(u.v) = u v+u.v� � �
hay u.v = (uv) -v.u� � �
Từ đ suy ra c ng thức:� �
Công thức này được gọi là công thức tích phân từng phần , và còn được viết dưới dạng :
Công thức tích phân từng phần thường được áp dụng trong trường hợp hàm dưới dấu tích
phân có dạng f(x) = u.v mà hàm g = v.u có tích phân dễ tính hơn.� �
Trong một số bài toán, sau khi áp dụng công thức tích phân từng phần ở vế phải lại xuất
hiện tích phân đã cho ban đầu với hệ số kh c, tức là :�
Khi đ ta t nh được :� �
Ví dụ:
1)T nh �
Đặt u = ln x
v = x �
Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có :
2) Tính
Đặt u = arctg x
v = x , �
⇒
Ta có :
Suy ra :
3) Tính
Đặt u = sinx u� = cos x
v�= e
x
; v =
ex
⇒
Để t�nh: ta đặt:
u

1
= cos x u�
1
= -sinx
v�
1
= ex

v
1
= ex
Suy ra:
Vậy:
Suy ra:
4) Tính (a > 0)
Đặt
v� = 1 v = x
Suy ra:
Ta có:
Do đ�:
Suy ra
Vậy:
5) Tính
Đặt ;
v =1 v = x�
Suy ra :
Ta có:
Suy ra:
6) Tìm công thức truy hồi để t nh t ch ph n � � �
(a>0)

Ta có:
Với n ≥ 1, đặt:
v = 1 v = x�
Suy ra:
Ta có:
Suy ra:
Vậy: