Giáo trình Logic Toán đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh

Giáo trình Logic Toán

Gv: Trịnh Huy Hoàng Trang 1

MỤC LỤC
BÀI 1: KHÁI QUÁT VỀ LOGÍC 3

1. Giới thiệu: 3

2. Định nghĩa logic học: 3

3. Sự hình thành và phát triển của logic học: 3

4. Ứng dụng của logic học: 4

5. Đôi nét về logic mờ 5

BÀI 2: LOGÍC MỆNH ĐỀ 9

1. Định nghĩa : 10

2. Phân tích : 10

3. Các phép toán logic cơ bản : 11

Bảng chân trị 12

4. Công thức trong đại số logic : 12

4.1/ Công thức : 12

4.2/ Công thức tương đương : 13

4.3/ Các qui tắc thay thế: 14

5. Hệ quả logic và tương đương logic: 17

6. Công thức đối ngẫu 17

7. Tính đầy đủ của một hệ các phép toán 17

7. Ứng dụng logic mệnh đề để vẽ mạch điện tử 18

BÀI 3: LOGÍC TÍNH TOÁN 24

1. Khái niệm: 24

1.1/ Dng tuyn chuNn: 24

1.2/ Dng hi chuNn: 24

2. Số logic : 25

2.1/ nh nghĩa : 25

2.2 Hàm logic: 26

2.2 Tương ương logic: 28

3. Thuật toán biểu diễn một công thức logic dưới dạng tuyển chun: 28

4. Thuật toán biểu diễn một công thức logic dưới dạng hội chun: 30

Bài 4: CÀI T MIN H HA 33

1. Thuật toán tính số logic của một công thức: 33

2. Chương trình minh họa việc kiểm tra 2 công thức tương đương: 39

BÀI 5: SUY DIN LOGIC VÀ VN T 42

1. Giới thiệu: 42

2. Định nghĩa qui tắc suy diễn: 42

3. Kiểm tra một qui tắc suy diễn: 44

4. Các qui tắc suy diễn cơ bản: 45

5. Các ví dụ áp dụng trong suy luận và chứng minh 48

6. Định nghĩa vị từ và ví dụ 50

6.1/ Ðnh nghĩa: 50

6.2/ Các phép toán trên các v t 50


Giáo trình Logic Toán

Gv: Trnh Huy Hoàng Trang 2
6.3/ Qui tc ph nh mnh  có lưng t 51

6.4/ Mt s qui tc dùng trong suy lun: 53

BÀI 6: N GÔN N G PROLOG 58

1. Tư duy lập trình và định nghĩa vấn đề trên Prolog 58

2. Các clause, cách giải thích các vấn đề trên Prolog 60

3. Thực thi chương trình. - Đặt câu hỏi và nhận câu trả lời 62

4. Phép hợp nhất - Cơ chế tìm câu trả lời của Prolog. 65

4.1/ Phép hp nht 65

4.2/ Cơ ch tìm câu tr li ca Prolog 66

5. Sự quay lui - Khống chế số lượng lời giải -Vị từ nhát cắt và fail 68

6. Lập trình đệ quy với Prolog 72

7. Danh sách trên Prolog 74

8. Lập trình đệ quy với danh sách trên Prolog 75

9. Danh sách hai chiều 78

BÀI 7: LOGIC M 81

1. Một số khái niệm 81

1.1/ Tp m (Fuzzy Sets) 81

1.2/ S m (Fuzzy N umbers) 85

1.3/ S logic dng hình khi 86

1.4/ S logic dng tam giác 87

1.5/ S logic dng hình thang 89

2. Áp dụng của logic mờ trong dự đoán 90

2.1/ Giá tr trung bình trong thng kê 90

2.2/ Các phép toán vi s tam giác vá s hình thang 91

2.3/ Trung bình trong logic m 93

2.4/ D oán bng phương pháp Delphi kt hp logic m 95

2.5/ Phương pháp Fuzzy Delphi có trng s: 99

2.6/ ng dng Fuzzy Pert trong vic qun lý các  án 100

 TÀI CN G IM CUI KỲ 110

TÀI LIU THAM KHO 111

Giáo trình Logic Toán

Gv: Trnh Huy Hoàng Trang 3
BÀI 1: KHÁI QUÁT VỀ LOGÍC

1. Giới thiệu:
Logic là khoa hc xut hin rt sm trong lch s. N ó xut hin vào th k th IV trưc
công nguyên khi s phát trin ca khoa hc nói riêng và tư duy nói chung ã òi hi phi tr
li câu hi: làm th nào  m bo suy ra ưc kt lun úng n, chân thc t các tin 
chân thc?
2. Định nghĩa logic học:
T “Logic” có ngun gc t Hy lp là t “Logos”, t này có rt nhiu nghĩa trong ó
có hai nghĩa thưng dùng nht là:
 Ch tính qui lut ca s tn ti và phát trin ca th gii khách quan.
 Ch nhng qui lut c thù ca tư duy.
Khi ta nói “trái t quay quanh mt tri”, ta ã s dng nghĩa th nht. Còn khi nói
“anh y suy lun hp logic”, ta ã s dng nghĩa th hai.
3. Sự hình thành và phát triển của logic học:
N gưi sáng lp ra logic hc là nhà trit hc Hy lp vĩ i Aristote(384-322 Tr.CN ).

 thi c i, logic hc ca Aristote ưc các hc trò ca ông tip tc phát trin sau
khi ông mt nhưng hc ch nêu ra mt s qui tc suy lun vI tin  là phán oán iu kin
và phán oán la chn nghiêm ngt mà thôi. Các nhà trit hc thuc trưng phái Megat và
trưng phái khc k i xa hơn: h nghiên cu các quan h suy din.  nghiên cu vn 
này, h ưa ra quan h
bao hàm (implication) và h cũng ưa ra hình thc u tiên ca nh
lý din dch - nh lý làm cơ s cho các phép chng minh trong các h thng hình thc hóa:
mt suy lun ưc gi là hp logic khi và ch khi công thc biu th nó là mt công thc hng
úng.
Các thành tu quan trng nht  thi La mã c i là: h thng các thut ng logic
ưc s dng n ngày nay: hình vuông logic (sau này ưc Boethius hoàn thin); lý thuyt
v tam on lun phc hp và tam on lun vi tin  là phán oán quan h.
Vào thi phc hưng, logic hc truyn thng b ch trích mnh m. Mt s nhà tư tưng
tin b ca thi kỳ này buc ti logic là ch da cho tư tưng kinh vin. N hà trit hc ngưi

Giáo trình Logic Toán

Gv: Trnh Huy Hoàng Trang 4
Anh F. Bacon (1561-1626) cho rng tam on lun ca Aristote hoàn toàn vô ích vì nó không
cho phép tìm ra các thông tin mi t các tin  ã có. Vy nên khoa hc s dng nó không
th phát hin các qui lut mi thông qua vic nghiên cu các s kin thc nghim ã bit.
Ông xây dng nên logic qui np mà v sau ưc mt nhà trit hc và logic hc Anh khác là
S.Mill (1806 – 1873) phát trin.
V phn logic din dch thì mãi n th k XVII mi ưc nhà toán hc và trit hc
ngưi Pháp R.Descates (1596 – 1650) thanh minh và bo v. Ông mun xây dng nó thành
phương pháp nhn thc tng hp. Công lao rt ln trong vic phát trin logic din dch vn
thuc v nhà toán hc và logic hc ngưi c Leibniz (1646 – 1716). Ông ưc coi là ngưi
u tiên t nn tng cho logic kí hiu. Ông ưa ra tư tưng s dng các kí hiu và phương
pháp toán hc vào logic. Ông ch ra rng khi s dng các kí hiu thay cho li nói, không
nhng chúng ta làm cho tư tưng ưc tr nên rõ ràng hơn, chính xác hơn mà còn làm cho tư

tưng tr nên ơn gin hơn. Ông mun xây dng logic hc thành phép tính (calculus
rationator) – ngôn ng nhân to tng quát trong ó các suy lun ưc hình thc hoá ging
như các phép tính ưc hình thc hoá trong i s. Tư tưng ca Leibniz v sau ưc các nhà
toán hc và logic hc J. Boole (1815 – 1864) và De Morgan phát trin, h ã xây dng các h
i s logic.
S phát trin ca logic hình thc trong thi hin i gn lin vi các tên tui ca các
nhà bác hc ln như G.Frege (1848 – 1925), Peano (1858 – 1932), B.Russel (1872 –
1970),…. Quá trình phát trin ca logic hc k t thi Leibniz và c bit là t Russel tr v
sau liên quan rt cht ch n toán hc. N gày nay, logic hình thc bao gm nhiu nhánh khác
nhau như logic c in, logic tình thái, logic thi gian, logic kin thit, logic relevant, logic
không ơn iu, logic m,…
4. Ứng dụng của logic học:
Cùng vi s phát trin ca khoa hc và công ngh, logic hc ngày càng ưc ng dng
rng rãi. Logic giúp gii quyt các vn  nan gii ca toán hc, ca iu khin hc, ca nhiu
vn  trong khoa hc máy tính…N gưi ta s dng logic v t  làm các ngôn ng lp trình
cho trí tu nhân to (ví d ngôn ng PROLOG); ng dng logic m (Fuzzy logic)  phát
trin công ngh m…

Giáo trình Logic Toán

Gv: Trnh Huy Hoàng Trang 5
5. Đôi nét về logic mờ
N gày nay khi nhìn li lch s ca logic m, ngưi ta nhn thy ngưi u tiên  cp
ti logic m chính là c Pht (500 năm trưc CN ). Trit lý Pht giáo da trên tư tưng rng
th gii y nhng mâu thun, "sc không không sc", mi th  cha mt phn i lp ca
nó. Bưc chân vào mi ngôi chùa chúng ta u thy  ngay gian trưc là hai v Thin — Ác,
là hình nh hai mt tt và xu trong mi con ngưi. N ói theo lý thuyt logic m nghĩa là s
vt có th ng thi là A và không-A.  ây ta thy có mt mi liên h rõ ràng gia trit lý
Pht giáo và logic m hin i. Thuyt âm dương ca ngưi Trung Quc cũng hàm cha logic
m! "Logo" bát quái th hin tư tưng ct yu ca thuyt: hình tròn th hin s toàn vn ca

s vt, tri t; mi s vt hin tưng u có hai mt âm và dương i lp nhau, cùng tn ti,
mt này thnh thì mt kia suy (phn âm to ra thì phn dương nh i và ngưc li); du trng
trong phn en và du en trong phn trng th hin trong âm có dương, trong dương có âm;
du en trong u to ca phn trng th hin khi dương cc thnh thì chính là lúc trong lòng
nó xut hin âm (và ngưc li).
Sau c Pht 200 năm, nhà bác hc Hy-lp là Aristote phát trin logic nh phân. Trái
ngưc vi trit lý nhà Pht, Aristote cho rng th gii to bi các i nghch, thí d nam-n,
nóng-lnh, khô-ưt. Mi th hoc là A hoc là không-A, không th c hai. Logic nh phân ca
Aristote tr thành nn tng cho khoa hc, nu mt th ưc chng minh v mt logic (nh
phân) thì nó ưc và vn s ưc khoa hc công nhn. Cho ti cui th k 19, khi mt nhà
văn-nhà toán hc ngưi Anh, Russel, phát hin ra mt nghch lý ca logic nh phân . . .
Russel (1872-1970), người khai sinh logic mờ
Bá tưc Bertrand Arthur William Russel sinh ra trong mt gia ình quý tc Anh năm
1872. Ông có mt cuc i dài và y bin ng. Thi tr tui, ông nghiên cu toán hc và
sau ó, cùng vi mt nhà toán hc khác, vit mt cun sách v nhng cơ s ca toán hc.
Trong sách, h dành c mt trang ch  chng minh 1 + 1 = 2. Trong quá trình nghiên cu,
ông ã phát hin ra mt nghch lý mà ngày nay gi là nghch lý tp ca Russell :
Trưc ht chúng ta phân bit hai loi tp: tp cha chính nó và tp không cha chính
nó.

Giáo trình Logic Toán

Gv: Trnh Huy Hoàng Trang 6
Xét thí d: mt qu lê thuc tp các qu lê, nhưng tp các qu lê không thuc v tp
các qu lê do bn thân nó không phi là mt qu lê! N ghĩa là tp các qu lê không phi là mt
thành viên ca chính nó.
Bây gi ta xét mt tp khác, tp mi th không phi qu lê, gm sách, chut cng, hay
c tng thng Bush na! Do trong tp này bn tìm thy mi th không phi qu lê, nên bn
cũng có th tìm thy trong ó tp các qu lê và tp mi th không phi qu lê ! N ghĩa là tp
mi th không phi qu lê là thành viên ca chính nó.

Russel i sâu hơn và xem xét tp ca mi tp mà không cha chính nó. Trong tp này,
bn s tìm thy tp các qu lê, tp các tng thng, và nhiu tp khác na. N hưng bn s không
tìm thy tp mi th không phi qu lê, do tp ó cha chính nó và do vy không tho mãn
tiêu chuNn t ra. Trong khi xem xét tp các tp không cha chính nó này, Russell băn khoăn
liu nó có phi là mt thành viên ca chính nó?
N u nó là mt thành viên ca chính nó, thì không tho mãn nh nghĩa. Mt khác, nu
nó không phi là thành viên ca chính nó, thì theo nh nghĩa v tp ó, thì nó li tho mãn và
như vy nó là thành viên ca chính nó!
Vì vy khi tìm ra nghch lý này, Russell ngu nhiên chng minh rng logic nh phân,
mà ông nghĩ là cơ s ca toán hc, không th t chng minh nó. Tt nhiên ngày nay, chúng ta
bit nghch lý ca Russell không phi là mt trưng hp không gii ưc, nu dùng logic m
thì ta có câu tr li ngay. Tuy nhiên, Russell không h bit gì v logic m và ã vô cùng tht
vng vi toán hc. Ông t b toán hc, nhng như th không có nghĩa là ông ã dng li vic
làm o ln th gii này. Trong sut cuc i 97 năm, ông luôn truyn bá tư tưng ca mình;
ông vit hàng tá sách, sách toán, trit lun, tiu thuyt, thm chí c th sách lá ci na. Khi
mt năm 1970, ông ã không ch khi u mt trang mi ca logic hc, mà còn ot c mt
gii N obel văn hc. Ông là mt thí d in hình cho thy nhng ngưi có tài năng ln v toán
hc cũng có th là nhng nhà văn ln.
Zadeh, cha đẻ của logic mờ hiện đại.
N ăm 1964, giáo sư Zadeh bt u suy nghĩ liu có th logic tt hơn nào dùng trong
máy móc. Ông có ý tưng liu ta có th bo máy iu hoà làm vic nhanh hơn khi tri nóng
lên, hay nhng vn  tương t như th, s hiu qu hơn vic t ra tng lut cho tng nhit

Giáo trình Logic Toán

Gv: Trnh Huy Hoàng Trang 7
. ây chính là bưc i u tiên ca logic m hin i như chúng ta hiu và ng dng ngày
nay.
Phi mt mt thi gian dài logic m mi ưc chp nhn, mc dù ngay t u mt s
ngưi ã rt quan tâm. Bên cnh các k sư, nhng nhà trit hc, tâm lý hc và xã hi hc

nhanh chóng áp dng logic m vào ngành khoa hc ca mình.
N ăm 1987, N ht Bn ã xây dng h thng tàu in ngm u tiên làm vic vi h
thng iu khin hot ng tàu t ng da trên logic m. ây là mt thành công ln và dn
ti s phát trin bùng n ca logic m. Các trưng i hc và các hãng công nghip ua nhau
phát trin nhng ý tưng mi. u tiên là  N ht Bn, do tôn giáo  N ht tha nhn rng mi
th có th cha phn i lp ca chính nó, ch không coi là mt th "kinh khng" như hu ht
nhng nơi khác trên th gii. Và logic m cũng ha hn em li nhiu tin bc cho các hãng
công nghip, tt nhiên là iu này ưc ón chào.
Logic m ưc công b ln u tiên ti M vào năm 1965 do giáo sư Lotfi Zadeh. K
t ó, logic m ã có nhiu phát trin qua các chng ưng sau : phát minh  M, áp dng 
Châu Âu và ưa vào các sn phNm thương mi  N ht.
ng dng u tiên ca logic m vào công nghip ưc thc hin  Châu âu, khong
sau năm 1970. Ti trưng Queen Mary  Luân ôn – Anh, Ebrahim Mamdani dùng logic m
 iu khin mt máy hơi nưc mà trưc ây ông y không th iu khin ưc bng các k
thut c in. Và ti c, Hans Zimmermann dùng logic m cho các h ra quyt nh. Liên
tip sau ó, logic m ưc áp dng vào các lĩnh vc khác như iu khin lò xi măng, …
nhưng vn không ưc chp nhn rng rãi trong công nghip.
K t năm 1980, logic m t ưc nhiu thành công trong các ng dng ra quyt nh
và phân tích d liu  Châu âu. N hiu k thut logic m cao cp ưc nghiên cu và phát
trin trong lĩnh vc này.
Cm hng t nhng ng dng ca Châu Âu, các công ty ca N ht bt u dùng logic
m vào k thut iu khin t năm 1980. N hưng do các phn cng chuNn tính toán theo gii
thut logic m rt kém nên hu ht các ng dng u dùng các phn cng chuyên v logic
m. Mt trong nhng ng dng dùng logic m u tiên ti ây là nhà máy x lý nưc ca Fuji
Electric vào năm 1983, h thng xe in ngm ca Hitachi vào năm 1987.

Giáo trình Logic Toán

Gv: Trnh Huy Hoàng Trang 8
N hng thành công u tiên ã to ra nhiu quan tâm  N ht. Có nhiu lý do  gii

thích ti sao logic m ưc ưa chung. Th nht, các k sư N ht thưng bt u t nhng gii
pháp ơn gin, sau ó mi i sâu vào vn . Phù hp vi vic logic m cho phép to nhanh
các bn mu ri tin n vic ti ưu. Th hai, các h dùng logic m ơn gin và d hiu. S
“thông minh” ca h không nm trong các h phương trình vi phân hay mã ngun. Cũng như
vic các k sư N ht thưng làm vic theo t, òi hi phi có mt gii pháp  mi ngưi trong
t u hiu ưc hành vi ca h thng, cùng chia s ý tưng  to ra h. Logic m cung cp
cho h mt phương tin rt minh bch  thit k h thng. Và cũng do nn văn hóa, ngưi
N ht không quan tâm n logic Boolean hay logic m; cũng như trong ting N ht , t “m’
không mang nghĩa tiêu cc.
Do ó, logic m ưc dùng nhiu trong các ng dng thuc lĩnh vc iu khin thông
minh hay x lý d liu. Máy quay phim và máy chp hình dùng logic m  cha ng s
chuyên môn ca ngưi ngh sĩ nhip nh. Misubishi thông báo v chic xe u tiên trên th
gii dùng logic m trong iu khin, cũng như nhiu hãng ch to xe khác ca N ht dùng
logic m trong mt s thành phn. Trong lĩnh vc t ng hóa, Omron Corp. có khong 350
bng phát minh v logic m. N goài ra, logic m cũng ưc dùng  ti ưu nhiu quá trình hóa
hc và sinh hc.
N ăm năm trôi qua, các t hp Châu âu nhn ra rng mình ã mt mt k thut ch cht
vào tay ngưi N ht và t ó h ã n lc hơn trong vic dùng logic m vào các ng dng ca
mình. n nay, có khong 200 sn phNm bán trên th trưng và vô s ng dng trong iu
khin quá trình – t ng hóa dùng logic m.

Giáo trình Logic Toán

Gv: Trnh Huy Hoàng Trang 9
BÀI 2: LOGÍC MỆH ĐỀ

Trong i sng hàng ngày, ngưi ta cn có nhng lý lun  t các iu kin ưc bit
hay ưc gi nh (các tin  - premises) có th suy ra các kt lun (conclusion) úng.
Hãy xét 2 lý lun sau :
 Lý luận (1)
: Các tin  :
+ N u hôm nay tri p thì tôi i chơi.
+ N u tôi i chơi thì hôm nay v tr .
Gi thit : Hôm nay tri p .
Kt lun : Hôm nay tôi s v tr .
 Lý luận (2)
: Các tiên  :
+ N u hôm nay rp hát không óng ca thi tôi s xem phim.
+ N u tôi xem phim thì tôi s không son kp bài .
Gi thit : Hôm nay rp hát không óng ca .
Kt lun : Hôm nay tôi s không son kp bài.
Hai lý lun trên là úng và có cùng dng lý lun. Chúng úng vì có dng lý lun
úng, bt k ý nghĩa mà chúng  cp n.
Còn lý luận sau :
 Lý luận (3) : Các tin  :
+ N u tri p thì tôi i chơi.
+ N u tôi i chơi thì tôi s v tr.
Gi thit : Hôm nay tôi v tr.
Kt lun : Hôm nay tri p .
Là lý lun sai và mi lý lun dng như vy u sai .
Logic toán hc quan tâm n vic phân tích các câu (sentences), các mnh 

(propositions) và chng minh vi s chú ý n dng (form) lưc b i s vic c th.



Giáo trình Logic Toán

Gv: Trnh Huy Hoàng Trang 10
1. Định nghĩa :
- Mt phán oán là mt suy nghĩ mun khng nh hay ph nh mt iu gì ó có tính
chính úng hoc sai mà không th va úng li va sai.
- Mnh  toán hc là din t phán oán bng mt câu ng pháp.
- Mnh  úng có giá tr chân lý là 1, mnh  sai có giá tr chân lý là 0.
Ví dụ :
4+3 > 2 là mt mnh  có giá tr chân lý là 1
3+5 = 7 là mt mnh  có giá tr chân lý là 0.
Các phát biu sau ây không phi là các mnh  (toán hc) vì tính úng sai ca
chúng không xác nh:
Ai ang c sách? (mt câu hi)
Cho n là mt s nguyên dương.
a là mt s chính phương.

2. Phân tích :
Phân tích lý lun (1) ta thy nó s dng các mnh  cơ s sau :
• Hôm nay tri p
• Tôi i chơi
• Tôi s v tr.
Mi mnh  (proposition) là mt phát biu úng (true) hay sai (false).
Biu th tưng trưng ln lưt các mnh  trên bi các tên A, B, C, ta ghi li dng
lý lun ca (1) như sau :

ây cũng là dng lý lun ca (2) .


 Thưng mt phát biu s gm nhiu phát biu nh ni kt vi nhau bng các liên
 t "và" , "hay" , "vì vy " ,"kt qu là"
 Mt mnh  ơn (simple proposition) là mnh  không cha mnh  khác.
N u A thì B (4)
N u B thì C
Có A kt lun ưc : C

Giáo trình Logic Toán

Gv: Trnh Huy Hoàng Trang 11
 Mt mnh  phc (compound proposition) là mnh  ưc to thành t hai hay
nhiu mnh  ơn .Vic ni kt này ưc thc hin bi các liên t logic.
Ví dụ : Xét các mnh  sau ây.
p = "15 chia ht cho 3".
q = "2 là mt s nguyên t và là mt s l".
Ta có p là mt mnh  sơ cp. N hưng q là mt mnh  phc hp, vì mnh  q ưc
to thành t hai mnh  "2 là mt s nguyên t" và "2 là mt s l" nh vào liên kt logic
"và".
3. Các phép toán logic cơ bản :
Các phép toán logic ưc nh nghĩa bng bảng chân trị (truth table). Bng chân tr
ch ra rõ ràng chân tr ca mnh  phc hp theo tng trưng hp ca các chân tr ca các
mnh  sơ cp to thành mnh  phc hp. Bng chân tr ca các phép toán logic tt nhiên
là phn ánh ng nghĩa t nhiên ca các t liên kt tương ng. V mt t nhiên ca ngôn ng,
trong nhiu trưng hp cùng mt t nhưng có th có nghĩa khác nhau trong nhng ng cnh
khác nhau. Do ó, bng chân tr không th din t mi nghĩa có th có ca t tương ng vi
ký hiu phép toán. Ðiu ny cho thy rng i s logic là rõ ràng hoàn chnh theo nghĩa là nó

cho ta mt h thng logic áng tin cy. Ði s logic còn c bit quan trng trong vic thit k
mch cho máy tính.
Bng chân tr không ch dùng  kê ra s liên h chân tr gia mnh  phc hp vi
chân tr ca các mnh  sơ cp cu thành nó, mà bng chân tr còn ưc dùng vi mc ích
rng hơn: lit kê s liên h chân tr gia các mnh vi các mnh  ơn gin hơn cu thành
chúng.






Ví dụ : ¬ p∨ q có nghĩa là ((¬ p) ∨ q).
¬ p∨ q→ r ∧ s có nghĩa là (((¬ p) ∨ q)→ (r ∧ s)).
Phép ph nh:
¬
(không)
Phép hi: ∧ (và)
Phép tuyn: ∨ (hay)
Phép kéo theo: → (kéo theo)
Phép kéo theo 2 chiu: ↔ ( tương ương)
 ưu tiên ca các toán t logic.
¬
∧ , ∨
→, ↔

Các toán t cùng dòng có cùng  ưu tiên.


Giáo trình Logic Toán

Gv: Trnh Huy Hoàng Trang 12
¬ p∨ q ∧ r là không rõ ràng cn phi dùng các du ngoc  ch rõ nghĩa.
Xét hai mnh  x và y, khi ó ta có:
Bng chân tr ca các phép toán mnh 

Mnh  p Ph nh p Mnh  p Phép tuyn Phép hi Kéo theo Tương ương
x
¬x
y
x ∨ y x ∧ y x → y x ↔ y
1 0 1 1 1 1 1
1 0 0 1 0 0 0
0 1 1 1 0 1 0
0 1 0 0 0 1 1

N goài ra ta còn có thêm mt phép toán logic khác là “phép tuyn chn” ng vi 2
mnh  sơ cp p và q khác vi phép tuyn ã cho  trên ưc vit là p + q, hay p ⊕ q hay có
th biu din như sau:
Bng chân tr
x y x v y
1
1
0
0
1
0
1
0
0

1
1
0

4. Công thức trong đại số logic :
4.1/ Công thức :
T các bin mnh  sơ cp, nh các phép toán logic cơ bn, ta lp ưc các mnh 
phc hp, chúng ưc gi là các công thc . Ta thưng ký hiu công thc bi các ch F, G,
H, R,

Ví dụ :
F = ( (x ∧ y) → z)
G = ( x→ (y → z) )
R = ( x ∧ y )∨ z )

Giáo trình Logic Toán

Gv: Trnh Huy Hoàng Trang 13
4.2/ Công thức tương đương :
Hai công thc F và G gi là tương ương logic nu chúng nhn cùng giá tr chân lý vi
mi giá tr ca các bin mnh  sơ cp. Ký hiu F = G

Ví dụ :
F = ( (x ∧ y) → z)
G = ( x→ (y→z) ) (chng minh như bài tp)
thì F = G
 Các lut v phép ph nh:

 Lut giao hoán

 Lut kt hp


 Lut phân b

 Lut De Morgan

 Lut v phn t bù

 Lut kéo theo
 Lut tương ương

 Các lut ơn gin ca phép tuyn


¬

¬
p
⇔
p (lut ph nh ca ph nh)
¬ 1 ⇔ 0


¬
0
⇔
1

p

∧
q
⇔
q
∧
p
p ∨ q ⇔ q ∨ p
p
∧
(q
∧
r)
⇔
(p
∧
q)
∧
r
p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ r
p
∧
(q
∨
r)
⇔
(p
∧
q)
∨
(p

∧
r)
p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

¬
(p
∧
q)
⇔

¬
p
∨

¬
q
¬ (p ∨ q) ⇔ ¬ p ∧ ¬ q
p
∨

¬
p
⇔
1
p ∧ ¬ p ⇔ 0
p
→
q
⇔

¬
p
∨
q
p
↔
q
⇔
(p
→
q)
∧
(q
→
p)

Giáo trình Logic Toán

Gv: Trnh Huy Hoàng Trang 14





 Các lut ơn gin ca phép hi

Mt s lut trong các lut trình bày  trên có th ưc suy ra t các lut khác. Các công
thc tương ương logic khác:







4.3/ Các qui tắc thay thế:
Dưi ây là các qui tc  cho ta có th suy ra nhng biu thc logic mi hay tìm ra
các biu thc logic tương ương vi mt biu thc logic cho trưc.
Qui tắc 1:
x
⊕
y = (
¬
x
∧
y)
∨
( x
∧¬
y)
x ⊕ y = y ⊕ x
(x ⊕ y) ⊕ z = x ⊕ (y ⊕ z)
x( y ⊕ z) = xy ⊕ xz
¬
x ⊕ 1 = x

x ⊕ 1 =
¬
x
x ⊕ x = 0

p
∨
p
⇔
p (tính lũy ng ca phép tuyn)
p ∨ 1 ⇔ 1 (lut này còn ưc gi là lut thng tr)
p ∨ 0 ⇔ p (lut này còn ưc gi là lut trung hòa)
p ∨ (p ∧ q) ⇔ p (lut này còn ưc gi là lut hp th)
p
∧
p
⇔
p (tính lũy ng ca phép hi)
p ∧ 1 ⇔ p (lut này còn ưc gi là lut trung hòa)
p ∧ 0 ⇔ 0 (lut này còn ưc gi là lut thng tr)
p ∧ (p ∨ q) ⇔ p (lut này còn ưc gi là lut hp th)

Giáo trình Logic Toán

Gv: Trnh Huy Hoàng Trang 15

Trong mt biu thc logic E, nu ta thay th mt biu thc con bi mt biu thc logic
tương ương vi biu thc con ó thì ta s ưc mt biu thc mi E' tương ương vi biu
thc E.

Ví dụ :

Cho biu thc logic E = q ∨¬ p. Thay th q trong biu thc E bi biu thc ¬ ¬ q
(tương ương vi q) ta ưc mt biu thc mi E' = ¬ ¬ q ∨¬ p. Theo qui tc thay th 1 ta
có:
q ∨ ¬ p ⇔ ¬ ¬ q ∨ ¬ p
Qui tắc 2:

Gi s biu thc logic E là mt hng úng. N u ta thay th mt bin mnh  p bi
mt biu thc logic tuỳ ý thì ta s ưc mt biu thc logic mi E' cũng là mt hng úng.
Ví dụ : Ta có biu thc E(p,q) = (p → q)
⇔
( ¬ p ∨ q) là mt hng úng. Thay th bin q
trong biu thc E bi biu thc q ∧ r ta ưc biu thc logic mi:
E'(p,q,r) = (p → (q ∧ r))
⇔
( ¬ p ∨ (q ∧ r))
Theo qui tc thay th 2 ta có biu thc E'(p,q,r) cũng là mt hng úng.
Ví dụ áp dụng:
 Ví dụ 1: Chng minh rng
(p → q) ⇔ (¬ q → ¬ p).
Chng minh :

(p → q) ⇔ ¬ p ∨ q (lut kéo theo)
⇔ q ∨ ¬ p (lut giao hoán)
⇔ ¬ q ∨ ¬ p (lut ph nh)
⇔ ¬ q → ¬ p (lut kéo theo)
 Ví dụ 2: Chng minh rng biu thc sau là mt hng úng.

((p → q) ∧ p) → q

Chng minh.


Giáo trình Logic Toán

Gv: Trnh Huy Hoàng Trang 16
((p → q) ∧ p) → q
⇔ ((p → q) ∧ p) ∨ q (lut kéo theo)
⇔ (¬ (p → q) ∨ ¬ p) ∨ q (lut De Morgan)
⇔ ¬ (p → q) ∨ (¬ p ∨ q) (lut kt hp)
⇔ ¬ (p → q) ∨ (p → q) (lut kéo theo)
⇔ 1 (lut v phn t bù)
Vy biu thc ((p → q) ∧ p) → q là hng úng.
 Ví dụ 3:
Chng minh rng biu thc sau là mt hng úng.
p ∧ q → p
Chng minh.

p ∧ q → p ⇔ ¬ ( p ∧ q) ∨ p (lut kéo theo)
⇔ (¬ p ∨ ¬ q) ∨ p (lut De Morgan)
⇔ (¬ q ∨ ¬ p) ∨ p (lut giao hoán)
⇔ ¬ q ∨ (¬ p ∨ p) (lut kt hp)
⇔ ¬ q ∨ 1 (lut v phn t bù)
⇔ 1 (lut ơn gin)
Vy mnh  p ∧ q → p là hng úng.
 Ví dụ 4: Chng minh rng biu thc sau là mt hng úng.
p → p ∨ q
Chng minh.

p → p ∨ q ⇔ ¬ p ∨ (p∨ q) (lut kéo theo)
⇔ (¬ p ∨ p) ∨ q (lut kt hp)
⇔ 1 ∨ q (lut v phn t bù)

Giáo trình Logic Toán

Gv: Trnh Huy Hoàng Trang 17
⇔ 1 (lut ơn gin)
Vy mnh  p → p ∨ q là hng úng.
hận xét: Các ví d trên cho ta thy mt quan h khác gia các mnh  phc hp hay các
mnh  : quan h "suy ra". Khi mnh  p → q là hng úng, ta nói rng p suy ra q (v mt
logic). Chúng ta s dùng ký hiu ⇒  ch quan h "suy ra". Quan h suy ra ny có tính truyn
(hay bc cu), nhưng không có tính cht i xng.
5. Hệ quả logic và tương đương logic:
N u công thc x → y =1 thì mnh  y ưc gi là h qu logic ca x.
N u x là h qu logic ca y và y và h qu logic ca x thì x và y là tương ương logic.
Ví d: N u
1
( ) ( )
F x y y z
= → ∧ →


1
( )
G x z
= →


2

( ) ( )
F x z y z
= → ∧ →


2
( )
G x y z
= ∨ →

Khi ó G
1
là h qu logic ca F
1
, G
2
và F
2
là tương ương logic

6. Công thức đối ngẫu
Các phép toán logic hi và tuyn ưc gi là hai phép toán i ngu ca nhau.
Hai công thc F và G ưc gi là i ngu ca nhau nu công thc này suy ra t công
thc kia bng cách thay mi phép toán tuyn và hi bng các phép toán i ngu ca nó.
Ký hiu công thc i ngu ca công thc F là F
*
Ví d: N u
1 2 3
( )
F x x x

= ∨ ∧
thì
*
1 2 3
( )
F x x x
= ∧ ∨

7. Tính đầy đủ của một hệ các phép toán
Mt h thng
∑
bao gm các phép toán logic ưc gi là mt h y  nu mi công
thc logic u có th biu din ch gm các bin mnh  vi ch các phép toán logic trong
h.
Các h sau là th hin tính y  ca các phép toán:

0
{ , , }
= ∧ ∨ ¬
∑
,
1
{ , }
= ∧ ¬
∑
,
2
{ , }
= ∨ ¬
∑

,
3
{ , , }
= ∧ ⊕ ¬
∑


Giáo trình Logic Toán

Gv: Trnh Huy Hoàng Trang 18

7. Ứng dụng logic mệnh đề để vẽ mạch điện tử
Ta có các cng cơ bn sau  thit k mch:

Cng inverter th hin phép toán ph nh 1 bin ngõ nhp


Cng AN D th hin phép toán hi gia các bin ngõ nhp.



Cổng OR thể hiện phép toán tuyển giữa các biến ngõ nhập


Cng XOR th hin cho phép toán tuyn chn.

xy
x
y
z

x y z
x y z
xyz
x y
z
y
x
xyz x y z
+
F xyz x y z x y z
= + +
F



F = xyzt ’+ x’zt’ + x’yz’t + xz’


Giáo trình Logic Toán

Gv: Trnh Huy Hoàng Trang 19
x
y
z
t



⊕

⊕



F = x’zt + xy’z’t + x’y’t + zt


Giáo trình Logic Toán

Gv: Trnh Huy Hoàng Trang 20




⊕
⊕


x
y
z
t
xt
y’z
xy’
xy’z’
yz’
yz’t’
y’

z‘
t‘
F
xy’z’ yz’t’
⊕
xt y’z
⊕

BÀI TẬP
1.

Cho bit nhng khng nh nào dưi ây là mnh :
a.

2 là mt s nguyên dương.
b.

2k – 1 là mt chn.
c.

Tri lnh quá!

Giáo trình Logic Toán

Gv: Trnh Huy Hoàng Trang 21
d.

N u bit trưc là khó khăn sao anh còn c gng?
2.

Hãy vit các mnh  ã cho dưi ây dưi dng hình thc có s dng phép ni:
A: “Bình bit chy xe p”
B: “Bình không bit chy xe máy”
a.

Bình không chy ưc xe máy nhưng chy ưc xe p.
b.

Bình không bit chy xe p ln xe gn máy.
c.

N u Bình bit chy xe máy thì bit chy xe p.
d.

Bình bit chy xe máy và xe p hay Bình chy ưc xe máy mà không
chy ưc xe p.
3.

Cho bit chân tr các mnh  sau:
a.

1
x
≤
và
2
1 2
x
+ >

b.

2
2 1 0 1
x x x
− + ≤ → =

c.

2
2 1 0 0
x x x
− + ≤ ↔ =

d.

2
4 3 0 2
x x x
− + ≤ → =

4.

Lp bng chân tr và ch ra các mnh  luôn úng:
a.

( )
m n p
→ →

b.

→ ∨ → → ∧
[( ) ( )] ( )
m n n m m n

c.

→ → → →
[ ( )] ( )
m n p n p

d.

→ ∨ → → ∨ →
[ ( )] [( ) ( )]
m n p m p n p

5.

Áp dng các lut logic  rút gn các mnh  và ch ra âu là công thc hng:
a.

( ) [( ) ]
m n m n n
∨ ∨ ∧ ∨

b.

( ) [ ( )]

m n n p n
→ ∧ ∧ ∨

c.

( ) ( )
m n p m n p
∧ ∨ ∧ ∨ ∨

d.

[[( ) ] [( ) ]]
m n p m p p n
∧ ∧ ∨ ∧ ∧ ∨

6.

Hãy
F
, F
*
,
F*
,
( , , , )
F*
m n p q
ca các công thc sau:
a.

= ∨ ∨ ∧ ∨
( , ) ( ) [( ) ]
F m n m n m n n


Giáo trình Logic Toán

Gv: Trnh Huy Hoàng Trang 22
b.

= ∧ ∧ ∨
( , , ) [ ( )]
F m n p mn n p n

c.

= ∨ ∨ ∧ ∨
( , , ) ( ) [( ) ]
F m n p p n m p n

d.

= ∧ ∨ ∧ ∨ ∨
( , , , ) ( ) ( )
F m n p q mq n p m n p

7.

Hãy biu din các công thc sau dưi tt các h y  các phép toán:
a.

= ∨ ∧ ∨ ∨
( ( ))
G n m m n p

b.

= ⊕ ∨
( )
F n m p

c.

= ↔ ⊕
( )
G m n p

d.

= ⊕ ↔ ∨
( ) ( )
G n m m p

8.

Mt x th bn cung vào mt mc tiêu, kt qu ưc th hin theo các mnh 
sau: P
k
= { Phát th k trúng ích} k = 1, 2, 3
Hãy gii thích các mnh  phc hp sau:

a.

1 2 3
P P P
∧ ∧

b.

1 2 3
P P P
∨ ∨

c.

1
1 2 3 1 3 1 2 3
( ) ( ) ( )
P P P P P P P P P
∧ ∧ ∨ ∧ ∧ ∨ ∧ ∧

d.

1 2 1 2 3 1 2 3
( ) ( ) ( )
P P P P P P P P
∧ ∨ ∧ ∧ ∨ ∧ ∧

9.

Cho 4 thí sinh A, B, C, D tham gia thi u xp hng. Kt qu xp hng như th

nào nu:
-

N gưi th 1 d oán: B hng nhì, C hng ba.
-

N gưi th 2 d oán: A hng nhì, C hng tư.
-

N gưi th 3 d oán: B hng nht, D hng nhì.
-

ưc bit là mi ngưi có phn úng phn sai.
10.

Trong mt chatroom, có tng công 5 ngưi An, Bình, Chinh, Dung, Yn ang
tho lun v  tài logic toán vi nhau trên mng.
Bit rng:
-

Hoc An, hoc Bình hoc là c 2 ang tho lun.
-

Hoc Chinh, hoc Dung, nhưng không phi c 2 cùng tho lun.

Giáo trình Logic Toán

Gv: Trnh Huy Hoàng Trang 23
-

N u Yn ang tho lun thì Chinh cũng vy.
-

Dung và An, hoc c 2 cùng tho lun, hoc không ai tho lun.
-

N u Bình ang tho lun thì Yn và An cũng vy.
Hãy gii thích xem nu tt c khng nh trên u úng thì hin ti ai ang tho
lun?
11.

 có  chng c buc ti i vi th phm trong 1 v án, 1 cnh sát iu tra i
thu thp bng chng ti mt tòa bit th. Anh ta ln lưt hi mt s ngưi sau
ri có khng nh sau:
-

N u ngưi qun gia nói tht thì ngưi u bp cũng vy.
-

N gưi u bp và ngưi làm vưn không th cùng nói tht.
-

N gưi làm vưn và ngưi hu không th cùng nói di.
-

N u ngưi làm vưn nói tht thì ngưi u bp nói di.
Hi có th xác nh rõ ai nói tht ai nói di không?
12.

Mt sinh viên làm bài thi gia kỳ môn logic toán gm 5 câu hi trc nghim

úng/sai trên máy tính, anh ta không bit tr li chính xác cho bt kỳ câu hi nào
nhưng bit rng:
-

Câu 1 và câu 5 cùng òi hi tr li trái ngưc nhau.
-

Câu 2 và câu 4 cn tr li như nhau.
-

Ít nht 1 trong 2 câu hi u cn tr li là khng nh.
-

N u câu 4 tr li là “úng” thì câu 5 phi tr li là “sai”.
-

Kinh nghim cho sinh viên này thy rng máy t câu hi cn tr li “úng”
nhiu hơn “sai”.
Hãy xác nh các áp án cn chn la.
13.

Sau khi thu gn, hãy tìm các b nghim (x, y, z, t )  các công thc hàm sau t
giá là 0:
a.

[( ) ( )] [ ( )]
F yt xz xt y z x yt y z xt
= ∨ → → → → ∨

b.

[( ) ( )] [( ) ( )]
z
F x y zt yz xt xz yt y xt
= ∨ → ∨ → ∨ → ∨

c.

)
[( ) ( )] [( ]
z y xz y
F x y yt xt z yt x z
∨
= ∨ → → → →


Giáo trình Logic Toán

Gv: Trnh Huy Hoàng Trang 24
BÀI 3: LOGÍC TÍH TOÁ

1. Khái niệm:
1.1/ Dạng tuyển chuẩn:
Gi s p
1
, p
2
, … , p
n
là các bin mnh . Mt biu thc logic F theo các bin mnh 

p
1
, p
2
, … , p
n
ưc gi là mt biu thc hi cơ bn nu nó có dng sau:



Ví dụ:
Biu thc x
∧

¬
y
∧
z là mt biu thc hi cơ bn theo 3 bin mnh  x, y, z.
Biu thc logic E(p
1
, p
2
, … , p
n
) theo các bin mnh  p
1
, p
2
, … , p
n

ưc nói là có
dng tuyn chuNn khi E có dng
:


Trong ó mi biu thc con E
i
u có dng tuyn chuNn theo các bin p
1
, p
2
, … , p
n
.

Ví dụ: Các biu thc sau ây có dng tuyn chuNn:
E(x,y,z) = (x
∧
y
∧
z)
∨
(
¬
x
∧
y
∧
z)
∨

(x
∧
y
∧
z)
F(p
1
,p
2
,p
3
,p
4
) = (p
1

∧
p
2

∧
p
3

∧
p
4
)
∨
(p

1

∧

¬
p
2

∧
p
3

∧

¬
p
4
)
Ðịnh lý :
Mi biu thc logic E(p
1
, p
2
, … , p
n
) u có th vit dưi dng tuyn chuNn duy nht,
không k s sai khác v th t trưc sau ca các biu thc hi cơ bn trong phép tuyn). N ói
mt cách khác, ta có duy nht mt tp hp các biu thc hi cơ bn
{
E

1
, E
2
, … , E
m}
sao cho
biu thc E(p
1
, p
2
, … , p
n
) tương ương logic vi biu thc ( E
1

∨
E
2

∨
…
∨
E
m
.)
1.2/ Dạng hội chuẩn:
Gi s p
1
, p
2

, … , p
n
là các bin mnh . Mt biu thc logic F theo các bin mnh 
p
1
, p
2
, … , p
n
ưc gi là mt biu thc tuyn cơ bn nu nó có dng sau:


F = q
1

∧
∧∧
∧
q
2

∧
∧∧
∧
…
∧
∧∧
∧
q
n

vi q
j
= p
j
hoc q
j
=
¬
p
j
(j = 1, … , n).
E = E
1

∨
E
2

∨
…
∨
E
m

F = q
1

∨
q
2

∨
…
∨
q
n

v
i q
j
= p
j
ho
c q
j
=
¬
p
j
(j = 1, … , n).


Giáo trình Logic Toán

Gv: Trnh Huy Hoàng Trang 25
 Ví dụ:Biu thc x
∨ ¬
y
∨
z là mt biu thc tuyn cơ bn theo 3 bin mnh  x, y, z.

Biu thc logic E(p
1
, p
2
, … , p
n
) theo các bin mnh  p
1
, p
2
, … , p
n
ưc nói là có
dng hi chuNn khi E có dng:


Trong ó mi biu thc con E
i
u có dng tuyn chuNn theo các bin p
1
, p
2
, … , p
n
.

Ví dụ: Các biu thc sau ây có dng hi chuNn:
E(x,y,z) = (x
∨ ¬
y

∨
z)
∧
(
¬
x
∨
y
∨
z)
∧
(x
∨
y
∨
z)
F(p
1
,p
2
,p
3
,p
4
) = (p
1

∨
p
2

∨
p
3

∨
p
4
)
∧
(p
1

∨ ¬
p
2

∨
p
3

∨ ¬
p
4
)
Ðịnh lý :
Mi biu thc logic E(p
1
, p
2

, … , p
n
) u có th vit dưi dng hi chuNn duy nht,
không k s sai khác v th t trưc sau ca các biu thc tuyn cơ bn trong phép hi). N ói
mt cách khác, ta có duy nht mt tp hp các biu thc tuyn cơ bn
{
E
1
, E
2
, … , E
m}
sao
cho biu thc E(p
1
, p
2
, … , p
n
) tương ương logic vi biu thc (E
1

∧

E
2

∧
…
∧

E
m
.)
2. Số logic :
2.1/ Định nghĩa :
♦
S logic ca mt bin nguyên thy A , kí hiu #A là chân tr ca bin ó xét trong
không gian logic N chiu mà A tham gia biu din.
♦
Ví d:
Xét trong không gian mt bin thì #A =(1,0)
Trong không gian 2 bin: AB.
1 1
1 0
0 1
0 0
A B
 
 
 
 
 
 
 
 

Xét trong không gian 3 chiu: ABC
E = E
1

∧
E
2

∧
…
∧
E
m

Ma trận biểu diễn: [A,B]