25 bài Bất đẳng thức ôn thi Đại hoc môn toán (thầy Hưng)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (191.32 KB, 12 trang )
FB T
*su tÇm*
BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRI LN NN
x, y, z
≥
x y z+ + =
x y z
y z x
+ + ≥
+ + +
GIẢI
x y z
y z x
y z x
+ + + + +
+ + +
!
" "
x x y
VT
y y
+
⇔ + = + +
+ +
"
y y z
z z
+
+ + +
+ +
"
z z x
x x
+
+ + +
+ +
! ! !
!
" ! ! !
x y z
VT + ≥ + +
!
#
$
VT x y z⇒ + ≥ + + =
!
# #
VT VP⇒ ≥ − = − = =
%&
'()*+,-./0/,1
2)Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thoả mãn điều kiện xy + yz + zx ≥ 2xyz
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1).
GIẢI
xy yz xz xyz
x y z
+ + ≥ ⇔ + + ≥
2
y z y z
x y z y z yz
− − − −
≥ − + − = + ≥
3454
x z x z
y x z x z xz
− − − −
≥ − + − = + ≥
x y x y
y x y x y xy
− − − −
≥ − + − = + ≥
FB T
67898:;;4%<
$
x y z− − − ≤
=>
,
$
x y z⇔ = = =
3. Với mọi số thực x, y thỏa điều kiện
( )
x y xy+ = +
. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
" "
x y
P
xy
+
=
+
.
G
?@4
t xy
=
( )
( )
"
xy x y xy xy xy+ = + − ≥ − ⇒ ≥ −
( )
( )
"
xy x y xy xy xy+ = − + ≥ ⇒ ≤
?A
t− ≤ ≤
B).
( )
( )
C
"
x y x y
t t
P
xy t
+ −
− + +
= =
+ +
'%
( )
( )
C
D
t t
P
t
− −
=
+
;
D ; P t th t kth= ⇔ = = −
P P
− = =
÷ ÷
( )
"
P =
AEFE6G
"
F66G
BE4.2%H
I
−
4)Với mọi số thực dương
I Ix y z
thỏa điều kiện
x y z+ + ≤
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
P x y z
x y z
= + + + + +
÷
.
G
J&KLM?NOP
$ x
x
+ ≥
'()*+,Q./
x =
345
$ y
y
+ ≥
$ z
z
+ ≥
R
( )
C Cx y z− + + ≥ −
"S;;;";4
#P
≥
#
P x y z= ⇔ = = =
AEF66:PG
#
5. Chứng minh
( )
a b c
ab bc ca a b c
a b b c c a
+ + + + + ≥ + +
+ + +
với mọi số dương
I Ia b c
.
G
a ab ab
a a a ab
a b a b
ab
= − ≥ − = −
+ +
345
b
b bc
b c
≥ −
+
;
c
c ca
c a
≥ −
+
FB T
S;;;4
( )
a b c
ab bc ca a b c
a b b c c a
+ + + + + ≥ + +
+ + +
6)Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn
"
x y z
+ + =
. CMR:
x y z x y z x y z
+ + ≤
+ + + + + +
"
.( )
x y z x y z
≤ +
+ + +
I
"
( )
x y z y x z
≤ +
+ + +
I
"
( )
x y z z y x
≤ +
+ + +
EH
I
, " ,
≤ +
+
I
1 " 1
≤ +
+
I
, 1 " , 1
≤ +
+
SM?4%<%&
7.Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thoả mãn x(x + y + z) = 3yz, ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
, , 1 , , 1 1 1+ + + + + + + ≤ +
.
Giải:
T-4844
,
,,11
⇔
,,1"1
?@4,*,1
U*
U1
*"1
R@4/
*
*
U**
≤
( )
* * *
+ − +
( )
* * * *
− + − +
( )
1 1 1 "1
− + − +
( )
1 "1 1
+ + +
≤
( )
" 1 1 1 + + = +
GH
,11,11
≤
1
11
S4T84%V)&-
FB T
8. Cho các số thực dương a,b,c thay đổi luôn thoả mãn : a+b+c=1.Chứng minh rằng :
a b b c c a
b c c a a b
+ + +
+ + ≥
+ + +
GIẢI
a b c b c a
A B
b c c a a b b c c a a b
+ + + + + = +
+ + + + + +
[ ]
#
A a b b c c a
a b b c c a
a b b c c a
a b b c c a
A
+ = + + + + + + +
+ + +
≥ + + + =
+ + +
⇒ ≥
a b c
a b c a b b c c a
a b b c c a
B B
= + + ≤ + + + + + + +
+ + +
⇔ ≤ ⇔ ≥
T%4
VP≥ + = =
'()%W4,-./*X
9. Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn : x +3y+5z
≤
.Chứng minh rằng:
"!
"
+zxy
+
"
"
+xyz
+
"$
"
+yzx
≥
45
xyz.
GIẢI
Bất đẳng thức
⇔
"
x
x +
+
#
"
#
y
y +
+
"
z
z +
≥
"
VT
≥+++++≥
zyx
zyx
!
#
zyx
zyx +
.
?@44
zyx
4
=
++
≤
zyx
zyx
K%4
≤
?V)/YZ4
≤
[\P]^4
t#
t
!
! !
! C ! Ct t t
t t
= + − ≥ −
45
'()*+,-./t=1 x=1; y=
; z=
.
10. Cho x, y, z là 3 số thực thuộc (0;1]. Chứng minh rằng
FB T
xy yz zx x y z
+ + ≤
+ + + + +
GIẢI
Để ý rằng
( ) ( ) ( ) ( )
xy x y x y+ − + = − − ≥
;
và tương tự ta cũng có
yz y z
zx z x
+ ≥ +
+ ≥ +
Vì vậy ta có:
( )
1,
x y z
x y z
xy yz zx yz zx xy
x y z
yz xy z
z y
x
yz zx y xy z
z y
x
z y y z
+ + + + ≤ + + + + +
÷
+ + + + + +
≤ + + +
+ +
= − − +
÷
+ + +
≤ − − +
÷
+ +
=
11.Cho a, b, c là ba cạnh tam giác. Chứng minh
b c
a
a b a c a b c a c a b
+ + + + <
÷
+ + + + + +
GIẢI
_;*;G*H42
a b c
b c a
c a b
+ >
+ >
+ >
?@4
( )
; ; ; ; ; ;
a b c a
x y a z x y z x y z y z x z x y
+ +
= = = > ⇒ + > + > + >
84.84GH
a b a c a
VT
a c a b a b c
x y z
y z z x x y
+ +
= + +
+ + + +
= + +
+ + +
( ) ( )
z z
x y z z x y z z x y
x y z x y
+ > ⇔ + + < + ⇔ >
+ + +
345
I
x x y y
y z x y z z x x y z
< <
+ + + + + +
'%
( )
x y z
x y z
y z z x x y x y z
+ +
+ + < =
+ + + + +
G
b c
a
a b a c a b c a c a b
+ + + + <
÷
+ + + + + +
12. Cho hai số dương
;x y
thỏa mãn:
x y+ =
.
FB T
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
"
"
x y x y
P
xy
+ −
= +
GIẢI
P]K3
;x y
4`Q
x y+ =
" " "
" " "
x y x y x y y x y
P
xy y x y x
+ −
= + = + + − = + + + −
y x= −
%<
" " "
" " "
y x x y y
P x x
y x y x y x
−
= + + + − = + + + − ≥ + − =
P
*+
/
I "x y= =
=Ra
Lưu ý:
4b4
y x= −
P)%4_4.c*d(4:P]
"
x x
g x
x x
+ −
= +
−
13. Cho x, y, z
≥
thoả mãn x+y+z > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( )
!x y z
P
x y z
+ +
=
+ +
GIẢI
.9844
( )
"
x y
x y
+
+ ≥
*8%e43%3
( ) ( )
x y x y⇔ ⇔ − + ≥
?@4,1A%
( ) ( )
( )
!" !"
" !"
x y z a z z
P t t
a a
+ + − +
≥ = = − +
94
z
a
;
t
≤ ≤
[d4P]^4U4
!"4
94
[ ]
I∈
( )
[ ]
D !" ; D I
#
f t t t f t t
= − − = ⇔ = ∈
E=&*-*842
( )
[ ]
I
!"
^
$
t
M t
∈
⇒ = ⇒
F66:aG
!
$
%H4%</,"1f
14. Chứng minh:
( )
x y z
x y z
+ + + + ≤
÷
với mọi số thực x , y , z thuộc đoạn
[ ]
I
.
GIẢI
( ) ( )
" "t t t t t t
t
≤ ≤ ↔ − − ≤ ↔ − + ≤ ↔ + ≤
B).
" I " I "x y z
x y z
+ ≤ + ≤ + ≤
( )
Q x y z
x y z
→ = + + + + + ≤
÷
FB T
( ) ( )
!
Q
x y z x y z
x y z x y z
+ + + + ≤ ≤ → + + + + ≤
÷ ÷
15.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )
y x ln x
= −
.
GIẢI
[?
( )
ID
= + ∞
I
D G
x
y x
x
−
= +
g
x
↔ =
I_
G
x
y x
x
−
= +
GB?M
AZ,Z
D y
→ <
I/,f
D y
→ >
AE
x
↔ =
16. Cho x, y, z là 3 số thực thuộc (0;1]. Chứng minh rằng
xy yz zx x y z
+ + ≤
+ + + + +
GIẢI
?bh.+
( ) ( ) ( ) ( )
xy x y x y+ − + = − − ≥
I
43454i
yz y z
zx z x
+ ≥ +
+ ≥ +
_=4
( )
1,
x y z
x y z
xy yz zx yz zx xy
x y z
yz xy z
z y
x
yz zx y xy z
z y
x
z y y z
+ + + + ≤ + + + + +
÷
+ + + + + +
≤ + + +
+ +
= − − +
÷
+ + +
≤ − − +
÷
+ +
=
vv
17. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x
2
+ y
2
+ z
2
≤ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P
xy yz zx
= + +
+ + +
Giải
X
[ ]
#
xy yz zx
xy yz zx
+ + + + + + + ≥
÷
+ + +
# #
P
xy yz zx
x y z
⇔ ≥ ≥
+ + +
+ + +
=F66GP
/xyz
⇒
#
!
P ≥ =
FB T
18. Cho a, b, c là các số thực thoả mãn
a b c+ + =
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
" # ! # ! " ! " #
a b c a b c a b c
M = + + + + + + + +
GIẢI
jNUP
!
b c a b c+ +
+ + ≥ =
345k
?@4
( ) ( ) ( )
I I" ; I I" ; l I I" l
a b c c a b b c a
u v M u v= = = ⇒ = + +
r r uur r r uur
( ) ( ) ( )
l " " "
a b c a b c a b c
M u v≥ + + = + + + + + + + +
r r uur
=
#M ≥
'()*+,-./
a b c= = =
19. Cho x, y, z
≥
thoả mãn x+y+z > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( )
!x y z
P
x y z
+ +
=
+ +
GIẢI
.9844
( )
"
x y
x y
+
+ ≥
( ) ( )
x y x y⇔ ⇔ − + ≥
?@4,1A%
( ) ( )
( )
!" !"
" !"
x y z a z z
P t t
a a
+ + − +
≥ = = − +
94
z
a
;
t≤ ≤
[d4P]^4U4
!"4
94
[ ]
I∈
( )
[ ]
D !" ; D I
#
f t t t f t t
= − − = ⇔ = ∈
E=&*-*842
( )
[ ]
I
!"
^
$
t
M t
∈
⇒ = ⇒
F66:aG
!
$
%H4%</,"1f
20.Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
, 1 1 , 1 ,
a
1 1, ,1
+ + +
= + +
GIẢI
, , 1 1
a
1 1 , ,
= + + + + +
m
6=4(,
U,≥,∀,;∈
¡
'%,
≥,,∀,;f
,
,
,
+ ≥ +
∀,;f
345;4
1
1
1
+ ≥ +
∀;1f
1 ,
1 ,
, 1
+ ≥ +
∀,;1f
S4T8**(4%W4T=%<n4.2;/84<&9m;4%<
a≥,1∀,;;1f,1
FB T
3o;4GHa/,1
_=;a
21. Cho x, y, z lµ 3 sè thùc d¬ng tháa m·n xyz=1. Chøng minh r»ng
x y y z z x
+ + ≤
+ + + + + +
pq4,
*
1
4r,;;1fs*Q
*
*
*
O*
≥
**;K*fs
*
O*
≥
*
⇒
*
≥
*****f
⇒
( )
* * *
≤
+ + + +
t4u4Q
( )
* * b
≤
+ + + +
;
( )
* c
≤
+ + + +
d4jv4Q
x y y z z x
+ +
+ + + + + +
*
+ +
b
+ +
c
+ +
≤
( )
* ab bc ca
+ +
÷
+ +
( )
( )
*
c a b+ + =
+ +
X¶y./,1
22.Cho a,b,c là ba số thực dương. Chứng minh:
( )
b c c a a b
a b c
a b c a b c
+ + +
+ + + + ≥ + +
÷ ÷
m9;*f
*
≥
**
m
=4=m
⇔
*
O**
O**
≥
⇔
*O*
≥
%w
?W4,x./*
mTm
⇒
*
≥
**
*
≥
**
≥
⇒
*
≥
****
mJ&KLM?PP]K34
a
a
a
≥
a b c
3
abc
m67898:4%<M?
?W4,x./*
FB T
23. Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi và thỏa mãn:
xyzzyx ≤++
. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức:
xyz
z
zxy
y
yzx
x
P
+
+
+
+
+
=
.
xyz
z
zxy
y
xyx
x
P
+
+
+
+
+
=
_
II >zyx
;J&KLM?NP4
xyz
z
zxy
y
yzx
x
P
++≤
++=
xyzxyz
"
++
≤
++
=
+++++≤
xyz
zyx
xyz
xyzxyz
yxxzzy
"
=
≤
xyz
xyz
'()*+,-.
===⇔ zyx
=R,a
24. Cho x,y ∈ R và x, y > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
( ) ( )
x y x y
P
x y
+ − +
=
− −
?@44,I4fJ&KLM?",≤,
4
"
t
xy ≤
t t xy t
P
xy t
− − −
=
− +
'4Of
"
t
xy− ≥ −
24
"
"
t t
t t
t
P
t
t
t
−
− −
≥ =
−
− +
[d4P]
"
I D I
t t t
f t f t
t t
−
= =
− −
^g4⇔44"
4
" ∞
^g4
O
^4
∞ ∞
$
'%a
I
f t
+∞
^"$%H4%</
"
"
x y x
xy y
+ = =
⇔
= =
FB T
25.Cho
; ; x y x y
> > + =
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x y
T
x y
= +
− −
?@4
P I P I
x a y a a
π
= = ⇒ ∈
÷
/%
( ) ( )
P P P P
P P P P
P P PP P P
a a a a
a a a a
T
a a a a a
+ −
+
= + = =
?@4
P P P P P
"
t
t a a a a a
π
−
= + = + ⇒ =
÷
9
a t
π
< < ⇒ < ≤
A%
( )
t t
T f t
t
− −
= =
−
I
( )
( )
(
( )
( )
"
D I
t
f t t f t f
t
− −
= < ∀ ∈ ⇒ ≥ =
−
=
(
( )
( )
I
t
f t f
∈
= =
/
x y
= =
T
=
/
x y
= =
#
^ 4 4 4 ; 4
"
#
^ D4 4 4
#
^ 4 ^
!
= − + ≥
= − > ∀ ≥
⇒ ≥ =
=
#
> / ,
!
= = =
26.Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của biểu thức S = (4x
2
+ 3y)(4y
2
+ 3x) + 25xy.
G. B",
"
, ,!,
,
",
!,
y,
U,,z",!,
U,",
!,
U,
?@44,;_,;≥,2≤4≤{
A%B!4
U4
Bg4UIBg⇔4
!
BIB{
IB
!
#
!
_BG24LyI{z2
R,B
/,
FB T
RB
#
!
/
,
"
"
+
=
−
=
,
"
"
−
=
+
=
