Tổng hợp kiến thức ôn thi đại học môn Toán

Thuviendientu.org
I- GIẢI TÍCH TỔ HP
1.

4.

Giai thừa : n! = 1.2...n
0! = 1
n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) ... n
Nguyên tắc cộng : Trường hợp 1 có m cách chọn, trường hợp 2 có n cách chọn; mỗi cách chọn đều thuộc đúng một
trường hợp. Khi đó, tổng số cách chọn là : m + n.
Nguyên tắc nhân : Hiện tượng 1 có m cách chọn, mỗi cách chọn này lại có n cách chọn hiện tượng 2. Khi đó, tổng số
cách chọn liên tiếp hai hiện tượng là : m x n.
Hoán vị : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác nhau. Số cách xếp : P n = n !.

5.

Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn ra k vật. Số cách chọn :

6.

Chỉnh hợp : Có n vật khác nhau. Chọn ra k vật, xếp vào k chỗ khác nhau số cách :

7.

Chỉnh hợp = tổ hợp rồi hoán vị
Tam giác Pascal :
1

2.
3.

1

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

Tính chất :

C0n

Cnk

8.

1

C00
C10

Cnn

1, Cnk
Cnk

Cnn

C11

C20

C12

C22

C04

C14

C24

C30

1

Cnk

n!
k!(n k)!

Cnk

C13

C32

C33

C34

A nk

n!
, A nk
(n k)!

Cnk .Pk

C44

k

1

Nhị thức Newton :
*

(a b)n

C0nan b0 C1nan 1b1 ... Cnna0 bn

a = b = 1 : ...

C0n C1n ... Cnn

Với a, b

*

(a

2n

{ 1, 2, ...}, ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa :

C0n , C1n ,...,Cnn
x)n C0nan C1nan 1x

... Cnn x n

Ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa

C0n , C1n ,...,Cnn

bằng cách :

- Đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = 1, 2, ... a = 1, 2, ...
- Nhân với xk , đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = 1, 2, ... , a =
1

- Cho a =

1, 2, ...,

2

hay

0

1, 2, ...

... hay

0

Chú ý :

Ckn a n k bk

* (a + b)n : a, b chứa x. Tìm số hạng độc lập với x :

Kx m

Giải pt : m = 0, ta được k.
* (a + b)n : a, b chứa căn . Tìm số hạng hữu tỷ.
k n k
n

Ca
Giải hệ pt :

m/ p Z
r/ q Z

* Giải pt , bpt chứa

b

k

m
p

Kc d

r
q

, tìm được k

A nk , Cnk ... : đặt điều kiện k, n

N* ..., k

đặt thừa số chung.

1

n. Cần biết đơn giản các giai thừa, qui đồng mẫu số,


Thuviendientu.org
* Cần phân biệt : qui tắc cộng và qui tắc nhân; hoán vị (xếp, khô ng bốc), tổ hợp (bốc, không xếp), chỉnh hợp (bốc rồi
xếp).
* Áp dụng sơ đồ nhánh để chia trường hợp , tránh trùng lắp hoặc thiếu trường hợp.
* Với bài toán tìm số cách chọn thỏa tính chất p mà khi chia trường hợp, ta thấy số cách chọn không thỏa tính chất p ít
trường hợp hơn, ta làm như sau :
số cách chọn thỏa p.
= số cách chọn tùy ý - số cách chọn không thỏa p.
Cần viết mệnh đề phủ định p thật chính xác.
* Vé số, số biên lai, bảng số xe ... : chữ số 0 có thể đứng đầu (tính từ trái sang phải).
* Dấu hiệu chia hết :
- Cho 2 : tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8.
- Cho 4 : tận cùng là 00 hay 2 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4.
- Cho 8 : tận cùng là 000 hay 3 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8.
- Cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3.
- Cho 9 : tổng các chữ số chia hết cho 9.
- Cho 5 : tận cùng là 0 hay 5.
- Cho 6 : chia hết cho 2 và 3.
- Cho 25 : tận cùng là 00, 25, 50, 75.

II- ĐẠI SỐ

b

1.

Chuyển vế :

a+b=c

a bc
;
b 0

a/b = c

a

2n

a

b

a

2n

a = c – b; ab = c

a2 n

b, a

2n

1

2.

c

a

x
x

a
b

x

max{a, b} ;

x a
x b

0

a

b

a c b ; ab c

Giao nghieäm :

b

b a 2n

b
a b

2n 1

a

b

b
a
, a log b
a 0

b

b

c 0

b 0
a c/ b

0, c 0
b 0
a c/ b
b 0
a c/ b

x

min{a, b}

p
x a
x b

3.
a.

a x b(nếu a b)
;
VN(nếu a b)

p q
q

Nhiều dấu v : vẽ trục để giao nghiệm.
Công thức cần nhớ :
: chỉ được bình phương nếu 2 vế không âm. Làm mất

a

b

b 0
, a b
a b2

phải đặt điều kiện.

b 0
0 a b2
2


Thuviendientu.org
a

b 0
a 0

b

a . b (nếu a, b 0)

ab
b.

.

a.

: phá

.

b (nếu a, b 0)

a

b

a

b

a

b

a
Mũ :

a (nếu a

0)

am / an
an .bn

a

b 0hay

a2

b

a

b 0
a
b a

b2

a2

hay bằng định nghóa :

b

b

0

0, y nếu a 1, y neáu 0 a 1.

1/ n am ; am .an

m/n

am n ; (am )n
(ab)n ; am

an

2

b

ax , x R, y

a0 1 ; a

d.

0)

b 0
; a
a
b

b

am

a (nếu a

b

y

a

bằng cách bình phương :

a

c.

b 0
a b2

am

am.n ; an / b n

an

(m

n

(a/ b)n

n,0 a 1)

m

n (neáu a 1)

m

n (neáu 0 a 1)

,

a=1

alog a

log : y = logax , x > 0 , 0 < a 1, y R
y neáu a > 1, y neáu 0 < a < 1, = logaa
loga(MN) = logaM + logaN (
)
loga(M/N) = logaM – logaN (
)

log a M 2

2 log a M , 2 log a M

log a M 2 (

)

3

logaM = 3logaM, logac = logab.logbc
logbc = logac/logab,

log

a

M

1

loga M

loga(1/M) = – logaM, logaM = logaN

loga M loga N

M=N

0 M N(nếu a 1)
M N

0(nếu 0 a 1)

4.

Khi làm toán log, nếu miền xác định nới rộng : dùng điều kiện chặn lại, tránh dùng công thức làm thu hẹp miền xác
định. Mất log phải có điều kiện.
Đổi biến :

a.

Đơn giản

b.
c.
d.
5.
a.
b.

:

t

ax b R, t

x2

0, t

x

0, t

x

0, t

ax

0,t

log a x R

Nếu trong đề bài có điều kiện của x, ta chuyển sang điều kiện của t bằng cách biến đổi trực tiếp bất đẳng thức.
Hàm số : t = f(x) dùng BBT để tìm điều kiện của t. Nếu x có thêm điều kiện, cho vào miền xác định của f.
Lượng giác : t = sinx, cosx, tgx, cotgx. Dùng phép chiếu lượng giác để tìm điều kiện của t.
Hàm số hợp : từng bước làm theo các cách trên.
Xét dấu :
Đa thức hay phân thức hữu tỷ, dấu A/B giống dấu A.B; bên phải cùng dấu hệ số bậc cao nhất; qua nghiệm đơn (bội lẻ) :
đổi dấu; qua nghiệm kép (bội chẵn) : không đổi dấu.
Biểu thức f(x) vô tỷ : giải f(x) < 0 hay f(x) > 0.

3


Thuviendientu.org
c.
6.

Biểu thức f(x) vô tỷ mà cách b không làm được : xét tính liên tục và đơn điệu của f, nhẩm 1 nghiệm của pt f(x) = 0,
phác họa đồ thị của f , suy ra dấu của f.
So sánh nghiệm phương trình bậc 2 với :
f(x) = ax2 + bx + c = 0
(a
0)
* S = x1 + x2 = – b/a ;
P = x1x2 = c/a

Duøng S, P để tính các biểu thức đối xứng nghiệm. Với đẳng thức g(x 1,x2) = 0 không đối xứng, giải hệ pt :

g

0

S x1 x 2
P

x1.x 2

Biết S, P thỏa S2 – 4P 0, tìm x1, x2 từ pt : X2 – SX + P = 0
* Duøng , S, P để so sánh nghiệm với 0 :

0

x1 < 0 < x2

P < 0, 0 < x1 < x2

P

0

S

0

0
P

x1 < x2 < 0

0

S 0
* Dùng , af( ), S/2 để so sánh nghiệm với

0

< x1 < x2

a.f ( )

0

: x1 <

< x2

0

a.f ( )

; x1 < x2 <

S/ 2

7.
a.

b.

a.f( ) 0

< x2

0

S/ 2

a.f( ) 0
< x1 <

af( ) < 0

a.f ( ) 0
; x1 <

a.f ( )

< x2 <

0

Phương trình bậc 3 :
Viête :
ax3 + bx2 + cx + d = 0
x1 + x2 + x3 = – b/a , x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a , x1.x2.x3 = – d/a
Bieát x1 + x2 + x3 = A , x1x2 + x1x3 + x2x3 = B , x1.x2.x3 = C

thì x1, x2, x3 là 3 nghiệm phương trình : x3 – Ax2 + Bx – C = 0
Số nghiệm phương trình bậc 3 :
x=
f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a 0) :

0
f( ) 0
0
f( ) 0

3 nghiệm phân biệt

2 nghiệm phân biệt

0
f( ) 0

< 0 hay

1 nghiệm

=0
f

=0

Phương trình bậc 3 không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao giữa (C) : y = f(x) và (d) :
y = m.
Phương trình bậc 3 không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao giữa (C m) : y = f(x,
m) và (Ox) : y = 0

3 nghiệm

y'

0

y CĐ .y CT

0
4


Thuviendientu.org
y CĐ .y CT

1 nghiệm

c.

0

y'

2 nghiệm

y'

0

y'

0

y CĐ .y CT

0

Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm lập thành CSC :

0

y'

y uốn
d.

0

0

So sánh nghiệm với :
x = xo f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a 0) : so saùnh nghiệm phương trình bậc 2 f(x) với .
Không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao của f(x) = y: (C) và y = m: (d) , đưa vào
BBT.
Không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao của (C m) : y = ax3 + bx2 + cx + d (có
m) ,(a > 0) và (Ox)

0

y'

< x1 < x2 < x3

y CÑ .y CT 0
y( ) 0

x1

x CÑ
y'

x1 <

< x2 < x3

y CÑ .y CT
y( ) 0
x CT
y'

x1 < x2 <

< x3

0

x1

0

x1

x1

y CÑ .y CT 0
y( ) 0

Phương trình bậc 2 có điều kiện :
f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a 0), x

2 nghiệm

f( ) 0
0

, 1 nghiệm

0
f( ) 0
0
f( )

Vô nghiệm

9.

<0

x3

x2

x3

0

x CT
8.

x2

0

y CÑ .y CT
y( ) 0
x CÑ
y'

x1 < x2 < x3 <

0

0

0
f( ) 0

Nếu a có tham số, xét thêm a = 0 với các trường hợp 1 nghiệm, VN.
Phương trình bậc 4 :

5

x2

x3


Thuviendientu.org
a.

4

Trùng phương :

2

ax + bx + c = 0 (a

t = x2

0)

x2

0

f (t ) 0

t

x=

0
4 nghieäm

t

P

0

S

0

P

0
0

2 nghieäm

P 0
S 0

; 3 nghieäm

;

S/ 2

P 0
S 0

1 nghieäm

0

0

S/ 2

0

0
VN

P

<0

0

<0

S 0

0

S

0

0 t1 t 2
t 2 3 t1

4 nghiệm CSC

t2
Giải hệ pt :

P

9 t1

S t1 t 2
P

t1.t 2

1
. Tìm đk của t bằng BBT : t
x
1
– bx + a = 0. Đặt t = x –
. Tìm đk của t bằng BBT : t
x

2

b.

ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0. Đặt t = x +

c.

ax4 + bx3 + cx2

d.

(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e với a + b = c + d. Đặt : t = x 2 + (a + b)x. Tìm đk của t baèng BBT.

e.

(x + a)4 + (x + b)4 = c. Đặt :

10. Hệ phương trình bậc 1 :

D=

a b
a' b'

, Dx =

t

x

a b

,t
2

R.

R.

ax by c
. Tính :
a' x b' y c'
c b
a c
, Dy =
a' c'
c' b'

D 0 : nghieäm duy nhaát x = Dx/D , y = Dy/D.
D = 0, Dx 0 Dy 0 : VN
D = Dx = Dy = 0 : VSN hay VN (giải hệ với m đã biết).
11. Hệ phương trình đối xứng loại 1 :
Từng phương trình đối xứng theo x, y. Đạt S = x + y, P = xy.
ÑK : S2 – 4P 0. Tìm S, P. Kiểm tra đk S2 – 4P 0;
Thế S, P vào pt : X2 – SX + P = 0, giải ra 2 nghiệm là x và y.
( , ) là nghiệm thì ( , ) cũng là nghiệm; nghiệm duy nhất
=
m=?
Thay m vào hệ, giải xem có duy nhất nghiệm không.
12. Hệ phương trình đối xứng loại 2 :
Phương trình này đối xứng với phương trình kia. Trừ 2 phương trình, dùng các hằng đẳng thức đưa về phương trình tích
A.B = 0.

6


Thuviendientu.org
Nghiệm duy nhất làm như hệ đối xứng loại 1.

ax2

13. Hệ phương trình đẳng cấp :

a' x

bxy cy 2

2

b' xy c' y

d
2

d'

Xét y = 0. Xét y 0 : đặt x = ty, chia 2 phương trình để khử t. Còn 1 phương trình theo y, giải ra y, suy ra t, suy ra x. Có
thể xét x = 0, xét x 0, đặt y = tx.
14. Bất phương trình, bất đẳng thức :
* Ngoài các bất phương trình bậc 1, bậc 2, dạng cơ bản của

, .

, log, mũ có thể giải trực tiếp, các dạng khác cần

lập bảng xét dấu. Với bất phương trình dạng tích AB < 0, xét dấu A, B rồi AB.
* Nhân bất phương trình với số dương : không đổi chiều
số âm
: có đổi chiều
Chia bất phương trình : tương tự.
* Chỉ được nhân 2 bất pt vế theo vế , nếu 2 vế không âm.
* Bất đẳng thức Côsi :
a, b

0:

a b
2

ab

Dấu = xảy ra chỉ khi a = b.
a, b, c

0:

a b c
3

3

abc

Dấu = xảy ra chỉ khi a = b = c.
* Bất đẳng thức Bunhiacốpxki : a, b, c, d
(ac + bd)2 (a2 + b2).(c2 + d2); Daáu = xảy ra chỉ khi a/b = c/d
15. Bài toán tìm m để phương trình có k nghiệm :
Nếu tách được m, dùng sự tương giao của (C) : y = f(x) và (d) : y = m. Số nghiệm bằng số điểm chung.
Nếu có điều kiện của x I, lập BBT của f với x I.
16. Bài toán tìm m để bất pt vô nghiệm, luôn luôn nghiệm, có nghiệm x I :
Nếu tách được m, dùng đồ thị, lập BBT với x I.
f(x) m : (C) dưới (d)
(hay cắt)
f(x) m : (C) trên (d)
(hay cắt)
+
III- LƯNG GIÁC

0

1.

2
2
Đường tròn lượng giác :
Trên đường tròn lượng giác, góc đồng nhất với cung AM, đồng nhất với điểm M. Ngược lại,
1 điểm trên đường tròn lượng giác ứng với vô số các số thực x + k2 .
Trên đường tròn lượng giác, nắm vững các góc đặc biệt : bội của
(

1
2

x=
2.

3.

2

cung phần tư) và

0

2

4 M

cung phần tư)
+

2k
n

A 0
:

là 1 góc đại diện, n : số điểm cách đều trên đường tròn lượng giác.

Hàm số lượng giác :

x+k2

tg

sin

cotg

M

M
cos

Cung liên kết :
chiếu xuyên tâm
* Đổi dấu, không đổi hàm : đối, bù, hiệ
u u(ưu tiên không đổi dấu : sin bù, cos đối, tg cotg hiệu ).
chiế
* Đổi hàm, không đổi dấu : phụ
* Đổi dấu, đổi hàm : hiệu

4.

1
6 3
(

2

(sin lớn = cos nhỏ : không đổi dấu).

Công thức :
a. Cơ bản : đổi hàm, không đổi góc.
b. Cộng : đổi góc a b, ra a, b.

7


Thuviendientu.org
c. Nhân đôi : đổi góc 2a ra a.
d. Nhân ba : đổi góc 3a ra a.
e. Hạ bậc : đổi bậc 2 ra bậc 1. Công thức đổi bậc 3 ra bậc 1 suy từ công thức nhân ba.
f. Đưa về

t

tg

a
2

: đưa lượng giác về đại số.

g. Tổng thành tích : đổi tổng thành tích và đổi góc a, b thành (a b) / 2.
h. Tích thành tổng : đổi tích thành tổng và đổi góc a, b thành a b.
5.

Phương trình cơ bản : sin = 0

sin = 1

=

cos = 0

6.

2

cos = – 1 hay cos = 1

+ k2 ; sin = –1

=–

sin = –1 hay sin = 1

=

2

+k ,

a2

b2

, dùng công thức cộng đưa về phương trình cơ bản.

(cách khác : đưa về phương trình bậc 2 theo

tg

u
)
2

2 sin u

4

,

2

t

2,sin u.cos u

t2 1
2

Phương trình chứa sinu + cosu và sinu.cosu :
Đặt :

9.

t

Phương trình đối xứng theo sin, cos :
Đưa các nhóm đối xứng về sin + cos và sin.cos.

Đặt : t = sinu + cosu =

8.

+ k2 ,

2

cos = 1
= k2 , cos = – 1
= + k2
sinu = sinv
u = v + k2
u = – v + k2
cosu = cosv
u = v + k2
tgu = tgv
u=v+k
cotgu = cotgv
u=v+k
Phương trình bậc 1 theo sin và cos : asinu + bcosu = c
* Điều kiện có nghiệm : a2 + b2 c2
* Chia 2 veá cho

7.

=k ,

t

sinu cos u

2 sin u

4

,0 t

2 ,sinu.cos u

t2 1
2

Phương trình chứa sinu – cosu và sinu.cosu :
Đặt :

t

sin u cos u

2 sin u

4

,

2

t

2,sin u.cos u

10. Phương trình chứa sinu – cosu và sinu.cosu :
Đặt :

t

sinu cos u

2 sin u

4

,0 t

2 ,sinu.cos u

11. Phương trình toàn phương (bậc 2 và bậc 0 theo sinu và cosu) :
Xét cosu = 0; xét cosu 0, chia 2 vế cho cos2u, dùng công thức
1/cos2u = 1 + tg2u, đưa về phương trình bậc 2 theo t = tgu.
12. Phương trình toàn phương mở rộng :
* Bậc 3 và bậc 1 theo sinu và cosu : chia 2 vế cho cos3u.
* Bậc 1 và bậc – 1 : chia 2 vế cho cosu.
13. Giải phương trình bằng cách đổi biến :
Nếu không đưa được phương trình về dạng tích, thử đặt :
* t = cosx
: nếu phương trình không đổi khi thay x bởi – x.
* t = sinx
: nếu phương trình không đổi khi thay x bởi – x.
* t = tgx

: nếu phương trình không đổi khi thay x bởi + x.
* t = cos2x : nếu cả 3 cách trên đều đúng
* t = tg

x
2

: nếu cả 3 cách trên đều không đúng.

8

1 t2
2

1 t2
2


Thuviendientu.org
14. Phương trình đặc biệt :
*

u2

v2

u

v

0

u C

*

v C
*

u

A

v

B

u v

u

C

v

C

A B

* sinu.cosv = 1

* sinu.cosv = – 1

u 0
v 0

u

A

v

B

sin u 1
sin u
1
cos v 1
cos v
1
sin u 1
sin u
1
cos v
1
cos v 1

Tương tự cho : sinu.sinv = 1, cosu.cosv = 1.
15. Hệ phương trình : Với F(x) là sin, cos, tg, cotg
a. Dạng 1 :

F(x) F(y) m (1)
x y n
(2)

. Dùng công thức đổi + thành nhân,

thế (2) vào (1) đưa về hệ phương trình :

x y
x y

a
b

F(x).F(y) m
. Tương tự dạng 1, dùng công thức đổi nhân thành +.
x y n
F ( x ) / F( y ) m
Daïng 3 :
.
x y n
a c
a c a c
Dùng tỉ lệ thức :
biến đổi phương trình (1) rồi dùng
b d
b d b d

b. Dạng 2 :

c.

công thức đổi + thành x.
d. Dạng khác : tìm cách phối hợp 2 phương trình, đưa về các pt cơ bản.
16. Toán :
* Luôn có sẵn 1 pt theo A, B, C : A + B + C =
* A + B bù với C, (A + B)/2 phụ với C/2.
* A, B, C (0, ) ; A/2, B/2, C/2 (0, /2)
A + B (0, ) ; (A + B)/2 (0, /2) ;
A – B (– , ) , (A – B)/2 (– /2, /2)
Dùng các tính chất này để chọn k.
* Đổi cạnh ra góc (đôi khi đổi góc ra cạnh) : dùng định lý hàm sin :
a = 2RsinA hay định lý hàm cos : a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA
*

*

*

1
1
abc
aha
ab sin C
pr
2
2
4R
p(p a)( p b)( p c)

1
2 b2 2c2 a2
Trung tuyeán : m a
2
A
2 bc cos
2
Phân giác : ℓa =
b c
S

9


Thuviendientu.org
IV- TÍCH PHÂN
1.

Định nghóa, công thức, tính chất :
* F là 1 nguyên hàm của f
f là đạo hàm của F.
Họ tất cả các nguyên hàm của f :

f (x)dx = F(x) + C
*

du

u C ; u du

du
u

ln u

f(x)dx

R)

C,

–1

C; e u du e u C; a udu

du / sin 2 u
*

1

1

cos udu

cos u C ;

sin udu

b

u

(C

cot gu C

F(x)

a u / ln a C

sin u C

du / cos 2 u

;

tgu C

F(b) F(a)

b
a

a

*

a
a
b

b

0;

a

b
b

( f g)

a

2.

a
b

f

a

,

c
a

g ;

a

b

b

c

a

b

kf

a

b

k f
a

Tích phân từng phần :

udv

uv

vdu

Thường dùng khi tính tích phân các hàm hỗn hợ p.

a.

x nex ,

x n sin x ; x n cos x : u

b.

x n ln x : u

c.

e x sin x , e x cos x : u

xn

ln x
e x hay dv

e x dx

từng phần 2 lần, giải phương trình ẩn hàm ʃ
3.

Các dạng thường gặp :

a.

sin m x. cos 2 n 1 x

:

u = sinx.

cos m x. sin 2 n 1 x

:

u = cosx.

sin 2 m x. cos 2 n x

:

haï bậc về bậc 1

tg 2 m x / cos 2 n x

:

u = tgx (n

cot g2 m x / sin 2 n x

:

u = cotgx

chứa a2 – u2

:

u = asint

chứa u2 – a2

:

u = a/cost

chứa a2 + u2

:

u = atgt

b.

c.

d.

R(sin x, cos x)

0)
(n

, R : hàm hữu tỷ

R(–sinx, cosx) = – R(sinx, cosx)

R(sinx, –cosx) = – R(sinx, cosx)

: u = cosx
: u = sinx

10

0)


Thuviendientu.org
R(–sinx,–cosx) = R(sinx, cosx)
R đơn giản :
/2

u

tg

: thử đặt u

0

x
2

u = cotgx

Z : uq

a bx n

x

2

: thử đặt u

: u = tgx

x

0

e.

x m (a bx n )p / q , (m 1) / n

f.

x m (a bx n )p / q ,

g.

dx /[( hx k) ax2

h.

R(x, (ax b) /(cx d )

i.
4.

m 1 p
n
q

5.

, R là hàm hữu tỷ :

u

(ax b) /(cx d)

chứa (a + bxk)m/n : thử đặt un = a + bxk.
Tích phân hàm số hữu tỷ :
: bậc P < bậc Q

Đưa Q về dạng tích của x + a, (x + a) n, ax2 + bx + c ( < 0)
Đưa P/Q về dạng tổng các phân thức đơn giản, dựa vào các thừa số của Q :

x a
ax2

a bx n
1
u

bx c : hx k

P ( x ) / Q( x )
*
*

Z : uq x n

bx c(

A

x a
0)

, (x a)n
A(2ax b)
ax2 bx c

A1
x a
ax

2

A2
(x a)2

B
bx c

An
(x a)n

...

dx
(
ax bx c
2

0)

du /(u2 a2 ) : đặt u atgt

Tính diện tích hình phẳng :
b

SD

f (x) dx

a.

D giới hạn bởi x = a, x = b, (Ox), (C) : y = f(x) :

b.

f(x) : phân thức hữu tỉ : lập BXD f(x) trên [a,b] để mở
đường tròn lượng giác.
D giới hạn bởi x = a, x = b , (C) : y = f(x)

a

(C') : y = g(x) :

SD

b

. ; f(x) : hàm lượng giác : xét dấu f(x) trên cung [a, b] của

f (x) g(x) dx

a

c.

Xét dấu f(x) – g(x) như trường hợp a/.
D giới hạn bởi (C1) : f1(x, y) = 0 , (C2) : f2 (x, y) = 0

f(x)

/

SD

g(y)

f(x) g(x) dx

a

g(x)
x=a

b

x=b

y=b
f(y)
y=a

/

SD

b

f(y) g(y) dy

a

Với trường hợp ) : nếu biên trên hay biên dưới bị gãy, ta cắt D bằng các đường thẳng đứng ngay chỗ gãy.
Với trường hợp ) : nếu biên phải hay biên trái bị gãy, ta cắt D bằng các đường ngang ngay chỗ gãy.

11


Thuviendientu.org

Chọn tính theo dx hay dy để dễ tính toán hay D ít bị chia cắt.
Cần giải các hệ phương trình tọa độ giao điểm.
Cần biết vẽ đồ thị các hình thường gặp : các hàm cơ bản, các đường tròn, (E) , (H), (P), hàm lượng giác, hàm mũ,
hàm

.

.

Cần biết rút y theo x hay x theo y từ công thức f(x,y)

y ...
6.
a.

: trên, y ...

: dưới, x ...

Tính thể tích vật thể tròn xoay :
D như 5.a/ xoay quanh (Ox) :

V

b

= 0 và

: phải, x ...

biết chọn

: trái

f(x)

f (x) 2 dx

a

b

a

b.

V

b

b
a

f (y) 2 dy

f(y)

a

c.

V

b

f(x)

g(x)

[f 2 (x) g2 (x)]dx

d.

V

b

b

[f 2 (y) g2 (y)]dy

a

e.

V

c

f.

V

f(y)

g(y)

a

f 2 (x)dx

a

c

b

a

a

b

f(x)

g2 (x)dx

a

f(x)

b

c

2

g (y)dy

a

b

a
g(x
0)

b

f 2 (y)dy

Chuù yù : xoay quanh (Ox) : ...dx ; xoay quanh (Oy) : ... dy.
V- KHẢO SÁT HÀM SỐ

a.
b.

c

b
f(y)

c

c

a

1.

-g(x)

0
, dạng 1 :
0
P( x )
(x a)P1 (x)
P
(dạng 0 / 0) lim
lim 1
Phân thức hữu tỷ : lim
x a Q(x)
x a (x a)Q1 (x)
x a Q1
f ( x)
sin u
Hàm lg : lim
(dạng 0 / 0), dùng công thức lim
1
x a g(x)
u 0 u

Tìm lim daïng

12

-g(y)

hay


Thuviendientu.org
c.

Hàm chứa căn :

f (x)
(dạng 0 / 0) , dùng lượng liên hiệp :
a g(x)

lim

x

, a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) để phá 3

a2 – b2 = (a – b)(a + b) để phá
d.

Hàm chứa mũ hay log (dạng 1 ) : dùng công thức

2.

Đạo hàm :

a.

Tìm đạo hàm bằng định nghóa :

f ' (x 0 )

lim (1 u)1/ u

u

0

e

f (x ) f (x o )
xo
x xo

lim

x

Tại điểm xo mà f đổi công thức, phải tìm đạo hàm từng phía :

f / (x o )

lim , f / (xo )

x

xo

b.

Ý nghóa hình học :

c.

f/ + : f
f// + : f lõm

d.

lim .

x

xo

Nếu

f / (x o ) f / (x o )

k = tg = f/(xM)
f/ – : f
f// – : f loài

,
,

f(x)

M

f / (x M ) 0

f đạt CĐ tại M

f // (x M ) 0
f / (x M ) 0

f đạt CT tại M

f // (x M ) 0

M là điểm uốn của f

f//(xM) = 0 và f// đổi dấu khi qua xM.

Tính đạo hàm bằng công thức : C/ = 0, (x )/ = x

e.

thì f có đạo hàm tại xo.

–1

, (lnx)/ = 1/x ,

loga x

1
, (ex)/ = ex
x ln a

(ax)/ = ax.lna, (sinx)/ = cosx , (cosx)/ = – sinx, (tgx)/ = 1/cos2x,
(cotgx)/ = –1/sin2x, (ku)/ = ku/ , (u v)/ = u/ v/, (uv)/ = u/v + uv/ ,
(u/v)/ = (u/v – uv/)/v2
* Hàm hợp : (gof)/ = g/[f(x)] . f/(x)
* Đạo hàm lôgarit : lấy log (ln : cơ số e) 2 vế , rồi đạo hàm 2 vế; áp dụng với hàm [f(x)] g(x) hay f(x) dạng tích, thương,
chứa n

Vi phân : du = u/dx
Tiệm cận :

f.
3.

lim y

x

...

a

x = a : tcñ

x

a

y

lim y

x

b

y = b : tcn
x
y

lim [y (ax b)] 0

x

*

b

b
x

y = ax + b : tcx

y

Vẽ đồ thị có tiệm cận :
- t c đ : khi y càng tiến về
thì đường cong càng gần đường t c .
- t c x :khi x và y càng tiến về
thì đường cong càng gần đường t c.
- t c n :khi x càng tiến về
thì đường cong càng gần đường t c.

13


Thuviendientu.org
*

Xét

P( x )
Q(x)

y

Có tcđ x = a khi Q(a) = 0, P(a) 0
Có tcn khi bậc P bậc Q : với x
của Q.

, tìm lim y bằng cách lấy số hạng bậc cao nhất của P chia số hạng bậc cao nhất

Có tcx khi P hơn Q 1 bậc, khi đó chia đa thức ta có :

*

f (x) ax b

P1(x)
, tcx là y = ax + b. Nếu Q = x –
Q(x)

thể chia Honer.
Biện luận tiệm cận hàm bậc 2 / baäc 1 :

y

ax b

c
dx e

(d

0)

a 0, c 0 : có tcđ, tcx
a = 0, c 0 : có tcn, tcđ.
c = 0 : (H) suy biến thành đt, không có tc.
4. Đồ thị các hàm thường gặp :
a/ y = ax + b :
a>0
b/ y = ax2 + bx + c
c/ y = ax3 + bx2 + c + d

a<0

a>0

a=0

a<0

a> 0 :

y

a<0:

>0

y

<0

y

=0

d/ y = ax4 + bx2 + c
a>0
a<0

ab > 0

ab < 0

e/ y = (ax + b) / (cx + d) (c

0)

ad - bc > 0

f/ y =

ax2 bx c
dx e

(ad

ad - bc < 0

0)

ad > 0
y

y

>0

=0

y

<0

ad < 0

x=a
5. ĐỐI XỨNG ĐỒ THỊ :
g(x) = f(–x) : đx qua (Oy)
g(x) = – f(x) : đx qua (Ox)

x
a
x>a
14

y>b
b

y=b
y
, có


Thuviendientu.org
(C/) : y =

f (x)

(C/) : y =

f ( x ) : giữ nguyên phần (C) bên phải x = 0, lấy phần (C) bên phải x = 0 đối xứng qua (Oy).

: giữ nguyên phần (C) bên trên y = 0, lấy phần (C) bên dưới y = 0 đối xứng qua (Ox).

6. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA (Cm) : y = f(x, m)
a/ Điểm cố định : M(xo, yo) (Cm), m

A 0
B 0

A

(hay

0

C

C

Am + B = 0,

m (hay Am2 + Bm + C = 0,

m)

0

VN

B=0

(Cm), m

A 0
(hay
B 0

m (hay Am2 + Bm + C = 0 VN m)

A
B

m

B 0 ). Giải hệ, được M.

b/ Điểm (Cm) không đi qua, m : M(xo, yo)

Chú ý :

yo = f(xo, m),

A

yo

0

f(xo,m), m

B 0
C

A

0
0

0

yo = f(xo, m) VN m

Am + B = 0 VN

). Giải hệ , được M.

B 0
A BC VN

c/ Điểm có n đường cong của họ (Cm) đi qua : Có n đường (Cm) qua M(x o, yo)
yo = f(xo, m) có n nghiệm m. Cần nắm
vững điều kiện có n nghiệm của các loại phương trình : bậc 2, bậc 2 có điều kiện x
, bậc 3, trùng phương.
7. TIẾP XÚC, PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN :
a.

b.

(C) : y = f(x), tx (C/) : y = g(x) khi hệ phương trình sau có nghiệm :

y

/

y

C/ . Nghiệm x của hệ là hoành độ tiếp
y / C/

C

điểm.
Tìm tiếp tuyến với (C) : y = f(x)
* Taïi M(xo, yo) : y = f'(xo)(x – xo) + yo.
* Qua M (xo, yo): vieát phương trình đường thẳng qua M : (d) : y = k(x – xo) + yo. Dùng điều kiện tx tìm k. Số lượng k =
số lượng tiếp tuyến (nếu f bậc 3 hay bậc 2 / bậc 1 thì số nghiệm x trong hệ phương trình đk tx = số lượng tiếp tuyến).
* // ( ) : y = ax + b : (d) // ( )
(d) : y = ax + m. Tìm m nhờ đk tx.
*

c.

yC

( ) : y = ax + b (a

0) : (d)

( )

Baøi toán số lượng tiếp tuyến : tìm M
M(xo,yo)

(C/)

(d) : y =

1
x + m. Tìm m nhờ đk tx.
a

(C/) : g(x, y) = 0 sao cho từ M kẻ được đến (C) đúng n tiếp tuyến (n = 0, 1, 2, ...),

g(xo,yo) = 0; (d) qua M : y = k(x – xo) + yo; (d) tx (C) :

yC yd
y/ C k

(1). Thế k vào (1) được phương

trình ẩn x, tham số xo hay yo. Đặt đk để phương trình này có n nghiệm x (số nghiệm x = số tiếp tuyến), tìm được x o hay
yo.
8. TƯƠNG GIAO :
* Phương trình hđ điểm chung của (C) : y = f(x) vaø (C /) : y = g(x) laø : f(x) = g(x). Số nghiệm pt = số điểm chung.
* Tìm m để (Cm) : y = f(x, m) và (C/m) : y = g(x, m) có n giao điểm : Viết phương trình hoành độ điểm chung; đặt đk để
pt có n nghiệm. Nếu pt hoành độ điểm chung tách được m sang 1 vế : F(x) = m : đặt điều kiện để (C) : y = F(x) và (d) :
y = m có n điểm chung.

* Biện luận sự tương giao của (Cm) và (C/m) :
Nếu pt hđ điểm chung dạng : F(x) = m : lập BBT của F; số điểm chung của (C m) và (C/m) = số điểm chung của (C)
và (d).
PThđ điểm chung, không tách được m, dạng f(x) = ax2 + bx + c = 0 (x
) hay dạng bậc 3 : x =
f(x) = 0 : lập ,
xét dấu , giải pt f(x) = 0 để biết m nào thì là nghiệm của f, với m đó, số nghiệm bị bớt đi 1.
9. CỰC TRỊ :
* f có đúng n cực trị
f/ đổi dấu n lần.
* f đạt cực đại tại xo

f / (x o ) 0

f // (xo ) 0
15


Thuviendientu.org
f / (x o ) 0

f đạt cực tiểu tại xo

f // (xo ) 0

* f baäc 3 (hay baäc 2 / bậc 1) có cực trị

f có CĐ và CT

f

/

>0

* f baäc 3 (hay baäc 2 / baäc 1) có cực trị :
Bên phải (d) : x =
y/ = 0 có 2 nghiệm < x1 < x2.
Bên trái (d) : x =
y/ = 0 có 2 nghiệm x1 < x2 < .
1 bên (Ox)

2 bên (Ox)

f/

0

yCD .yCT
f/

0

0

yCD .yCT

0

* Với hàm bậc 2 / bậc 1, các điều kiện yCĐ.yCT < 0 (>0) có thể thay bởi y = 0 VN (có 2 nghiệm.).

* Tính yCĐ.yCT :
Hàm bậc 3 : y = y/ (Ax + B) + (Cx + D)
yCÑ.yCT = (CxCĐ + D).(CxCT + D), dùng Viète với pt y/ = 0.
Hàm bậc 2/ bậc 1 :
yCĐ.yCT =

u
v
/
u (x CĐ ).u / (x CT )
, dùng Viète với pt y/ = 0.
/
/
v (x CĐ ).v (x CT )

y

* Đường thẳng qua CĐ, CT :
Hàm bậc 3 : y = Cx + D
Hàm bậc 2 / bậc 1 : y = u/ / v/
* y = ax4 + bx2 + c có 1 cực trị
ab 0, 3 cực trị
ab < 0
10. ĐƠN ĐIỆU :
a. Biện luận sự biến thiên của hàm bậc 3 :
i) a > 0 và y’ = 0 vô nghiệm
hàm số tăng trên R (luôn luôn tăng)
ii) a < 0 và y’ = 0 vô nghiệm
hàm số giảm (nghịch biến) trên R (luôn luôn giảm)
iii) a > 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2

hàm số đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2.
Ngoài ra ta còn có :
+ x1 + x2 = 2x0 với x0 là hoành độ điểm uốn.
+ hàm số tăng trên ( , x1)
+ hàm số tăng trên (x2, + )
+ hàm số giảm trên (x1, x2)
iv) a < 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2
hàm đạt cực tiểu tại x1 và đạt cực đại tại x2 thỏa điều kiện x1 + x2 = 2x0 (x0 là hoành độ điểm uốn). Ta cũng có :
+ hàm số giảm trên ( , x1)
+ hàm số giảm trên (x2, + )
+ hàm số tăng trên (x1, x2)
b.

Biện luận sự biến thiên của y =

bậc 2
bậc1

i) Nếu a.m > 0 và y/ = 0 vô nghiệm thì hàm tăng ( đồng biến) trên từng khỏang xác định.
ii) Nếu a.m < 0 và y/ = 0 vô nghiệm thì hàm giảm ( nghịch biến) trên từng khỏang xác định.
iii) Nếu a.m > 0 và y/ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì hàm đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2 thỏa x1 < x2 và

x1 x2
2

p
.
m

x1 x2

2

p
.
m

iv) Nếu a.m < 0 và y/ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì hàm đạt cực tiểu tại x1 và đạt cực đại tại x2 thỏa x1 < x2 và

16


Thuviendientu.org
c.

Tìm m để hàm số bậc 3, bậc 2/bậc 1 đồng biến (nghịch biến) trên miền x I : đặt đk để I nằm trong miền đồng biến
(nghịch biến) của các BBT trên; so sánh nghiệm pt bậc 2 y / = 0 với .
11. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PT BẰNG ĐỒ THỊ :
a. Cho pt : F(x, m) = 0; tách m sang 1 vế : f(x) = m; lập BBT của f (nếu f đã khảo sát thì dùng đồ thị của f), số nghiệm = số
điểm chung.
b.

, .

Với pt mũ, log,

, lượng giác : đổi biến; cần biết mỗi biến mới t được mấy biến cũ x; cần biết đk của t để cắt bớt

đồ thị f.
12. QUỸ TÍCH ĐIỂM DI ĐỘNG M(xo, yo) :
Dựa vào tính chất điểm M, tìm 2 đẳng thức chứa x o, yo, m; khử m, được F(xo, yo) = 0; suy ra M (C) : F(x, y) = 0; giới

hạn quỹ tích : M tồn tại
m?
xo ? (hay yo ?)
Nếu xo = a thì M (d) : x = a.
Nếu yo = b thì M (d) : y = b.
13. TÂM, TRỤC, CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG :
a. CM hàm bậc 3 có tâm đx (điểm uốn), hàm bậc 2/bậc 1 có tâm đx (gđ 2 tc)
tại I : đổi tọa độ : x = X + xI, y = Y + yI; thế vào hàm số : Y = F(X), cm :
F(–x) = – F(x), suy ra F là hàm lẻ, đồ thị có tđx là gốc tọa độ I.
b. CM hàm bậc 4 có trục đx // (Oy) : giải pt y / = 0; nếu x = a là nghiệm duy nhất hay là nghiệm chính giữa của 3 nghiệm :
đổi tọa độ x = X + a, y = Y; thế vào hàm số : Y = F(X); cm F(–X) = F(X); suy ra F là hàm chẵn, đồ thị có trục đối xứng
là trục tung X = 0, tức x = a.
c. Tìm trên (C) : y = f(x) cặp điểm M, N đối xứng qua I : giải hệ 4 pt 4 ẩn :

x M x N 2x I
y M y N 2y I
y M f(x M )
y N f(x N )

d.

Tìm trên (C) : y = f(x) cặp điểm đ/x qua đt (d) : y = ax + b : dt

(d') : y = –

(d) là

1
x + m; lập pt hđ điểm chung của (C) và (d'); giả sử pt có 2 nghiệm x A, xB, tính tọa độ trung điểm I của AB theo
a

m; A, B đối xứng qua (d)
I (d)
m?; thay m vào pthđ điểm chung, giải tìm xA, xB, suy ra yA, yB.
14. Tìm điểm M

yM

axM

xM , yM

c

(C) : y = ax + b +

b

Z

yM

c
dx M e

yM

axM

xM

Z, dx M

b

xM ,

có tọa độ nguyeân (a, b, c, d, e

dx e
ax M
c

dx M

c

b
e

dx M

e

Z

c
dx M e
e ước số của c

15. Tìm min, max của hàm số y = f(x)
Lập BBT, suy ra miền giá trị và min, max.
16. Giải bất phương trình bằng đồ thò :
f
a < x < b, f > g

f

a

g

x

b,f

x a
b x
x a
x b

g

f
g
a
VI- HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

1.

Tọa độ , vectơ :
* (a,b) (a/, b/) = (a

a/, b

b/)

17

b

Z) : giải hệ


Thuviendientu.org
k(a, b) = (ka, kb)
(a, b) = (a/, b/)

a

a/

b

b/

(a, b).(a/,b/) = aa/ + bb/

(a, b)

cos( v ,v / )

a2

b2
v.v /
v . v/

AB (x B x A , y B y A ), AB

AB

MA

k MB
x A kx B
y A ky B
(k 1)
xM
, yM
1 k
1 k
xA xB
yA yB
M : trung điểm AB
xM
, yM
2
2
xA xB xC

xM
3
M : trọng tâm ABC
yA yB yC
yM
3
M chia AB theo tỉ số k

(tương tự cho vectơ 3 chiều).
* Vectơ 3 chiều có thêm tích có hướng và tích hỗn hợp :

v (a, b, c), v

*

(a' , b' , c' )

 
v, v/

b c c a a b
,
,
b / c/ c/ a / a / b /

[ v ,v / ]

v . v / .sin( v ,v / )

 

 
[v, v/ ] v, v/
 

v v/
v.v/ = 0 ; v // v /
  
[v, v/ ].v// 0
1
S ABC
AB, AC
2
1
VS.ABC
AB, AC .AS
6
VABCD .A'B'C'D'

  

[ v ,v / ] = 0 ; v, v / , v // đồng phẳng

[AB, AD].AA

A, B, C thẳng hàng
*

/

/

AB // AC

trong mp : H là trực tâm

H là chân đường cao ha

M là chân phân giác trong

AH.BC

0

BH.AC

0

AH.BC

0

BH // BC

A

MB

AB
MC
AC

18


Thuviendientu.org
M là chân phân giác ngòai

I là tâm đường tròn ngoại tiếp

2.

IA = IB = IC.

I là tâm đường tròn nội tiếp
ABC.
Đường thẳng trong mp :

I là chân phân giác trong

* Xác định bởi 1 điểm M(xo,yo) và 1vtcp
(d) :

x

xo

at

y

yo

bt

, (d ) :

AB
MC
AC

MB

A

x xo
a

v

B

của ABM với M là chân phân giác trong

= (a,b) hay 1 pháp vectơ (A,B) :

y yo
b

(d) : A(x – xo) + B(y – yo) = 0

x y

1
a b
y yA
yB yA

* (d) qua A(a, 0); B(0,b) :
* (AB) :

x xA
xB xA

* (d) : Ax + By + C = 0 coù

v

( B, A) ; n

(A, B)

C

* (d) // ( ) : Ax + By + C = 0
(d) : Ax + By +
* (d) ( ) (d) : – Bx + Ay + C/ = 0
* (d), (d/) tạo góc nhọn thì :

nd .nd /

cos =

cos( nd ,nd / )

nd . nd /
* d(M,(d)) =

AxM

=0

By M C

A2

B2

* Phân giác của (d) : Ax + By + C = 0 vaø (d/) : A/x + B/y + C/ = 0 laø :

A / x B/ y C/

Ax By C
A2

B2

A/ 2

n d .n

d/

> 0 : phân giác góc tù + , nhọn –

n d .n

d/

< 0 : phân giác góc tù – , nhọn +

B/ 2

* Tương giao : Xét hpt tọa độ giao điểm.
3. Mặt phẳng trong không gian :
* Xác định bởi 1 điểm M(xo, yo, zo) và 1 pháp vectơ :

n

= (A, B, C) hay 2 vtcp

(P) : A(x – xo) + B(y – yo) + C(z – zo) = 0

n

=[

v , v' ]

(P) : Ax + By + Cz + D = 0 coù

n

= (A, B, C).

(P) qua A(a,0,0); B(0,b,0); C(0,0,c)
(P) : x/a + y/b + z/c = 1
* Cho M(xo, yo, zo), (P) : Ax + By + Cz + D = 0
d(M,(P)) =

Axo

By o Cz o

A2

B2 C2

* (P) , (P/) tạo góc nhọn
* (P)

(P/)

n( P )

D

thì : cos

=

n(P') , (P) // (P/)

cos( n( P ) , n( P ') )

n(P ) // n(P')

4. Đường thẳng trong không gian :

19

v , v' .

A

của


Thuviendientu.org
v

* Xác định bởi 1 điểm M (xo, yo, zo) vaø 1 vtcp

(d) :

x

xo

at

y

yo

bt , (d ) :

z

zo

ct

x xo
a

v
* (AB) :

x xA
xB xA

* (d) = (P)

v

z zo
c

0

thì :

[AM, v ]
v

là góc nhọn giữa (d), (d/) thì :

cos( vd , v / )

cos =
*

:

[ n , n' ]

A' x B' y C' z D'

d(M,(d)) =
*

y yo
b

n , n'

y yA
z zA
yB y A z B z A
Ax By Cz D 0

(P/) :

* (d) qua A, vtcp

= (a, b, c) hay 2 phaùp vectơ :

d

là góc nhọn giữa (d), (P) thì :
sin =

cos( vd , n p )

v , (P) coù pvt n

* (d) qua M, vtcp

v.n

(d) cắt (P)

:

0

(d) // (P)

v.n

= 0 và M

(P)

(d)

v.n

= 0 và M

(P)

(P)

* (d) qua A, vtcp
(d) cắt (d/)
(d) // (d/)

[
[

(d) cheùo (d/)
(d/)

(d)

v

v , v' ]
v , v' ]

v , v' ] = 0

* (d) cheùo (d/) : d(d, d/) =

v'

:

0 , [ v , v' ] AB

v , v' ] = 0
[

[

; (d /) qua B, vtcp

,A

=0

(d/)

0 , [ v , v' ] AB
,A

0

(d/)

[ v , v' ] AB

* (d) chéo (d/) , tìm đường

[ v , v' ]
chung ( ) : tìm

n

[ v , v' ] ; tìm (P) chứa (d), // n

/

(P) (P ).
* (d) (P), cắt (d/) (d) nằm trong mp (P), chứa (d/).
* (d) qua A, // (P)
(d) nằm trong mp chứa A, // (P).
* (d) qua A, cắt (d/) (d) nằm trong mp chứa A, chứa (d/).
* (d) cắt (d/), // (d//) (d) nằm trong mp chứa (d/), // (d//).
* (d) qua A, (d/) (d) nằm trong mp chứa A, (d/).
* Tìm hc H của M xuống (d) : viết pt mp (P) qua M, (d), H = (d) (P).
* Tìm hc H của M xuống (P) : viết pt đt (d) qua M, (P) : H = (d) (P).
* Tìm hc vuông góc của (d) xuống (P) : viết pt mp (Q) chứa (d), (P);
(d/) = (P) (Q)
* Tìm hc song song của (d) theo phương ( ) xuống (P) : viết pt mp (Q) chứa (d)

20

; tìm (P/) chứa (d/), //

n

;( )=