tính toán dao dộng của dầm, khung có độ cứng thay đổi

Lời cảm ơn
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trờng Đại học Kiến trúc Hà
Nội, các thầy cô trong khoa Sau đại học, cùng với các thầy cô giáo các bộ
môn đã tạo mọi điều kiện để chúng tôi có thể hoàn thành khoá học 2008-
2011!
Đặc biệt tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến thầy giáo hớng dẫn luận
văn tốt nghiệp của tôi là thầy: PGS.TS Đặng Quốc Lơng. Tôi xin cảm ơn thầy
đã nhiệt tình giúp đỡ, tạo điều kiện, dành nhiều thời gian cũng nh đầu t tài liệu
để hớng dẫn tôi hoàn thành đợc luận văn tốt nghiệp của mình!
Tôi xin cảm ơn công ty CP T vấn Đầu t Xây dựng và Thơng Mại Việt
Bắc cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ tôi
trong thời gian học tập và làm luận văn tốt nghiệp của mình.
Luận văn của tôi còn cha thật hoàn chỉnh, nhiều chỗ trình bày còn thiếu
sót. Nhng tôi xin hứa sẽ đầu t nghiên cứu thêm những vấn đề còn thiếu sót đó
để hoàn thiện thêm kiến thức của mình trong quá trình làm việc sau này!
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đã thực hiện đầy đủ các yêu cầu của một luận văn tốt
nghiệp thạc sỹ chuyên ngành xây dựng dân dụng và công nghiệp. Tôi cam
đoan đã thực hiện đúng quy cách luận văn, và nội dung đề tài phù hợp với
chuyên ngành. Đề tài luận văn của tôi cũng không bị trùng lặp với các đề tài
luận văn tốt nghiệp trớc đây. Nội dung của luận văn đã đợc trích dẫn đầy đủ
các tài liệu tham khảo.
1
Mục lục Trang
Mục lục
Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt
Phần 1: Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
2. Mục đích nghiên cứu
3. Đối tợng và phạm vi nghiên cứu
4. ý nghĩa thực tiễn và khoa học của đề tài

Phần 2: nội dung của luận văn
Chơng 1: Tổng quan về DĐ của dầm, khung có
độ cứng thay đổi.
9
Chơng 2: một số phơng pháp tính dao động
của dầm, khung có độ cứng thay đổi.
15
2.1 Phơng pháp chuyển vị (phơng pháp ghép trơn).
15
2.1.1 Phơng trình vi phân dao động của dầm có tiết diện đều
15
2.1.2 Nghiệm của phơng trình vi phân dao động của dầm có tiết
16
2
diện đều
2.1.3 Mô men và lực cắt tại biên của thanh dao động ngang.
19
2.1.4 Các hàm tần số
24
2.1.5 Bài toán dầm có tiết diện thay đổi
27
2.1.6 áp dụng phơng pháp chuyển vị (phơng pháp ghép trơn)
28
2.2 Phơng pháp hệ tơng đơng
31
2.2.1 Giới thiệu phơng pháp hệ tơng đơng
31
2.2.2 Phơng pháp gần đúng của hệ tơng đơng
36
2.2.3 Bài toán dầm siêu tĩnh.

41
2.2.4 Dao động của dầm có độ cứng thay đổi.
45
2.2.5 Tính toán dao động cho dầm, khung, và các kết cấu công
trình đơn giản
48
2.2.6 Hệ khung có dầm lý tởng
50
2.2.7 Khung một tầng và kết cấu công trình đơn giản
50
2.2.8 áp dụng cho hệ khung 2 tầng và các công trình 2 tầng
57
2.2.9 áp dụng phơng pháp hệ tơng đơng tính toán dao động của
khung có độ cứng thay đổi
64
Chơng 3: áp dụng tính dao động của dầm,
khung có độ cứng thay đổi.
66
3.1 Ví dụ về tính dao động của dầm có dộ cứng thay đổi bằng
phơng pháp chuyển vị (phơng pháp ghép trơn)
66
3.2 Phơng pháp hệ tơng đơng
70
3.2.1 Ví dụ về tính dao động của dầm có độ cứng thay đổi bằng
phơng pháp hệ tơng đơng
70
3.2.2 Ví dụ về tính dao động của khung có độ cứng thay đổi bằng
phơng pháp hệ tơng đơng
77
Kết luận và kiến nghị

82
tài liệu tham khảo
83
Phụ lục
85
Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt
M Mô men uốn
M
e
Mô men uốn của hệ tơng đơng
Q Lực cắt hoặc tải tập trung
Q
e
- Lực cắt của hệ tơng đơng
q Tải phân bố
q
e
- Tải phân bố trong hệ tơng đơng
m Khối lợng
m
i
Khối lợng của đơn vị thứ i
3
à - Khối lợng một đơn vị chiều dài dầm
E Mô đun đàn hồi
J Mô men quán tính
- Biên độ dao động
- Tần số dao động
- Đại lợng không thứ nguyên của EJ
v Vận tốc

c Hệ số cản nhớt
k Hệ số đàn hồi
t Thời gian
- Chu kỳ dao động
f Tần số dao động
l Chiều dài dầm
n Số đoạn chia
- Sai số
- Góc xoay
- Chuyển vij
W Trọng lợng
g Gia tốc trọng trờng
&
x
- Vận tốc
&&
x
- Gia tốc
F Lực tác dụng
4
Phần 1: Mở đầu
Việt Nam là một đất nớc đang phát triển, đời sống kinh tế xã hội đang
ngày càng đợc cải thiện và nâng cao. Các ngành công nghiệp trong nớc cũng
đang từng bớc phát triển mạnh mẽ. Ngành xây dựng trong nớc cũng đang có
những bớc phát triển đáng kể. Các công trình xây dựng và giao thông ngày
càng đợc thiết kế với kiến trúc đa dạng và hiện đại, đòi hỏi phần kết cấu phải
theo kịp để đáp ứng yêu cầu kiến trúc và chất lợng công trình. Trớc kia, các
kết cấu có tiết diện thay đổi thờng đợc đơn giản hóa, tính toán nh các kết cấu
có tiết diện không đổi tơng đơng. Nhng ngày nay, yêu cầu cần phải phát triển
và hoàn thiện công nghệ tính toán các công trình xây dựng nói chung và các

công trình kỹ thuật đặc biệt nói riêng để nâng cao độ chính xác trong quá
trình thiết kế kết cấu. Việc tính toán các kết cấu phải có sự chính xác cao và
thuận tiện cho việc sử dụng máy vi tính. Mặc dù vấn đề tính toán kết cấu là rất
quan trọng và đã đợc nhiều nhà khoa học quan tâm, và đã có nhiều công trình
nghiên cứu, song vẫn còn nhiều vấn đề về phơng pháp tính toán các kết cấu
vẫn cha đợc giải quyết triệt để. Cũng xuất phát từ nhu cầu giải quyết những
vấn đề đó tôi đã chọn đề tài của mình là:
Tính toán dao dộng của dầm, khung có độ cứng thay đổi.
Mục đích của luận văn là:
Tìm hiểu một số phơng pháp tính toán dao động của dầm, khung có độ
cứng thay đổi.
Giải các bài toán về dao động của dầm,khung có độ cứng thay đổi.
So sánh các kết quả nhận đợc với lời giải của các phơng pháp số và
phơng pháp giải tích đã biết.
Đối tợng và phạm vi nghiên cứu:
5
Đối tợng của luận văn là nghiên cứu dao động dầm, khung có độ cứng
thay đổi.
Phạm vi nghiên cứu là nghiên cứu dao động của dầm, và khung phẳng.
ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận văn là:
Nghiên cứu và áp dụng các phơng pháp tính toán dao động của dầm,
khung có độ cứng thay đổi, để thiết kế các công trình xây dựng
Chơng 1: Tổng quan về dao động của dầm, khung có
độ cứng thay đổi.
Việc tính toán dao động dầm có độ cứng thay đổi đã đợc đề cập đến
trong nhiều tài liệu, trong đó xem xét nhiều vấn đề khác nhau liên quan đến
việc nghiên cứu trạng thái của chúng dới tác dụng của nhiều loại tải trọng, và
nhiều tài liệu có tính đến tác động của nền đàn hồi. Trong nhiều chơng trình
và tài liệu chuyên khảo nổi tiếng về lý thuyết dầm đều đặc biệt chú ý đến việc
tính toán dầm có độ cứng thay đổi. Hàng loạt các công trình nghiên cứu trong

đó chú ý đến việc tính toán dầm trên nền đàn hồi nh các nghiên cứu của
6
Anokhin N.N; Gabaxoop.R.F; Leonchiev N.N [17] Vấn đề tính toán dầm có
độ cứng thay đổi chịu tải trọng tĩnh đợc nghiên cứu trong các công trình của
Varvac P.M. Công trình nghiên cứu của Khetrumov P.A nghiên cứu các bài
toán về tính toán các thanh ghép có tiết diện thay đổi. Trong công trình này có
áp dụng phơng pháp biến phân. Động lực học của thanh có độ cứng thay đổi
đợc làm sáng tỏ trong công trình của Korenhev B.G [15]. Trong công trình
này sử dụng phơng pháp thông số ban đầu để giải phơng trình vi phân Bexel
với chỉ số v tùy ý trong các hàm cơ sở. Tuy vậy, các công trình kể trên liên
quan đến tính toán động lực học của thanh có độ cứng thay đổi chỉ giới hạn ở
lý thuyết, không có các ví dụ tính toán và các kết quả bằng số.
Phơng pháp tính dao động của dầm có độ cứng thay đổi có thể chia
thành phơng pháp chính xác và phơng pháp gần đúng. Phơng pháp chính xác
gồm một số phơng pháp: Phơng pháp tích phân trực tiếp (chỉ trong trờng hợp
à(x) và J(x) đợc biểu thị bằng các hàm số thích hợp). Phơng pháp gần đúng
gồm một số phơng pháp: Phơng pháp chuyển vị, phơng pháp năng lợng, phơng
pháp ma trận chuyển tiếp, Phơng pháp thay thế khối lợng, Phơng pháp sai
phân hữu hạn, Phơng pháp Bunốp Galookin, phơng pháp Lagrăng Rit [16].
Sau đây trình bày một số phơng pháp đợc trình bày trong bài toán cơ
học:
Phơng pháp tích phân trực tiếp [16].
Chỉ có thể giải đợc trong trờng hợp khi dầm có tiết diện hình lăng trụ.
Từ đó ta tìm đợc phơng trình vi phân của dầm có tiết diện hình lăng trụ là ph-
ơng trình vi phân Bessel. Giải phơng trình vi phân Bessel ta tìm đợc chuyển vị,
từ đó tính đợc góc xoay, mô men uốn và lực cắt. Từ các điều kiện biên, ta có
thể xác định đợc các hằng số trong hệ thức. Trong quá trình đó, ta sẽ nhận đợc
phơng trình đặc trng. Giải phơng trình đặc trng ta sẽ nhận đợc các trị riêng
1
từ đó tính đợc các tần số riêng của dầm.

2
1
1
+

à = à +
ữ


= +
ữ

n
g
n
g
x
(x) c
l
x
J(x) J c
l
Phơng pháp chuyển vị [16]
7
Chỉ cho kết quả chính xác khi tính các thanh có tiết diện ngang thay đổi
theo bậc và cho kết quả xấp xỉ khi tính các thanh với tiết diện ngang thay đổi
liên tiếp. Khi đó thanh đợc chia thành những phân đoạn với mặt cắt không đổi
và đợc coi là một hệ các thanh có tiết diện lăng trụ. Theo phơng pháp này trớc
tiên ta phải tính toán với dầm có tiêt diện không đổi. Sau đó áp dụng vào thanh
có tiết diện thay đổi theo bậc với các mặt cắt không đổi. Nếu tiết diện thanh

biến thiên liên tục, ta phải tiến hành chia nhỏ thanh thành nhiều phân đoạn mà
mặt cắt và khối lợng 1 đơn vị dài à đợc xem là không đổi.
0 1 2 3 4
U
01
J
01
J
12
J
23
J
34
Phơng pháp năng lợng [16]
PP NL dựa trên định luật bảo toàn năng lợng, tổng động năng và thế
năng của hệ trong quá trình dao động đợc bảo toàn. Theo phơng pháp này ngời
ta phải giả định trớc đờng đàn hồi, sau đó tính đợc động năng và thế năng. Từ
đó tính đợc tần số dao động của hệ.
2 2
2
2
=
=



i i i i
i i
i i
i

i i
i
m v P v
P v
m v
Phơng pháp ma trận chuyển tiếp [15]
Đây là một trong những phơng pháp giải tích cơ bản để tính hệ thanh.
Nó đặc biệt có hiệu quả khi tính thanh dạng dải (thẳng, cong, không gian).
ứng dụng vào bài toán ổn định, dao động, nó cho phép giải một loạt các trờng
hợp phức tạp.
Trong phơng pháp ma trận chuyển tiếp ngoài những ẩn ở đầu trái (gốc
xuất phát để tính toán) còn có ẩn số ở những liên kết ngoài cứng và liên kết
trong trơn. Những giá trị không biết ở đầu phải (nút cuối thanh) thờng đợc tính
ra trong việc giải bài toán. Từ các điều kiện biên, ta có thể xác định đợc các
8
hằng số trong hệ thức, trong quá trình đó ta sẽ nhận đợc các phơng trình đặc
trng. Giải phơng trình đặc trng ta sẽ nhận đợc các giá trị riêng
1
từ đó tính đ-
ợc các tần số riêng tơng ứng.
Phơng pháp thay thế khối lợng [15]
Thay thế các khối lợng phân bố hay tập trung với khối lợng ít hơn trên
kết cấu đặt tại một số điểm đặc biệt. Nội dung của phơng pháp thay thế khối l-
ợng là thay hệ gồm các khối lợng phân bố liên tục và tập trung thành hệ có
một số khối lợng tập trung. Đa hệ từ hệ vô hạn bậc tự do thành hệ hữu hạn bậc
tự do. Từ phơng trình tần số ta sẽ tìm đợc các tần số riêng.[15]
Phơng pháp phần tử hữu hạn [18]
Phơng pháp phần tử hữu hạn là một phơng pháp tính đã đợc hình thành
và phát triển trong nhiều năm trở lại đây, nhng do yêu cầu tính toán của một
bài toán thực tế thờng đòi hỏi một khối lợng tính toán rất lớn, nên việc ứng

dựng phơng pháp phần tử hữu hạn trớc đây gặp rất nhiều khó khăn. Chỉ từ khi
có sự xuất hiện của máy tính và sự phát triển mạnh mẽ của ngành tin học cùng
với các phần mềm hỗ trợ nh Cad, Sap, Etaps. Thì thực sự phơng pháp phần tử
hữu hạn mới đợc ứng dụng phổ biến và rộng rãi trong thực tế.
Đối tợng nghiên cứu của phơng pháp phần tử hữu hạn là tìm lời giải số
cho các bài toán của lý thuyết trờng nói chung và cơ học vật rắn biến dạng nói
riêng. phơng pháp phần tử hữu hạn đợc áp dụng đặc biệt thành công trong lĩnh
vực cơ học vật rắn biến dạng, trong đó các ẩn số cần tìm là chuyển vị, biến
dạng, ứng suất tại mỗi điểm bất kỳ trong kết cấu.
Phơng pháp phần tử hữu hạn tối thiểu hóa phiếm hàm năng lợng và bao
gồm các bớc sau:
1) Chia nhỏ đối tợng nghiên cứu thành các phần tử hữu hạn;
2) Lựa chọn các ẩn số cơ bản của hàm xấp xỉ trong giới hạn của phần
tử;
3) Xây dựng ma trận độ cứng, nghĩa là xác định sự phụ thuộc giữa lực
tác dụng và chuyển dịch trong các nút của phần tử;
4) Lập hệ phơng trình đại số;
5) Giải các phơng trình thành phần và tính toán các hàm số cần phải
tìm trong các nút phần tử;
Phơng pháp xấp xỉ dần [18]
9
Phơng pháp xấp xỉ dần có 3 dạng: Dạng tích phân, dạng vi phân, và
dạng sai phân. Các dạng tích phân và vi phân dự trên các ma trận tích phân và
vi phân tơng ứng. Dạng sai phân dựa trên cơ sở hàm đa thức từng đoạn và coi
các gián đoạn hữu hạn đã suy rộng khái niệm về miền vi phân và kể đến các
gián đoạn hữu hạn của hàm số cũng nh đạo hàm bậc nhất của nó. Gabbaxov
R.F [6] đã xác định rằng dạng hợp lý nhất của phơng pháp xấp xỉ dần là dạng
sai phân. Dạng này đợc biểu hiện khi phân hoạch vùng tích phân của các ph-
ơng trình vi phân thành các miền con ( các phần tử có kích thớc hữu hạn), và
sử dụng ma trận vi phân và tích phân trong giới hạn phần tử. Nhờ đó ta có thể

giải đợc các bài toán dẫn đến hệ phơng trình vi phân bậc 2, đạo hàm bình th-
ờng và đạo hàm riêng. PP này có tính đến những gián đoạn ở vế phải của ph-
ơng trình vi phân cần tìm và những đạo hàm đầu tiên của nó. Khi sử dụng ph-
ơng pháp xấp xỉ dần không cần phải viết các điều kiện biên ở bải toán cho các
điểm ngoải miền khảo sát, cũng không cần cô đặc lới ở gần vùng gián đoạn.
Phơng pháp sử dụng phơng trình suy rộng của phơng pháp sai phân hữu
hạn.[18]
Phơng pháp sai phân hữu hạn có tính đến tất cả các gián đoạn hữu hạn
nói trên, ngoài gián đoạn của các đạo hàm bậc nhất của vế phải các phơng
trình vi phân ban đầu. Khi đó, khác với các phơng trình bình thờng của phơng
pháp sai phân hữu hạn không cần cô đặc lới hoặc dùng giá trị trung bình tại
vùng gần gián đoạn. Ngoài ra tất cả các điểm tính toán phân bổ trong giới hạn
của vùng tích phân các phơng trình vi phân. Khi không có các gián đoạn, các
phơng trình suy rộng của phơng pháp sai phân hữu hạn trở thành các phơng
trình đã biết của phơng pháp sai phân hữu hạn. Nếu bài toán đợc giải trên máy
tính với mức độ phân hoạch cao thì sự khác nhau về độ chính xác giữa kết quả
khi dùng phơng pháp phần tử hữu hạn hay phơng trình suy rộng của phơng
pháp sai phân hữu hạn là không đáng kể.
Phơng pháp hệ tơng đơng [18]
Đây là một phơng pháp khá đơn giản để giải quyết các vấn đề phức tạp,
đợc sử dụng để phân tích tĩnh học, động lực học, và sự dao động của hệ kết
cấu đợc cấu tạo từ nhiều cấu kiện có độ cứng EJ thay đổi.
Cơ sở lý thuyết của phơng pháp hệ tơng đơng là cho phép thay thế một cấu
kiện có độ cứng thay đổi E
x
J
x
bằng một cấu kiện có độ cứng không đổi E
1
J

1
,
bằng cách thêm vào một hệ thức của hệ tơng đơng. Sự phát triển của cơ sở lý
10
thuyết này căn cứ vào các giả thiết về độ lệch (sai số) nhỏ, giả thiết về đờng
nối các trọng tâm của các mặt cắt liền tiếp nhau là đờng thẳng. Nếu đờng nối
này cong thì lý thuyết này sẽ vẫn ứng dụng đợc với độ chính xác tơng đối nếu
tỷ lệ giữa bán kính của đờng cong đối với chiều dày của mặt cắt cấu kiện là
lớn.
Một hệ tơng đơng đợc thành lập, nó đợc sử dụng để tính toán lần lợt độ
lệch, dao động tự do, và dạng dao động của các phần tử có độ cứng thay đổi
của hệ ban đầu.
Chơng 2: một số phơng pháp tính dao động của dầm,
khung có độ cứng thay đổi.
2.1 Phơng pháp chuyển vị góc (phơng pháp ghép trơn) [16]
2.1.1 Phơng trình vi phân dao
động của dầm có tiết diện đều
Xét một phân tố khối l-
ợng àdx của dầm tựa đơn có tiết
diện không đổi.
Dầm dao động ngang dới tác
động của các lực bên ngoài.
11
y(x,t)
dx
M(x,t) M(x,t)+ M(x,t)
x
dx
Q(x,t)
Q(x,t)+ Q(x,t)

dx
x
Hình 2.1 biểu diễn độ võng và mô mem uốn, lực cắt trên mỗi phân tố [16]
Theo lý thuyết đàn hồi: Mô men uốn và lực cắt đợc xác định bởi hệ thức:
2
2
y(x,t)
M(x,t) EJ
x

=

3
3
y(x,t)
Q(x,t) EJ
x

=

(2.1)
áp dụng nguyên lý Dalembert cho phơng trình cân bằng lực thẳng đứng
2
2
0
Q(x,t) y(x,t)
dx dx
x x

à =

(2.2)
Kết hợp hai phơng trình cuối ta đợc:
4 2
4 2
0
y(x,t) y(x,t)
EJ
x x

+à =

(2.3)
Nếu dao động là điều hòa, không cần xét đó là dao động tự do hay có dao
động cỡng bức với tần số vòng :
y(x,t) y(x)sin t=
(2.4)
Thay vào phơng trình (2.3) ta đợc:
4
2
4
0
y(x)
EJ y(x)
x

+ à =

(2.5)
Phơng trình này đồng nhất với phơng trình:

2
0y''''(x) y(x)
EJ
à
=
(2.6)
12
Phơng trình không có điều kiện biên nào đợc xét nên phơng trình này đợc áp
dụng cho những thanh có điều kiện biên bất kỳ.
2.1.2 Nghiệm của phơng trình vi phân dao động của dầm có tiết diện đều
Nghiệm tổng quát của phơng trình vi phân thuần nhất (2.6) là tổng hợp
của 4 nghiệm riêng có dạng nh sau:
kx
y(x) e=
(2.7)
đợc nhân với các hằng số tích phân. Thay (2.7) vào (2.6) ta đợc phơng trình
đặc trng:
4 2
0k EJ à =
(2.8)
Suy ra:
1 2 3 4 1 2, , ,
k ;k i ik
l l

= = =
(2.9)
Trong đó:
1 4
2

/
l
EJ

à
=
ữ

(2.10)
Khi đó nghiệm tổng quát có dạng:
3
1 2 4
1 2 3 4
k x
k x k x k x
y(x) C e C e C e C e= + + +
(2.11)
áp dụng công thức với hàm Hypebolic và hàm lợng giác:
1 2
1
2

= +
ik x ik x
x
cosh (e e )
l
; phơng trình (2.11) có dạng
x x x x
y(x) A cos Bsin C cosh Dsinh

l l l l

= + + +
(2.12)
Hệ thức liên hệ giữa 2 tập hợp hằng số là:
1
1
2
C (C D)= +
;
2
1
2
C (C D)=
;
3
1
2
C (A iB)= +
;
4
1
2
C (A iB)= +
Hệ số góc (tang của góc xoay) là:
dy(x) x x x x
y'(x) Asin B cos Csinh D cos
dx l l l l l

= = + + +
ữ

(2.13)
Mô men uốn đợc xác định bằng đạo hàm bậc hai của y đợc xác định bởi:
M(x)
y''(x)
EJ
=
(2.14)
Trong đó:
2
2
x x x x
y''(x) A cos B sin C cosh D sinh
l l l l l


= + + +
ữ

(2.15)
13
Lực cắt đợc xác định bằng đạo hàm bậc ba của y đợc xác định bởi:
Q(x)
y'''(x)
EJ
=
(2.16)
Trong đó:

3
3
x x x x
y'''(x) Asin B cos Csinh D cos
l l l l l


= + + +
ữ

(2.17)
Các phơng trình từ 2.12 đế 2.17 cho phép tính đợc tần số và dạng dao động
riêng của dầm tiết diện không đổi với điều kiện biên bất kỳ.
*) Đối với dầm tựa đơn, điều kiện biên có thể áp dụng là:
0 0 0
0 0 0
= =
= =
y( ) ; y(l)
M( ) ; M(l)
Kết hợp 2.12 và 2.15 ta có các hệ phơng trình sau:
0
0 0
0
0
0 0
0
+ =

= =

+ =

+ =

= =

=

A C
A ;C
A C
B sin Dsinh
B sin ;D sinh
B sin D sinh
(2.18)
Nếu là nghiệm không tầm thờng thì nó phải thoả mãn:
0 0 0 = =B ,D ,sin
Trong đó:
2 = , , , j
(2.19)
Thay PT trên vào 1.10, ta tính đợc tần số vòng quay dao động riêng:
1
2 2
2
2


=
ữ

à

j EJ
(j)
L
(2.20)
Với j là số nguyên dơng.
Dao động riêng thứ j đợc tính theo 2.12, Sau khi thay vào đợc dạng sau:
2


= =
ữ

j x L j x
y(x) Bsin y sin
L j L
Với y(L/2j) là biên độ dao động.
*) Đối với dầm ngàm tại hai đầu thì điều kiện biên là:
0 0 0
0 0 0
= =
= =
' '
y( ) ; y(l)
y ( ) ; y (l)
(2.21)
Kết hợp 2.12 và 2.15 ta có các hệ phơng trình sau:
14
0

0
0
0
+ =

= =

+ =

+ =
+ =
A C
C A;D B
B D
A(cos cosh ) B(sin sinh )
A(sin sinh ) B(cos cosh )
(2.22)
Hằng số có giá trị khác 0 chỉ khi định thức của hệ số của 2 phơng trình cuối
bằng 0:
2 2 2
0 + =(cos cosh ) (sin sinh )
Sau khi sắp xếp lại ta đợc
1 0 =cos cosh
Khi tính toán hệ khung gồm các dao động ngang (hệ dầm liên tục, khung cứng
vv) việc xác định hằng số tích phân từ A đến D là khác nhau đối với các
thanh khác nhau. Nếu hệ khung, dầm đợc phân tích là có n thanh thì sẽ có 4n
ẩn số. Các phơng trình cần cho việc xác định hằng số tích phân đợc lấy từ các
điều kiện biên tại các điểm nút của hệ thanh.
2.1.3 Mô men và lực cắt tại biên của thanh dao động ngang.
Xét những hệ dao động với dao động điều hoà. Dao động này có thể

phát sinh do dao động tự do hay do dao động cỡng bức do lực tác dụng điều
hoà trong khoảng thời gian đủ dài:
g h
M
hg
Q
hg
M
gh
Q
gh
g h
Hình 2.2. Mô men, lực cắt đầu thanh tách từ khung [16]
15
Từ hệ trong hình 2.2 phần tách rời của thanh gh đang dao động ngang.
Để thay thế tác dụng của phần còn lại trên hệ, tại mỗi đầu thanh đợc tác dụng
bởi những mô men
gh hg
M (t), M (t),
và lực cắt
gh hg
Q (t),Q (t).
Giả sử mô men tại 2
đầu thanh quay thuận kim đồng hồ dơng.
Do đó, mô men đầu trái phù hợp với mô men uốn tác dụng ở mặt cắt
x=0 cả về độ lớn và dấu, trong khi mô men đầu phải có dấu ngợc lại với mô
men uốn tại mặt cắt x=1.
Lực cắt ở đầu thanh đợc coi dơng nếu lực hớng xuống phía dới. Kết quả
là, lực ở đầu bên phải
hg

Q
ứng với lực trợt tác động tại vị trí x=1 trong cả dấu
và độ lớn, trong khi đó lực ở đầu bên trái
gh
Q
thì ngợc lại với lực trợt tại x=0.
Nếu biết đợc sự biến dạng tại các đầu thanh ta có thể xác định đợc tất cả
các mô men uốn và lực cắt tại đầu theo phơng trình 2.12-2.17 áp dụng cho
những mặt cắt tại mỗi đầu các thanh.
Điều này cũng thoả mãn với trờng hợp thanh chắn đợc liên kết tại 2 đầu
các điều kiện biên khác nhau. Tức là, ngay cả khi nó bị ngàm, tựa bản lề, tự do
ở một đầu hay có tựa đàn hồi (hình 2.3)
Hình 2.3. Các điều kiện biên [16]
Ví dụ xét thanh bên bên trái bị ngàm chặt, còn đầu phải cho chuyển
động xoay cỡng bức theo dao động điều hoà
sin t
với biên độ
1 =
, trong
lúc những chuyển vị và góc xoay còn lại ở đầu kia bằng 0. (hình 2.4)
16
1
Q
gh
=
M
gh
=
EJ
L

2
F(
)
3
1
F(
)
L
EJ
2
M
hg
=
F(
)
L
EJ
2
F(
)
2
L
Q
hg
=
EJ
Hình 2.4. Góc quay đơn vị tại đầu phải [16]
Nếu không có sự tác dụng trong khoảng giữa thanh, phơng trình 2.12 và các
đạo hàm từ 2.13-2.17, các điều kiện biên đợc biểu diễn là:
0 0 0

0 0 1
= =
= =
' '
y( ) ; y(l)
y ( ) ; y (l)
(2.23)
Thay 2.23 vào 2.12 và 2.13 đợc hệ phơng trình không thuần nhất.
0
0
0
+ =
+ =
+ + + =
+ + + =
A C
B D
A cos Bsin C cosh D sinh
Asin B cos Csinh D cosh L /
(2.24)
Từ đó ta đợc các hằng số tích phân:
2 1
2 1

= =


= =

L sinh sin

A C
cosh cos
L cosh cos
B D
cosh cos
(2.25)
Độ lớn của mô men và lực cắt đợc tính theo 2.15 và 2.17 ta đợc:
2
1
2
0 0

= = = + =
''
gh
EJ
M M( ) EJy ( ) EJ ( A C) F ( )
L L
(2.26)
Trong đó:
1
1

=

sinh sin
F ( )
cosh cos
(2.27)
Mặt khác:

2
2
2
= =

= = + + =
hg
''
M M(L)
EJ
EJy (L) EJ ( A cos Bsin C cosh D sinh ) F ( )
L L
(2.28)
3
3
3 2
0 0

= = = + =
'''
gh
EJ
Q Q( ) EJy ( ) EJ ( B D) F ( )
L L
(2.29)
17
3
4
3 2

= = = + + =
'''
hg
EJ
Q Q(L) EJy (L) EJ (Asin B cos C sinh D cosh ) F ( )
L L
(2.30)
Trongđó:
2
2
3
2
4
1
1
1

=


=


=

cos h sin sinh cos
F ( )
cosh cos
cos h cos
F ( )

cosh cos
sinh sin
F ( )
cosh cos
(2.31)
Tóm lại, các lực cắt, mô men uốn tại các đầu mút ứng với các chuyển vị đơn vị
khác tại các đầu thanh gh khác cũng sẽ thu đợc bằng cách làm tơng tự. Xét
chuyển vị và góc xoay tuỳ ý tại các đầu g và h
0
0
= =
= =
g h
' '
g h
y( ) y ; y(l) y
y ( ) ; y (l)
Các hằng số tích phân trở thành
1 2 3 4
2
3 4 5 6
3
1 1
2 2
1 1
2 2
g
h
h g g
g

h
h g g
y
y
A F ( ) F ( ) F ( ) F ( ) y
L L
y
y
B F ( ) F ( ) F ( ) F ( )
L L

= + +




= + +



1
g
g
C A y
D B
= +
= +

(2.32)
Trong đó:

3
5
3
6
1
1
+
=

+
=

sinh sin
F ( )
cosh cos
cosh sin sinh cos
F ( )
cosh cos
(2.33)
ý nghĩa của các hàm tần số
F( )
đợc thể hiện rõ cả ở các công thức 2.27-2.33
Khi đó biên độ độ võng tại một mặt cắt ngang bất kỳ của thanh chắn đợc tính
theo phơng trình 2.12 kết hợp các biểu thức 2.32. Lực cắt và mô men uốn tại
các đầu thanh đợc tính theo 2.14-2.16
Ví dụ:
18
1 2 3 4
3 4 5 6
2

 
= λ ϕ + λ ϕ − λ − λ
 
 
 
= λ ϕ − λ ϕ + λ + λ
 
 
g
h
gh h g
g
h
gh h g
y
y
EJ
M F ( ) F ( ) F ( ) F ( )
L L L
y
y
EJ
Q F ( ) F ( ) F ( ) F ( )
L L L
+) M« men vµ lùc c¾t t¹i ®Çu thanh cã b¶n lÒ t¹i ®iÓm g. §iÒu kiÖn biªn lµ:
0
0 0
= =
= = ϕ
g h

'' '
h
y( ) y ; y(L) y
y ( ) ; y (L)
C¸c h»ng sè tÝch ph©n lµ:
1
2
= =
g
A C y
(2.34)
1 1
1
2
1 1
1
2
ϕ
 
= − λ + λ − λ λ + λ λ +
 
λ λ − λ λ λ
 
ϕ
 
= λ − λ + − λ λ + λ λ +
 
λ λ − λ λ λ
 
h

h g
h
h g
L
B sinh y cos (sinh sin cosh cos )y
cosh sin sinh cos
L
D sin y cos ( sinh sin cosh cos )y
cosh sin sinh cos
+) §èi víi thanh ngµm t¹i g vµ cã tùa t¹i h, c¸c ®iÒu kiÖn biªn lµ
0
0 0
= =
= ϕ =
g h
' ''
g
y( ) y ; y(L) y
y ( ) ; y (L)
(2.35)
Vµ c¸c h»ng sè tÝch ph©n lµ:
7 8 9
2
9 10 11
3
1 1
2 2
1 1
2 2
1

 
= λ ϕ − λ − λ +
 
λ
 
 
= − λ ϕ − λ − λ + ϕ
 
λ
 
= −
= ϕ −
λ
g
h
g g
g
h
g g
g
g
y
y
A F ( ) F ( ) F ( ) y
L L
y
y
B F ( ) F ( ) F ( )
L L
C y A

D B
(2.36)
+) §èi víi thanh tù do t¹i c¶ 2 ®Çu, c¸c ®iÒu kiÖn biªn lµ
0
0 0 0
= =
= =
g h
'' ''
y( ) y ; y(L) y
y ( ) ; y (L)
(2.37)
Vµ c¸c h»ng sè tÝch ph©n lµ:
19
1
2
1
2
1
2
= =
=
=
g
h g
h g
A C y
B (cosch .y coth .y )
D (cos ch .y coth .y )
(2.38)

Trong trờng hợp vừa đợc xét, cách giải động học có sự khác nhau cơ bản so
với PP giải tĩnh. Với trờng hợp thanh tựa tĩnh thì chuyển vị và các lực của
thanh tựa khớp ở 2 đầu đều bằng 0.
2.1.4 Các hàm tần số
a. Hàm F()
Đợc tính toán và lập thành các bảng tra ứng với giá trị của (Mục 10.2 tài liệu
tham khảo [16])
b. Hàm tần số ()
Một đại lợng quan trọng trong phép tính động năng là giá trị tích phân:
2
à

j
y (x)dx
(2.39)
Đợc dùng trong việc tính toán các dạng riêng không trực giao, trong các dao
động giảm dần cũng nh không giảm dần, khi xét đến ảnh hởng của tải trọng
động
Dạng của dao động điều hoà của thanh tiết diện chữ nhật, tách rời khỏi hệ
khung, đợc xác định theo phơng trình 2.12, các hằng số tích phân đợc tính
theo công thức 2.34. Do đó 2.12 có thể viết dới dạng:
1 3
3
1
2



=
ữ ữ

h
x x x x
y(x) F ( ) cos cosh F ( ) sin sinh
L L L L

(2.40)
2
1 3
3
1
2



+ + +
ữ ữ ữ




g
x x x x x x
F ( ) cos cosh F ( ) sin sinh sin sinh
L L L L L L
+
3 5

3
1
2




ữ ữ




h
x x x x
y F ( ) cos cosh F ( ) sin sinh
L L L L
+
3
4 6
3
1
2



+ +
ữ ữ ữ

g
x x x x x x
y F ( ) cos cosh F ( ) sin sinh cos cosh
L L L L L L
Hay ở dạng rút gọn:
20
1 2 4
= Φ ϕ + Φ ϕ + Φ
h g g
y(x) (x) (x) (x)y
(2.41)
Trong ®ã:
1 1 3
3
1
2
 
λ λ λ λ
   
Φ = λ λ − − λ −
 ÷  ÷
 
λ
   
 
x x x x
(x) F ( ) cos cosh F ( ) sin sinh
L L L L
(2.42)

thay 2.40 vµo 2.39 ta cã:
2 2 2 2 2
1 2 1 2
2µ = µϕ Φ + µϕ Φ + µϕ ϕ Φ Φ +
∫ ∫ ∫ ∫
h g g h
y (x)dx (x)dx (x)dx (x) (x)dx
(2.43)
1 3 1 4 2 3
2 2 2+ µϕ Φ Φ + µϕ Φ Φ + µϕ Φ Φ +
∫ ∫ ∫
g h h g g h
y (x) (x)dx y (x) (x)dx y (x) (x)dx
2 2
2 4 3 4 4
2 2 2+ µϕ Φ Φ + µ Φ Φ + µ Φ
∫ ∫ ∫
g g h g h
y (x) (x)dx y y (x) (x)dx y (x)dx
TÝch ph©n 2 vÕ ta ®îc:
2 2
3 2 1 3
2
4
2 2
4 5 6
3 2
2
2
2 2

ϕ −ϕ
 
ϕ + ϕ Φ λ + ϕ ϕ Φ λ + Φ λ
 
µ
 
µ =
 
λ
ϕ − ϕ +
 
+ Φ λ + Φ λ + Φ λ
 
 
∫
h g g h
h g g h
h h g h h g h g
( y y )
( ) ( ) ( ) ( )
L
L
y (x)dx
( y y ) y y (y y )
( ) ( ) ( )
L L L
(2.44)
Víi:
[ ]
[ ]

[ ]
[ ]
1 1 2 3 1
2
2 1 2
3 1 4 3
4 1 3 4
5 3 4 3
2
6 3 6
1
4
1
4
1
2
4
1
2
4
1
3
4
1
3
4
Φ λ = λ λ − λ − λ
 
Φ λ = λ − λ
 

Φ λ = − λ λ − λ
Φ λ = λ λ − λ
Φ λ = λ λ − λ
 
Φ λ = λ − λ
 
( ) F ( )F ( ) F ( ) F ( )
( ) F ( ) F ( )
( ) F ( )F ( ) F ( )
( ) F ( )F ( ) F ( )
( ) F ( )F ( ) F ( )
( ) F ( ) F ( )
(2.45)
NÕu thanh gh liªn kÕt tùa t¹i ®Çu g, h»ng sè tÝch ph©n ®îc tÝnh theo 2.34 vµ
tÝch ph©n ph¬ng tr×nh 2.39 ta ®îc:
2
2
0
λ λ λ λ
 
µ = µ + + +
 
 
∫ ∫
l
x x x x
y (x)dx A cos Bsin C cosh D sinh dx
L L L L
(2.46)
2

2
3
2
7 8 9 10 11 12
4 2 2 2
2 2
2
 
ϕ
ϕ
µ
 
= ϕ Φ λ + Φ λ + Φ λ + Φ λ + Φ λ + Φ λ
 
λ
 
 
h g h g g
h h h
h
y y y y
y y
L
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
L L L L L
Trong ®ã:
21
[ ]
[ ]
[ ]

2
7 7 7 9
8 8 7 8 10
9 9 7 9 11
10 10 8 9
2
11 11 9 7 11
2
12 12 8
1
2
4
1
2
4
1
2
4
1
3
4
1
3 2
4
1
3
4

= + +

= + +
= + +
= +

= +


= +

( ) F ( ) F ( ) F ( )
( ) F ( ) F ( )F ( ) F ( )
( ) F ( ) F ( )F ( ) F ( )
( ) F ( ) F ( )F ( )
( ) F ( ) F ( ) F ( )F ( )
( ) F ( ) F ( )
(2.47)
Nếu thanh liên kết tựa tại 2 đầu, hằng số tích phân đợc tính theo 2.38. Tích
phân phơng trình 2.39 ta đợc:
{ }
2 2 2
13 14
4
2
à
à = + +


h g h g
L
y (x)dx y y ( ) (y y ) ( )

(2.48)
Trong đó:
10 14
13 13
4
8 13
14 14
7
1
3
4
1
3
4


= +





= +



F ( )F ( )
( ) F ( )
F ( )
F ( )F ( )

( ) F ( )
F ( )
(2.49)
Cuối cùng, đối với dầm công son, có đầu g bên trái tự do, các hằng số tích
phân đợc tính theo phơng trình 2.38
2
3
2 2
15 16 17
4 2
2


à
à = + +




h h h
h
y y
L
y (x)dx ( ) ( ) ( )
L L
(2.50)
Trong đó:
[ ]
[ ]
2

15 15 15 16
16 16 15 16 17
17 17 15 17 15 11
1
2
4
1
2
4
1
3
4

= + +

= + +
= + +
( ) F ( ) F ( ) F ( )
( ) F ( ) F ( )F ( ) F ( )
( ) F ( ) F ( )F ( ) F ( )F ( )
(2.51)
2.1.5 Bài toán dầm có tiết diện thay đổi
Phơng trình dao động của thanh phi lăng trụ thẳng cũng giống nh phơng
trình của thanh tiết diện hình lăng trụ. Mô men uốn đợc mô tả theo biểu thức:
22
2
2
y(x,t)
M(x,t) EJ
x

=

(2.52)
2
2
M(x, t) y(x,t)
Q(x,t) EJ(x)
x x x


= =
ữ


(2.53)
Phơng trình cân bằng của một phân tố, khi không chịu tác dụng của các ngoại
lực:
2 2 2
2 2 2
y(x,t) y(x,t)
EJ(x) (x)
x x t


+à



(2.54)

Đối với dao động điều hòa:
y(x,t) y(x)sin t=

Phơng trình (2.18) có dạng:
2 2
2
2 2
0
d d y(x,t)
EJ(x) (x) y(x)
dx d x

+ à =


(2.55)
2.1.6 áp dụng phơng pháp chuyển vị (phơng pháp ghép trơn)
Chia thanh thành những phân đoạn với mặt cắt không đổi và đợc coi là
một hệ các thanh tiết diện lăng trụ.
a) Dầm có tiết diện thay đổi theo bậc
Xét thanh gồm 4 thành phần có hình lăng trụ và 3 mối nối trực tiếp,
cùng 6 biến dạng cha biết. Gồm 3 chuyển động xoay
1
,
2

3
và 3 chuyển
vị đứng y
1

, y
2
y
3
.
0 1 2 3 4
U
01
J
01
J
12
J
23
J
34
Hình 2.5. Dầm có tiết diện thay đổi theo bậc [16]
23
Lập bảng các điều kiện cân bằng:

1

2

3
y
1
y
2
y

3
a
1
a
12
b
1
-b
12
= d
1
a
12
a
2
a
23
b
12
b
2
b
23
= d
2
a
23
a
3
b

23
b
3
= d
3
b
1
b
12
c
1
c
12
= d
4
-b
12
b
2
b
23
c
12
c
2
c
23
= d
5
-b

23
b
3
c
23
c
3
= d
6
Bảng 2.1 [16]
Hệ số của phơng trình này là:
1
1 1 1
1
i,i
i,i i,i
i,i
EJ
a F ( )
l
+
+ +
+
=
Viết ngắn gọn ta đợc:
1 1
1
i,i
i,i
EJ

a F ( )
l
+
+

=


với i=1,2
2 2
1 1
i
i,i i,i
EJ EJ
a F ( ) F ( )
l l
+

= +


với i=1,2,3
1 3
2
1
i,i
i,i
EJ
b F ( )
l

+
+

=


với i=1,2 (2.56)
4 4
2 2
1 1
i
i,i i,i
EJ EJ
b F ( ) F ( )
l l
+

=


với i=1,2,3
1 5
3
1
i,i
i,i
EJ
c F ( )
l
+

+

=


với i=1,2
6 6
3 3
1 1
i
i,i i,i
EJ EJ
c F ( ) F ( )
l l
+

= +


với i=1,2,3
24
1 1 0 3 0
2
01 01
EJ EJ
d F ( ) F ( ) y
l l

=

3 1 4 3 4
2
34 34
EJ EJ
d F ( ) F ( ) y
l l

= +


4 3 0 5 0
2 3
01 01
EJ EJ
d F ( ) F ( ) y
l l

=


(2.57)
6 3 4 5 4
2 3
34 34
EJ EJ
d F ( ) F ( ) y
l l

=

2 5
0d d= =
Nếu đồng thời thanh chịu tác dụng của tải trọng điểu hoà bên ngoài, các
số hạng mô tả tải trọng là:
1 1 1
d d M= +
2 2
d M=
3 3 3
d d M= +
4 4 1
d d Q= +

Với M
1
, M
2
, Q
1
là các thành phần tơng ứng của tải trọng bên ngoài
tác dụng lên dầm.
01 04 2 0 1 1 4 0 3 1
3 3
01 01 01 01

= = +

EJ EJ EJ EJ
M M F ( ) F ( ) F ( ) y F ( ) y
L L L L
(2.58)
b) Dầm có tiết diện thay đổi liên tục
4
U
x
J
x
0
Hình 2.6. Dầm có tiết diện thay đổi liên tục [16]
Nếu thanh có tiết diện thay đổi liên tục, phơng pháp ghép trơn cho kết
quả xấp xỉ. Trong trờng hợp này, cách tiến hành nh sau: chia nhỏ thanh thành
nhiều phân đoạn mà mặt cắt và à đợc coi là không đổi.
25