đề thi vào lớp 10 chuyên toán năm học 2013-2014 (2)

THI XUT
K THI TUYN SINH LP 10 TRUNG HC PH thông
MễN THI: TON (Chuyờn Toỏn) - Thi gian lm bi: 150 phỳt
H V TấN: vũ thị khanh - Chc v: Phú Hiu Trng
n v: Trng THCS Thanh Thuỷ Thanh Liêm H Nam

NI DUNG Đề THI:
Câu 1: (2 điểm)
Cho biểu thức A =
2
4( 1) 4( 1)
1
. 1
1
4( 1)
x x x x
x
x x
+ +


ữ



a, Tìm điều kiện của x để A xác định
b, Rút gọn A
c,Với x > 2 tìm x là những số nguyên để A nhận giá trị nguyên.
Bài 2 : (1,5 điểm)
Trên cùng một mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A(5; 2) và B(3; -4)
a) Viết phơng trình đờng thẳng AB

b) Xác định điểm M trên trục hoành để tam giác MAB cân tại M
Bài 3: (2 điểm)
Cho các đờng thẳng:
y = x-2 (d
1
)
y = 2x 4 (d
2
)
y = mx + (m+2) (d
3
)
a. Tìm điểm cố định mà đờng thẳng (d
3
) luôn đi qua với mọi giá trị của m.
b. Tìm m để ba đờng thẳng (d
1
); (d
2
); (d
3
) đồng quy
Bài 4 : (3,5 điểm)
Từ một đỉnh A của hình vuông ABCD kẻ hai tia tạo với nhau một góc 45
0
. Một
tia cắt cạnh BC tại E cắt đờng chéo BD tại P. Tia kia cắt cạnh CD tại F và cắt đờng
chéo BD tại Q.
a/ Chứng minh rằng 5 điểm E, P, Q, F và C cùng nằm trên một đờng tròn.
b/ So sánh diện tích tam giác aef và diện tich tam giác AQP?

c/ Kẻ trung trực của cạnh CD cắt AE tại M tính số đo góc MAB biết CD=CM
Bài 5: (1điểm)
Chứng minh:
zyx ++2
1
+
zyx ++ 2
1
+
zyx 2
1
++

1

Hết
1
đáp án và biểu điểm
Câu Tóm tắt lời giải Điểm
Câu1
(2đ)
a) ( 0,25 điểm)
Điều kiện của A xác định khi:
2
1 0
4( 1) 0
4( 1) 0
4( 1) 0
x
x x

x x
x x






+


>









<

>


2 2
1
1
1

x
x ho x
x
c
x
ặ
1 < x < 2 hoặc x > 2
KL: A xác định khi 1 < x < 2 hoặc x > 2
0,25
b) ( 0,1 điểm)
Rút gọn A
A =
2 2
2
( 1 1) ( 1 1)
2
.
1
( 2)
x x
x
x
x
+ +



A =
1 1 1 1
2

.
2 1
x x
x
x x
+ +


Với 1 < x < 2 A =
2
1 x
Với x > 2 A =
2
1x
Kết luận
Với 1 < x < 2 thì A =
2
1 x
Với x > 2 thì A =
2
1x
0,25
0,25
0,25
0,25
c, ( 0,75 điểm)
Với x > 2 thì A =
2
1x
A =

2
1x

z<=>
1x

U(2) (Với x > 2)
U(2)={

1;

2}
Giải ra tìm đợc x=5
0,25
0,25
0,25
2
Câu 2
(1,5đ)
a) ( 0,75 điểm)
A và B có hoành độ và tung độ đều khác nhau nên phơng trình đờng thẳng
AB có dạng y = ax + b
A(5; 2) AB 5a + b = 2
B(3; -4) AB 3a + b = -4
Giải hệ ta có a = 3; b = -13
Vậy phơng trình đờng thẳng AB là y = 3x - 13
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25
0,25
Câu3
(2đ)
a, ( 1điểm)
Gọi điểm cố định mà đờng thẳng(d
3
) luôn đi qua với mọi m là (xo ;yo)
<=> m (x+1)+ (2-y) = 0
Để hàm số luôn qua điểm cố định với mọi m



=
=+
02
01
y
x
=.>



=
=
2
1
y
x
Vậy N(-1; 2) là điểm cố định mà (d

3
) đi qua với mọi m.
b. ( 1điểm)
Gọi M là giao điểm (d
1
) và (d
2
) . Tọa độ M là nghiệm của hệ



=
=
42
2
xy
xy
=>



=
=
0
2
y
x
Vậy M (2; 0) .
Nếu (d
3

) đi qua M(2;0) thì M(2;0) là nghiệm của phơng trình đờng thẳng
(d
3
)
Ta có : 0 = 2m + (m+2) => m= -
3
2
Vậy m = -
3
2
thì (d
1
); (d
2
); (d
3
) đồng quy
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 4
(3,5đ)
Vẽ hình đúng
a/( 1điểm)

A
1
và

B
1
cùng nhìn đoạn QE dới một góc 45
0

tứ giác ABEQ nội tiếp đợc.
0,25
0,25
0,25
3


FQE =

ABE =1v.
chứng minh tơng tự ta có

FBE = 1v
Q, P, C cùng nằm trên đờng tròn đờng kinh EF.
b/ ( 1 điểm)
Từ câu a suy ra AQE vuông cân.

AE
AQ
=

2

(1)
tơng tự APF cũng vuông cân

AF
AB
=
2

(2)
từ (1) và (2) AQP ~ AEF (c.g.c)
AEF
AQP
S
S
= (
2
)
2
hay S
AEF
= 2S
AQP
c/( 1, 25 điểm)
Để thấy CPMD nội tiếp, MC=MD và

APD=

CPD

MCD=

MPD=

APD=

CPD=

CMD
MD=CD MCD đều

MPD=60
0

mà

MPD là góc ngoài của ABM ta có

APB=45
0
vậy

MAB=60
0
-45
0
=15
0

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
4
Câu 5
(1đ)
Bài 6:
Trớc hết ta chứng minh bất đẳng thức phụ:
Với mọi a, b thuộc R: x, y > 0 ta có
( )
(*)
2
22
yx
ba
y
b
x
a
+
+
+

< >(a
2
y + b
2
x)(x + y)
( )
xyba
2
+

a
2
y
2
+ a
2
xy + b
2
x
2
+ b
2
xy

a
2
xy + 2abxy + b
2
xy

a
2
y
2
+ b
2
x
2


2abxy

a
2
y
2
2abxy + b
2
x
2


0

(ay - bx)
2


0 (**) bất đẳng thức (**) đúng với mọi a, b, và x,y > 0
Dấu (=) xảy ra khi ay = bx hay

a b
x y
=
áp dung bất đẳng thức (*) hai lần ta có
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
1
2 2 2 2 4 4 4 4
2 2x y z x y z x y x z x y x z

+ + +
ữ ữ ữ ữ ữ

= + = +
+ + + + + + + +
0,25
0,25
0,25
0,25
5