Slide bài giảng ma trận hcmut

MA TRẬN
Bài giảng điện tử
TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
Email:
TP. HCM — 2013.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 1 / 103
Bài toán thực tế
Lĩnh vực du lịch
Để chuẩn bị cho chuyến du lịch của mình, đôi khi bạn
quên những vật dụng cần thiết. Việc mua những vật dụng
này ở những thành phố khác nhau sẽ có giá khác nhau.
Giá trung bình các vật dụng này được liệt kê như sau:
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 2 / 103
Bài toán thực tế
Những dữ liệu này được mô tả bởi ma trận sau
Atlanta LosAngeles Mexico Tokyo
Film ảnh 4.03 4.21 3.97 7.08
Thuốc 6.78 7.41 7.43 36.57
Máy xấy tóc 18.98 20.49 32.25 63.71
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 3 / 103
Bài toán thực tế
Nội dung
1
Những khái niệm cơ bản về ma trận
2
Các phép biến đổi sơ cấp đối với ma trận
3
Hạng của ma trận
4

Các phép toán trên ma trận
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 4 / 103
Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận
Định nghĩa ma trận
Một ma trận A cỡ m ×n trên trường K (thực
hoặc phức) là một bảng hình chữ nhật gồm m
hàng và n cột có dạng sau:
A =







a
11
. . . a
1j
. . . a
1n
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
a
i1
. . . a
ij
. . . a
in
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m 1
. . . a

mj
. . . a
mn







TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 5 / 103
Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận
Định nghĩa
Ma trận A có m hàng và n cột thường được ký
hiệu A = (a
ij
)
m ×n
. Tập hợp tất cả các ma trận cỡ
m ×n được ký hiệu là M
m ×n
(K ).
Định nghĩa
Phần tử a
ij
(i = 1 m; j = 1 n) được gọi là phần
tử hàng thứ i, cột thứ j của ma trận A.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 6 / 103
Định nghĩa ma trận và ví dụ Ma trận cột, ma trận hàng
Ma trận cột, ma trận hàng

Định nghĩa





a
1
a
2
.
.
.
a
n





được gọi là ma trận cột.

a
1
a
2
. . . a
n

được gọi là ma trận hàng.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 7 / 103
Định nghĩa ma trận và ví dụ Ma trận cột, ma trận hàng
Mối quan hệ giữa ma trận và ma trận hàng, cột
Gọi A
i∗
=

a
i1
a
i2
. . . a
in

là hàng thứ i của ma trận
A, 1  i  m, và gọi A
∗j
=





a
1j
a
2j
.
.
.

a
mj





là cột thứ j của ma
trận A, 1  j  n thì
A =





A
1∗
A
2∗
.
.
.
A
m∗





=


A
∗1
A
∗2
. . . A
∗n

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 8 / 103
Định nghĩa ma trận và ví dụ Ma trận cột, ma trận hàng
Ví dụ
Ma trận A =

1 −4 5
0 3 −2

2×3
gồm có:
2 ma trận hàng

1 −4 5

,

0 3 −2

và 3 ma trận cột

1
0


,

−4
3

,

5
−2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 9 / 103
Định nghĩa ma trận và ví dụ Ma trận không
Ma trận không
Định nghĩa
Ma trận không là ma trận mà mọi phần tử của nó
đều bằng 0, có nghĩa là a
ij
= 0, ∀i, j.
Ví dụ
A =


0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0


là ma trận không cỡ 3 × 4.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 10 / 103

Định nghĩa ma trận và ví dụ Ma trận đối
Ma trận đối
Định nghĩa
Ma trận −A = (−a
ij
)
m ×n
được gọi là ma trận đối
của A.
Ví dụ
B =

1 2 3
0 4 −5

là ma trận đối của ma trận
A =

−1 −2 −3
0 −4 5

.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 11 / 103
Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận vuông
Định nghĩa ma trận vuông
Nếu m = n thì A được gọi là ma trận vuông. Tập
ma trận vuông cấp n được ký hiệu là M
n
(K )
A =








a
11
. . . a
1i
. . . a
1n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
i1

. . . a
ii
. . . a
in
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n 1
. . . a
ni
. . . a
nn








.
Đường thẳng đi qua các phần tử a
11
, a
22
, . . . , a
nn
gọi là đường chéo chính
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 12 / 103
Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận vuông
Ví dụ
A =


1 2 3
0 −3 −2
5 4 −5


là ma trận vuông cấp 3. Các
phần tử nằm trên đường chéo chính là 1, −3, −5
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 13 / 103
Định nghĩa ma trận và ví dụ Ma trận đơn vị
Ma trận đơn vị
Định nghĩa
Ma trận vuông I =






1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . 1





, có nghĩa là
(a
ii
= 1, i = 1, n; a
ij
= 0, ∀i = j) được gọi là ma
trận đơn vị cấp n và được ký hiệu là I hay I

n
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 14 / 103
Định nghĩa ma trận và ví dụ Ma trận đơn vị
Ví dụ
I =


1 0 0
0 1 0
0 0 1


là ma trận đơn vị cấp 3.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 15 / 103
Định nghĩa ma trận và ví dụ Ma trận chéo
Ma trận chéo
Định nghĩa
Ma trận vuông D =





α
1
0 . . . 0
0 α
2
. . . 0
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . α
n





, có
nghĩa là (a
ij
= 0, ∀i = j; i, j = 1, n) được gọi là
ma trận chéo cấp n và được ký hiệu là
D = dig

α
1
α
2
. . . α

n

.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 16 / 103
Định nghĩa ma trận và ví dụ Ma trận chéo
Ví dụ
A =


1 0 0
0 −3 0
0 0 0


là ma trận chéo cấp 3.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 17 / 103
Định nghĩa ma trận và ví dụ Ma trận dạng bậc thang
Ma trận dạng bậc thang
Định nghĩa
1
Một hàng của ma trận gọi là hàng 0 nếu tất cả
các phần tử của nó bằng 0.
2
Phần tử khác 0 đầu tiên của một hàng (tính từ
trái sang phải) được gọi là phần tử cơ sở của
hàng đó.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 18 / 103
Định nghĩa ma trận và ví dụ Ma trận dạng bậc thang
Định nghĩa
Ma trận được gọi là có dạng bậc thang nếu

1
Các hàng bằng không phải nằm dưới các hàng
khác không.
2
Phần tử cơ sở của hàng dưới phải nằm phía
phải so với phần tử cơ sở của hàng trên nó.
Ví dụ

2 1 3
1 5 2

và

0 2 1
3 1 0

không có dạng bậc
thang vì không thỏa mãn điều kiện 2.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 19 / 103
Định nghĩa ma trận và ví dụ Ma trận dạng bậc thang
Ví dụ

0 0
1 5

không có dạng bậc thang vì không thỏa
điều kiện 1.
Ví dụ



2 1 3
0 5 2
0 0 3


,


1 2 5
0 0 2
0 0 0


,


1 2 3 4
0 0 2 1
0 0 0 6


có
dạng bậc thang.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 20 / 103
Định nghĩa ma trận và ví dụ Ma trận dạng bậc thang rút gọn
Định nghĩa
Ma trận được gọi là có dạng bậc thang rút gọn
nếu
1
nó có dạng bậc thang

2
phần tử cơ sở của hàng khác 0 bằng 1, và là
phần tử duy nhất khác 0 trong cột chứa nó.
Ma trận có dạng bậc thang rút gọn hay không?


1 0 0
0 1 0
0 0 1


,


0 1 2 0
0 0 0 1
0 0 0 0


,


1 2 0 4
0 0 1 3
0 0 0 0


TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 21 / 103
Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Định nghĩa
Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận

Định nghĩa
Phép biến đổi sơ cấp trên ma trận A ∈ M
m ×n
(K )
là những phép biến đổi sau:
1
h
i
↔ h
j
(c
i
↔ c
j
) tức là đổi chỗ hai hàng (hai
cột) cho nhau.
2
h
i
→ λh
i
(c
i
→ λc
i
) tức là nhân vào hàng i
(cột i) một số λ = 0.
3
h
i

→ h
i
+ λ.h
j
(c
i
→ c
i
+ λc
j
), ∀λ tức là biến
hàng thứ i (cột thứ i) thành h
i
+ λ.h
j
(c
i
+ λc
j
)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 22 / 103
Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Định lý về việc đưa ma trận về dạng bậc thang
Định nghĩa
Ta ký hiệu A −→ B để chỉ ma trận B nhận được
từ ma trận A sau một số hữu hạn các phép biến
đổi sơ cấp trên A.
Định lý
Mọi ma trận đều có thể đưa được về dạng bậc
thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 23 / 103

Hạng của ma trận Định nghĩa hạng của ma trận
Hạng của ma trận
Định nghĩa
Giả sử A
m ×n
−→ B
m ×n
, với B là ma trận dạng bậc
thang. Khi đó hạng của ma trận A là số hàng khác
0 của ma trận dạng bậc thang B. Kí hiệu r(A).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 24 / 103
Hạng của ma trận Tính chất của hạng của ma trận
Tính chất của hạng của ma trận
1
r(A) = 0 ⇔ A = 0
2
0  r (A
m ×n
)  min{m, n}
3
Nếu A
các phép biến đổi sơ cấp
−−−−−−−−−−−−−−−−−→ B thì
r(B) = r (A).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 25 / 103